Seminario de Matemática

Transcripción

1 Seminario de Matemática tica Financiera MEFF UAM Riesgo de crédito dito: dónde estamos y hacia dónde vamos. Una nueva propuesta Jordi Molins i Coronado Prop Trader, DrKW

2 Savings & Loans Savings & Loans: Su gestión de negocio era en realidad una fuerte apuesta: los tipos de interés se mantedrían bajos para siempre lo que pasa es que ellos no lo sabían an

3 Visión actual de Asset & Liability Management (ALM) Lo que los thrifts hacían an era Depósitos de clientes ~3% Savings & Loans 6% Préstamos a Clientes A 3 meses, variable A 5 años, fijo

4 Lo que actualmente se hace (o se debería hacer ;->) Depósitos de clientes ~3% Business Business ~4% 5% Unit de Capital Unit de 6% Depósitos de la FI Markets Préstamos de la FI Préstamos a Clientes A 3 meses, variable A 3 meses, variable A 5 años, fijo A 5 años, fijo

5 Pero la Fed empezó el experimento monetario: reducir la cantidad de dinero para controlar la inflación Subida de tipos de interés r Caída de la oferta de dinero Cantidad demandada de dinero M

6 Consecuencia Ruina de los thrifts

7 Inconvenientes de la antigua ALM La antigua ALM no permitía diferenciar entre un buen rendimiento de la BU de Depósitos y de la BU de Préstamos ( como se dan los bonus? Como se reparte el capital riesgo entre BU?) La antigua ALM daba a la FI una exposición tremenda a los cambios de tipos de interés

8 Ventajas de la moderna ALM Se ve claramente cuáles BU son las más eficientes en sentido rendimiento/riesgo riesgo Se puede jugar con el riesgo Hedging Completo No es necesaria una visión de mercado (tipos de interés) Hedging Parcial Es necesaria una visión de mercado (prop trading)

9 Inconvenientes de la nueva ALM Las BU de Préstamos y de Depósitos no pueden jugar con el riesgo de tipos de interés, sólo con el de crédito El mercado de crédito es incipiente y difícil (dominado por Investment Banks globales) y desgraciadamente, los Bancos Comerciales son conservadores

10 Puede suceder que por una mala regulación algunas FI estén expuestas a un riesgo outright, como las Savings & Loans en los 80?

11 Sí Los bancos comerciales guardan los préstamos en sus libros El riesgo de crédito es aún más temible que el de IR: las colas son más altas el daño puede ser mayor

12 Nueva propuesta para riesgo de crédito Hacer un hedging completo del portfolio de crédito pocos beneficios pero seguros o jugar con el riesgo de crédito (prop trading)

13 Inconveniente de la propuesta Hace falta una visión de mercado del riesgo de crédito dito: P(L) Distribución de Probabilidad de Pérdidas, P(L), de un portfolio de crédito L

14 Por qué es importante la P(L)? Determina el capital y las reservas que una FI debe soportar para tener el rating deseado Basel II, método avanzado Valuación de Credit Derivatives en resumen: : el instrumento básico en el mundo del crédito

15 Concurso: financiero contra físico vs

16 1a pregunta: Si usted tiene un dado con 6 caras (en general, N) y no sabe nada más sobre el dado, qué distribución de probabilidad asignará a cada cara?

17 Respuesta 1/6! 1/6!

18 2a pregunta: Si usted tiene N posibilidades y lo único que sabe es que cada ocurrencia tiene una probabilidad p, qué distribución de probabilidad asignará a cada posibilidad?

19 Respuesta Binomial! Binomial!

20 3a pregunta: Si usted tiene N posibilidades y lo único que sabe es que cada ocurrencia tiene una probabilidad p y que cada par de ocurrencias están correlacionadas con correlación ρ, qué distribución de probabilidad asignará a cada posibilidad?

