ACTIVIDADES INICIALES. b) ( 1, 6) d) (0, 3) (0, 1) (0, 2) f) ( 8, 4) (24, 6) (16, 2) h) ( 5, 3) (2, 2) ( 3, 1) EJERCICIOS PROPUESTOS

Transcripción

1 Solcionario 4 Vectores TIVIDDES INIILES 4.I. Efectúa las sigientes operaciones: a) (5, 3) (, 4) c) 5(3, ) (, 4) e) (7, 4) (, ) g) (3, 6) 3 (, ) b) (6, 4) (7, ) d) 3(0, ) (0, 3) f) 4(, ) 6(4, ) h) (5, 3) (, ) 3 a) (7, 7) c) (5, 5) (, 4) (4, ) e) 7, (, ) 9,4 g) (3, 6) 3, 3 6, 5 b) (, 6) d) (0, 3) (0, ) (0, ) f) (8, 4) (4, 6) (6, ) h) (5, 3) (, ) (3, ) 4.II. Escribe los pares de números reales representados en la ilstración. (, ), (, 3), (, 3), D(4, 0), E(4, ) D E EJERIIS PRPUESTS 4.. En el hexágono reglar de la figra, indica qé ectores son eqipolentes. Son eqipolentes ED y F D. En cambio, los ectores y EF son opestos. F E D 4.. ontesta erdadero o falso y razona la contestación: a) Si dos ectores fijos tienen el mismo módlo y dirección, determinan el mismo ector libre. b) Dos ectores fijos son eqipolentes si tienen el mismo módlo, sentido y ss rectas soportes son paralelas. a) Falso, tienen qe tener también el mismo sentido. b) ierto, ya qe las rectas paralelas indican la misma dirección Dados los ectores libres, y w y el pnto P, elige representantes de cada no de los ectores,, w qe tengan s origen en P. Teniendo cidado de no alterar el módlo, la dirección y el sentido de los ectores, y w, se eligen otros representantes de los mismos cyo origen común sea P. w w P P 4.4. ontesta erdadero o falso y razona t respesta. a) El ector libre nlo tiene módlo 0, y dirección, la del eje de abscisas. b) Sean y dos ectores eqipolentes, y, n pnto calqiera del plano. Si lleamos representantes de y al origen común, obtenemos dos ectores paralelos. a) Falso, el ector libre nlo carece de dirección y sentido. b) Falso, ya qe si son eqipolentes, al llearlos al origen común coincidirán ambos ectores. Por tanto, son coincidentes y no paralelos.

2 4.5. partir de los ectores, y w representados en la figra, calcla: a) c) w b) 3 d) [ ] 3 w w De la figra: (, ), (, 3) y w (, ); por tanto: a) (, ) (, 3) (3, ) b) 3 (6, 9) c) w (, ) (4, ) (5, ) d) [ ] 3 w (6, 4) (6, 3) (, 7) 4.6. Dados los ectores y, expresa los ectores y w como combinación lineal de los ectores y. De la figra es inmediato qe 6 5 ; w 5 w 4.7. Representa los ectores sigientes. a 3i 5j c 3i j e i j g 4i j b 7i 3 j d j i ƒ 4j h i ()i Los ectores están representados en la figra derecha. g a h e f d c b 4.8. Expresa los ectores de la figra como combinación lineal de los ectores de la base canónica. a 3i j c i j b 5i j d i 3j b j i a c d 4.9. Dados los ectores: (4, ), (0, 3) y w (3, 3). Halla: a) c) 5 3 e) w g),, b) 4 d) f) 3 (5 w) h) ( 3w) a) (4, ) (0, 3) (4, ) b) 4 4(4, ) (6, 8) c) 5 3 5(4, ) 3(0, 3) (0, 0) (0, 9) (0, 9) d) (0, 3) (0, 6) e) w (4, ) (0, 3) (3, 3) (7, ) f) 3 (5 w) 3(4, ) [5(0, 3) (3, 3)] (, 6) (3, ) (9, 8) g) 4 0 5; 03) ( 9 3; (4, ) (4) ) ( 7 h) ( 3w) (4, ) [(0, 3) 3(3, 3)] (4, ) (9, ) (3, 4) 4.0. Dados los ectores: (5, 7), (0, 4), compreba qe: a) ( ) b) (4 7) 4 7 a) ( ) [(5, 7) (0, 4)] (5, 3) (0, 6); (5, 7) (0, 4) (0, 4) (0, 8) (0, 6) b) (4 7) 3 3(0, 4) (0, ); 4 7 4(0, 4) 7(0, 4) (0,6) (0, 8) (0, )

