TRIGONOMETRÍA. =60 ; 1 = de 1 1 =60 60

Transcripción

1 TRIGONOMETRÍA SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Pr medir ángulos se utilizn: 1. Sistem sexgesiml: L unidd de medid en este sistem es el grdo sexgesiml Un ángulo mide un grdo sexgesiml (1 0 ) si su ro entrl orrespondiente, es l tresients sesentv prte de l irunfereni. Por tnto: Un ángulo ompleto (quél uyo ro es un irunfereni) mide Un ángulo llno mide Un ángulo reto mide Cd uno de los 60 ángulos igules en los que podemos dividir el ángulo de 1 0 mide 1 minuto (1 ), y d uno de los 60 ángulos igules en los que podemos dividir el ángulo de 1 mide 1 segundo (1 ). 1 1 de ; 1 de Sistem nturl L unidd de medid en este sistem es el rdián (1 rd.). Un ángulo mide 1 rdián si l trzr uno ulquier de sus ros, l longitud de diho ro oinide on l del rdio on que se h trzdo. L definiión de rdián no depende del rdio elegido pr trzr el ro. Un ángulo ompleto (360 0 ) ontiene π rdines, y que omo l longitud de un irunfereni es π r, ontiene su rdio π r r π vees. Luego: Un ángulo llno (180 0 ) ontendrá l mitd, es deir π rdines. Un ángulo reto (90 0 ) ontendrá π rdines. 1

2 EQUIVALENCIA ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS Amos de ver que: π rd π rd π rd. Si queremos ser untos rdines (β rd.) mide un ángulo que mide α 0, o vievers, tendremos en uent l siguiente proporión: 0 0 α 180 β rd. π rd. EJERCICIOS: 1. Expres en rdines los siguientes ángulos: 45 0, 30 0, 60 0, 300 0, 330 0, Expres en grdos sexgesimles los ángulos. 3π rd 4 7π, rd 6 3π, rd 7π, rd. 3. Cuántos grdos sexgesimles mide un ángulo de 1 rd.? 3. Hz los ejeriios n 0 3 y 36 de l págin 136 de tu liro. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO Ddo un ángulo α gudo (0< α <90 0 ), se definen pr él los siguientes números onstntes, llmdos rzones trigonométris de α. Tommos un punto A ulquier, sore ulquier de sus ldos y trzmos l perpendiulr diho ldo por A, formándose un triángulo retángulo BAC. Se definen los números siguientes: Seno de α teto opuesto α, sen α hipotenus Coseno de α teto ontiguo α, os α hipotenus

3 teto opuesto α Tngente de α, teto ontiguo α Llmds rzones trigonométris direts de α. tg α Cosente de α hipotenus, teto opuesto α ose α Sente de α hipotenus, teto ontiguo α se α Cotngente de α teto ontiguo α, teto opuesto α otg α Llmds rzones trigonométris inverss de α (por ser inverss de ls nteriores). Vemos que ls seis rzones trigonométris definids pr un ángulo α son números onstntes, es deir que, no dependen del triángulo retángulo que hllmos formdo: Si formásemos otro triángulo retángulo distinto BA C, serí semejnte l BAC (tienen los tres ángulos igules), luego sus ldos serín proporionles. Por lo tnto: sen α Igul ourre on ls demás rzones trigonométris. ; nos drí el mismo número eligiendo un triángulo u otro. Si nos fijmos en ls definiiones, omo l hipotenus es myor que ulquier teto: 0< sen α < 1; 0<os α <1; ose α >1; se α >1 (undo α es gudo). Ls rzones trigonométris no se expresn en ningun unidd. Ejemplo: Clul ls rzones trigonométris de los ángulos gudos del siguiente triángulo retángulo: sen α 3 0, 6 5 ose α ) 1, os α 4 5 0, 8 se α 1, tg α 3 0, 75 4 otg α ) 1,

4 Y pr β? Sigue tú. EJERCICIOS: De l págin 16 de tu liro (Sntilln), hz el nº 1 y el nº. De l págin 136 los nº 6, 7, y 8. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ANGULOS: 30º, 45º, 60º Estúdilo en tu liro (Ed. Sntilln) (pregunt nº 3 de este tem). EJERCICIOS: De l págin 18 los nº 7, 8 y 9. De l págin 137 los nº 45, 46, y 48. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Ddo un ángulo gudo α, formmos un triángulo retángulo ulquier que lo teng omo uno de sus ángulos gudos. Se verifin ls siguientes reliones: I) Relión fundmentl de l trigonometrí Se umple que (sen α ) + (osα ) 1, o esrito de otr form sen α + os α 1 Demostrión: Si nos fijmos en el triángulo nterior, tenemos que sen α, y os α ; por tnto sen α + os α q.d. T. de Pitágors: + II) ) senα tg α ) os α osα otg α senα 4

5 Demostrión: sen α ) senα osα osα osα ) senα tg α otgα.q.d..q.d. III) ) 1 ose α ) sen α 1 se α ) os α otg α 1 tgα Demostrión: 1 1 ) Como sen α, tendremos que ose α.q.d. senα Igul se demuestrn ls demás. IV) Reliones seundris: ) 1 + tg α se α ) 1 + otg α ose α Demostrión: ) 1 + tg senα sen α os α + sen α 1 α se α osα os α os α os α.q.d. ) 1 + otg os α os α sen α + os α 1 α ose α sen α sen α sen α sen α.q.d. EJERCICIOS: De l págin 17 de tu liro, hz el nº 4 y el nº 5. De l págin 136 los nº 34, 35, 36, 40, 41, 4, 43, 44. Uso de l luldor. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo es lulr todos sus elementos, es deir, lulr todos sus ldos y ángulos desonoidos. Pr ello es neesrio onoer omo mínimo tres de sus elementos, siendo por lo menos uno de ellos un ldo. 5

6 Si el triángulo que queremos resolver es retángulo, tendremos en uent: El Teorem de Pitágors + Bˆ + Ĉ 90º L definiión de ls rzones trigonométris de Bˆ y Ĉ, y ls reliones entre ells. El Teorem del teto y el Teorem de l ltur. EJERCICIO: En un triángulo retángulo se onoen l hipotenus 5 m. y un teto 4 m. Clul los demás elementos. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA AMPLIACIÓN DEL CONCEPTO DE ÁNGULO L interpretión del ángulo omo l porión de plno limitdo por dos semirrets on un origen omún, limit los vlores de los ángulos entre 0º y 360º. Sin emrgo es posile y desele pr muhs situiones, disponer de un definiión que permit l existeni de ángulos on mplitudes superiores 360º o, inluso, mplitudes negtivs. Ejemplo: Pr ehr del todo un errdur hy que girr l llve dos vuelts y medi. ) Qué ángulo, en grdos, hrá que girr l llve pr rir l errdur? ) Si solo está ehd un vuelt y quiere errr del todo, qué ángulo hrá que girr l llve? Soluión: ) Hy que girr l llve,5 vuelts l izquierd. Como un vuelt omplet son 360º, hrá que girr l llve,5 360º 900º l izquierd. ) Ahor deemos girr l llve 1,5 vuelts l dereh, es deir 1,5 360º 540º l dereh. Un form lterntiv de dr los resultdos sin neesidd de esriir l izquierd o l dereh es esriir +900º en el prtdo y 540º en el prtdo. El signo indi que el giro lo hemos ddo hi l dereh (sentido en el que se mueven ls gujs de un reloj) y el signo + indi que hemos girdo hi l izquierd (sentido ontrrio en el que se mueven ls gujs de un reloj). 6

7 REPRESENTACIÓN DE ÁNGULOS Pr representr ángulos omprendidos entre 0º y 360º, e inluso myores de 360º o negtivos, se utiliz l irunfereni goniométri. Se le llm sí l irunfereni que tiene de rdio l unidd. Normlmente se tom entrd en el origen de oordends. Los ángulos se representn siempre hiendo oinidir su vértie on el origen de oordends y su primer ldo on el semieje positivo de siss. Se onsidern positivos si el giro se he en sentido ontrrio en que se mueven ls gujs de un reloj, y negtivos si se he en el mismo en que se mueven ls gujs de un reloj. + α α Utilizndo est representión, todo ángulo se le puede soir un ángulo positivo omprendido ente 0º y 360º, llmdo ángulo reduido del primero. En l irunfereni goniométri, el segundo ldo de un ángulo y el de su reduido oiniden. Ejemplo: Clul los ángulos reduidos soidos 1000º, 10º. Soluión: 1000º 360º + 80º, y que l dividir 1000 entre 360 se otiene de oiente y 80 de resto. Luego el ángulo reduido de 1000º es 80º. Como 10º º; el, ángulo reduido de 10º es 150º. Cundo fijmos unos ejes de oordends rtesins retngulres, el plno qued dividido en utro zons o udrntes. II III I IV Si un ángulo α umple que 0º< α <90º (0 rd.< α < π/ rd.), omo el segundo ldo del ángulo estrí en el primer udrnte, diremos que α es un ángulo del primer udrnte. Si 90º< α < 180º (π/ rd. < α <π rd.) serí del segundo udrnte, et Lo resumimos en l tl siguiente: 7

8 1 er Cudrnte º Cudrnte 3 er Cudrnte 4º Cudrnte 0º < α <90º 90º < α < 180º 180º < α < 70º 70º < α < 360º π 0 rd.< α < rd. π 3π 3π rd. < α < π rd. π rd. < α < rd. rd. < α < π rd. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DEL 1 er CUADRANTE A α En l figur siguiente se h representdo un ángulo del primer udrnte α. Se A el punto de orte del segundo ldo del ángulo on l irunfereni goniométri y A su proyeión sore el primer ldo (eje OX). Se B el punto de orte de l irunfereni goniométri on el eje OX y A el punto de orte del segundo ldo del ángulo on l perpendiulr l eje OX en el punto B. Reordndo ls definiiones de ls rzones trigonométris pr ángulos gudos y teniendo en uent que l hipotenus del triángulo retángulo OA A mide 1, tendremos que: sen α os α AA AA AA, que es l ordend del punto A. OA 1 OA OA OA, que es l sis del punto A. OA 1 tg α ordend del punto A sis del punto A AA A"B OA ( ) OB ( ) T m de Thles, pues OA A OBA A"B 1 A" B, que es l ordend del punto A. Est nuev definiión de ls rzones trigonométris en funión de ls oordends de puntos se puede extender y plir fáilmente ulquier ángulo no gudo. 8

9 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DEL RESTO DE LOS CUADRANTES Si α es un ángulo del º, 3º, o 4º udrnte, en todos los sos este ángulo determin los puntos A y A, uys oordends nos vn dr ls rzones trigonométris de uerdo on l definiión utilizd en el so del primer udrnte. Así, si A(x, y) y A (1, y ), se definen: sen α y os α x tg α y º CUADRANTE: 3 er CUADRANTE 4º CUADRANTE α α tg α α tg α tg α Teniendo en uent el signo de ls oordends de un punto en los distintos udrntes, se determin de form inmedit el signo de ls rzones trigonométris de un ángulo si se se en qué udrnte se enuentr su ángulo reduido orrespondiente. α Cudrnte de α sen α os α tg α I (+, +) II (, +) + III (, ) + IV (+, ) + VALOR DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS A prtir de l definiión, es fáil ver que: 1 sen α 1 1 os α 1 < tg α < + Al ser l osente y l sente ls rzones inverss del seno y del oseno respetivmente, sus signos oiniden on los de éstos y se umple que: ose α (, 1] [1, + ] se α (, 1] [1, + ) En el so de l otngente, omo invers de l tngente, oinide on su signo en d udrnte y puede tomr ulquier vlor rel. < otg α < + 9

10 Tmién plindo l definiión, tendremos que: α sen α os α tg α ose α se α otg α 0º 0 rd No definid 1 No definid 90º π/ rd. 1 0 No definid 1 No definid 0 180º π rd No definid 1 No definid 70º 3π/ rd 1 0 No definid 1 No definid 1 OBSERVACIÓN: α A r y x y Aunque se h utilizdo un irunfereni de rdio l unidd pr extender l definiión de ls rzones trigonométris, el proedimiento hrí sido igul pr un rdio diferente. En este so, ls rzones trigonométris no serín diretmente ls oordends de A y A, sino dividids por el rdio de l irunfereni utilizd: y x y sen α os α tg α r r r EJERCICIO: Indi el signo de ls rzones trigonométris direts de los ángulos siguientes: ) 10º ) 70º ) 56º d) 800º e) 315º f) 100º 11π 4π 7π g) 55º h) 460º i) rd. j) rd. k) rd. l) π rd. 4 REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Consiste en relionr ls rzones trigonométris de un ángulo ulquier on ls rzones trigonométris de un ángulo gudo (ángulo que pertenee l primer udrnte). 10

11 ÁNGULOS DEL SEGUNDO CUADRANTE: ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Si β es un ángulo del segundo udrnte, existe un ángulo α del primer udrnte (su suplementrio) tl r 1 que β 180º α (α + β 180º y α180º β). Los triángulos OA A y OC C son igules, luego: sen β os β CC AA sen α OC OA os α tg β BD A" B tg α Resumiendo: Si l unidd ngulr que mnejmos fuese el grdo sexgesiml, sen β sen (180º β) os β os (180º β) tg β tg (180º β) Si l unidd fuese el rdián, sen β sen (π β) os β os (π β) tg β tg (π β) EJERCICIO: Clul ls rzones trigonométris del ángulo de 150º, medinte l reduión l primer udrnte.. ÁNGULOS DEL TERCER CUADRANTE: ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º Si β pertenee l terer udrnte, existe un ángulo α del primer udrnte (que se difereni de β en 180º) tl r 1 que β 180º + α (α β 180º). Los triángulos OA A y OC C son igules, luego: sen β CC AA sen α os β OC OA os α tg β A" B tg α Resumiendo: Si l unidd ngulr que mnejmos fuese el grdo sexgesiml, 11

12 Si l unidd fuese el rdián, sen β sen (β 180º) os β os (β 180º) tg β tg (β 180) sen β sen (β π) os β os (β π) tg β tg (β π) EJERCICIO: Clul ls rzones trigonométris del ángulo de 10º, medinte l reduión l primer udrnte. ÁNGULOS DEL CUARTO CUADRANTE: ÁNGULOS QUE SUMAN 360º. ÁNGULOS OPUESTOS r 1 Si β es un ángulo del urto udrnte, existe un ángulo α del primer udrnte (que es l difereni hst 360º de β), que umple que β 360º α (α 360º β). Los triángulos OA A y OA C son igules, luego: sen β A C AA sen α os β OA os α D tg β BD A" B tg α Resumiendo: Si l unidd ngulr que mnejmos fuese el grdo sexgesiml, sen β sen (360º β ) os β os (360º β ) tg β tg (360º β) Si l unidd fuese el rdián, sen β sen (π β) os β os (π β) tg β tg (π β) EJERCICIO: Clul ls rzones trigonométris del ángulo de 330º, medinte l reduión l primer udrnte. Ddo un ángulo α, si representmos los ángulos 360º α y α (opuesto de α) en l irunfereni goniométri; el segundo ldo de mos ángulos es el mismo. Por tnto tmién lo serán sus rzones trigonométris, luego podemos esriir: r 1 1

13 sen( α) sen(360º α) sen α os( α) os(360º α) os α tg( α) tg(360º α) tg α RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Si β es el ángulo omplementrio de α, se umple que β 90º α (α +β 90º y α 90º β) Los triángulos OA A y OB B son igules, luego: sen β BB OA os α O os β OB AA sen α tg β sen β os α os β senα otg α Resumiendo: Si l unidd ngulr que mnejmos fuese el grdo sexgesiml, sen β os (90º β ) os β sen (90º β ) tg β otg (90º β) Si l unidd fuese el rdián, sen β os (π/ β) os β sen (π/ β) tg β otg (π/ β) RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS β [0, 360º) Ls rzones trigonométris de un ángulo β [0, 360º) son ls de su ángulo reduido, y que l representrlos en l irunfereni goniométri el segundo ldo de mos oinide. Puede ourrir que: 1. β 360º. En este so pr lulr el ángulo reduido hrá que dividir β entre 360º. Si llmmos n l oiente y α l resto de dih división, tendremos que β 360 n + α. Por tnto α es su ángulo reduido. Ejemplo: Si β 940º, dividimos 940 entre 360 y otenemos de oiente y 0 de resto. Luego 940º 360º + 0. El ángulo reduido de 940º es 0º. 13

14 . β < 0º. Si 360º < β < 0, su ángulo reduido será α β + 360º. Ejemplo: Si β 60º, su ángulo reduido es α ( 60º) + 360º 300º. Ls rzones trigonométris de 60º serán ls misms que ls de 300º.. Si β 360º, dividimos β (que será positivo) entre 360º. Llmndo n l oiente y α l resto de dih división (α<360º), tendremos que β 360 n + α. Multiplindo por 1 los dos miemros, β 360 n α. Ls rzones trigonométris de β serán igules ls de α; y omo 360º< α <0º, se luln omo en el prtdo. Ejemplo: Clul ls rzones trigonométris de β 780º Dividimos ( 780) 780 entre 360, el oiente es y el resto 60, luego Por tnto ls rzones trigonométris de 780º serán ls misms que ls de 60º, (que y vimos omo se luln en el prtdo ). 14