PLAN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS 3º ESO (Primer Trimestre) (Para alumnos de 4º de ESO)
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- Beatriz Ortiz de Zárate Marín
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1 PLAN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO (Primer Trimestre) (Para alumnos de º de ESO) NOMBRE: Para aprobar las matemáticas pendientes de cursos anteriores es obligatorio realizar el plan de recuperación correspondiente teniendo en cuenta lo siguiente: El plan de recuperación correspondiente al primer trimestre tendrá como fecha límite de entrega (no prorrogable) el jueves 0 de Diciembre. Deberá estar trabajado de principio a fin. Deberá estar hecho a lápiz. Deberá estar hecho de forma clara, limpia y legible.
2 OBJETIVO RECONOCER LAS ORMAS DE REPRESENTACIÓN QUE TIENE UNA RACCIÓN NOMBRE: CURSO: ECHA: RACCIONES Una fracción está compuesta por un numerador y un denominador. Denominador " Partes en que se divide la unidad. Numerador --" Partes que tomamos de la unidad. racción: NUMERADOR DENOMINADOR Denominador " Dividimos la unidad en cuatro partes iguales. Numerador " Tomamos tres partes del total. ORMAS DE REPRESENTACIÓN DE UNA RACCIÓN Una fracción se puede representar de distintas formas: Representación escrita. Representación gráfica. Representación numérica. Representación en la recta numérica. REPRESENTACIÓN ESCRITA REPRESENTACIÓN NUMÉRICA REPRESENTACIÓN GRÁICA REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA Dos quintos - 0 Cuatro séptimos Cuatro tercios MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 0 7/0/0 6:
3 Completa la siguiente tabla. REPRESENTACIÓN ESCRITA REPRESENTACIÓN NUMÉRICA REPRESENTACIÓN GRÁICA REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA UNIDAD ADAPTACIÓN CURRICULAR Cuatro quintos 0 0 Siete quintos Partiendo del dibujo, halla la fracción que representa y escribe cómo se lee. a) 8... octavos b) c)... medios d) Cuál es la respuesta correcta? Rodéala. a) 8 c) b) d) 6 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7/0/0 6:
4 OBJETIVO RECONOCER Y OBTENER RACCIONES EQUIVALENTES A UNA DADA NOMBRE: CURSO: ECHA: RACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones a c y son equivalentes cuando el producto cruzado de numeradores y denominadores b d es igual. a c " a? d b? c b d Las fracciones y 6 son equivalentes, ya que? 6?. Dibuja las siguientes fracciones. a) 6 c) e) 8 b) 6 d) 0 f) Observando el ejercicio anterior vemos que algunas fracciones, a pesar de ser diferentes, nos dan el mismo resultado. Coloca en dos grupos estas fracciones. racciones que Grupo representan la mitad de la tarta. Grupo racciones que representan dos tercios de la tarta. Calcula tres fracciones equivalentes. a) 9 6 b) c) d) 6 Halla el número que falta para que las fracciones sean equivalentes. a) x 8 x b) c) 0 x 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7/0/0 6:
5 OBJETIVO AMPLIICAR Y SIMPLIICAR RACCIONES NOMBRE: CURSO: ECHA: AMPLIICACIÓN DE RACCIONES UNIDAD Para obtener una fracción equivalente a otra fracción dada multiplicamos el numerador y el denominador de dicha fracción por un número distinto de cero. Este método se llama amplificación. Observa que podemos obtener tantas fracciones amplificadas como queramos. ADAPTACIÓN CURRICULAR Obtén una fracción equivalente y amplificada de.? "? 6 Las fracciones son equivalentes, es decir, 6 representan el mismo número. y 6 Calcula fracciones equivalentes por amplificación. a) "?? b)? "? Halla dos fracciones equivalentes. a) b) c) d) 9?? "???? "??? "?? "????? MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7/0/0 6:
6 AMPLIICAR Y SIMPLIICAR RACCIONES SIMPLIICACIÓN DE RACCIONES Simplificar una fracción es encontrar otra fracción equivalente a ella dividiendo numerador y denominador por un factor común. Observa que el proceso, al contrario que en la amplificación, no se puede realizar indefinidamente. Se termina al encontrar una fracción que no se puede simplificar. Esta fracción se llama fracción irreducible. Simplifica las siguientes fracciones. : 0 0 : : : 0 0 y y son equivalentes son equivalentes Amplifica y simplifica la siguiente fracción. Amplificar: Simplificar:?? : : Haz lo mismo con estas fracciones. 6 a) 6? Amplificar:? 6 : Simplificar: : 6 b) 0? Amplificar: 0? Simplificar: 0 : : 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7/0/0 6:
7 OBJETIVO REDUCIR RACCIONES A COMÚN DENOMINADOR NOMBRE: CURSO: ECHA: COMPARAR RACCIONES UNIDAD ADAPTACIÓN CURRICULAR Qué fracción es mayor, o? Representamos las fracciones con un dibujo y lo vemos fácilmente: El dibujo, sin embargo, no siempre es tan claro. Por tanto, vamos a aprender a hacerlo creando una fracción equivalente de cada fracción, con común denominador, es decir, tenemos que conseguir que el denominador de las dos fracciones sea el mismo.???? es el común denominador. Ahora, en lugar de comparar con, comparamos 6 con 6. Como el denominador es común, comparamos los numeradores de 6 cuál de las fracciones es mayor: 6 ; por tanto, 6 y para saber 6 Recuerda que, dadas dos fracciones con igual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador. Ordena estas fracciones.? 0 COMÚN DENOMINADOR? 0 0? $ 8? 6? ?? MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7/0/0 6:
8 REDUCIR RACCIONES A COMÚN DENOMINADOR BUSCAR EL DENOMINADOR COMÚN Queremos comparar las siguientes fracciones: 0 7, Cuáles son los denominadores?, 0 y El común denominador será un número mayor que 0, y, pero que tenga a 0, y como divisores, por ejemplo: a) El número es mayor que 0, y, pero tiene a todos ellos como divisores? y? 0???? No tiene a 0 ni a como divisores, solo a. Por tanto, no sirve. b) El número es también mayor que 0, y. Pero veamos qué pasa cuando lo utilizamos: 0???? Tampoco sirve, ya que no tiene a 0 como divisor. c) Probamos con el número ? 0? 6 0? 0 El número 0 sirve como común denominador, aunque no es el único. Si continuásemos buscando encontraríamos más: 60, 90, Vamos a hallar fracciones equivalentes a las dadas, con denominador común 0: 7 0 7? Qué número hay que multiplicar para que el denominador sea 0 0? 0 si partimos de 0? 0?? 0? 0 0 Qué número hay que multiplicar para que el denominador sea 0? 0 0 si partimos de??? 0? 6 8 Qué número hay que multiplicar para que el denominador sea 0? 6 0 si partimos??? 0 Por tanto: 0 7,, 0 8,, Ahora ordenamos las fracciones de mayor a menor: MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 6 7/0/0 6:
9 Ordena las siguientes fracciones: 7, 6,, y Nos fijamos en los denominadores:...,...,...,...,... Queremos encontrar un número que contenga a todos los denominadores como divisores. El número más adecuado es. 7?? UNIDAD ADAPTACIÓN CURRICULAR 6? Cómo se calcula este número? : 6?? Cómo se calcula este número? :????? Ahora ordenamos de mayor a menor: REDUCIR RACCIONES A COMÚN DENOMINADOR 7 8 Reduce a común denominador estas fracciones: y 9 Hallamos el m.c.m. de los denominadores. 9? " m.c.m. (, 9)? 9 El m.c.m. de los denominadores es el nuevo denominador de las fracciones. 7 7? : 8 9 8? 0 : 9 0 Completa la tabla. RACCIONES REDUCIDAS A COMÚN DENOMINADOR ORDENADAS DE MENOR A MAYOR 7,, 6 7 7,, MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7 7/0/0 6:
10 OBJETIVO SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR Y DIVIDIR RACCIONES NOMBRE: CURSO: ECHA: SUMA (O RESTA) DE RACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR La suma (o resta) de fracciones con igual denominador es otra fracción con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma (o resta) de los numeradores. + Dibújalas + Un tercio más cuatro tercios son cinco tercios. SUMA (O RESTA) DE RACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador, reducimos primero a denominador común y, después, sumamos (o restamos) sus numeradores. Haz esta suma de fracciones: 6 + Para sumar las fracciones hay que obtener fracciones equivalentes con el mismo denominador.? 6 6? 8?? Nos interesa obtener el mínimo común denominador de y, en este caso. Ahora sumamos las fracciones con igual denominador: Realiza las siguientes operaciones. a) - + b) 0 0?? ?? 8 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 8 7/0/0 6:
11 MULTIPLICACIÓN DE RACCIONES El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores: a c a? c? b d b? d UNIDAD ADAPTACIÓN CURRICULAR??? 0 Realiza las multiplicaciones de fracciones. 7 a)? e)? 0 7 b)? f)? c)? 8 d)? g)? 8 h)? 0 9 DIVISIÓN DE RACCIONES La división de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda fracción, y cuyo denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda: a c a? d : b d b? c :?? 6 Realiza las siguientes divisiones de fracciones. 8 a) : 9 b) : 8 6 e) : 8 7 f) : 7 c) : 7 g) 6 : 8 8 d) : h) : 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 9 7/0/0 6:
12 SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR Y DIVIDIR RACCIONES NOMBRE: CURSO: ECHA: OPERACIONES COMBINADAS Cuando se realizan operaciones combinadas, es decir, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones a la vez: Se hacen primero las operaciones de los paréntesis. Luego se resuelven las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. Por último, se operan las sumas y restas, en el mismo orden.?? + : - + : - En este caso, la operación queda divida en tres bloques.? + : - Realizamos las operaciones de cada bloque antes de sumar o restar: A B C A: Hacemos la multiplicación. B: Hacemos la división. C: No se puede operar. + - Ahora realizamos las sumas y las restas: Solución es 7 Realiza estas operaciones: -? e +o Tenemos dos bloques con los que debemos operar por separado: 7 -? e + o A B " * 7 A: B :? e + o No se puede operar. Tenemos que operar por partes, volviendo a dividir en bloques la operación. Como no hay sumas o restas fuera de los paréntesis, tiene prioridad el producto:? e + o I II " I: No se puede operar. II: Realizamos la suma : + +?? * "? 7 7 -? e + o - - Común denominador 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 0 7/0/0 6:
13 OBJETIVO 6 OBTENER LA ORMA DECIMAL DE UNA RACCIÓN NOMBRE: CURSO: ECHA: ORMA DECIMAL DE UNA RACCIÓN Para obtener la forma decimal de una fracción o número racional se divide el numerador entre el denominador. UNIDAD ADAPTACIÓN CURRICULAR 0 0 0,7 00 ORMA RACCIONARIA: ORMA DECIMAL: 0,7 00, ORMA RACCIONARIA: ORMA DECIMAL:,77, $ , ORMA RACCIONARIA: 6 ORMA DECIMAL:,66,6 " Expresa en forma decimal estas fracciones y ordénalas. a) c) 9 7 e) 0 b) 6 7 d) f) <... <... <... <... <... "... <... <... <... <... <... MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7/0/0 6:
14 OBJETIVO 7 RECONOCER LOS DIERENTES TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES NOMBRE: CURSO: ECHA: TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción para obtener su expresión decimal pueden darse estos casos. Si el resto es cero: Cuando el cociente no tiene parte decimal, tenemos un número entero. Cuando el cociente tiene parte decimal, decimos que es un decimal exacto. Si el resto no es cero: las cifras del cociente se repiten, la expresión decimal tiene infinitas cifras. Se obtiene un decimal periódico. Cuando la parte que se repite comienza desde la coma, se llama decimal periódico puro. Cuando la parte que se repite no comienza desde la coma, se llama decimal periódico mixto. 0,7 " Decimal $,7 exacto " Decimal ",6 periódico puro 6 " Decimal periódico mixto Completa la tabla, clasificando la expresión decimal de las fracciones en exactas, periódicas puras o periódicas mixtas. ORMA RACCIONARIA ORMA DECIMAL DECIMAL EXACTO DECIMAL PERIÓDICO PURO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO,6 " No Sí No Escribe en cada número las cifras necesarias para completar diez cifras decimales. a),77 e),666 b),77 f) 0,777 c),77 g), d) 0, h), MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7/0/0 6:
15 OBJETIVO 8 OBTENER RACCIONES A PARTIR DE NÚMEROS DECIMALES NOMBRE: CURSO: ECHA: Todo número decimal exacto o periódico se puede expresar en forma de fracción. Para ello hay que multiplicarlo por la potencia de 0 adecuada y realizar una serie de operaciones hasta obtener una fracción. UNIDAD ADAPTACIÓN CURRICULAR NÚMEROS DECIMALES EXACTOS EN ORMA DE RACCIÓN 0, Llamamos x a 0,. x 0, Multiplicamos por la unidad seguida 00x 00? 0, de tantos ceros como cifras decimales tiene el número. 00x x 00 Simplificamos, si es posible. Completa la operación. 8 x 0, x 0, 00x 00? 0, 00x x 00 0, 8 x 0, Halla la forma fraccionaria de este número decimal. 0, Por qué hemos multiplicado por 0 y no por 00? x 0, 0x 0? 0, x 0, MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7/0/0 6:
16 OBTENER RACCIONES A PARTIR DE NÚMEROS DECIMALES Expresa estos números decimales como fracción. a) 0,0 Por qué valor multiplicamos? x 0,0 x 0, 0 b) 0, x 0, c) 0,7 x 07, d) 0, x 0, Expresa mediante un número decimal la parte gris de la figura. Escribimos de forma fraccionaria la parte gris de la figura. Pasamos a forma decimal. MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7/0/0 6:
17 NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS PUROS EN ORMA DE RACCIÓN Queremos obtener la forma fraccionaria del número decimal periódico puro,, ". UNIDAD ADAPTACIÓN CURRICULAR Si, no tuviera infinitas cifras decimales, podríamos obtener la forma fraccionaria como en el caso de los números decimales exactos. Por tanto, no podemos actuar de esta manera., x, 0x 0?, 0x, x,... 0,, 0 íjate en los pasos que seguimos., Multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el período. x, 0x 0?, 0x, Realizando esta resta eliminamos la parte decimal. Simplificamos. 0x, -x -, x 9x 9 x 7 " 7, Siempre hay que simplificar, si se puede, la fracción resultante. MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7/0/0 6:
18 OBTENER RACCIONES A PARTIR DE NÚMEROS DECIMALES Completa las siguientes operaciones. a),7 ",777 x,777 0x 0x 0x -x -,777 9x x,7 " b),8 ",888 x,888 0?,888 8,888 8,888 -x -,888 x,8 " c) 7, " x -x x 7, " 6 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 6 7/0/0 6:
19 6 Calcula la forma fraccionaria de los números decimales. a),777 UNIDAD ADAPTACIÓN CURRICULAR Multiplicamos por 00. x,777 00x 00?,777 00x 00x -x -,777 99x x,7 $ b), $ x, x, $ c) 0, x 0, x 0, & MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7 7/0/0 6:
20 OBTENER RACCIONES A PARTIR DE NÚMEROS DECIMALES NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS MIXTOS EN ORMA DE RACCIÓN Queremos obtener la forma fraccionaria del número decimal periódico mixto,, ". Si actuamos como en el caso de los decimales puros, tenemos que: x, 0x 0?, 0x, 0x, -x -, 9x 9, x 9, 9 No obtenemos una fracción. íjate en los pasos que seguimos., Multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene su parte periódica y no periódica. x, 00x 00?, Multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene su parte decimal no periódica. Realizando esta resta eliminamos los decimales. 00x, 0x, 00x, -0x -, 90x 9 Simplificamos. x x 9 90 ", 8 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 8 7/0/0 6:
21 7 Expresa estos números decimales en forma de fracción. a),7 ",777 UNIDAD ADAPTACIÓN CURRICULAR x,777 00x 00?,777 00x 0x 00x -0x -,777 90x x,7 " b),8 ",888 x,888 x,8 " c) 0,7 " x x 0,7 " MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 9 7/0/0 6:
22 OBTENER RACCIONES A PARTIR DE NÚMEROS DECIMALES 8 Completa y expresa en forma de fracción.,77 Multiplicamos por x,77 000x 000?,77 000x 7,77 00x,77 000x 7,77-0x,77 990x x,7 $ 9 Expresa como una fracción. x, x, $ NÚMEROS IRRACIONALES Hay números decimales que no se pueden expresar como una fracción., r,,60 Estos números reciben el nombre de números irracionales. 0 Clasifica los siguientes números. a) 0, b),7777 c), " d), e),77 f), DECIMAL EXACTO DECIMAL PERIÓDICO PURO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO IRRACIONAL 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 0 7/0/0 6:
23 OBJETIVO REALIZAR OPERACIONES CON POTENCIAS NOMBRE: CURSO: ECHA: POTENCIA Un número a, llamado base, elevado a un exponente natural n es igual al resultado de multiplicar a por sí mismo n veces: a? a? a? a? a?? a a n n veces a n Se lee: «a elevado a n». n: exponente (indica cuántas veces se multiplica la base). a: base 6? 6? 6 6 " Se lee: «seis elevado a tres». Completa. a) 9? 9? 9? 9? 9 «...» b)????? «...» c) «...» d) «siete elevado a cuatro» e) «nueve elevado a cinco» MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS Como las potencias son multiplicaciones, aplicando la definición de potencia tenemos que: ??????? ?????? 6! Exponente Las potencias han de tener la misma base para poder sumar los exponentes.?????? " No se puede poner como una sola potencia. La fórmula general para multiplicar potencias de la misma base es: a n? a m a n+m Realiza las siguientes operaciones. a) 0? 0 d)? 6 g)? b) 7? 7 7 e)?? h) 9? 9 7 c)?? f)? 7 i)? 70 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 70 7/0/0 6:
24 UNIDAD DIVISIÓN DE POTENCIAS Para dividir potencias con igual base, se restan los exponentes: a n : a m a n - m. Ten en cuenta que la división entre potencias de distinta base no se puede realizar, y debe quedar indicada. ADAPTACIÓN CURRICULAR 7 7? 7? 7? 7? 7 7 : 7 7? 7? ? 7 Calcula estas operaciones. 6 6 a) :? 7 b) :??????????? c) : d) 6 : e) 7 : 7 Realiza las divisiones. a) : c) 6 : e) 7 : b) : 7 7 d) 7 : f) 6 : 6 Hay operaciones que combinan la multiplicación y la división. En estos casos, realizamos las operaciones, paso a paso.?? 6 8 6?? 6 9 Recuerda que solo podemos operar con potencias de la misma base. 7? 7? 7? 7? 7? 7 7 Completa las siguientes operaciones. 678 a) (? ) : (? ) b) (?? ) : (? ) c) (0 : 0 )? 0? MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7 7/0/0 6:
25 REALIZAR OPERACIONES CON POTENCIAS POTENCIA DE UNA POTENCIA Si elevamos una potencia a otra potencia, el resultado es una potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes: (a n ) p a n? p (7 ) (7? 7) (7? 7)? (7? 7)? (7? 7) 7? 7? 7? 7? 7? ( ) (??? ) (??? )? (??? )??????? 8 6 Completa las siguientes operaciones. a) (7 ) 7 e) ( ) 8 b) ( ) f) ( ) c) (6 ) 6 g) ( ) d) (9 ) 9 h) (0 ) 0 Hay operaciones combinadas que presentan las tres operaciones estudiadas hasta el momento. Antes de comenzar su estudio veamos las reglas para operar: a n? a m a n+m a m : a n a m-n (a n ) m a n?m multiplicación división potencia de una potencia 9? (? ) : ( ) 6 ( ) 7 Realiza las operaciones. a) ( : ) ( ) b) ( 7 : )? ( 6 : )? c) (0 ) : (0? 0 ) d) ( )? ( ) e) (6 : 6 )? (6 ) f) (7 : 7)? (7 ) 7 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7 7/0/0 6:
26 UNIDAD POTENCIA DE UNA RACCIÓN Para elevar una fracción a una potencia se elevan el numerador y el denominador a dicha potencia. e a b n n a o n b ADAPTACIÓN CURRICULAR e???? o???????? 8 Opera. 7 a) e o d) e o 7 b) 6 e o e) 0 e o c) e o f) 6 e o 9 Completa el ejercicio y resuélvelo: e o - Veamos el número de bloques en los que queda dividida la operación. En este caso tenemos dos bloques separados por el signo -. e o - A B Realizamos las operaciones de cada bloque: A: e o B: En este bloque no podemos operar. - - Tenemos que resolver la resta, pero para ello necesitamos el denominador común. El denominador común es: Ahora sí podemos restar: Solución MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7 7/0/0 6:
27 REALIZAR OPERACIONES CON POTENCIAS 0 Calcula, dando prioridad a las operaciones de los paréntesis. a) e 6 o -e - o b) e - o: c) e - o: e- + o 6 d) e - o: e - o 7 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7 7/0/0 6:
28 UNIDAD POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO Al efectuar una división de potencias, el resultado puede ser una potencia de exponente negativo: 7 7? 7? 7 7 : ? 7? 7? 7? 7 7? 7 7 Es decir, un número entero elevado a una potencia negativa es una fracción. -??? 8 -n En general, las potencias de exponente negativo se definen como: a n a Las potencias de exponente negativo cumplen las mismas propiedades que las potencias de exponente natural. ADAPTACIÓN CURRICULAR Opera con exponentes negativos. a)? -? b)? -7???? c) 6? -? 6? (? )? 6? d) 7? 7? 7 -?? e)? -? 8?? 8 (? )??? 8?? Expresa en forma de potencia de la base indicada en cada caso. OPERACIÓN BASE RESULTADO 9-7? 9 6 : 8 - ( 9 ) - (6 - : ) - (9 - ) : MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7 7/0/0 6:
29 OBJETIVO EXPRESAR NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍICA NOMBRE: CURSO: ECHA: NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍICA La expresión de un número en notación científica consiste en representarlo como un número entero o un número decimal, con una sola cifra entera distinta de cero, multiplicado por una potencia de 0 (positiva o negativa). 0 0? 0 00? 0-0 0,00? 0-0 0? 0? 0 Llamamos orden de magnitud de un número expresado en notación científica al exponente de la potencia de 0. Expresa en notación científica el número Desplazamos la coma seis lugares a la izquierda y multiplicamos por 0 6. NOTACIÓN DECIMAL NOTACIÓN CIENTÍICA 0000,? 0 6 NÚMERO DECIMAL POTENCIA DE 0 Determina el orden de magnitud del número anterior. El orden de magnitud es 6, ya que el exponente de la potencia de 0 es 6. Realiza las operaciones. a) 0 b) 0 c) 0 d) 0-0,0... e) 0-6 f) 0 - Escribe en forma decimal estos números expresados en notación científica. a),? 0,? b),? 0 -,? Escribe, con todas sus cifras, estos números escritos en notación científica. a),? 0 6 b) 9,? 0-8 c),0? 0 - d),? 0 e),76? 0 76 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 76 7/0/0 6:
30 UNIDAD Cuál de estos números es mayor? 7,? 0 -,? 0 -,? 0-0,007 0, 0, El mayor número es: ADAPTACIÓN CURRICULAR Los siguientes números no están correctamente escritos en notación científica. Escríbelos de la forma adecuada. NÚMERO EXPRESIÓN CORRECTA,? 0 0,6? 0-9? 0 0,00? 0-6.0? 0,? 0 6 Expresa en notación científica. a) Mil trescientos cuarenta billones. b) Doscientas cincuenta milésimas. c) Treinta y siete. d) Cuarenta y tres billones. e) Seiscientos ochenta mil. f) Tres billonésimas. 7 Indica el orden de magnitud de cada uno de estos números. a),? 0 b) 6? 0 - c),? 0 7 d) 8? 0 - e),6? 0 f),9? 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 77 7/0/0 6:
31 OBJETIVO REALIZAR SUMAS Y RESTAS EN NOTACIÓN CIENTÍICA NOMBRE: CURSO: ECHA: SUMAR Y RESTAR EN NOTACIÓN CIENTÍICA Para sumar (o restar) números en notación científica se reducen al mismo orden de magnitud y, luego, se suman (o restan) los números decimales y se mantiene la misma potencia de 0. Realiza las siguientes operaciones.,? 0 +,? 0 (, +,)? 0 8,7? 0 Si los exponentes de las potencias son iguales, se suman los números decimales y se deja la misma potencia de base 0.,? 0 +,? 0,? 0 + 0,? 0 Si los exponentes de las potencias son diferentes, se reduce al mayor. (, + 0,)? 0,0? 0 Luego se suman los números decimales y se deja la misma potencia de base 0. Completa estas sumas y restas. a) ,? 0 -? 0 7? 0 +,? 0 -? 0 ( + - )? 0 b) 0,000 +,7? ,? 0 -? 0 +? 0 -? 0 ( + - )? 0 Han de tener el mismo exponente. c),9? 0 +,? 0 7 d) 6? 0 - -,? 0 - I Realiza las operaciones en notación científica. a) 7,? 0 6-8,? 0 c),? 0 +? 0 b) 9,? 0 - +,6? 0 - d),6? 0 -? 0 78 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 78 7/0/0 6:
32 OBJETIVO REALIZAR MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES EN NOTACIÓN CIENTÍICA UNIDAD NOMBRE: CURSO: ECHA: MULTIPLICAR EN NOTACIÓN CIENTÍICA Para multiplicar números en notación científica se multiplican los números decimales y las potencias de 0. Es decir, se obtiene un número cuya parte decimal es igual al producto de los números decimales, y cuya potencia de 0 tiene un exponente que es igual a la suma de los exponentes de cada una de ellas. ADAPTACIÓN CURRICULAR 7? (,? 0 ) Pasamos a notación científica (,7? 0 )? (,? 0 ) Multiplicamos los números y las potencias de 0 Escribimos el resultado Pasamos a notación científica (,7?,)? 0? 0,86? 0 7,86? 0 8 Completa siguiendo el modelo anterior. a) ? (,? 0 ) Pasamos a notación científica Operamos (,? 0 )? (,? 0 ) (,?,)? 0? 0 b) (,? 0 )? 0,0 (,? 0 )? (,? 0 ) Pasamos a notación científica c) 0,000? 0,00 Pasamos a notación científica Efectúa en notación científica. a) (? 0 )? (,? 0 - ) b) (8,06? 0 9 )? (0,6? 0 7 ) c) (7,? 0 - )? (0,0? 0 ) d) (0, )? (,? 0-6 ) e) (,7)? (,? 0 - ) f) (? 0 )? (,? 0 ) MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 79 7/0/0 6:
33 REALIZAR MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES EN NOTACIÓN CIENTÍICA DIVIDIR EN NOTACIÓN CIENTÍICA Para dividir números en notación científica se dividen los números decimales y las potencias de 0. Es decir, el número decimal es igual a la división de los números decimales y la potencia de 0 tiene un exponente que es igual a la resta de los exponentes de cada una de ellas : (,? 0 ) Pasamos a notación científica Dividimos las partes enteras o decimales y las potencias de 0 (,? 0 7 ) : (,? 0 ) (,? 0), 0? (,? 0 ), Escribimos en notación científica Pasamos a notación decimal 0,7? 0 -,7? 0-6 Completa la siguiente operación : (,? 0 ) Pasamos a notación científica (,? ) : ( ) Pasamos a fracción?0?0? 0 Pasamos a notación científica Realiza las operaciones en notación científica. a) (0,7? 0 7 ) : (0,? 0 ) b) ( ) : (6,? 0 ) c) (0? 0 ) : (,? 0 ) d) (9? 0 6 ) : (? 0 ) e) (000? 0 ) : (6,7? 0 ) f) (6? 0 ) : (? 0 ) g) (0) : (0? 0 ) h) (6? 0-7 ) : (,? 0 ) 80 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 80 7/0/0 6:
34 OBJETIVO RECONOCER EL GRADO, LOS TÉRMINOS Y EL TÉRMINO INDEPENDIENTE DE UN POLINOMIO NOMBRE: CURSO: ECHA: Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número, llamado coeficiente, y una o varias letras elevadas a un número natural, que forman la parte literal del monomio. El grado de un monomio es el exponente de la letra que forma la parte literal, si solo hay una, o la suma de los exponentes, si hay más de una. Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. Completa la tabla. Monomio Coeficiente Parte literal Grado x x -x x y -xy Determina si son o no semejantes estos monomios. a) x y y x y b) xy y -7xy c) x y -x POLINOMIOS Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de monomios, que son los términos del polinomio. Al término que no tiene parte literal se le denomina término independiente. Un polinomio es reducido cuando no tiene monomios semejantes. El grado de un polinomio reducido coincide con el grado de su término de mayor grado. Determina los términos, el término independiente y el grado. POLINOMIO TÉRMINOS TÉRMINO INDEPENDIENTE GRADO P(x) -x + x - Q(x) x + 0 R(x) -0x - 0x + 0 S(x) 0 T(x) x + x + 00 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 00 7/0/0 6:9
35 UNIDAD Dado el polinomio P(x) x - x + x + - : a) Obtén el polinomio reducido. b) Determina el grado del polinomio. c) Cuántos términos tiene el polinomio? Cuál es su término independiente? a) Para reducir un polinomio hay que resolver las operaciones que se puedan: 678 P(x) x - x + x + - P(x) x - x - Polinomio reducido ADAPTACIÓN CURRICULAR b) El grado del polinomio es : P(x) x - x -. c) El polinomio tiene tres términos y el número - es el término independiente. P(x) x - x - - es el término independiente. Tiene tres términos. Calcula el polinomio reducido. a) P(x) - x + x - x + b) P(x) x - - x + x - x + - x - x Calcula el polinomio reducido y ordena sus términos de mayor a menor grado. P(x) x - x + x + x - x + x + P(x) Tiene... términos. El término independiente es... El grado del polinomio es... Cómo es el polinomio, completo o incompleto?... 6 Reduce el polinomio y ordena sus términos de mayor a menor grado. P(x) x - x x + x - x P(x) Tiene... términos. El término independiente es... El grado del polinomio es... Cómo es el polinomio, completo o incompleto?... MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 0 7/0/0 6:9
36 OBJETIVO DETERMINAR EL VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO NOMBRE: CURSO: ECHA: VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO El valor numérico de un polinomio P(x), para cierto valor de la variable x a, se obtiene sustituyendo x por a y operando. En un polinomio, por ejemplo, P(x) x +, se puede dar cualquier valor a la x. Para x -" P()? () +? El valor numérico del polinomio para x es 9. Para x 0 " P(0)? (0) +? El valor numérico del polinomio para x 0 es 0. Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para x. a) P(x) x + x " P( ) ( ) + b) P(x) x + c) P(x) x + d) P(x) x + Calcula el valor numérico de cada polinomio para el valor de la variable indicado. a) A(x) x +, para x. b) B(x) x - 6x +, para x -. c) C(x) -9x + 7x +, para x. d) D(x) x + x + x +, para x -. 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 0 7/0/0 6:9