3 Solcionario 4.. Un ector libre tiene por coordenadas (4, ). Un representante syo tiene el pnto (, 5) como origen. Halla las coordenadas del extremo. Si a (, 5) y b (x, y) son los ectores qe nen el origen de coordenadas con los extremos y del representante del ector, se cmple qe a b. Por tanto, (, 5) (4, ) (, 6) (x, y), es decir, las coordenadas del extremo son (, 6). 4.. Un ector tiene por extremos los pntos (7, 5) y (3, ). alcla las coordenadas del ector. Sea a (7, 5) y b (3, ). Se tiene qe b a (3, ) (7, 5) (0, 7) Un ector fijo tiene s origen en el pnto (6, ), y ss coordenadas son (4, 5). Halla las coordenadas de s extremo. Sea a (6, ) y b (x, y). omo b a (x, y) (6, ) (4, 5), se tiene qe (x, y) (4, 5) (6, ) (0, 3). Por tanto, las coordenadas del extremo son (0, 3) Dados los ectores (, ) y (3, 5) referidos a la base canónica, calcla: a) c) Ánglo de y b) Proyección de sobre d) Un ector ortogonal a a) (, ) (3, 5) 6 5 b) Proyección de sobre c) cos ( q, ), ( q ) arc cos ,3 d) Por ejemplo, el ector w (5, 3) es ortogonal a, ya qe w (3, 5) (5, 3) 3 (5) Determina el alor de m para qe el prodcto escalar de por w sea: a) Igal a 4, siendo (m, ) y w (, 3). b) Igal a, siendo (m, ) y w (3, m). c) Igal a 3, siendo (m, 3) y w (m, 4). d) Igal a 0, siendo (3, m) y w (m, m). a) w (m, ) (, 3) m 3 4 m 7 m 7 b) w (m, ) (3, m) 3m m 5m m 5 c) w (m, 3) (m, 4) m 3 m 9 m 3 d) w (3, m) (m, m) 3m m 0 m (m 3) 0 m 0, m 3 Vectores fijos del plano EJERIIS 4.6. En cada caso, representa el ector fijo indicado: a) Vector, siendo (, 3) y (5, 7). b) Un ector de módlo 5 nidades en la dirección del eje y sentido positio. c) Un ector de módlo 3 nidades y qe forma n ánglo de 0 con la semirrecta origen de ánglos. c) b) a)

4 4.7. Dibja dos ectores fijos qe tienen no módlo doble qe el otro, el origen común y forman n ánglo de 90. Respesta abierta, por ejemplo: 4.8. Traza dos ectores fijos del plano qe tengan el origen común y además: a) Módlo y dirección igales, pero sentidos opestos. b) Dirección y sentido igales, pero qe el módlo de no sea triple qe el módlo del otro. c) Qe las direcciones sean perpendiclares y el módlo de no sea la mitad qe el módlo del otro. Respesta abierta, por ejemplo: a) b) c) peraciones con ectores libres del plano 4.9. Dado el heptágono irreglar de la figra. Dibja los sigientes ectores libres. a) b) D c) D DE d) D DE EF e) D DE EF FG G F D E Los ectores pedidos se dan en la figra: D E G F 4.0. Dado el rectánglo de értices D. ompleta las sigientes igaldades: a) ; D b) ; c) D D ; a) ; D x x D D b) y y c) D D z z D