21 Respuesta Independencia condicional! Ising!

22 Independencia Condicional: qué es eso? Reciclaje: si Binomial es la correcta P(L) en el caso sin correlación y la binomial es fácil Continuemos usando la binomial!

23 IC es el motor de KMV Portfolio Manager, JP Morgan CreditMetrics,, CSFP CreditRisk+, McKinsey CreditPortfolioView Referencia: El valor en riesgo en la cartera de crédito dito. Comparativa de métodos de cálculo,, Ramon Trias i Capella (AIS), Seminario de Matemática tica Financiera MEFF UAM

24 Idea principal En lugar de tener una PD fija,, p, los sectores tienen una PD que depende del estado de la economía,, y P(y) Probabilidad y y

25 y=y y=y Consecuencia: correlación Esto induce una correlación de default: si una compañía tiene un default, probablemente el estado de la economía es malo,, lo que implica una alta PD para cualquier otra empresa Estado de la economía actual ( malo ) P(Y)

26 Anal Analíticamente ticamente n N n p p n N n N L P = ) (1 )!!(! ) ( n N n y p y p n N n N y df L P = )) ( (1 ) ( )!!(! ) ( ) (

27 En palabras Fijado un estado de la economía Y (equivalente: fijado un instante de tiempo) las bancarrotas son independientes Pero en épocas de peor economía, las bancarrotas serán más frecuentes

28 Correlación: dónde está? La correlación de default NO es un input del modelo, sino un output El input es la Asset Correlation, definida como la correlación entre los activos de la empresa y el resto del portfolio (~CAPM) ρ D = N ( N 1 ( p), N 1 ( p), ρ 2 A )

29 Comportamiento de los modelos de Independencia Condicional

30 Modelos existentes KMV Portfolio Manager y JPMorgan CreditMetrics usan la distribución normal para el estado de la economía y para la P(Y) CSFP CreditRisk+ usa una función lineal para P(y) y una gamma para Y McKinsey CreditPortfolioView usa una normal y una logística

31 Y además Se acostumbra a solucionar estos modelos con el método de Saddle-Point (Richard Martin, Quant del año por Risk) cuando los préstamos son de cantidades distintas dentro de un mismo portfolio

32 Simplificaciones famosas Vasicek: si todos los préstamos son del mismo tamaño y el número de préstamos tiende a infinito,, la distribución de pérdidas tiende a una solución analítica P( l 1 < L) = Φ[ ( 1 ρ AΦ ρ A 1 ( l) Φ 1 ( p))]

33 Vasicek Este es el modelo usado en Basel II Una aproximación analítica al riesgo de crédito de carteras de préstamos para entidades de crédito españolas olas,, Mercedes Morris Munoz (BBVA), Seminario de Matemática tica Financiera MEFF UAM

34 Pero es verdad que Fijado un estado de la economía, los default son independientes? Saddle-point es una buena aproximación a la distribución real? La correlación es un número fijo e invariable? La aproximación de Vasicek es buena porque primero sube y luego baja? NO!

35 Los defaults, fijado un estado de la economía,, NO son independientes Si Brasil hace un default, eso no provocará una tendencia al default de otros países vecinos? Si una FI alemana se va a la bancarrota, las otras le siguen de cerca (cross- holdings) o: cuando veas las barbas de tu vecino pelar, pon las tuyas a remojar

36 aproximación de Saddle-Point Saddle-Point: es bien sabido (leer cualquier libro de 2 2 de carrera de Física Estadística stica) que Saddle-Point es únicamente una buena aproximación en el caso sin interacciones directas no es ninguna sorpresa que funcione bien en IC pero no funciona bien con correlaciones directas

37 Correlación es un número fijo? La correlación en una crisis es cercana a 1: todo se va para abajo En general, lo máximo que podemos esperar es que la correlación sea una variable aleatoria con media la supuesta por IC

38 Existe un único máximo en la P(L) IC predice un único máximo, cercano a la Pérdida Esperada Cualquier modelo con Dependencia Condicional tendrá otros picos en L altas posibles crisis sistémicas que IC no predice (y no se guarda capital) pero qué es lo que sucedió en Rusia o en el Sudeste Asiático tico?

