FÍSICA II VIBRACIONES MECÁNICAS UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ETSI MINAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA A LOS RECURSOS NATURALES

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1 1 FÍSICA II VIBRACIONES MECÁNICAS UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ETSI MINAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA A LOS RECURSOS NATURALES

2 T1 Vibraciones mecánicas 2 ÍNDICE» 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio.» 1.2. Movimiento armónico simple.» 1.3. Oscilador armónico amortiguado» 1.4. Vibraciones forzadas. Resonancia.» 1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad.» 1.6. Aplicación a sistemas mecánicos simples. BIBLIOGRAFÍA:» Alonso y Fin; Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. 1995» Sears et al.; Física Universitaria, Vol » Tipler; Física, Vol.1, Ed Reverté » A.P. French; Vibraciones y Ondas, Ed Reverté

3 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio. 3 Introducción Una vibración mecánica es la oscilación repetida de un punto material o de un cuerpo rígido en torno a su posición de equilibrio. x (t+t)=x(t) T=periodo Existe un esquema de movimiento que se repite una y otra vez. El esquema de la oscilación puede ser sencillo o extremadamente complejo.

4 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio. 4» Fenómenos relacionados con el movimiento ondulatorio: Terremotos. Cristales, átomos, moléculas. Estructuras. Tierra. Circuitos eléctricos. Péndulo oscilante. Movimiento de los pistones de un motor de coche

5 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio. 5 Por qué estudiar vibraciones?» Análisis dinámico en ingeniería Esfuerzos, tensiones y pérdidas de energía Materiales más ligeros y mayores velocidades Posibilidad de modelización numérica Facilidad para modificar el diseño Validación de modelos Simplificar los modelos y posteriormente refinar» Seguridad y medio ambiente Ruidos audibles (18 Hz - 20 khz) Vibraciones Intensidad y frecuencia Tiempo de exposición y partes en contacto Aspectos psicológicos

6 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio. 6» Mantenimiento predictivo» Caracterización de materiales Constantes elásticas Estado de fatiga Medida de espesores Detección de defectos

7 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio. 7 En general, en todo movimiento vibratorio se producen tres fenómenos energéticos:» Un almacenamiento de energía potencial en los elementos elásticos.» Un almacenamiento de energía cinética (en las masas e inercias).» Una pérdida gradual de energía en los elementos disipativos (amortiguadores). Vibraciones Libres Forzadas No amortiguadas Amortiguadas No amortiguadas Amortiguadas

8 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio. 8 Elementos de un sistema oscilatorio» Elementos elásticos: Si los elementos elásticos tienen un comportamiento lineal, la fuerza recuperadora es proporcional a la deformación F=kx k k: constante del resorte o rigidez del elemento (N/m) x: deformación Los elementos elásticos representan aquellos fenómenos físicos susceptibles de almacenar energía (energía potencial elástica) y devolverla integramente al sistema.

9 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio. 9» Inercias (masas): m Los elementos inercia (masas) son asumidos como sólidos rígidos, que pueden ganar o perder energía cinética cuando varía su velocidad. Según la segunda ley de Newton: La energía cinética almacenada es:

10 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio. 10» Amortiguamiento: c En los sistemas reales se producen pérdidas de energía causadas por el rozamiento: Rozamiento viscoso: cuando los cuerpos se mueven a través de fluidos viscosos. Producen una fuerza opuesta al movimiento y proporcional a la velocidad relativa entre los dos elementos. F v =cv c: coeficiente de amortiguamiento (Ns/m) Rozamiento de fricción seca (Coulomb): cuando el sólido se desliza a través de una superficie seca. F=µN

11 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio. 11 Ecuación general de un sistema masa-resorte» Grados de libertad: nº de coordenadas necesarias para especificar la posición de un sistema en cualquier instante de tiempo.» La selección de un modelo matemático adecuado permite reducir un sistema a un número discreto de grados de libertad e incluso solo a uno.» 1 G.L. masa-resorte (traslación). Movimiento libre

12 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio. 12» Forzado no amortiguado» Forzado amortiguado

13 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio. 13 Equivalencia entre los sistemas de rotación y traslación» Péndulo simple» Péndulo compuesto» 1GL rotación x L T l G mg k t mg y M

14 Equivalente formal entre sistemas de rotación y traslación 14 M 0 sen t L

15 1.2. Movimiento armónico simple. 15 El movimiento vibratorio más sencillo es el movimiento armónico simple (m.a.s.). La variación que determina la posición de la partícula o del sistema, respecto de la posición de equilibrio, es función armónica del tiempo. Cualquier oscilación periódica se puede descomponer en una suma algebraica de oscilaciones armónicas. Una partícula se mueve con movimiento armónico simple cuando su posición está dada por una expresión del tipo:» x: elongación.» A: amplitud de oscilación.» Fase: = t+ 0» Fase inicial: 0