5 Solcionario 4.. De acerdo con el paralelepípedo de la figra, di cáles de las sigientes igaldades son ciertas. a b a) a g c) c g e) h e g) i e b) a g d) b d f) h j h) i d e d c h a) ierta c) Falsa e) ierta g) Falsa b) Falsa d) Falsa f) Falsa h) ierta i j g oordenadas de n ector. peraciones 4.. Dados los ectores (, 3) y (5, 4), calcla: a) b) c) 5 d) 3 a) (, 3) (5, 4) (4, 7) b) (, 3) (5, 4) (6, ) c) 5 5(5, 4) (5, 0) d) 3 3(, 3) (5, 4) (3, 9) (0, 8) (3, ) 4.3. Dados los ectores libres a y b de la figra, calcla: a) a b b) a b c) 3a d) 3a b De la figra se dedce qe: a (6, 0); b (3, 5). a) a b (6, 0) (3, 5) (9, 5) b) a b (6, 0) (3, 5) (3, 5) c) 3a 3(6, 0) (8, 0) d) 3a b 3(6, 0) (3, 5) (8,0) (6, 0) (, 0) a b 4.4. Se consideran los sigientes ectores: (3, 4), (, 7) y w (8, 5). ompreba qe: a) 5( ) 5 5 b) ( ) w ( ) c) a) 5( ) 5[(3, 4) (, 7)] 5(, ) (0, 55) 5 5 5(3, 4) 5(, 7) (5, 0) (5, 35) (0, 55) b) ( ) w [(3, 4) (, 7)] (8, 5) (, ) (8, 5) (0,6) ( w) (3, 4) [(, 7) (8, 5)] (3, 4) (7, ) (0, 6) c) (3, 4) (, 7) (, ) (, 7) (3, 4) (, ) Dependencia lineal 4.5. Halla los alores de x e y para qe se erifiqen las sigientes igaldades. a) (5, 3) x(, 4) (5, y) b) x(, 4) (7, ) (3, y) a) (5, 3) x(, 4) (5 x, 3 4x) (5, y) 5 x 5 3 4x y b) x(, 4) (7, ) (x 7, 4x ) (3, y) 3x 7 3 x 5 4x y x 5 y 7 y 9

6 4.6. Para qé alores de x e y se erifica la sigiente igaldad? (4, ) (, x) (y, 7) (4, ) (, x) (, x) (y, 7) y x 5 x 7 y 4.7. Expresa el ector (5, 3) como combinación lineal de los ectores (, 0) y w (3, 4). Se trata de encontrar a y b tales qe a bw. Por tanto, ha de ser (5, 3) a(, 0) b(3, 4) (5, 3) (a 3b, 4b) Por tanto, w a 3b 5 4b 3 x 3 4 y Halla los alores de a y b para qe (3, 5) se peda expresar como la sigiente combinación lineal de los ectores (, 0) y w (7, 3): a bw Se trata de encontrar a y b tales qe a bw (3, 5) a(, 0) b(7, 3) (a 7b, 3b) a 3 a 7b 3 3 3b 5 b Dados los ectores de la figra, exprésalos como combinanación lineal de los ectores de la base canónica y da ss coordenadas. a (0, ) 0i j b (6, 5) 6i 5j c (, 4) i 4j d (4, ) 4i j e (, ) i j ƒ (, 3) i 3j d j i c b a e f ompreba si el ector (3, 7) se pede expresar como combinación lineal de los ectores (3, ) y w (6, 4). Si se pede expresar como combinación lineal de y w, existen a, b tales qe a bw. Por tanto: (3, 7) a(3, ) b(6, 4) 3a 6b 3 a 4b 7 a b a b 7 Por tanto, el sistema es incompatible, y no se pede expresar como combinación lineal de y w. (Hay qe hacer notar qe w, por lo qe son linealmente dependientes y no forman base) Halla los alores de los escalares a y b, qe permiten expresar el ector (, ) como combinación lineal de los ectores (3, 4) y w (, 5) en la forma a bw. 9 b 4 9 a bw (,) a(3, 4) b(, 5) 3a b a 4a 5b

7 Solcionario 4.3. Sean (3, 5) y (, ) dos ectores libres del plano. Halla y 3. ompreba gráficamente qe las coordenadas obtenidas para y 3 son las obtenidas anteriormente. (3, 5) (, ) (, 7) 3 3 (3, 5) (9, 5) + 3 Módlo y argmento alcla el módlo y el argmento de los sigientes ectores. a) (3, 5) c) 3 (4, 5) e) 5 (8, 9) b) (3, ) d) 4 (0, 3) f) 6 (5, ) Para elegir correctamente el argmento, hay qe tener en centa el cadrante en qe se encentra el ector. a) ; arg( ) arc tg 5 3 b) 3() ; arg( ) arc tg 3 c) 3 (4) ; arg( 3 ) arc tg 4 d) ; arg( 4 ) 90 e) f) 6 (5) ) ( 5 6 ; arg( 5 ) arc tg 9 8 ; arg( 6 ) arc tg , , , , , ómo aría el módlo de n ector si se mltiplica por el número real k? plica el caso al ector (3, 5) y k 7. Si se mltiplica n ector por el número real k, el módlo qeda mltiplicado por k. En efecto: Sea (, ) k (k, k ). Por tanto, k (k ) (k ) k ( ) k k Si (3, 5) y k 7 7 (, 35). Por tanto: 7 () (3) alcla el alor de m para qe el ector (m, 4) sea nitario. es nitario si. m4) ( m6 m 6 m 5 no existe solción real Halla el alor de n para qe el argmento del ector sea el indicado en cada caso. a) (, n), 80 c) 3 (n, ), 5 b) (3, n), 60 d) 4 (, n), 50 n a) tg (80) 0 n 0 b) tg (60) 3 3 n n 3 3 d) tg (50) 3 c) tg (5) n n 3 n n 3 3

