Fundamentos Físicos de la Ingeniería. Ingeniería Industrial. Prácticas de Laboratorio

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1 Fundamentos Físicos de la Ingeniería Ingeniería Industrial Prácticas de Laboratorio Práctica 16 Ley de Hooke 1 Objetivos El objetivo fundamental de esta práctica es medir la constante elástica de un muelle. Esto se hace por dos procedimientos. El primero consiste en medir la elongación del muelle en equilibrio estático para distintas masas que cuelgan del mismo en presencia del campo gravitatorio terrestre. El segundo procedimiento se basa en la medición del periodo de las oscilaciones verticales de una masa fija al extremo del muelle. También se pretende estudiar el comportamiento funcional del periodo respecto a la masa oscilante. 2 Fundamento teórico 2.1 Ley de Hooke Consideremos la situación de la figura. Un muelle ideal de longitud natural l 0 se encuentra en el eje OX, manteniendo uno de sus extremos fijo al origen de coordenadas, y el otro en contacto con un objeto puntual P de masa m. Lafuerzaqueactúa sobre P viene dada por la Ley de Hooke: F e = k(x l 0 ) ı, (1) donde la constante k recibe el nombre de constante elástica o recuperadora. O F e P X 2.2 Movimiento armónico simple Un punto realiza un movimiento armónico simple (m.a.s.) en el eje OX, alrededor de x 0, cuando la relación entre la posición y el tiempo se puede expresar de la forma: x(t) =x 0 + A cos(ωt + φ), (2) 1

2 donde A, ω y φ son constantes (A y ω se definen positivas). A recibe el nombre de amplitud del m.a.s., estando x comprendida entre x 0 + A y x 0 A. ω se denomina frecuencia angular y representa la derivada de la fase, ωt + φ, respecto al tiempo. Derivando dos veces respecto al tiempo y utilizando (2) se llega fácilmente a la siguiente relación entre la aceleración y la posición en un m.a.s.: d 2 x dt = 2 ω2 (x x 0 ). (3) Esta ecuación se denomina ecuación diferencial del m.a.s., y representa la relación que liga a la posición y la aceleración en el movimiento armónico simple: la aceleración es proporcional y opuesta a la diferencia x x 0. Sus soluciones, es decir, aquellas funciones x(t) que la verifican, son todos los m.a.s. de frecuencia angular ω alrededor de x 0,los cuales vienen dados por (2). 2.3 Dinámica del m.a.s. Consideremos el sistema de la figura siguiente: O F =-k(x-l )i e 0 g P=mgi x Un muelle ideal, de constante elástica k y longitud natural l 0, se encuentra suspendido verticalmente de un punto fijo, en presencia del campo gravitatorio terrestre, estando su otro extremo unido a una partícula de masa m. Tomaremos un eje OX conorigenenel punto de suspensión del muelle, y cuyo sentido positivo coincide con el de la gravedad. De esta forma, la posición de la masa coincide con la longitud del muelle. Las fuerzas que actúan sobre la partícula son la fuerza elástica, F e = k(x l 0 ) ı, yelpeso, P = mg ı. Definiremos la posición de equilibrio como aquella en la que los módulos del peso y la fuerza elástica son iguales. Puede verse fácilmente que esta posición viene dada por la expresión: x eq = l 0 + g k m. (4) Analicemos a continuación el movimiento de la partícula sometida a la acción conjunta del muelle y el peso. El punto de partida es la segunda ley de Newton, que da lugar a la ecuación siguiente: P + F e = m a, 2

3 d 2 x dt = k 2 m (x x eq). (5) Comparando (5) con (3) deducimos que el movimiento de la partícula es armónico simple, con una frecuencia angular ω = k/m, es decir, con un periodo m T =2π k, (6) alrededor de x eq (véase la ecuación (4)). Nótese que la frecuencia angular, y por tanto el periodo, sólo dependen de la constante elástica del muelle y de la masa, no del valor del campo gravitatorio terrestre. Tampoco dependen de las condiciones iniciales, es decir, la posición y velocidad iniciales. 3 Montaje experimental Está constituido por: Un muelle. Un conjunto de pesas. Una regla. Un cronómetro. Las expresiones (4) y (6) permiten abordar la medida de la constante del muelle por dos procedimientos, uno que denominaremos estático, y el otro dinámico. El primero consiste en medir la longitud del muelle para distintas masas en la situación de equilibrio estático. Con estos datos se puede determinar la constante elástica del muelle, usando la expresión (4), mediante la realización de una recta de mínimos cuadrados. El procedimiento dinámico consiste en medir el periodo de las oscilaciones verticales de una masa conocida, y usar (6) para determinar la constante elástica. La última parte de la práctica está encaminada a estudiar la relación entre el periodo de oscilación y la masa. 3

4 4 MEDIDAS 1. CARACTERIZACIÓN DE LOS APARATOS Sensibilidad del cronómetro: Sensibilidad de la regla: S c = S r = 2. MÉTODO ESTÁTICO PARA LA MEDIDA DE k Cuelga el muelle y mide su longitud natural: l 0 = Para distintas masas mide la longitud del muelle en equilibrio estático. Rellena la tabla siguiente, señalando entre paréntesis las unidades (TABLA I): m ( ) l ( ) 0 3. MÉTODO DINÁMICO PARA LA MEDIDA DE k Cuelga una masa del muelle: m = A continuación mide 5 veces con el cronómetro manual el tiempo T 10 correspondiente a 10 oscilaciones y rellena la tabla siguiente (TABLA II): T 10 ( ) 4

5 4. ESTUDIO DE LA DEPENDENCIA DEL PERIODO CON LA MASA OSCILANTE Para distintas masas mide (una sola vez), el tiempo correspondiente a diez oscilaciones. Rellena la tabla siguiente (TABLA III): m ( ) T 10 ( ) T ( ) 5

6 5 RESULTADOS 1. MÉTODO ESTÁTICO PARA LA MEDIDA DE k Cuál es el error asociado a cada medida de la longitud del muelle? E l = A partir de los datos de la tabla I representa gráficamente (papel milimetrado) l frente a m. Calcula el coeficiente de correlación lineal r, la pendiente con su error b (±E b ), ylaordenadaenelorigena (±E a )delarectademínimos cuadrados l = a+bm. Sobre la misma gráfica anterior, traza la recta de mínimos cuadrados que acabas de calcular. A partir de los valores obtenidos para la pendiente y su error b (±E b ), calcula la constante del muelle y su error k est (±E kest ), considerando que la gravedad es g =9.81 ms 2 (sin error). r= b(±e b )= a(±e a )= k est (±E kest )= 2. MÉTODO DINÁMICO PARA LA MEDIDA DE k A partir de los valores de la tabla II calcula el promedio T 10, y a partir de él, el periodo T (décima parte de T 10 ): T 10 ± E T10 = T ± E T = A partir de la ecuación (6) calcula la constante elástica (considera que la masa no lleva error): k din ± E kdin = Se solapan las bandas de error de k est y k din (marca lo que proceda)? si no 3. ESTUDIO DE LA DEPENDENCIA DEL PERIODO CON LA MASA OSCILANTE A partir de los valores de la tabla III representa gráficamente T frente a m. 6

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