16 1.2. Movimiento armónico simple. 16» Periodo, T, es el tiempo que tarda la partícula o sistema en pasar dos veces por la misma posición:» El nº de oscilaciones que la partícula realiza por unidad de tiempo es la inversa del periodo y se denomina frecuencia, f :» La cantidad se denomina frecuencia angular o pulsación del movimiento:

17 1.2. Movimiento armónico simple. 17» Significado de la fase inicial 0 x 2 x 1 -f 0 p /2 p 3p /2 2p 0 t

18 1.2. Movimiento armónico simple 18 Sistema de un grado de libertad. Vibraciones libres sin amortiguamiento» El modelo más sencillo para un sistema discreto de un grado de libertad está formado por un resorte unido por uno de sus extremos a una masa y por el otro a una referencia fija.» Separamos la masa de su situación de reposo y la dejamos vibrar libremente suponiendo que no existe ningún fenómeno disipativo.» Si x representa el desplazamiento de la masa, en dirección horizontal, medido desde la posición de equilibrio de esta, la fuerza con la que es atraída la masa al punto de equilibrio será de la forma: F=kx.

19 1.2. Movimiento armónico simple 19» Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene la ecuación del movimiento:» La solución de esta ecuación diferencial lineal homogénea de 2º orden es del tipo:» A = amplitud» Derivando dos veces:» 0 = desfase inicial» n = frecuencia angular» Sustituyendo en la ecuación del movimiento:

20 1.2. Movimiento armónico simple 20» Se define la frecuencia (angular) natural como:» La frecuencia natural o propia solo depende de la rigidez k y de la masa m.» El periodo de la vibración propia o natural será:» El número de ciclos que se repite el movimiento cada segundo cuando el sistema vibra libremente es la frecuencia natural f n (Hz):

21 1.2. Movimiento armónico simple 21» Los valores de la amplitud A y del desfase inicial 0 se obtienen a partir de la posición inicial x 0 y la velocidad v 0 en el instante t=0 (condiciones iniciales).» La solución de la ecuación se puede expresar también como: Condiciones iniciales:

22 1.2. Movimiento armónico simple 22» Conocida la solución de la ED para el desplazamiento, se puede determinar la velocidad y aceleración simplemente derivando la expresión del desplazamiento: Desplazamiento: Velocidad: Aceleración: Desplazamiento Velocidad Aceleración Amplitud Tiempo (s)

23 1.2. Movimiento armónico simple 23» Características: Se repite a intervalos regulares. El periodo de oscilación no depende de la amplitud. En las posiciones extremas la velocidad es nula. La velocidad es máxima en el punto medio de la oscilación. La fuerza restauradora en cualquier punto del movimiento es proporcional a su distancia al punto central.

24 1.2. Movimiento armónico simple 24 Representación compleja del movimiento vibratorio» El movimiento armónico puede ser representado por un vector giratorio o fasor de módulo A girando con velocidad angular n cte:» Si se proyecta el vector en los ejes horizontal y vertical se obtiene el vector giratorio de componentes:» La solución de la ecuación de un movimiento vibratorio armónico simple se puede escribir en forma compleja como:

25 1.2. Movimiento armónico simple 25

26 1.2. Movimiento armónico simple 26

27 1.2. Movimiento armónico simple 27 Energía del movimiento armónico simple» La energía cinética de una partícula o sistema que realiza un m.a.s. es: E k es máxima en el centro (x=0) y cero en los extremos de oscilación (x= A).» El trabajo realizado por una fuerza para producir una deformación x: que será igual a la energía potencial de deformación.

28 1.2. Movimiento armónico simple 28» Energía potencial de deformación: E P es mínima (cero) en el centro (x=0), aumenta al aumentar la elongación, siendo máxima en los extremos de oscilación (x= A).» Energía total del movimiento armónico simple: U (x) U =1/2 kx 2 E=1/2 ka 2 P 1 P 2 T T=1/2 k(a 2 -x 2 ) U -A x +A O

29 1.2. Movimiento armónico simple 29 Espacio de estados (fases):» Variables de estado: posición y velocidad v E 3 E 2 E 1 -A b O a A x - a=(2e/k) 1/2 =A b=(2e/m) 1/2 = A =(k/m) 1/2 =b/a

30 1.2. Movimiento armónico simple 30 Composición de dos movimientos vibratorios armónicos de igual dirección y frecuencia Dados dos movimientos vibratorios armónicos de igual dirección y frecuencia: El movimiento al que está sometido la partícula como resultado de la superposición de estos dos movimientos es: Haciendo:

31 1.2. Movimiento armónico simple 31 Se obtiene:» Conclusión: El movimiento resultante de la superposición de dos movimientos armónicos de igual dirección y frecuencia es un movimiento armónico de igual frecuencia y dirección, cuya amplitud y fase son las dadas por las expresiones anteriores.

32 1.2. Movimiento armónico simple 32» Utilizando vectores giratorios:

33 1.2. Movimiento armónico simple 33» Ejemplos En fase: En oposición de fase: