Ramón Llull. Los caminos de la lealtad son siempre rectos

Transcripción

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2 018 Ls camins de la lealtad sn siempre rects Ramón Llull.

3 PRIMER BIMESTRE º añ 018 NÚMEROS RACIONALES...pág. 5 Fraccines. Operacines cn fraccines Prblemas Númers Racinales. Decimales. Fracción generatriz de un numer decimal. Operacines cn númers decimales. Ntación Científica. Númers Irracinales (II) Representación de númers irracinales en la recta numérica. NÚMEROS REALES (IR).pág.1 La recta real. Aprximación de númers reales Intervals: clases y representacines gráficas. valr abslut de númers reales.

4 CONJUNTOS DE NÚMEROS REALES Recrdand: I. Númers naturales (N): Al cnjunt de ls númers naturales se les representa denta mediante el símbl = {0, 1,,, 4, 5...} II. Númers enters (Z): Está cnstituid pr ls númers naturales, incluid el cer y ls númers negativs. Z = {...,,, 1, 0, 1,,...} Z III. Númers racinales (Q): Un númer racinal es un cciente de ds númers enters está cnstituid pr ls racinales negativs, el cer y ls racinales psitivs. 1 1/ 0 1/ 1 5/4 Z Q IV. Númers irracinales (I): Es td númer que su parte decimal tiene infinitas cifras decimales sin presentar perid algun.(decimales n periódics) Ej., , , V. Númers reales (R): Es la unión de ls cnjunts de númers racinales e irracinales R = Q I Ejempl: 0,5; ; ; 1 + 5, +. Z Q I 4 R

5 NUMEROS RACIONALES Recrdand peracines cn fraccines Td númer racinal se puede representar mediante una fracción expresión decimal de dicha fracción. Expresión decimal de una fracción. Expresión decimal Exacta. Tiene un númer limitad cifras decimales. 1 Ejempls: (1) 0, 5 () 0, (), 5 8 5

6 Expresión decimal Inexacta Tiene un númer ilimitad cifras decimales. Decimal periódic pur la parte decimal tiene una un grup de cifras llamad perid. Ejempls: (1) 1 0,... 0, () 0, , Decimal periódic mixt el perid empieza después de una cifra grup de cifras después de la cma decimal, esta cifra grup de cifras se llama parte n periódica. Ejempls: 5 0, ,41 1 (1) 6 () 5, ,08 Expresión fraccinaria de un decimal Llamada también fracción generatriz, es la fracción que genera un decimal. Generatriz de un númer decimal exact Ejempls: (1) Hallar la fracción generatriz de 0,5 0,5 = () 5 10 = 8 0,5... 0, () Hallar la fracción generatriz de 0,5 5 0,5 = () Hallar la fracción generatriz de, ,15 =

7 (4) Hallar la fracción generatriz de,5,5 = Generatriz de un númer decimal periódic pur En el numerad de la fracción escribims el perid. En el denminadr de la fracción escribims tants nueves (9) cm cifras tenga el perid. Lueg se simplifica si es psible. Ejempls: (1) Hallar la generatriz de 0, ,6 = 6 9 () Hallar la generatriz de 0, ,54 = = = 6 11 Generatriz de un númer decimal periódic mixt La parte entera del decimal. En el numerad de la fracción escribims la parte n periódica seguida de un perid mens la parte n periódica. En el denminadr de la fracción escribims tants nueves (9) cm cifras tenga el perid, seguid de tants 0 cm cifras tenga la parte n periódica. Lueg se simplifica si es psible. Ejempls: (1) Hallar la fracción generatriz de 0, , = 0,1590 = () Hallar la fracción generatriz de 5,08... = 44 5, ,08 = = 1 5 1

8 Operacines cn Númers Racinales: Ejempl1 Calcula L=: reslvems paréntesis y sacams el factr cmún Ejempl : Fátima y Renat ahrrarn para cmprarle un regal a su abuela. Fátima ahrr 1/ del diner y Renat s./10. Cuánt ahrrarn en ttal? El ttal de ahrr está representad pr la unidad. Si Fátima ahrr 1/ de la unidad, Renat ahrr /.ests / equivalen a 10 sles: Gráficamente: Rpta: Ahrrarn el ttal 180 sles 8