8 4.37. alcla n ector nitario en la misma dirección y sentido qe los sigientes. a) (3, 5 ) b) (, 4) c) 3 (, ) asta mltiplicar cada ector por el inerso de s módlo: a) 3 (5) b) () 4 0 c) 3 () El ector pedido es, El ector pedido es, El ector pedido es 3, , 5 34, , Pntos y ectores Sean,,, D, E y F los értices del hexágono reglar de la figra. Expresa los ectores de los lados como combinación lineal de los ectores y F. 0 F D F 0 F FE F FE F ED 0 F 0 F F E D Escribe las coordenadas de los ectores con origen y extremos los pntos indicados. (, 3) (4, ) (, 3) (6, ) D (, 3) (, 3) (0, 6) (5, ) (, 3) (3, ) E (, 4) (, 3) (3, 7) D E Sea n ector n representante del ector libre [ ]: a) Halla las coordenadas de, sabiendo qe (5, 3) y (3, 4). b) Halla las coordenadas del pnto sabiendo qe (3, ) y (5, 4). c) Halla las coordenadas del pnto sabiendo qe (, 7) y (3, 4). Llamando a (5, 3) y b (3, 4), a los respectios representantes de los ectores qe nen el origen de coordenadas con los pntos y, se tiene: a) b a (3, 4) (5, 3) (, 7) b) b a (3, ) (5, 4) (, 5) c) a b (, 7) (3, 4) (4, 3) 4.4. Dados los pntos (3, 3), (0, 4), (, ) y D(, ), compreba qe el cadrilátero D es n paralelogramo. (Nota: tiliza la idea de eqipolencia.) Se tiene qe: (0, 4) (3, 3) (3, ) y D (, ) (, ) (3, ). Por tanto, los lados y D son paralelos. (, ) (0, 4) (, ) y D (, ) (3, 3) (, ). Por tanto, los lados y D son paralelos. En consecencia, D es n paralelogramo.

9 Solcionario 4.4. Sea M el pnto medio del segmento. Expresa el ector M como combinación lineal de los ectores y Por ser M el pnto medio de, se tiene qe M. demás,. Por tanto, M M ( ) alcla los pntos medios del triánglo de értices (, 0), (, 4) y (3, ). Sean M, M y M 3 los pntos medios de, y, respectiamente. Entonces: M [(, 4) (, 0)] (3, 4) M M (, 0) 3,, M [(3,) (,4)] (4, ) M M (, 4) (, ) (, 3) M 3 [(,0) (3,)] (, ) M 3 M 3 (3,), 5, Por tanto, los pntos medios son: M,, M (, 3), M 3 5, Dado el romboide de értices (, ), (7, ), (5, 3) y D(, 3), demestra ectorialmente qe el cadrilátero qe se obtiene al nir los pntos medios de cada lado es n paralelogramo. Sean M, N, P y Q los pntos medios de los lados,, D y D. Es fácil er qe las coordenadas de estos pntos medios son: M(4, ), N(6, ), P(, 3) y Q(0, ). Se tiene qe MN QP y qe MQ NP. En efecto: MN (6, ) (4, ) (, ) ; Q P (, 3) (0, ) (, ) MQ (0, ) (4, ) (4, ); NP (, 3) (6, ) (4, ) MN QP MQ NP Por tanto, el cadrilátero qe se obtiene al nir los pntos medios de cada lado es n paralelogramo Dados los pntos (3, 5), (4, 6), (, 9) y D(8, 6): a) Halla el módlo, el argmento y las coordenadas de los ectores y D. b) alcla las coordenadas de dos ectores nitarios de la misma dirección y sentido qe y D. c) alcla las coordenadas de n ector de módlo en la dirección de y en sentido opesto. a) (4, 6) (3, 5) (7, ); D (8, 6) (, 9) (9, 3) D arg ( ) arc tg ,4 arg (D ) = arc tg ( 3 ) , 9 b) asta mltiplicar y D por el inerso de s módlo: 7, 7 0, 0 D D, 3 0 0, 0 0 c) (, 9) (4, 6) (5, 3), y (5) Mltiplicando por se obtiene n ector de módlo y sentido opesto a : (5, 3) ,