39 De verdad quieren los reguladores de Basel II basar una decisión tan importante, que requiere medidas increíblemente precisas (eg,, 99.93%), en un modelo inexacto (Vasicek)?

40 Bueno, pero qué podemos hacer, si todo el mundo lo usa?

41 Ising qué es eso? Sistemas complejos: conjunto de elementos que interaccionan directamente y fuertemente.. En particular, las correlaciones a parejas son no nulas. Los físicos han conseguido determinar la dinámica de sistemas complejos con generalidad

42 Por qué Ising en finanzas? No es cierto que fijada una Y las bancarrotas sean independientes: empresas alemanas con acciones compartidas, relación España Sudamérica y despreciar este efecto infravalora el riesgo

43 Principio fundamental La distribución de probabilidad que rige la dinámica de un sistema complejo es aquella que maximiza la entropía del sistema Por qué?

44 Imaginemos un juego

45 Qué color se verá?

46 Respuesta Verde! (o incluso naranja ) Rojo!

47 Ising Maximiza la entropía dadas unas ligaduras (por ejemplo, una PD y correlación dada) P ( l,..., l ) = e 1 N H l i J ij l i l j

48 Notar que P ( l,..., l ) = e 1 N H l i J ij l i l j J=0 Binomial H~Normal IC!

49 Garantías as IC es incapaz de tratarlas Ising las trata de manera elegante: A B C J AB, J AC, J BC = 0 J ABC > 0

50 Y fácilmente añadir tantos términos como sea necesario para describir nuestro portfolio Reagrupando H li Único término en IC J ij l i l j Término con interacciones directas J ijk l i l j l k Término para garantías

51 Calibración del modelo Si conocemos nuestro portfolio, debemos conocer (entre otros ) < l >, < l l i i j >

52 Calibración Tenemos el mismo número de ecuaciones que incógnitas (H y J s) J El problema se puede solucionar exactamente si el portfolio es pequeño o numéricamente si es grande Los Montecarlos avanzados de la Materia Condensada aún no han sido explorados en las finanzas matemáticas ticas y son extremadamente potentes

53 Propiedad fundamental: segundo pico! k k e-20 0,1 probability 1e-40 1e-60 0, M 1e M

54 0 0 0,05 0,1 ro (correlacio) Credit VaR: creemos en él? 500 p=0.010, N=500, risk= Lambda Ising Binomial 100

55 Qué puede pasar si fijamos un nivel de confianza? 0, p= ,0001 9,5e

56 Generalizando El modelo de Ising con un H que sigue una distribución arbitraria (por ejemplo, normal) existe,, se sabe solucionar y se llama Random Field El modelo de Ising con un J que sigue una distribución arbitraria (por ejemplo, normal) existe,, se sabe solucionar y se llama Sherrington-Kirkpatrick (SK)

57 Generalizando La generalización a portfolios inhomogéneos neos es simple, al contrario de el caso de IC La aproximación de saddle-point se estudia en 2 2 de carrera: : se llama Mean Field y se sabe que sólo funciona en modelos independientes (eg,, IC) pero no si hay dependencias directas

58 LGD La LGD no es un número fijo, sino que sigue una distribución que puede estar correlacionada con en el estado de la economía Ejemplo: si tenemos una vivienda como colateral,, el valor de ésta bajará si el estado de la economía empeora lo que incrementa nuestras pérdidas

59 LGD con IC y con Ising Con IC, la gente no sabe cómo tratar este efecto Con Ising,, la implementación es fácil: añadimosadimos un nuevo campo con un término de interacción con las l s

60 En resumen,, la solución al problema del Riesgo de Crédito es Rojo!

61 Ciencia no es nada más que refinar el pensamiento diario,, Albert Einstein