9 Ejempl : Halla L en 0,4 0,5 0,6... 1,9 L 0,010,04 0,09 0,16 Analizand el numeradr 0,4 0,5 0,6... 1, , Analizand 18, Finalmente Ejempl 4 18, 4 L 61, 0, Un cañ A llena un tanque en 6 hras, tr cañ B l llena en 9 hras y un desagüe C l vacía en 4 hras. Si el tanque está vací y se abren las tres llaves a la vez En cuánt tiemp se llenará el tanque? Si la llave A l llena en 6 hras, en una hra llenará Si la llave B l llena en 9 hras, en una hra llenará del tanque del tanque Si la llave C l vacía en 4 hras, en una hra vaciará 1 4 del tanque En una hra llenarán junts : del tanque Cm en una hra se llena en 6 hras 1 6 del tanque entnces el tanque se llena 9

10 Ejempl 5: Sea B = Reslución: B= B= Pr l tant B =

11 Ntación Científica Cuand trabajan cn númers muy grandes muy pequeñs, ls científics, matemátics e ingeniers usan ntación científica para expresar esas cantidades. La ntación científica es una abreviación matemática, basada en la idea de que es más fácil leer un expnente que cntar muchs cers en un númer. Númers muy grandes muy pequeñs necesitan mens espaci cuand sn escrits en ntación científica prque ls valres de psición están expresads cm ptencias de 10. Cálculs cn númers largs sn más fáciles de hacer cuand se usa ntación científica. Frmat de la Ntación Científica La frma general de un númer en ntación científica es a x 10 n dnde y n es un enter. Debems pner mucha atención a esas cnvencines para escribir crrectamente en ntación científica. Veams alguns ejempls: Númer Ntación Científica Explicación 1.85 x 10 - sí - es un enter n n es un enter 0.8 x n 0.8 n es 1 10 x 10 n 10 n es < 10 Sól ls númers que siguen las cnvencines aprpiadas para tdas las partes de la expresión se cnsideran ntación científica. Cambiand de Frma Decimal a Ntación Científica Ntación Decimal Númers Grandes Ntación Científica Ntación Decimal Númers Pequeñs Ntación Científica x x x x x x x x

12 Suma y resta de númers expresads en ntación científica Siempre que las ptencias de 10 sean las mismas, se deja la ptencia de 10 cn el mism grad y se suman ls númers que multiplican a las ptencias de 10 ( sea, se deben sumar las mantisas). En cas de que n tengan el mism expnente hay que hacer una transfrmación previa para btener el mism expnente, para ell la mantisa se multiplica divide pr 10 tantas veces cm sea necesari hasta cnseguir el mism expnente. Ejempls: a) = b) = Si sn iguales, mueve el punt ala derech a la izquierda hasta que sean iguales. -Si ls mueves a la izquierda sumas un al expnente - Si ls mueves a la derecha restas un al expnente. c) = (tmams el expnente 5 cm referencia) = 0, , =, Prduct de númers expresads en ntación científica Para multiplicar cantidades escritas en ntación científica se multiplican las mantisas y se suman ls expnentes (basta recrdar cóm se multiplican ptencias de la misma base). Ejempls: a) ( ) ( 10 5 ) = b) ( 10 1 ) ( 10 - ) = División de númers que están expresads en ntación científica Para dividir cantidades escritas en ntación científica se dividen las mantisas y se restan ls expnentes (el del numeradr mens el del denminadr, sea el del dividend mens el del divisr). 1

13 Ejempls: a) ( ) / ( 10 5 ) = 10 b) ( ) / ( ) = Otrs ejempls: 1

14 NÚMERO IRRACIONAL Un númer irracinal es un númer que n se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse. Ejempl: Pi es un númer irracinal. El valr de Pi es, (y más...) Ls decimales n siguen ningún patrón, y n se puede escribir ninguna fracción que tenga el valr Pi. Númers cm / =, se acercan per n sn crrects. Se llama irracinal prque n se puede escribir en frma de razón ( fracción), n prque esté lc! Racinal irracinal Per si un númer se puede escribir en frma de fracción se le llama númer racinal: Ejempl: 9,5 se puede escribir en frma de fracción así 19 / = 9,5 así que n es irracinal (es un númer racinal) Aquí tienes más ejempls: Númers En fracción Racinal irracinal? 5 5/1 Racinal 1,5 /4 Racinal.001 1/1000 Racinal (raíz cuadrada de )? Irracinal! Ejempl: La raíz cuadrada de es un númer irracinal? Mi calculadra dice que la raíz de es 1, , per es n es td! De hech sigue indefinidamente, sin que ls númers se repitan. N se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de. Así que la raíz de es un númer irracinal 14

15 Númers irracinales famss Pi es un númer irracinal fams. Se han calculad más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Ls primers sn ests:, (y sigue...) El númer e (el númer de Euler) es tr númer irracinal fams. Se han calculad muchas cifras decimales de e sin encntrar ningún patrón. Ls primers decimales sn:, (y sigue...) La razón de r es un númer irracinal. Sus primers dígits sn: 1, (y más...) Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también sn irracinales. Ejempls: 1, (etc) 99 9, (etc) Per 4 =, y 9 =, así que n tdas las raíces sn irracinales. Histria de ls númers irracinales Aparentemente Hipas (un estudiante de Pitágras) descubrió ls númers irracinales intentand escribir la raíz de en frma de fracción (se cree que usand gemetría). Per en su lugar demstró que n se puede escribir cm fracción, así que es irracinal. Per Pitágras n pdía aceptar que existieran númers irracinales, prque creía que tds ls númers tienen valres perfects. Cm n pud demstrar que ls "númers irracinales" de Hipas n existían, tirarn a Hipas pr la brda y se ahgó! 15

16 Resentación Gráfica de Númers irracinales Para representar númers irracinales en la recta numérica se debe recurrir a ls triánguls rectánguls y al cmpás para determinar el punt dnde se ubicará el numer irracinal en la recta. Ejempl 1 Representación de Es un triángul rectángul isósceles cuys catets miden 1. El valr de la hiptenusa es prque 1 1 Ejempl 16

17 NÚMEROS REALES LOS NÚMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA ,5 Hems ubicad a ls númers racinales y a ls númers irracinales cn aprximación al décim, representand así a ls númers reales en la recta numérica. Observacines: 5 10 El cnjunt R es rdenad Ls cnjunts N, Z, Q y R representad en la recta numérica están rdenads de menr a mayr de izquierda a derecha. El cnjunt R es dens. Entre ds númers reales existen trs númers reales. Si deseams hallar un númer real cmprendid entre trs ds, sl tenems que sumar dichs númers y dividir la suma entre Ejempl: 1) Entre 6 y 8 tenems 6 8 el númer ) Entre,15 y,16 tenems el númer que resulta de efectuar:,15,16 =, 155 entre,15 y,16 existe el númer, 155 ) Entre y 5 tenems el númer que resulta de efectuar: 5 =,4,4 =,1 Entre y 5 existe el númer,1. 1

18 Cmparación de Númers Reales Es psible cmparar ds númers reales cnsiderand l siguiente: Si ls ds númers reales sn de signs distints, será mayr el de sign psitiv. Ejempl: 1) 1,6404 < ) 5 > Si ls ds númers reales sn del mism sign, será cnveniente expresarls cm decimales, para establecer el númer real mayr, cmparand cifra a cifra del mism rden a partir de las cifras de la izquierda. Ejempl: 1) 5 prque > ) Cmparar Entnces en decimales: y =... = Entnces: e... > >.6 aprximación al décim Aprximación de Númers Decimales Ejempls: 1) Hallar el valr aprximad al centésim de:,60 y 1,456 Para aprximar un númer decimal al centésim, tmams las tres primeras cifras decimales. Si la última de estas es mayr igual que 5, a la cifra de ls centésims l aumentams en una unidad. Si la última de las tres cifras es menr que 5, entnces la cifra de ls centésims queda cm está.,60 el valr aprximad al centésim es,4 prque 6 > 5 1,456 el valr aprximad al centésim es 1, prque 4 < 5 18 ) Hallar el valr aprximad al centésim de Hallams el cciente hasta el milésim. 18 =,51 18 Lueg, siend 1 < 5 el valr aprximad de es,5 18

19 ) Hallar el valr aprximad al milésim 4,685 Cm la cifra que le sigue a las milésimas es igual 5, entnces la cifra que cupa el rden de las milésimas aumenta en una unidad 4,685 = 4,69 4) Hallar el valr aprximad al milésim 8,68 Cm la cifra que le sigue a las milésimas es mayr que 5, entnces la cifra que cupa el rden de las milésimas aumenta en una unidad. 8,68 = 8, = 8,68 Alguns númers irracinales. (Decimales n periódics) 5 = 1, = 1, =,6069 =, =, ( es un númer especial una cnstante universal) 19