10 Prodcto escalar. Ánglo entre ectores a) ompreba si el ector (cos a, sen a) es nitario. b) Elige n ector nitario y ortogonal al ector. Es único? a) (cos a) a) (sen cos an se a. Por tanto, el ector es nitario. b) Un posible ector nitario y ortogonal a es el ector (sen a, cos a), ya qe 0 y además. No es el único ector qe cmple las condiciones anteriores, también las cmple el ector w (sen a, cos a) Da razonadamente dos ejemplos de ectores tales qe: a) S prodcto escalar sea. b) S prodcto escalar sea. Respesta abierta, por ejemplo: a) (, ), y (, 0), ya qe 0 b) (, ), y (, ), ya qe () () alcla las coordenadas del ector, sabiendo qe se erifica: 0 y w, siendo (3, 4) y w (, 3). Sea (x, y). Del ennciado se dedce: 0 (x, y) (3, 4) 3x 4y 0 w (x, y) (, 3) x 3y x 8, y 6. Por tanto, el ector es (8, 6) Dados los ectores de la figra: a) Determina las coordenadas de y respecto de la base canónica. b) Halla,,. c) Halla. d) Halla la proyección de sobre. e) alcla el ánglo qe forman los ectores y. f) Encentra n ector nitario en la dirección y el sentido del ector. g) Halla n ector ortogonal a de módlo nitario. a) (5, ); (3, 3) (, 5) b) 5 9 ; (3) 3 8 c) (5, ) (3, 3) d) Proyección de sobre e) cos ( q, ) 3 ; 5 9 ( q ) arc cos 3 54,93 f) asta mltiplicar el ector por el inerso de s módlo: w,. g) El ector p (, 5) es ortogonal a, ya qe p 0. Por tanto, 5, a , es nitario y ortogonal

11 Solcionario Dados los ectores (3, 4) y (4, 3), halla: a) b) y c) El ánglo formado por y. d) La proyección de sobre. e) Un ector nitario en la dirección de sentido opesto. a) (3, 4) (4, 3) 4 b) y c) cos ( q ) 4 ( 5 q ) arc cos 4,, ,74 d) Proyección de sobre 4 5 e) El ector 4 5, 3 5 es nitario y tiene la dirección de y el sentido opesto alcla el alor de k para qe el ánglo qe forman los ectores (3, k) y w (, ) sea: a) 90 b) 0 c) 45 d) 60 w (3, k) (, ) 6 k; 3 k 9 k ; w ) ( 5 a) omo ( q ) 90, se tiene qe 0 cos ( q w, w, w ) 6 k w 6 k 0 k 6 9k b) omo ( q, w ) 0, se tiene qe cos ( q, w ) k 4k 96 k 9 0 k 3 k c) omo ( q, w ) 45, se tiene qe cos ( q, w ) 6 k 6k 48 k 54 0 k o k 9 9k d) omo ( q, w ) 60, se tiene qe cos ( q, w ) 6 k k 99 0 k 3 9k a) Halla el alor de k para qe el ector (3, k) sea ortogonal al ector (, 4). b) Halla el módlo de y. c) Halla el ánglo formado por los ectores y. a) 0. Por tanto, se tiene qe (3, k) (, 4) 3 4k 0 k 3 4. b) ; c) omo son ortogonales, (, ) Halla el alor de k para qe el ector (k, ) sea: a) Unitario b) Perpendiclar al ector de coordenadas (, 3) a) El ector es nitario si s módlo es igal a. Lego: k 4 4 k k 3 no existe k real qe haga el ector nitario. b) Dos ectores son perpendiclares si s prodcto escalar es 0. Lego: (k, ) (, 3) 0 6 k 0 k 3

12 4.54. Se tiene la base canónica {i, j }, y respecto de ella, los ectores y dados por la sigiente figra: a) Halla las coordenadas de y respecto de la base. b) alcla. c) Halla el ánglo formado por los ectores y. d) Halla n ector nitario ortogonal al ector. j i a) 4i j (4, ); 3i 3j (3, 3) b) (4, ) (3, 3) 3 9 c) cos( q, ), ( q, ) arc cos ,5 d) (4, ) (3, 3) (, 4) Un ector ortogonal al ector (, 4) pede ser (4, ), y para qe sea nitario basta con diidir por s módlo: w 4, a) alcla el alor de k para qe los ectores (, k) y (4, k) sean ortogonales. b) alcla,,. c) Halla el ánglo formado por los ectores y. a) 0. Por tanto, se tiene qe (, k) (4, k) 4 k 0 k. b) 5 ; (4) 0 ; (3) c) omo son ortogonales, ( q, ) Halla el ánglo qe forman los ectores y, sabiendo qe se erifican las sigientes condiciones: 4, 6 y 7 Sea α el ánglo formado por los ectores y. Por el teorema del coseno: cos α cos α cos α 3 48 cos α cos α α , Pede ser el módlo del ector sma de dos ectores de módlo 0 y 5, respectiamente, mayor qe 5? menor qe 4? Sean a y b dos ectores tales qe a 0 y b 5. Para hallar el módlo del ector sma, se aplica el teorema del coseno del sigiente modo: a b a b a b cos α a b cos α a b 5 00 cos α omo cos α, se tiene qe 5 a b 5, lego 5 a b 5. sí pes, es imposible qe el módlo del ector a b sea mayor qe 5 o menor qe Sean y dos ectores tales qe ( ) 5 y ( ) 9. alcla el prodcto escalar. Se tiene qe: 5 ( ) 9 ( ) Restando ambas expresiones se obtiene: 6 4. Lego Sean y dos ectores tales qe 9 y ( ) ( ) 7. alcla el módlo del ector. Se tiene qe ( ) ( ) 7. Por tanto, En consecencia, 64 8

13 Solcionario Dos ectores a y b son tales qe a 0, b 03, y a b 0. Halla el ánglo qe forman los ectores a y b. plicando el teorema del coseno, se tiene qe a b a b a b 0 0 (03) 0 03 cos α cos α cos a cos α 0 α 90 Los ectores a y b son ortogonales Sean,, y D catro pntos arbitrarios del plano. Demestra qe siempre se erifica: [ ] [D ] [ ] [D ] [D ] [ ] 0 Llamando [ ], [ ] y w [D ], se tiene qe [D ] w, [D ] w y [ ] Sstityendo estos alores en la expresión inicial: [ ] [D ] [ ] [D ] [D ] [] (w ) ( w) w ( ) w w w w Pon n contraejemplo para probar qe de la igaldad w no se dedce qe w. Respesta abierta, por ejemplo: Sean (4, ), (, ) y w (, ). Se cmple qe w 6, pero w Dados los ectores (, ) y (5, 3), expresa el ector como sma de dos ectores, no de la misma dirección qe y otro qe sea ortogonal al ector. Un ector en la misma dirección de (, ) es (k, k). Un ector ortogonal al ector (, ) es w (h, h). omo ha de ser w, se tiene qe (5, 3) (k, k) (h, h). Lego: k 3 5 k h 5 3 k h h 5 Por tanto, los ectores pedidos son (k, k) 6, y w (h, h) 5, 5. PRLEMS Dado el triánglo de értices (, 3), (5, ) y (7, 9): a) Halla la medida de los lados. b) Halla la medida de los ánglos. a) Medida de los lados: Lado (5, ) (, 3) (3, ) 3 0 Lado (7, 9) (5, ) (, 7) 7 53 Lado (, 3) (7, 9) ( 5, 6) b) Medida de los ánglos: (3, ) ; (7, 9) (5, ) (, 7) cos α cos (, ) α ,6 (3, ); (7, 9) (, 3) (5, 6) cos β cos (, ) β ,76 γ , , ,63

14 4.65. Dibja na circnferencia de centro y radio 4 nidades. Inscribe en la circnferencia anterior n hexágono reglar de értices,,, D, E y F. Halla los sigientes prodctos. a) E b) c) a) E E cos b) 4 4 cos 60 8 d) DE c) cos 0 8 d) DE DE cos () En el triánglo eqilátero de la figra, de 6 m de lado, se consideran los sigientes ectores:, y w. Halla, w y w De la figra se dedce: (, ) 0 (, w) (w, ) 60. cos (, ) 6 6 (0, 5) 8 w w cos (, w) 6 6 (0, 5) 8 w w cos (w, ) 6 6 (0, 5) 8 6 m na ha salido de la playa en na tabla de windsrfing arrastrada por n iento qe tiene na elocidad de 5 km/h en sentido norte. los 5 mintos se ha caído y ha estado descansando sobre la tabla 0 mintos. l leantar la ela obsera qe se ha leantado n ferte iento de 30 km/h en sentido oeste. Despés de naegar 7 mintos, a qé distancia se encentra del pnto de partida? 5 km/h m/h 5 00 m/min 50 m/min km/h 500 m/min m na se encentra inicialmente en el pnto. los 5 mintos, na ha recorrido m, y llega al pnto. Tras leantar la ela, naega drante 7 mintos en la dirección del iento; por tanto, recorre: m, llegando al pnto. Lego la distancia desde el pnto de partida es: ,5 m. La distancia recorrida en total por na es: m. 50 m Dos barqitas aydan a salir de n perto a n gran barco tirando de él con el mismo ánglo y simétricamente, con na ferza de 300 N. Haz na tabla ariando el ánglo desde 0 hasta 80 de 0 en 0 y obteniendo en cada caso la ferza resltante sobre el barco remolcado. ál es el mejor ánglo para llear a cabo el arrastre? El ánglo, a, es el forman entre sí los dos cables qe nen las barqitas con el barco. a R 600 cos α cos 5 597,7 N 600 cos 0 590,9 N 600 cos 5 579,6 N 600 cos 0 563,8 N 600 cos 5 543,8 N 600 cos 30 59,6 N 600 cos 35 49,5 N 600 cos ,6 N En la tabla están los resltados. bsera qe canto menor es el ánglo a, mayor es la resltante y, en consecencia, mejor es el arrastre. Por tanto, el mejor ánglo es α 0.

15 Solcionario José Lis se lanza al aga desde el pnto con intención de llegar al embarcadero qe se encentra sitado al otro lado del río, a 00 m, en perpendiclar a la corriente desde el pnto. bsera qe por mcho esferzo qe hace, y nadando a na elocidad de 3 km/h, no pede llegar al embarcadero, sino a n árbol qe se encentra a 00 m del embarcadero. Qé elocidad tiene la corriente del río? ántos metros nadó en realidad? Qé tendría qe haber hecho para llegar con segridad al embarcadero? Sea el ector elocidad a la qe nada José Lis, y, el ector elocidad de la corriente del río. Se tiene qe 3000 m/h, arg ( ) 90, arg ( ) 0. Se bsca calclar. La dirección en la qe se mee José Lis es la del ector sma, y coincide con F. Se erifica qe tg α m/h. Por tanto, la elocidad de la corriente del río es de,5 km/h. En realidad nadó: F E EF ,6 m. Para llegar con segridad al embarcadero debería haber nadado en dirección D. D E 00 m F L 00 m 00 m Un globo se desplaza en sentido norte a 80 km/h, y en n determinado instante comienza a soplar n iento de 60 km/h en na dirección qe forma n ánglo de 45 con la dirección del globo. Qé dirección lleará a partir de ese instante? ál será s elocidad? Sea el ector elocidad inicial del globo. Se tiene qe 80, arg ( ) 0. Por tanto, es el ector (0, 80). Sea el ector elocidad del iento. Se tiene qe 60 y arg ( ) 45. Por tanto, 0 es el ector (60, 60). 0 partir de ese instante, el ector elocidad del globo es (0, 80) (60, 60) (60,40). La elocidad es, por tanto, ,3 km. La dirección es la del ector. omo arg ( ) arctg ( 40 ) , ese es el ánglo qe forma la 60 nea dirección con la dirección inicial Qé lgar geométrico forman los extremos de los ectores de módlo 5 y origen el origen de coordenadas, en el sistema de referencia eclídeo R {; i, j }? Una circnferencia de centro y radio 5 nidades 4.7. Un aión ela a na elocidad de 900 km/h y lanza n paqete con ayda hmanitaria de 50 kg. El ector elocidad del paqete tiene dos componentes: la horizontal, qe es constante e igal a 900 km/h, y la ertical, qe iene dada por la graedad según la ley y 9,8 t, siendo t el tiempo en segndos. Es posible describir la trayectoria del paqete lanzado? Razona t respesta. El paqete lanzado sige na trayectoria parabólica. En efecto, sea h la altra del aión. El espacio recorrido en la dirección horizontal erifica la ecación: e (t) e 0 t 0 900t El espacio recorrido en el eje ertical erifica la ecación: e (t) e 0 t h 9,8t sí, en el instante t, el paqete estará en la posición: r (t) (x, y) (900t, h 9,8t ). Despejando el tiempo: 9,8 La parábola es y h x 9 00.

16 PRFUNDIZIÓN Sea n segmento de longitd m, y M s pnto medio. Si P es n pnto calqiera del plano y d es s distancia a M, demestra qe se cmple: P P d m la ista de la figra adjnta se obsera qe: P PM M y P PM M. sí, P P PM PM PM M PM M M M PM PM M cos (80α) PM M cos α M M cos(80) d d m cos α d m cos α m d m M d P Si y son dos ectores libres no nlos, y w : a) Demestra qe los múltiplos no nlos de w forman el mismo ánglo con y con. (Estos ectores reciben el nombre de ectores bisectores de y.) b) Halla n ector bisector de los ectores (3, 4) y (8, 6) qe tenga módlo 5. a) w cos( q, ) cos( q, ) ( cos( q, )) Por tanto, w ( cos( q, )) cos( q, ) w cos(, w) ; cos(, w) w w w w ( cos( q, ) cos( q, ) w w Por lo qe w forma el mismo ánglo con y. Lo mismo ocrre con los múltiplos de w, ya qe tienen la misma dirección qe w. b) Sstityendo será w 5 (3,4) (8,6) 0 5, 7 5. Para qe tenga módlo 5, diidimos por s w módlo y mltiplicamos por 5, obteniéndose finalmente: x w 5, , Un ector de módlo 0 se descompone en sma de otros dos módlos igales y qe forman n ánglo de 45. Halla el módlo de cada no de los ectores smados. Si se descompone el ector, de módlo 0, como sma de los ectores y w de módlos igales. Por ser w, se dedce qe los ánglos qe forma con y con w son igales: (, ) (, w) 30 (, ) 35 plicando el teorema del coseno, se obtiene: cos 35 ( ) 00 ( ) 0

17 Solcionario Demestra qe si dos ectores tienen el mismo módlo, entonces los ectores sma y diferencia son ortogonales. Sean y tales qe. Veamos qe los ectores y son ortogonales. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 Lego, en efecto, y son ortogonales Demestra qe el ector a (b c) d (b d ) c es ortogonal al ector b. Se tiene qe a b a b 0. Por tanto, basta comprobar qe [(b c) d (b d ) c] b 0. (b c) d b (b d ) c b (c b ) (d b ) (d b ) (c b ) 0 En efecto, ambos ectores son ortogonales Demestra las sigientes igaldades entre ectores. a) ( w) ( w) ( ) w b) ( w) ( w) ( w) a) ( w) ( w) ( ) ( ) w w ( ) w ( ) w b) ( w) ( w) ( w) ( w) ( w) ( w) ( w) Preba, con ayda del prodcto escalar, el teorema del coseno qe dice así: a b c bc cos. En el triánglo de la figra constrimos los ectores b γ a a, b y c De esta forma: a b c. Mltiplicando esta igaldad escalarmente por sí misma: α c β a a (b c) (b c) a b c b c Lego se pede escribir a b c bc cos (b, c) a b c bc cos α Demestra ectorialmente qe las bisectrices de los ánglos (, ) y (, ) se cortan perpendiclarmente. (Sgerencia: tiliza los ectores y con el mismo módlo.) Sean y dos ectores calesqiera qe forman n ánglo α. Los ectores y forman n ánglo de 80 α. La bisectriz del ánglo α es la recta soporte del ector. La bisectriz del ánglo 80 α es la recta soporte del ector. asta er qe los ectores y son ortogonales. Para ello, se compreba qe s prodcto escalar es nlo. ( ) ( ) () 0, ya qe si, entonces. Por tanto, los ectores y son ortogonales y, en consecencia, las bisectrices se cortan perpendiclarmente.

18 4.8. Demestra qe los ectores y son perpendiclares, si y solo si. Si 0. Por tanto, cos(, ) 0. En consecencia, cos(, ) () cos(, ) Lego Eleando al cadrado: ( ) ( ) Por tanto, y son ortogonales Demestra ectorialmente qe el ánglo inscrito en na semicircnferencia es recto. Sean y, entonces y. ( ) ( ) r r 0 Lego los ectores y son ortogonales Demestra ectorialmente qe las diagonales de n rombo se cortan perpendiclarmente. onsiderando el rombo de la figra adjnta, se tiene qe a b, ya qe n rombo tiene ss catro lados igales. Los ectores de las diagonales son m a b y n b a. Para er qe son ortogonales hagamos s prodcto escalar: m n (a b ) (b a) b a 0 Lego las diagonales de n rombo se cortan perpendiclarmente. a b b m n a D Demestra ectorialmente qe las tres altras de n triánglo concrren en n pnto. Sea H el pnto de intersección de las altras qe parten de los értices y. Se tiene qe H 0 y H 0. Se trata de probar qe H 0. H (H ) ( ) H H (H ) H 0 Por tanto, los ectores y H son también ortogonales; es decir, la altra del értice pasa también por el pnto H (ortocentro del triánglo). H