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1 E el Aula Virtual se ecuetra dispoible: Material iteractivo co teoría y ejercicios resueltos. Para acceder a ello deberá pulsar sobre los siguietes elaces ua vez detro de la asigatura Pagia Pricipal >Aputes>4. Fucioes Material e pdf co el siguiete coteido: - Repaso de úmeros complejos a ivel de bachillerato - Aputes de teoría - Ejercicios resueltos - Problemas de eame resueltos asigatura: Para acceder a ellos se deberá pulsar sobre los siguietes elaces ua vez detro de la Pagia Pricipal >Recursos Por Temas>Fucioes Objetivos: Coocer la defiició de derivada y su iterpretació geométrica. Calcular derivadas de fucioes elemetales utilizado las siguietes técicas: o Reglas de derivació (derivada de ua suma, producto, cociete). o Derivada de la fució compuesta: Regla de la cadea o Derivada de la fució iversa. o Derivada de fucioes implícitas. o Derivada de fucioes e paramétricas o Derivada eésima. Compreder la aproimació local que proporcioa los poliomios de Taylor o Ecotrar poliomios de Taylor para fucioes derivables o Utilizar el resto de Lagrage para estimar la precisió de la aproimació. o Estudiar localmete ua fució (determiació de etremos) Compreder la aproimació global que proporcioa las series de Taylor o Calcular el campo de covergecia de ua serie de potecias Profesora: Elea Álvarez Sáiz

2 o Desarrollar ua fució e serie de potecias. DERIVADA: DEFINICIÓN Y TÉCNICAS DE DERIVACIÓN U estudio del medio ambiete de cierta comuidad suburbaa idica que el ivel medio de C p moóido de carboo e la atmósfera es de ( ) =,5 p + 7 partes por milló cuado la població es p miles de persoas. Se estima que, detro de t años, la població será de (),,t p t = + miles de persoas. Cuál será la tasa de variació de ivel de moóido de carboo co respecto al tiempo detro de tres años? Solució: '4 partes millo / año Supogamos que u cubo de hielo se derrite coservado su forma cúbica y que éste volume decrece proporcioal al área de su superficie. Cuáto tardará e derretirse si el cubo pierde ¼ de su volume durate la primera hora? Solució: Aproimadamete horas. Cosideremos g( ) = f( a), etoces g '( ) f '( a) =. Eplique esta derivada gráficamete: compare las gráficas de f y g y argumete por qué las pedietes de las rectas tagetes se relacioa como la fórmula idica. Solució: 4 Cosideremos h( ) = f( ), etoces h '( ) f '( ) =. Eplique esta derivada gráficamete: compare las gráficas de f y h y argumete por qué las pedietes de las rectas tagetes se relacioa como la fórmula idica. Solució: Profesora: Elea Álvarez Sáiz

3 5 Hallar dy d si y u + u = u, u = se Solució: dy se se d = cos 6 Sea f, g y h fucioes derivables e R. Epresar e fució de f(a), g(a), h(a) y de sus derivadas f (a), g (a), h (a) las derivadas de las siguietes fucioes e = a. (a) f( f( )) (b) f( ) (c) ( ( ( ))) ( ) f g h + (d) f + g() (e) ( ) ( ) g f g + + f ( g ) (g) f g( + ) (f) ( ) ( ) Solució: 7 Se cosidera la ecuació: d y dy 4 6y d d + = y se realiza el cambio cosiderado la variable y depediete de t. t = e. Escribir la ecuació después de haber realizado el cambio Solució: d y dy 5 6y e d t dt + = t 8 Deducir la derivada de las fucioes: (a) f( ) = arcse( ) (b) f( ) = arccos( ) (c) f( ) = arctg( ) Profesora: Elea Álvarez Sáiz