20 OPERACIONES CON NÚMEROS REALES ADICIÓN DE NÚMEROS REALES Ejempls: 1) Efectuar cn aprximación al centésim: S =,48 0,6 6 Escribims ls númers dads en decimales.,48 =,48 0,6 = 0,6 5 = 0.4 Aprximand al centésim. S =,44 + 0,6 + 0,40 S =,51 Respuesta: la suma cn aprximación al centésim es,51 ) Efectuar cn aprximación al milésim. S = 1,4 +,58585 S = 1,4 +,59 S =,90 Respuesta la suma cn aprximación al milésim es,90 0

21 SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS REALES Ejempl: Efectuar cn aprximación al milésim 0,1 9 Escribiend ls númers de su representación decimal. 0,... aprximand al milésim: 0, 8 9 0,1 0,1 Efectuams la sustracción. 0,8 0,1 = 0,655 Respuesta: la sustracción cn aprximación al milésim es 0,655 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES Ejempls: 1) Efectuar 0,6 5,68... cn aprximación al milésim Slución Escribims ls númers en decimales cn aprximación al milésim. 0,6... = 0, = 0,66 5,68 = 5,68 Efectuams la multiplicación. 0,66 5,68 =,580 ) Efectuams,15 5 cn aprximación al centésim. Escribims ls númers en decimales y cn aprximación al centésim. 1,4 5 = 1,05 = 1, Efectuams la suma del interir del paréntesis. 1,4 + 1,6 =,1 Lueg efectuams la multiplicación,15,1 = 6,95 1

22 DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES Respuesta: el resultad cn aprximación al centésim es 6, Dividir ds númers reales a y b es l mism que multiplicar el dividend pr el invers n nul. a b = a a 1 b b Prpiedad de la División Prpiedad Ntación Ejempl: Distributiva Imprtante: a b c a c b c ; c La división de númers naturales n es cmunicativa. a b b a La división de númers reales n es asciativa. (a : b) : c a : (b : c) La división de númers reales es distributiva en cuant al divisr respect a una suma en el dividend: (a + b) : c = a : c + b : c Ejempl: dividir cn aprximación al centésim 1 : La división de ds númers reales se transfrma en una multiplicación cn sl invertir el divisr que en este cas es Transfrmand a multiplicación: 1 1 : 1 9 Aprximad al centésim de: 1, 41 Reemplazand el equivalente: 9 1,41 = 1,69 Respuesta: el resultad aprximad al centésim es de: 1, 69

23 POTENCIACIÓN EN R a n P a R n expnente enter P Ptencia real Prpiedades de la Ptenciación: Prduct de Ptencia de igual Base a n a m = a n + m Ejempl: Cciente de Ptencias de igual base a a n m a n - m = - Expnente cer a 0 = 1 (a 0) 0 1 Expnente negativ a - n 1 a n 4 4 Ptencia de un Prduct (a b) n = a n b n =5 4 Ptencia de un Cciente Ptencia de una Ptencia n n a a n b b 4 4 = 16 c c 5 b b a a 5 15

24 Ejercicis Aplicand las Prpiedades. 1) Efectuar P = 5 P = P = P = ) 4,5 0 = 4,5 0 = (4,5) 0 = 1 ) Efectuar E =,8 6 0 E = 6,8 E =,8 0 E = 1 6 E =

25 RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES n a r r n a Dnde: n es el índice, n N, n a es el subradical radicand: a R r peradr radical es la raíz; r R Ejempl: prque (-) = - Signs de Radicación impar impar A r - A r Ejempl: prque () 5 = Ejempl: prque (-) 5 = - par A r Ejempl: 9 par - A n pertenece a R, esta peración es impsible en el 81 prque (9) = 81 cnjunt de ls númers reales. Ejempl: 5 n pertenece a R, prque (5) = 5 (-5) = 5 5

26 Es un subcnjunt de ls númers reales (R), cuys elements X están cmprendids entre ls extrems a y b que también sn númers reales que pueden estar n incluids en el interval. CLASES DE INTERVALOS INTERVALOS 1) INTERVALO ABIERTO: Dads ls númers reales a y b dnde a < b, se llama INTERVALO ABIERTO, al cnjunt de númers reales x cmprendids entre a y b, tal que verifique la siguiente relación: a < x < b que también se expresa x a; b L cual leems así: El cnjunt de númers x que pertenecen al interval cmprendid entre a y b sin incluir a ests númers. Gráficamente: a b Ejempl: Representar gráficamente: x -; 6 Se cnsidera ls númers cmprendids entre y 6; per n a ls extrems (- y 6) ) INTERVALO CERRADO: Dads ls númers a y b dnde a < b, se llama INTERVALO CERRADO, al cnjunt de númers reales cmprendids entre a y b tal que verifique la siguiente relación: a x b también x a; b L cual leems así: El cnjunt de númers x, que pertenece al interval cmprendid entre a y b incluyend a y b. Gráficamente: a b 6

27 Ejempl: Representar gráficamente: x -; ) INTERVALO SEMIABIERTO a) Pr la derecha. a x < b también x a; b Gráficamente: a b Ejempl: Representa gráficamente: x -; b) Pr la izquierda. a < x b también x a; b Gráficamente: a b Ejempl: Representa gráficamente: x -5;

28 4) INTERVALOS INFINITOS: a) Si x > a El interval se representa así: a < x < + también x a; + Gráficamente: - a + Ejempl: Si un cnjunt slución es x > 5, éste también se representa así: 5 < x < + también x 5; + Gráficamente: b) Si x a El interval se representa así: a x < ó x a, Gráficamente: a, - a + Dnde: x a, a x < Ejempl: Representar gráficamente: x -,

29 c) Si x < a El interval se representa así: - < x < a también x - ; a Gráficamente: - a Ejempl: Si un cnjunt slución es x < -, éste también se representa así: - < x < - también: x - : - Gráficamente: - - d) Si x a El interval se representa así: - < x a también x - ; a Gráficamente: -, a - a + Dnde: x - ; b - < x b Ejempl: Representar gráficamente: x - ;

30 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE INTERVALOS Expresar en frma de interval y gráficamente: a) 6 x < 1 En frma de interval: x 6; 1 Gráficamente: b) - < x < En frma de interval: x - ; Gráficamente: 8 < x 5 En frma de interval: x - 8; 5 Gráficamente: c) 9 > x > 4 En frma de interval: x 4; 9 Gráficamente:

31 d) - 14 x - 4 En frma de interval: x -14; -4 Gráficamente: e) 15 x En frma de interval: x ; 15 Gráficamente:

32 VALOR ABSOLUTO El valr abslut de un númer real a cincide cn él mism si es psitiv ó 0, y es igual a su puest si es negativ. Se representa pr a. De md que el valr abslut de cualquier númer nunca es negativ. El valr abslut de un númer cincide siempre cn el de su puest. Ejempls de valr abslut a),5 =,5 b) -1,6 = 1,6 c) 4-9 = -5 = 5 f) -4, - -4, = 4, - 4, = 0 Prpiedades del valr abslut 1. a = -a. a b = a b. a +b a + b Desigualdad triangular 4. Si a < k -k < a < k Ejempls de las prpiedades del valr abslut 1. - = =. (-) 5 = -10 = 10 = - 5 = = 6 = 6 = 4 + Igualmente: 4 + (-) = = = 4 + = 6 4. Si <4, entnces -4 < < 4 Observacines de las prpiedades del valr abslut x = a sn ls valres x tales que x = a x = - a x < a sn ls valres x tales que - a < x < a x > a sn ls valres x tales que x < - a x > a La desigualdad x a describe el interval cerrad [-a, a], simétric respect al rigen. Y ls númers reales x < a sn ls del interval abiert (-a, a). La desigualdad x a describe la unión de ls intervals (-, -a] [a, ).

33 Y ls númers reales x > a sn la unión de ls intervals abierts (-, -a) (a, ). La desigualdad x - c < d es el interval abiert (c - d, c + d), denminad también entrn de centr c y radi d, E(c, r). La desigualdad x - c d es el interval cerrad [c - d, c + d]. La desigualdad x - c > d es la unión de ls intervals (-, c - d) (c + d, ). La desigualdad x - c d es la unión de ls intervals (-, c - d] [c + d, ). Ejempls de las prpiedades del valr abslut a) La expresión x < 5 representa el interval abiert (-5, 5) x < 5-5 < x < 5 x (-5,5) b) La expresión x 5 representa el interval cerrad [-5, 5] x 5-5 x 5 x [-5,5] c) La expresión x-5 representa el interval cerrad [-, 1] pues x-5 - x x x 1 x [-, 1] d) La expresión x > 5 representa la unión de intervals (-, -5) (5, ), pues x > 5 x < -5 x > 5 x (-, -5) (5, ) e) La expresión x-5 representa la unión de intervals (-, -] [1, ), pues x-5 x-5 - x-5 x 5- x + x (-, -] [1, )

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