37 OBJETIVO REALIZAR SUMAS Y RESTAS CON POLINOMIOS UNIDAD NOMBRE: CURSO: ECHA: SUMAS Y RESTAS DE POLINOMIOS La suma de dos polinomios se calcula sumando los coeficientes de los términos del mismo grado. La resta de dos polinomios se calcula restando los coeficientes de los términos del mismo grado. Recuerda que la regla básica de las sumas y restas de polinomios es que solo se pueden sumar y restar los términos del mismo grado. ADAPTACIÓN CURRICULAR Suma los siguientes polinomios: P(x) x - x + x - y Q(x) x - x +. Se puede realizar de dos maneras: En línea: solo se suman los términos del mismo grado. P(x) + Q(x) x - x + x - + x - x + x + x + x - P(x) + Q(x) x + x + x - En columna: hay que poner en columna los términos del mismo grado. P(x) x - x + x - + Q (x) x - x + P(x) + Q(x) x + x + x - Resta los siguientes polinomios: P(x) x - x + y Q(x) x - x + 7. Se puede realizar de dos maneras: En línea: el signo negativo delante del paréntesis afecta a todos los términos. P(x) - Q(x) x - x + - (x - x + 7) x - x + - x + x - 7 x - 0x + x - P(x) - Q(x) x - 0x + x - En columna: hay que poner en columna los términos del mismo grado. P(x) x - x + x + - Q(x) - (x - x + 7) P(x) - Q (x) x - 0x + x - Dados los polinomios P(x) x - x + y Q(x) x - x +, halla P(x) + Q(x) y P(x) - Q(x), resolviendo las operaciones en línea y en columna. MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 0 7/0/0 6:9
38 REALIZAR SUMAS Y RESTAS CON POLINOMIOS Calcula la suma y resta de cada par de polinomios. a) P (x) x + x - x - Q (x) x - x - 9x + P (x) P (x) + Q (x) - Q (x) P (x) + Q (x) P (x) - Q (x) b) P (x) x 7-8x + Q (x) x + x - 6 P (x) P (x) + Q (x) - Q (x) P (x) + Q (x) P (x) - Q (x) c) P (x) 0x + x + Q (x) x +7x - x P (x) P (x) + Q (x) - Q (x) P (x) + Q (x) P (x) - Q (x) d) P (x) -x - x - Q (x) -x - x - x - P (x) P (x) + Q (x) - Q (x) P (x) + Q (x) P (x) - Q (x) e) P (x) -x - x - Q (x) 6x - x - x + 7 P (x) P (x) + Q (x) - Q (x) P (x) + Q (x) P (x) - Q (x) 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 0 7/0/0 6:9
39 OBJETIVO REALIZAR MULTIPLICACIONES CON POLINOMIOS UNIDAD NOMBRE: CURSO: ECHA: PRODUCTO DE POLINOMIOS El producto de dos polinomios se halla multiplicando cada uno de los monomios de un polinomio por los monomios del otro, y sumando, después, los polinomios obtenidos en esas multiplicaciones. Para multiplicar dos polinomios es necesario aplicar la propiedad distributiva. Multiplica los siguientes polinomios: P(x) 7x + x + x - 7 y Q(x) x +. ADAPTACIÓN CURRICULAR Vamos a resolverlo multiplicando en línea: P(x)? Q(x) (7x + x + x - 7)? (x + ) Se multiplican todos los monomios de un polinomio por los monomios del otro polinomio. 7x? x + 7x? + x? x + x? + x? x + x? - 7? x - 7? 7x + x + x + 6x + x + x - 7x - 7x + x + x - x + x - P(x)? Q(x) 7x + x + x - x + x - Se suman los términos semejantes. Multiplica los siguientes polinomios. a) P(x) x - 7x + y Q(x) x + P(x)? Q(x) (x - 7x + )? (x + ) Multiplicamos los monomios. - + Sumamos los términos semejantes. P(x)? Q(x) b) P(x) x - y Q(x) x - x + MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 0 7/0/0 6:9
40 REALIZAR MULTIPLICACIONES CON POLINOMIOS Multiplica los siguientes polinomios: P(x) 7x + x + x - 7 y Q(x) x +. Resolvemos el ejercicio multiplicando en columna: 7x + x + x - 7 x + x + 6x + x - 7x + x + x - 7x + x - P(x)? Q(x) 7x + x + x - 7x + x - Producto de por 7 x + x + x - 7 Producto de x por 7 x + x + x - 7 Suma de monomios semejantes Multiplica los polinomios: P(x) x - x + y Q(x) x +. x - x + x + Producto de por x - x + Producto de x por x - x + P(x)? Q(x) Suma de monomios semejantes Calcula el producto del polinomio R(x) x - y el polinomio S(x) x +, utilizando la propiedad distributiva. Halla el producto de los siguientes polinomios. a) R(x) x - y S(x) x b) R(x) x - x + y S(x) x + 06 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 06 7/0/0 6:9
41 OBJETIVO REALIZAR DIVISIONES CON POLINOMIOS UNIDAD NOMBRE: CURSO: ECHA: DIVISIÓN DE POLINOMIOS Lo primero que hay que tener en cuenta para dividir los polinomios P(x) y Q(x) es que el grado del polinomio P(x) debe ser mayor o igual que el del polinomio Q(x). En estas condiciones, dados dos polinomios P(x) y Q(x), existen otros dos polinomios C(x) y R(x) que cumplen: P(x) Q(x)? C(x) + R(x) P(x) es el polinomio dividendo. Q(x) es el polinomio divisor. C(x) es el polinomio cociente. R(x) es el polinomio resto. Si el resto de la división es nulo, es decir, si R(x) 0: La división es exacta. El polinomio P(x) es divisible por Q(x). En caso contrario, se dice que la división no es exacta. ADAPTACIÓN CURRICULAR Divide los siguientes polinomios: P(x) x + x + x - 7 y Q(x) x +. x + x + x - 7 x + Hay que elegir un monomio que multiplicado por x nos dé x :? x x. En este caso, x. -x + x + x - 7 x + -x + x - x x + -x + x - 0x - 7 -x + x + x - 7 x + -x + x - x x + -x + x - 0x - 7 -x -x - 0x - -x + x - 0x - Multiplicamos x por cada uno de los términos del polinomio cociente (x + ), cambiamos de signo los resultados y los colocamos en su columna. A continuación, sumamos. Hay que buscar un monomio que multiplicado por x nos dé x, en este caso. Multiplicamos por x +, cambiamos de signo los resultados y los colocamos en su columna. A continuación, sumamos. Hay que buscar un monomio que multiplicado por x nos dé 0x, pero no existe ninguno. Por tanto, la división finaliza. Polinomio dividendo: P(x) x + x + x - 7 Polinomio divisor: Q(x) x + Polinomio cociente: C(x) x + Polinomio resto: R(x) -0x En este caso, la división no es exacta, ya que el resto obtenido es distinto de cero. MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 07 7/0/0 6:9
42 REALIZAR DIVISIONES CON POLINOMIOS Calcula las divisiones de polinomios y señala si son exactas o enteras. a) P(x) x -, Q(x) x c) P(x) x -, Q(x) x + b) P(x) x - x + 6, Q(x) x - d) P(x) x - x + x, Q(x) x Haz las divisiones y comprueba que P(x) Q(x)? C(x) + R(x). a) P(x) x -, Q(x) x c) P(x) x -, Q(x) x - b) P(x) x -, Q(x) x + d) P(x) x +, Q(x) x 08 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 08 7/0/0 6:9