4 d (d) ( argch ) d d (e) ( argsh ) d d (f) ( arc sec) d Nota: y= argch Chy= y= arg Sh Shy= Ch Sh = 9 Hallar la derivada -ésima de f( ) 7+ 5 = ( )( )( ) Solució: Descompoer e fraccioes simples: ( + )( + )( + ) A a Si g( ) = etoces ( ) ( ) ( ) ( ( g = A! + a + ) = Hallar la derivada -ésima de: (a) f( ) = se( ) e = (b) f( ) cos( ) = e = (c) ( ) = e e = (d) f( ) log( ) f = + e = (e) f( ) + = log 4 e = (f) f( ) se( ) cos( ) ( Solució: (a) f ( ) Tambié: f ( = e = (utilizar fórmula del seo del águlo doble) = = ( ) / ( ) se( ) ( ) ( ) / cos( ) ( ) ( ) ( ) / ( f se si par si impar π = + si par si impar f ( ( ) π = se Profesora: Elea Álvarez Sáiz 4

5 ( ( (c) f ( ) e f ( ) = = + + ( ( (d) f ( ) = ( ) ( )(! + ) f ( ) = ( ) ( ) ( (e) f ( ) = ( )!( + ) +!( 4 ) (f) f( ) se( ) cos( ) ( 4)! se = = Aplicar apartado (a) para obteer: ( ) ( f 4 se 4 π = +. Este apartado está resuelto e el aula virtual. Calcula la derivada de orde de la fució : f( ) = se( ) Solució: se( ) + 9 cos( ) + 6 se( ) 46 cos( ) Calcular la derivada de la fució f( ) = + e el puto. ( Solució: f ( ) ( ) ( ) = 5!! Aplicar fórmula de Leibiz. La otació k!! represeta ( )( ) k!! = k k k 4... si k es par ( )( ) k!! = k k k 4... si k es impar RECTA TANGENTE. APROXIMACIÓN LINEAL Hallar u valor aproimado de 4' utilizado la tagete a la curva 4+ e el puto a= Profesora: Elea Álvarez Sáiz 5

6 4' + ' ' = 4+ '= '5 4 Solució: f( ) f ( )( ) 4 Obteer de forma aproimada los siguietes valores:.4 ( a ) log(.9) () b e () c 7 ( d ) 8'.4 a () b e.4 Solució: ( ) log(.9). () c ( ).5 d 8' + ' Utiliza la aproimació lieal de la fució ( ) aproimada( ) 5.,.9 k + + k para calcular de forma Solució: ( ) 5 ( ) / POLINOMIOS DE TAYLOR Cálculo de valores aproimados 6 E u etoro de a = se aproima la fució y= + mediate el poliomio P( ) = +, obteiedo.5. Dar ua cota del error cometido. Solució: error = < < < / 8 8 ( + t) ( t ) 7 Calcular, mediate la diferecial, ua aproimació de cos(55º) y dar ua cota del error cometido. Profesora: Elea Álvarez Sáiz 6

7 Solució: Error π < 6 8 (a) Obteer el poliomio de Taylor de grado de la fució y= log puto a=. alrededor del (b) Obteer, mediate el poliomio aterior, u valor aproimado de log(.5). (c) Hallar ua cota del error cometido e dicha aproimació Solució: T 8 4 =, ( ) log.5.69 error <.5 9 Qué error se comete al sustituir e se por + +? Solució: Error 5,7 < 6 Se cosidera la fució f( ) = + (a) Calcula ua estimació del error de la aproimació de f( ) = + por su poliomio de Taylor de grado e el puto a= cuado perteece al itervalo (b) Calcula para esta fució la diferecial e a= e =.5. Haz u bosquejo de esta fució y represeta el valor obteido. (c) Puedes dar ua cota del error que se comete al aproimar por? Profesora: Elea Álvarez Sáiz 7

8 Solució: Ejercicio resuelto. (a) Ua estimació del error es (b) La diferecial es: error = dy= f '( ) =,5=,5.5 Recta tagete Diferecial.5 (o,f(o) alfa y=f() h y=f(o+h)-f(o) (o+h,f(o+h) dy <,5 (c) f f( ) Sea f ( ) log( ) = +. Se pide: (a) Escribir la fórmula de Taylor para f() e = de orde co el resto de Lagrage. (b) Dar ua cota del error al aproimar log mediate el poliomio de Taylor de grado. Solució: Ejercicio resuelto. (a) ( ) ( + ( ) f () t ( + )! + log + = co t etre y Profesora: Elea Álvarez Sáiz 8

9 (b) 4 Error < 5 Cosidera la fució f( ) = +. (a) Determia la epresió del resto -ésimo del poliomio de Taylor de la fució e a= (b) Determia el grado del poliomio de Taylor de la fució f( ) e a= que permite aproimar co u error meor que ua décima. Solució: Ejercicio resuelto. (a) f t ( ) ( ) () ( ) + + ( = t + + +! + + +! (b) Poliomio de Taylor de grado. ( t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t ) + + (a) Calcular mediate el poliomio de Taylor co u error meor que ua décima el valor de. e (b) Represetar de forma aproimada la gráfica de la fució y del poliomio de Taylor obteido e el apartado aterior Solució: Ejercicio resuelto. El poliomio que se debe elegir es el de grado. Etoces: 5 e e 9 / = 4 = e (a) Calcular el poliomio de Taylor de esta fució e a= y obteer la epresió del resto de 4 Dada la fució: f( ) Lagrage. Profesora: Elea Álvarez Sáiz 9

10 (b) Calcular de forma aproimada f (.) co el poliomio de grado y dar ua cota de error. 5 Solució: T = 4( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) R ( ) (( + ) ( + ) + ( + 4) ) ( ) ( + )! e t t = y.! t + + ( ') 4 ' ( ') ( ') f + t u puto itermedio etre Ua acotació podría ser: R < ' 4 ' + 8 ' + 4 4! 4 ( ) ( ) ( ) 5 Se cosidera f( ) log + =. Se pide: (a) Represeta el domiio de la fució f( ) (b) Calcula el poliomio de Taylor de grado de f( ) e a= 4 y determia la epresió del resto eésimo de f( ) e a= 4 (c) Calcula ua cota del error cuado queremos aproimar grado 6' log 6' por el poliomio de (d) Cuátos térmios es ecesario cosiderar del poliomio de Taylor de f( ) e a= 4 para aproimar 6' log 6' co u error meor que? (e) De qué orde es el resto del poliomio de taylor de grado de f( ) e a= 4? 6 6 Solució: (a) T ( = 4 ) ( ) ( )! ( 4) Profesora: Elea Álvarez Sáiz

11 R ( ) = + ( t+ ) ( t ) + + R < (b) ( 4) (c) Se ecesita = térmios =. 6 (a) Calcular la derivada eésima de la fució f( ) log ( ) 5 (b) Calcular el cojuto de úmeros reales de maera que el poliomio de MacLauri de ( ) log ( ) 5 f = de grado permita aproimar f() co u error meor que 5 (c) Calcular de forma aproimada el valor de ( ) log( ') f = co la aproimació de la ordeada de la recta tagete dado ua estimació del error Solució: Ejercicio resuelto. (a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( f = f = 5! 5! (c) 5log( ') '5. Ua cota del error puede ser: error 5 < 7 La fórmula de Machi π= 4arctg arctg puede usarse para aproimar los valores de π. Utilizar el desarrollo de Taylor de la fució arctg( ) hasta tercer orde y la fórmula de Machi para calcular el valor de π. Dar ua cota para el error de la aproimació justificado adecuadamete la respuesta. Solució: Ejercicio resuelto. π=.46±.548. Cálculo de límites idetermiados Profesora: Elea Álvarez Sáiz

12 8 Calcula ifiitésimos equivaletes para las fucioes e = utilizado poliomios de Taylor: f( ) = se f( ) ( ) cos f = tg f( ) = log( + ) = f( ) = e se( ) 9 Utilizado poliomios de Taylor calcular los siguietes límites: (a) arctg lim cos se ( ) = (b) 8 se cos lim = ( cos) () c (d) lim e = e + se ( ) ( ) a e cos a se a lim (a es u úmero real o ulo) Determiar el carácter de se = Solució: Covergete a) Sea R( ) el resto de Taylor de orde de ua fució f() derivable ifiitas veces e el puto a, Es ( ) ( ) ( ) 6 g = R + a u ifiitésimo para =a? De qué orde es para =a la g = R + a? fució ( ) ( ) ( ) (b) Sea f( ) u ifiitésimo para =a de orde p. Escribir ( ) p f( ) λ( a) g( ) siedo g( ) u ifiitésimo para =a de orde superior a p. f como = + λ R Profesora: Elea Álvarez Sáiz

13 Calcular lim se ( se) / utilizado ifiitésimos equivaletes. 4 = e (a) Calcular el poliomio de Taylor de esta fució e o Dada la fució: f( ) Lagrage. = y obteer la epresió del resto de (b) Calcular de forma aproimada f (.) co el poliomio de grado y dar ua cota de error. (c) Calcula la parte pricipal del ifiitésimo f( ) 4 = para = e Estudio local de ua fució 4 Calcular los máimos y míimos de la fució: ( ) 4 f = Demostrar que la fució: ( ) f = e tiee u míimo e =.!! SERIES DE POTENCIAS. SERIES DE TAYLOR 6 Calcular el radio de covergecia de las siguietes series de potecias: (a) = (b) ( ) (c) = ( ) ( ) ( ) = Profesora: Elea Álvarez Sáiz

14 (d) = (e) =! (f) ( ) = ( + )! + Solució: (a) R=,, (b) R=, (,) (c) R= (d) R= (e) R= (f) R= Ejercicio resuelto e el libro Colecció Matemáticas, tomo de la bibliografía. 7 Determiar el desarrollo e serie de potecias de las siguietes fucioes e los putos que se idica: f (a) ( ) (c) f( ) f 5 = a= = a= ( ) + = a= + + (e) ( ) (b) f( ) = arctg( ) a= (d) f( ) f (f) ( ) = a= = a= + (g) f( ) = log( + ) a= (h) f( ) + = a= ( ) Solució: f = < = (a) ( ) ( ) + (b) f( ) + ( ) = + = (c) ( ) ( ) f = + < = Profesora: Elea Álvarez Sáiz 4

15 (d) ( ) ( )( ) f = < = (e) ( ) ( )( ) f = + < = (f) ( ) ( ) (g) ( ) f = < = ( ) + f = < + = (h) ( ) ( ) f = + < = 8 Represetar e serie de potecias de la fució f( ) = +. Usar el desarrollo obteido para calcular, comprobado que las cuatro primeros térmios del desarrollo permite obteer dicho valor co cuatro cifras decimales eactas. Solució:,, 488 Resuelto e el libro Colecció Matemáticas Tomo de la bibliografía. 9 Dada la serie potecial ( ) ( ) ( ) , se pide: (a) Hallar el campo de covergecia (b) Obteer su suma y aplicar al caso = (c) Represetar gráficamete la fució obteida e el apartado (b) Solució: (a), ) (b) f( ) = log( ) Resuelto e el libro Colecció Matemáticas Tomo de la bibliografía. Profesora: Elea Álvarez Sáiz 5

16 4 f = arcse, se pide: + Dada la fució ( ) (a) Desarrollar e serie de potecias de (b) Obteer el campo de covergecia del desarrollo obteido (c) Sustituyedo e dicho desarrollo =, la serie umérica permite calcular el valor de 4 π. Determiar el úmero de térmios de la serie que debe tomarse, para obteer el valor aproimado de 4 π co error meor que.. Solució: (a) f( ) = ( ) + (b), + = π (c) Resuelto e el libro Colecció Matemáticas Tomo de la bibliografía. DERIVACIÓN IMPLÍCITA 4 Determia el puto de corte de la recta tagete a la gráfica de ( ) log co el eje X. f = e el puto =e e Solució:, 4 Supogamos que la ecuació de Va der Waals para cierto gas es 5 P + ( V.) = 9'7 V Cosiderado el volume como fució de la presió P, usar derivació implícita para calcular la derivada dv dt e el puto (5,). Profesora: Elea Álvarez Sáiz 6

17 Solució: 4 Obteer la derivada de la fució defiida implícitamete por la ecuació y + y arctg = log a dode log represeta al logaritmo eperiao y a es ua costate. Solució: Derivar implícitamete supoiedo y y( ) = y simplificar 44 Hallar las ecuacioes de la tagete y de la ormal a la curva siguiete e el puto (-, ) 4 y + 6 5y 8y = 9 Solució: Recta tagete : y = ( + ). Recta ormal: y = ( + ) y Hallar la ecuació de la recta tagete y de la ormal a la curva de ecuació ( ) ( ) + se + + = 9 e el puto (, ). y y Profesora: Elea Álvarez Sáiz 7

18 Solució: Recta tagete y 6=. Recta ormal y 9= 46 Halla la pediete de la curva 4 y = y e los putos idicados, 4,, 4 Solució: Profesora: Elea Álvarez Sáiz 8

19 47 Tiee las tagetes a las curvas y 5 + = e y = algo e especial e los putos(, ), (, )? Represeta ambas curvas y justifica la respuesta. Solució: 48 Calcula la ecuació de la tagete a las curvas siguietes e el puto que se idica (a) y e(,) + = (e el gráfico e color mageta) (b) se( y) y e(, π) = (e el gráfico e color graate) (c)( y ) 4 y e(,) + = (e el gráfico e color rojo) + = (Folium de Descartes) (e el gráfico e color turquesa) y (d) y 9 e(,) Profesora: Elea Álvarez Sáiz 9

20 Solució: 49 d y Calcula d log y + y = derivado implícitamete la fució ( ) Solució: 5 Calcular los águlos que forma al cortarse las curvas defiidas por y y + + = 9. y + 4 =, Profesora: Elea Álvarez Sáiz

21 Nota: El águlo que forma dos curvas es el águlo determiado por sus rectas tagetes. Se m m puede calcular así tgα= dode m y m so las pedietes de las rectas tagetes. + m m Solució: E el puto (, ): arctg arctg 5 Calcular dy d supoiedo que y() está dada implícitamete por la ecuació arctgy = ych Solució: ( + y) dy Th arctgy y y ' = = d y log y. Ejercicio resuelto. DERIVACIÓN PARAMÉTRICA 5 Calcula la recta tagete a la curva e paramétricas ( t) cos () t co t,π e el puto (, ). =, y() t = se() t cos() t Profesora: Elea Álvarez Sáiz

22 Solució: Aplicado la regla de la cadea se tiee que: dy d dy = dt. d dt 5 Calcular dy t d si = e, co t R e el puto P(,) y= + t Solució: dy d t dy =. E el puto P el valor de t= luego = t e d P 54 Determiar los putos de la curva tagete a la curva es cero. t =, y = t e los que la pediete de la recta t + t Solució: No eiste igú puto. 55 Determiar la ecuació de la recta tagete a la curva { = Bt, y= Ct Dt e el puto t=. Profesora: Elea Álvarez Sáiz

23 Solució: y C = B 56 Calcular d y d derivada seguda de = + = () () t se t y t cos t Solució: d y = ( 6t + ) cos() t + t se() t ( 6 + cos() )( 6 + cos() ) d t t t t MATLAB Poliomios de Taylor e Matlab Para mostrar esta herramieta teclear e la vetaa de comados >>taylortool Se abrirá la vetaa: Profesora: Elea Álvarez Sáiz

24 Represetació de curvas e Matlab U vector frete a otro (de la misma logitud) >>=pi*(-:.:); >>y=.*si(); >>plot(,y) %Por defecto ue los putos ((i),y(i)) mediate ua poligoal Ua fució e u itervalo >>fplot( si(), [ *pi]) %Dibuja la fució seo e el itervalo,π Ua fució e u itervalo >>ezplot( si() ) %Dibuja la fució seo e u itervalo adecuado a la fució Profesora: Elea Álvarez Sáiz 4

25 Ua curva e paramétricas >>ezplot( si(t), cos(t), [ pi]) %Dibuja la curva =se(t), y=cos(t) co t, π Ua curva e implícitas >>ezplot( ^+y^- ) %Dibuja la curva + y = Profesora: Elea Álvarez Sáiz 5