43 OBJETIVO 6 IDENTIICAR Y DESARROLLAR IGUALDADES NOTABLES UNIDAD NOMBRE: CURSO: ECHA: CUADRADO DE UNA SUMA El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a + b) a + ab + b Esto se puede hacer como una multiplicación: 678 (a + b) (a + b)? (a + b) a? a + a? b + a? b + b? b a + ab + b ADAPTACIÓN CURRICULAR (x + ) (x + )? (x + ) x + x + x + 9 x + 6x + 9 (x + y) (x + y)? (x + y) 6x + xy + xy + y 6x + 8xy + y Desarrolla estas igualdades. a) (x + y) (x + y)? (x + y) b) (x + ) c) (x + y) d) (a + b ) CUADRADO DE UNA DIERENCIA El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a - b) a - ab + b Esto se puede hacer como una multiplicación: 678 (a - b) (a - b)? (a - b) a? a - a? b - a? b + b? b a - ab + b (y - ) (y - )? (y - ) y - 6y - 6y + 9 y - y + 9 (x - ) (x - )? (x - ) x - x - x + x - x + Desarrolla las siguientes igualdades. a) (6x - y) (6x - y)? (6x - y) b) (x - ) c) (x - y) d) (x - a ) MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 09 7/0/0 6:9
44 IDENTIICAR Y DESARROLLAR IGUALDADES NOTABLES PRODUCTO DE UNA SUMA POR UNA DIERENCIA El producto de una suma por una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. (a + b)? (a - b) a - b Esto se puede hacer como una multiplicación: (a + b)? (a - b) a? a - a? b + a? b + b? b a - b (x + )? (x - ) 9x - 6x + 6x - 9x - (x - y)? (x + y) x + xy - xy - 9y x - 9y Desarrolla las siguientes igualdades. a) (7x + x )? (7x - x ) b) (y + x )? (y - x ) c) (x + x )? (x x ) d) (a b )? (a + b) Desarrolla. a) (x + ) b) (y - 7) c) (xy + yz)? (xy - yz) d) (abc + ) e) (7 - x) f) (9v + z)? (9v z) g) (xy + x ) Desarrolla las igualdades. a) (x + ) - (x + )? (x - ) b) (x + ) - (x - ) 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 0 7/0/0 6:9
45 OBJETIVO IDENTIICAR UNA ECUACIÓN, SU GRADO Y SU SOLUCIÓN NOMBRE: CURSO: ECHA: ECUACIONES Dado el polinomio P(x) x +, ya sabemos cómo se calcula su valor numérico: x P()? + x - P(-)? (-) + - Si al polinomio le imponemos un valor como resultado, obtenemos una ecuación: x + 8 Hay que saber para qué valor de x el polinomio vale 8. Podemos seguir el mismo razonamiento con la igualdad de dos polinomios: P(x) x + x - 7 Q(x) x + 8 Si imponemos la condición de igualdad entre los dos polinomios, también se obtiene una ecuación: x + x - 7 x + 8 Hay que saber para qué valor de x se cumple esta igualdad. Por tanto, el concepto de ecuación aparece cuando se impone una igualdad algebraica. En una ecuación con una sola incógnita: La incógnita es la letra con valor desconocido. El grado es el mayor exponente con que figura la incógnita en la ecuación, una vez realizadas todas las operaciones. La parte izquierda de la igualdad se llama primer miembro, y la parte derecha, segundo miembro. Cada miembro está formado por uno o más sumandos que se denominan términos. En los términos con incógnita, el número se llama coeficiente. Los términos sin incógnita se denominan términos independientes. La solución o soluciones de una ecuación son los valores de la incógnita que hacen que la igualdad sea cierta. Elementos de una ecuación: x + 7x x + x: incógnita término término término término coeficientes:, 7,. er miembro. o miembro Grado de una ecuación: x " Primer grado (x - )? (x - ) x - 7x + 0 " Segundo grado Operando Señala el grado de las siguientes ecuaciones. a) x + 6 x + b) x + x - x - x c) 7(x - ) (x - ) - (-x - ) Cuál de los números es solución de la ecuación x - 9 (x - )? a) b) - c) d) - 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 0 7/0/0 6:9
46 OBJETIVO RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO UNIDAD NOMBRE: CURSO: ECHA: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Resolver una ecuación es obtener el valor de la incógnita que cumple la ecuación. Para ello se emplea la transposición de términos, pasando todos los términos con x a un miembro y todos los números al otro. Se deben tener en cuenta las siguientes reglas. Regla de la suma: un término que está sumando en un miembro de la ecuación pasa al otro miembro restando, y si está restando, pasará sumando. Regla del producto: un término que está multiplicando en un miembro de la ecuación pasa al otro miembro dividiendo, y si está dividiendo, pasará multiplicando. Resuelve la ecuación por transposición: 6x + 8 x - Si restamos 8 en los dos miembros, eliminamos el término +8 del primer miembro. Esto equivale a pasar directamente el término +8 al segundo miembro como -8. Igualmente, para eliminar x del segundo miembro lo pasamos al primero como -x. Operamos y, en la ecuación obtenida, x -, pasamos el, que está multiplicando en el primer miembro, dividiendo al segundo miembro. 6x + 8 x - 6x + 8 x - " " 6x - x x - x - - " ADAPTACIÓN CURRICULAR Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x + 8 x + d) x - x - x + x - b) x - x + + x - 9 e) x + + x + c) 9x - x x + f) 6x + x + x + - x - 9 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7/0/0 6:9
47 OBJETIVO RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON PARÉNTESIS Y DENOMINADORES NOMBRE: CURSO: ECHA: ECUACIONES CON PARÉNTESIS Para eliminar los paréntesis de una ecuación: Si el paréntesis va precedido del signo +, se dejan los términos de su interior tal y como aparecen. x + (x - + x ) x + x - + x Si el paréntesis va precedido del signo -, se cambia el signo de todos los términos de su interior. x - (x - + x ) x - x + - x Resuelve la ecuación. (x + ) - 7x + x - a) Quitamos paréntesis: x + - 7x + x - b) Reducimos términos semejantes: -x + 6 x - c) Transponemos términos: 6 + x + x " 8 6x 8 d) Despejamos la x: x 6 " x e) Comprobamos la solución: (x + ) - 7x + x - Si x " ( + ) - 7? +? -? La solución es correcta, porque el resultado es el mismo número en ambos miembros. Resuelve la ecuación: [(x + )? - 7] 0x - 8 a) Quitamos paréntesis. b) Reducimos términos semejantes. c) Transponemos términos. d) Despejamos la x. e) Comprobamos la solución. La solución es correcta si el resultado final es el mismo número en ambos miembros. MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7/0/0 6:9
48 UNIDAD ECUACIONES CON DENOMINADORES Para eliminar los denominadores de una ecuación hay que calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores y multiplicar los dos miembros de la ecuación por ese número. Resuelve la ecuación. 7x- x+ 7-7 a) Calculamos el m.c.m.: m.c.m. (, ) 0 b) Multiplicamos la ecuación por 0: 0 0 (7x - ) - 0? 7 (x + 7) (7x - ) - 0? 7 (x + 7) c) Quitamos paréntesis: x x + d) Reducimos términos semejantes: x - 8 x + e) Transponemos términos: x - x + 8 " x 99 f) Despejamos la x: x 99 g) Comprobamos la solución: 7x - x ? Si x " " ADAPTACIÓN CURRICULAR Resuelve la siguiente ecuación: x+ ( x+ ) - a) Calculamos el m.c.m. b) Multiplicamos la ecuación por el m.c.m. c) Quitamos paréntesis. d) Reducimos términos semejantes. e) Transponemos términos. f) Despejamos la x. g) Comprobamos la solución. MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7/0/0 6:9
49 RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON PARÉNTESIS Y DENOMINADORES Resuelve las ecuaciones y comprueba la solución. a) (x - ) - (x - ) 0 b) (x - ) - (x + 8) 6(x + ) - c) x- x- x - 7 x d) ex- o+ (x- ) + + ( x + ) 7 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7/0/0 6:9
50 OBJETIVO RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO UNIDAD NOMBRE: CURSO: ECHA: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se expresa de la forma: ax + bx + c 0 Donde a, b y c son números reales y a! 0 La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado es: b! b ac x - - a Resuelve la ecuación. x(x + ) - (x + ) a) Quitamos paréntesis: x + x - x - b) Reducimos términos semejantes: x + x - c) Como es una ecuación de. o grado, pasamos todos los términos a un miembro: x + x d) Aplicamos la fórmula general. Para ello identificamos los términos: ax + bx + c 0 x + x " a, b y c -6 ADAPTACIÓN CURRICULAR b! b ac!??( 6)! x a?! x -! $ x - x x - + $ x -- - $ x - e) Comprobamos las soluciones: x(x + ) - (x + ) Si x -----" ( + ) - ( + )? -? 0-6 x(x + ) - (x + ) Si x - " -(- + ) - (- + ) -? 0 -? (-) 0 + MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7/0/0 6:9
51 RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Resuelve la siguiente ecuación: (x + )x - (x + ) x ( - x ) - x (x + )x - (x + ) x ( - x ) - x Quitamos los paréntesis: x Como es una ecuación de.º grado, pasamos todo a un miembro: Operamos: 0 x + x - 0 " a, b y c - b! b ac Utilizamos la fórmula: x - - a!??( ) x - - -?! ( ) ( ) x - + 6! x - 6 ( )! ( ) x - 6 x x Comprobamos si las soluciones son correctas: (x + )x - (x + ) x ( - x) - x Si x " ( + ) - ( + ) ( - ) - Por tanto, x es solución. Si x " ( + ) - ( + ) ( - ) - Por tanto, x también es solución. 6 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 6 7/0/0 6:9
52 UNIDAD Resuelve la ecuación: x(x - ) + x ADAPTACIÓN CURRICULAR Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x - x + 0 x x Comprobamos el resultado: b) x - 0x x x Comprobamos el resultado: MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 7 7/0/0 6:9
53 OBJETIVO RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES NOMBRE: CURSO: ECHA: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Los cuatro pasos que debes dar para resolver un problema son: a) Leer detenidamente el enunciado. b) Plantear el problema. c) Resolver el problema. d) Comprobar el resultado. El perímetro de una parcela rectangular es de 90 metros y mide metros más de largo que de ancho. Cuáles son sus dimensiones? Recordamos antes de empezar dos fórmulas básicas: Área del rectángulo b? a a Perímetro del rectángulo a + b b a) Leer detenidamente el enunciado (puede ser útil realizar un dibujo básico o esquema). b) Plantear el problema. Si el lado menor es x, cuál será el lado mayor si es metros más largo que el menor? El lado mayor será x +. Por tanto: x ----" lado menor de la parcela x + " lado mayor de la parcela Como el perímetro de la parcela mide 90 metros " x + (x + ) 90 c) Resolver la ecuación. x + x " x 80 " x 0 Lado menor: 0 metros Lado mayor: 0 + metros d) Comprobar la solución. x 0 x + (x + ) "? 0 +? (0 + ) 90 " 0 +? 90 " Miguel tiene ahora cuatro años más que su primo Ignacio y, dentro de tres años, entre los dos sumarán 0 años. Cuántos años tiene cada uno? a) Lee despacio el enunciado. b) Plantea el problema, organizando la información. HOY DENTRO DE AÑOS Miguel tiene x + años + años x + + Ignacio tiene x años + años La suma de ambos números es 0 c) Resuelve el problema. d) Comprueba el resultado. 8 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 8 7/0/0 6:9
54 UNIDAD Un campo de fútbol mide 0 metros más de largo que de ancho y su área es m. Calcula sus dimensiones. a) Lee detenidamente el problema. b) Plantea la ecuación. Su área es m ADAPTACIÓN CURRICULAR c) Resuelve la ecuación. d) Comprueba el resultado. Calcula el valor de x sabiendo que el área total de la figura es. a) Lee detenidamente el problema. b) Plantea la ecuación. x x x Área Área Área Las tres áreas suman. c) Resuelve la ecuación. d) Comprueba el resultado. MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 9 7/0/0 6:9
55 RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES Un padre cede a un hijo de su capital, a otro y a un tercer hijo le da el resto, que son Cuál era su capital? Si a mi edad le resto el cuadrado de su quinta parte resultan 6 años. Qué edad tengo? 6 Halla dos números consecutivos, tales que añadiendo al cuadrado del mayor la mitad del menor resulta 7. 7 María dice a Daniel: «Si al cuadrado de mi edad le resto ocho veces mi edad, el resultado es el triple de la edad que tú tienes». Si la edad de Daniel es 6 años, cuál es la edad de María? 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 0 7/0/0 6:9
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