SOLUCIONARI Unitat 2. Comencem. Exercicis

Transcripción

1 SOLUCIONARI Unitat Comencem Representa en paper mil limetrat la funció f() + 4. Traça amb la màima cura possible la recta tangent a la paràbola en el punt P(, ). Mesura amb un transportador l angle que forma aquesta recta amb el sentit positiu de l ei d abscisses. La tangent trigonomètrica d aquest angle és el pendent de la recta tangent que has traçat. Fes-ne el càlcul.. Dibuia la recta tangent a la corba representada a la gràfica (fig..7) en els punts d abscisses, 0 i. a) Quin és el signe del pendent de cadascuna d aquestes tangents? En, pendent positiu; en 0, pendent negatiu; en, pendent positiu. b) Quin signe tenen f ( ), f (0) i f ()? f'( ) > 0; f'(0) < 0; f'() > 0 4. A partir de la gràfica (fig..8), fes una estimació dels valors de f (), g ( ) i h (0). f'() ; 0,7; g'( ) 0; h'(0) ; 0,4 Fig.. a ; 64º m tg tg 64º ; La funció derivada de la funció f() + 4 és f () + 4. Calcula f (). Eercicis f'() Troba l equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f() 0 + en. f () (, 5) f'() 6 0 m tg f'() y + 5 ( ) y y 9. Considera la funció f() +. En quins punts de la gràfica d aquesta funció la recta tangent és paral lela a la recta y + 5? Es tracta de buscar els valors de per als quals es complei que f' (). f() + f'() ± f() + f( ) ( ) + Els punts són (, ) i (, ) 5. Considera la funció f() + 5. Digues en quin punt del gràfic d aquesta funció la recta tangent forma un angle de 45 amb el sentit positiu de l ei d abscisses. Aquesta funció, és creient o decreient en aquest punt? Per què? Com que tg 45º, es tracta de determinar el valor o valors de per als quals es verifica que f'(). f() + 5 f'() f() + 5 (, ) En el punt (, ) la funció és creient, ja que f' () > Esbrina quins són els punts de la gràfica de la funció f() que tenen tangent paral lela a l ei d abscisses. f() f'() Si la recta tangent és paral lela a l ei 0X, m tg tg 0º 0. Per tant, es tracta de trobar quins són els valors de que compleien l equació: f'() 0 0 ( ) 0 0 i 4 0 f(0) 4 4 f(4) 8 Els punts són (0, 4) i (4, 8) 7. Indica raonadament per què la funció f() és decreient en tots els punts del seu domini. Matemàtiques. Batillerat

2 Perquè f '( ) -, i, per tant, f'() < 0 per a qualsevol ÎR, ¹ La gràfica de la funció f() + b + c presenta un mínim en el punt (, ). a) Calcula b i c. Es complei: f() 9 + b + c b + c 0 f'() 0 amb f'() + b b b 6 ( 6) + c 0 c 8 La funció és f() b) Representa gràficament la funció per verificar el resultat de l apartat anterior. d) i() 5 0, perquè la recta tangent és perpendicular a l ei 0X. Representa gràficament la funció: f ( ) ì4- si 0 í î + 4 si > 0 És contínua en 0? I derivable? Fig.. Es continua en 0, ja que Fig.. 9. Els gràfics de les funcions polinòmiques de segon grau f() a + b + c sempre tenen un màim o un mínim. Demostra que es troba localitzat en el punt d abscissa 0. -b a Cal que f'() 0, ja que en un màim o en un mínim la gràfica de la funció presenta sempre tangent horitzontal. f' () a + b 0 a + b b/a 0. Digues en quins punts no són derivables cadascuna de les funcions següents i indica n en cada cas el motiu: a) f() b) g() 0, perquè no pertany al D f i, perquè no pertany al D g c) h() , perquè no pertany al D h Per tant, f'(0 + ) i f'(0 ) 0. Com que f'(0 + ) ¹ ¹ f'(0 ), la funció no és derivable en 0.. Donada la funció: lim f( ) lim f( ) f(0) 4 ì- si 0 f '( ) í î si > 0 ìa + b si < f( ) í î + si ³ Troba a i b perquè sigui derivable en. lim f( ) a + b; lim f( ) ; f() - + La funció ha de ser continua en a + b. ìa si < f '( ) í î4 si ³ En conseqüència: f'( ) f'( + ) a 8 a + b ü ý 6 + b b - 5 a 8þ. La funció f() és, en realitat, una funció definida a trossos: ìï si o ³ 4 f( ) í ïî si < < 4 Matemàtiques. Batillerat

3 La gràfica de la funció es pot obtenir fàcilment a partir de la gràfica de la funció g() Dibuia els gràfics de les dues funcions. Estudia la continuïtat i la derivabilitat de la funció f() en i en Troba la funció derivada de cadascuna de les funcions següents: a) f() sin + 5 f '( ) cos b) f() 4 cos sin + f '( ) -4sin -cos c) ln f( ) + 7 Fig..4 f () és contínua en i en 4, ja que es complei: En canvi, la funció no és derivable ni en ni en 4. f'( ) ; f'( + ) f'( ) ¹ f'( + ) f'(4 ) ; f'(4 + ) f'(4 ) ¹ f'(4 + ) 4. Sabem que la funció f() no és derivable en. Calcula 4 - b b. L epressió 4 b s anul la per a : 4 b 0 b 5. Definei a trossos la funció f() +. Representa-la gràficament i indica raonadament en quin punt no és derivable. Fig..5 lim f( ) lim f( ) f() lim f( ) lim f( ) f(4) ì - 6 si o ³ 4 f '( ) í î si < < 4 ì + si ³ - f '( ) í î - - si < - No és derivable en, ja que f'( + ) i, en canvi, f'( ). Per tant, f'( + ) ¹ f'( ) d) f() log + ln 9 7. Determina els punts d abscisses compreses entre 0 i p en els quals la recta tangent a la gràfica de la funció f() sin és paral lela a l ei OX. Escriu les equacions d aquestes rectes tangents. p mtg 0 f '( ) 0 cos 0 i p p æp p æp f ç sin - ç, - è è L equació de la recta tangent a la gràfica de æp f() sin en el punt ç, és y ; en el punt è æ p ç, -, la recta tangent té per equació y. è 8. Determina l equació de la recta perpendicular a la recta tangent a la gràfica de la funció f() cos en. Aquesta recta s ano- p 6 mena recta normal a la gràfica de la funció en aquest punt. mtg f '( ) - 7 f '( ) ln - p æp p æp f ç sin ç, è è f() cos f'() sin p æp p æp f ç cos ç, 6 è6 6 è6 æp p æ f ' ç - sin - ç - è6 6 è - m normal Matemàtiques. Batillerat

4 Equació de la normal: æ p p y - -ç - Þ + y è Hi ha algun punt de la gràfica de la funció f() log que tingui recta tangent paral lela a la bisectriu del primer quadrant i del tercer? Si la resposta és afirmativa, troba l equació d aquesta recta tangent. Bisectriu primer i tercer quadrants: y m. æ æ El punt és ç, log ç ; (,44, 0,5) èln èln Equació de la recta tangent: y 0,5,44 y + 0, Justifica per què la gràfica de la funció f() ln no pot tenir ni màims ni mínims. Perqué la funció derivada, f'(), no s anul la per a cap valor real de :. Calcula la derivada de les funcions següents: a) f() f( ) log f '( ) ln f '( ) ln ln log ln f æ ç æ ç èln èln - -/ - f '( ) ( - ) (- ) b) f() sin ( + 5) c) f() ln (cos ) d) f() ( ) 0, ¹ " Î (- ) f'() cos ( + 5) - sin f '( ) -tg cos f'() ( ) ( ) 6 ( ) e) f() cos + f) f() sin (ln ) g) f() sin + sin h) f() i) f() ( + 4) f'() cos sin f'() sin cos + cos (sin cos + cos ) f '( ) ln0 - ln0 - j) f() sin (cos (ln )) -cos(cos(ln )) sin(ln ) f '( ) k) f() ln [sin ( )] -cos( -) f '( ) -cotg( -) sin( - ) l) f() cos ( ) cos(ln ) f '( ) f'() 6 cos ( ) sin ( ). Calcula la derivada de la funció f() sin + cos. Interpreta n el resultat obtingut. f'() 0, perquè f() sin + cos. Troba l equació de la recta tangent al gràfic p de la funció f() sin en. 4 p æp p æp f ç sin ç, 4 è4 4 è4 æp f '( ) 4 sin cos ; mtg f' ç è4 p p 4sin cos 4 4 Equació de la recta tangent: ( 4) f '( ) ( + 4) ( + 4) æ p p y - ç - - y è 4 Matemàtiques. Batillerat 4

5 4. Indica per a quins valors de és creient la funció f() ln ( + ). Per què? Té la gràfica d aquesta funció algun punt en el qual la recta tangent tingui pendent nul? Si la resposta és afirmativa, de quin punt es tracta? La funció es creient per a ÎR+, ja que si > 0 es verifica f'() > 0. La recta tangent a la gràfica de la funció té pendent mil en el punt (0,0). 5. Calcula la funció derivada de les funcions següents: a) f() cos f'() cos + ( sin ) ( cos sin ) b) f() ln + ln + c) f() 7 cotg + d) f() sin + cos e) f() - sin -(sin + cos ) (-cos ) cos - sin + (-sin ) ( -sin ) f) f() ( + ) g) f() f '( ) + + mtg 0 f '( ) f(0) ln 0 ln f '( ) ln + + ln + ln + cos f( ) 7 + f '( ) sin -sin -cos -7 7 sin sin f '( ) ( - + ) (cos -sin )( -sin ) - f '( ) (- sin ) - f '( ) ( + ) + cos + 5 sin h) f() cos - sin cos -sin f '( ) 4 - i) f() ( - ) -( - ) + ( - ) f '( ) 4 ( -) + 6 ( -) ln j) f() - ( - ) + ln ln '( ) - + f (-) ( -) + k) f() ln - l) f() ( ) log f '( ) -( - ) log + ( - ) ln æ - (-) ç - log + è ln 6. Utilitzant la derivada logarítmica, demostra k que la derivada de la funció f() és g ( ) - k g'( ) f (). [ g ( )] sin f '( ) tg cos / + æ+ æ+ f( ) ln ln ln ç ç - è- è- [ln( ) ln( )] æ f '( ) ç + è+ - æ ç + è k k f( ) ln f( ) ln ln k ln g( ) g ( ) g ( ) - f '( ) '( ) '( ) - g f '( ) -f( ) g f ( ) g ( ) g ( ) Matemàtiques. Batillerat 5

6 Per tant: k g'( ) -kg'( ) f '( ) - f '( ) g ( ) g ( ) [ g ( )] 7. La derivada de la funció f() tg es pot epressar f () + tg. Per què? sin Perquè f '( ) i, + tg + cos cos En conseqüència: 8. Troba l equació de la recta tangent al gràfic de la funció f() en. A quin + punt del gràfic d aquesta funció la recta tangent és paral lela a l ei d abscisses? æ f (). El punt és ç, è ( + ) - f '( ) ( + ) ( + ) Equació recta tangent: Recta tangent paral lela a l ei 0X m tg 0 f' () 0 ( + ) m tg f '() 4 y - ( - ) - y f(0) 0 La recta tangent és paral lela a l'ei d'abscisses en el punt (0, 0). 9. Comprova que la derivada de la funció: + sin f() ln és f () - sin cos cos + cos f '( ) tg + sin f( ) ln [ln( + sin ) -ln( -sin )] - sin æ cos cos cos f '( ) ç + è+ sin -sin cos cos 0. Calcula la derivada de les funcions: a) f() e ln ( + 4) f '( ) e ln( + 4) + e + 4 b) f() sin [cos (e + )] f '( ) - e cos(cos(e + )) sin(e + ) e + c) f() e e e - e (e + ) -e - f '( ) (e ) e e e d) f() tg ( 7) e) f() ( ) cos ln f() cos ln ( ) f '( ) - sin ln( - ) + cos f( ) - cos é cosù f '( ) ( -) ê- sin ln( - ) + - ú ë û e + f) f() ln e é ù e êln( + 4) + + ú ë 4 û f '( ) f( ) ln(e + ) - lne ln(e + ) - e e -e - - f '( ) - e + e + e +. Donada la funció f() e, calcula f (). Escriu l equació de la recta tangent a la gràfica de f() en el punt on s anul la la seva derivada. Indica raonadament si aquesta funció és creient o decreient en 0. f '( ) e + e e ( + ) f '( ) 0 e ( + ) f ( ) e ln - cos ( 7) æ Punt: ç -, - ; pendent: m 0 equació tan- è e gent: y - e f'(0) > 0 la funció és creient en 0. e Matemàtiques. Batillerat 6

7 . Una petita mostra de material radioactiu conté bilió d àtoms. A conseqüència de la desintegració, el nombre N d àtoms de la mostra va disminuint a mesura que passa el temps t. La funció N f(t) que descriu aquesta situació és: N N 0 e t N f(t) N 0 e t N 0 e t on N 0 és el nombre inicial d àtoms que hi ha a la mostra i t, el temps transcorregut en anys. Es demana: a) Quants àtoms hi haurà a la mostra quan hagin passat 0 anys? I quan n hagin passat 00? t 5 anys N f(5) 0 e àtoms t 0 anys N f(0) 0 e 0 06 àtoms b) Quan és més ràpida la desintegració, als 0 anys o als 00 anys? N'(t) N 0 e t La desintegració és més ràpida per a t 5 anys, ja que: N'(5) 0 e 0 9, àt/s N'(0) 0 e 0 4 àt/s i, per tant, es complei: /N'(5)/ > /N'(0)/. Comprova que la derivada de la funció f() 5 s anul la en els punts 0. f'() ln5 5 ( + ln5) 0 f'() 0 5 ( + ln5) Z ] + ln Calcula la derivada de les funcions: + a) f() arc sin - - ln5 - i ln5 - -( + )( -) f '( ) æ+ (- ) - ç - è b) f() earc tg - (-) -( + ) (- ) (- ) (- ) (-) -4 - arctg arctg e f '( ) e + + c) f() ln [arc cos ( )] (-) f '( ) arccos( -) -( -) - arccos( -) - + d) f() arc tg arc tg - - -( + ) (-) f '( ) - æ+ (- ) + + ç è ( + ) e) f() - arc sin f '( ) - arcsin arcsin - arcsin f) f() arc cos (cos ) (-) - - (- ) + ( + ) (- ) + f() arccos(cos) f'() 5. Deduei la derivada de la funció g() a sabent que la seva funció inversa és f() log a i suposant coneguda f (). f( ) log a f'( ) lna g'( ) a lna - f '( f ( )) lna a Matemàtiques. Batillerat 7

8 6. Donada la funció f(), calcula f (), - 4 f () i f (). ( -4)- -8 f '( ) ( -4) ( -4) -8( - 4) + 8 ( -h) f ''( ) 4 ( - 4) ( -4) ( -4) 8( 4) 4 48 ( -4) -(4 + )( - 4) 6 f '''( ) ( - 4) 48 ( -4) -(4 + )6 4 ( - 4) ( - 4) ( 4) ( -4) ( -4) 7. Troba f (66) () i g (94) () per a les funcions f() sin i g() cos. f (66) () f''() sin g (95) () g () () sin 8. Per a la funció f(), calcula: f (), f (), f () i f (4) () Observa amb detall les funcions que has obtingut i deduei l epressió de la derivada f (n) (). f '( ) ln f ''( ) (ln) ü ï ï ( n) n f ( ) (ln) ý f '''( ) (ln) ï (4) 4 f ( ) (ln) ï þ æ f() - ç, - è æ - f '(- ) ç -, è æ æ Els punts són ç, - i ç -, è è Equacions de les rectes tangents: æ ç, - : y + ( - ) 4y + - è 4 æ ç -, : y - ( + ) 4y - + è 4-4y Dibuia en un paper mil limetrat la gràfica de la funció f() + 8. Tot seguit, fes una estimació a partir d aquesta gràfica dels valors de f () i f (5). Calcula analíticament f () i f (5) i compara els resultats amb els anteriors. f() + 8 f'() +8 f'() + 8 6; f'(5) Cal comparar aquests valors amb els valors obtinguts de manera eperimental, a partir de la gràfica de la funció.. Representa gràficament la funció: f -4y ( ) ì0 si < 0 í î si ³ 0 Aquesta funció és contínua en 0? I derivable? Justifica les respostes. Acabem. En quins punts de la gràfica de la funció f() la recta tangent és perpendicular a la recta 4 + y 0? Escriu les equacions d aquestes rectes tangents. 4 + y - 0 m - 4 m' 4 - f( ) f '( ) m' f '( ) ± 4 Fig..6 lim f( ) 0; lim f( ) 0; f(0) Es complei: lim f( ) f(0) 0 0 Per tant, la funció és contínua en 0. ì0 si < 0 f '( ) í î si ³ 0 Matemàtiques. Batillerat 8

9 És a dir, f'(0 ) 0 i f'(0 + ) f'(0 ) ¹ f'(0 + ) la funció no és derivable en Indica en quins punts és derivable la funció: ì ï si ¹ 0 f( ) í ï î0 si 0 Es derivable en tot R ecepte en 0. Es complei que f'() 0 per a ÎR, ¹ El gràfic d una funció f() és el de la figura.0. Sense calcular-ne l epressió analítica, representa gràficament la funció f (). Fig Troba les derivades laterals en 5 de la funció f() 0. És derivable en aquest punt? Per què? ì - 0 si ³ 5 f( ) - 0 f( ) í î si < 5 f'(5 + ) ; f'(5 ) f'(5 + ) ¹ f'(5 ) La funció no és derivable en Indica els intervals de creiement i decreiement i els punts estacionaris de la funció f(). - 4 ( -4)- -8 f '( ) ( -4) ( -4) D f R {, }; f'() 0 0, f(0) 0 (0, 0) Com que f'() > 0 per a < 0, ¹ i f'() < 0 per a > 0, ¹, es complei que: La funció és creient en els intervals (, ) i (, 0) La funció es decreient en els intervals (0, ) i (, + ) La funció presenta un punt estacionari a l'origen de coordenades. 8. La funció f() és creient o decreient en? Justifica la ( - ) resposta. f( ) f '( ) ( -) ( -) - ( -) ( -) - 4 ( -) ( -) f'() 4 < 0 f() és decreient en. 9. Donada la paràbola d equació f() + 5, es considera la recta r que unei els punts d aquesta paràbola, les abscisses dels quals són i. Troba l equació de la recta tangent a la paràbola que és paral lela a la recta r. f( ) f() 4 (, 4) f( ) f() 8 (, 8) La recta r conté els punts (, 4) i (, 8) m ( -) ( -) r f() -f() f'() i f'() m r f() 5 El punt de tangències és (, 5) m tg m r Equació de la recta tangent: y 5 ( ) y 5 4 y Aquesta és la representació gràfica de la derivada f () d una funció polinòmica f() (fig..). a) Quin és el grau d aquesta funció polinòmica? Per què? Grau. Perquè f'() és una funció polinòmica de primer grau, ja que la seva representació gràfica és una recta. b) Indica els intervals de creiement i decreiement de la funció f(). f'() > 0 > Creient: (, + ) f'() < 0 < Decreient: (, ) c) Té f() algun punt estacionari? Quin és? Sí,, ja que f'() 0.. Donada la funció f() e, resol les equacions f () 0 i f () 0. Matemàtiques. Batillerat 9

10 f'() e + e e ( + ) f''() e ( + ) + e e ( + ) f'() 0 e ( + ) f''() 0 e ( + ) Troba per a quin valor de a i b és contínua i derivable la funció: ì si f( ) í îa + b( - ) si > Contínua: Derivable: a a f'( ) f'( + ) a + b b a 6. Calcula la derivada de les funcions: a) f() sin 4 [ln ( + 5)] b) c) ( + ) ln f( ) + æ + ç ln + + -( + ) ln + f '( ) è + f ì si f( ) í Þ îa + b( - ) si > ì si Þ f '( ) í î a + b si > lim f( ) lim f( ) f() - + f '( ) 4sin [ln( + 5)]cos[ln( + 5)] 8sin [ln( + 5)]cos[ln( + 5)] ( ln + + ) + ( + ) ln ( ln + + )( + ) - ( + )ln + + ( ln + + )( + ) - ( + )ln ( + ) + + ( ) cos f '( ) - sin d) f ( ) tg f '( ) tg + cos + + e) f() [ + cos ( )] f '( ) [ + cos ( - )] cos( - ) [ cos ( )]cos( ) sin( ) f) f() log + g) f() sec ( ) f( ) sec ( - ) cos ( - ) cos( -)sin( - ) f '( ) 4 cos ( - ) h) f() arc sin ( ) sin(- ) (- ) - tg + + cos + 4 æ ç - ln è ln ( - 4) ln ( -4) 6 sin( -) 6 tg( -) cos ( -) cos ( -) tg( ) sec ( ) sin 6 f( ) - 4 / æ f( ) log log ç -4 è -4 [log - log ( - 4)] [log log ( 4)] - - æ f '( ) ç - lnè (4 - ) Matemàtiques. Batillerat 0

11 i) f() arc tg j) f() arc sin - æ arcsin arcsin + ç ln - - è - k) f() ( + ) ln f( ) ln( + ) ( + 5)ln( + ) f '( ) ln( + ) + ( + 5) f( ) + é ( + 5) ù f '( ) f( ) êln( + ) + + ú ë û + 5é ( + 5) ù f '( ) ( + ) êln( + ) + + ú ë û l) f() ln arcsin f '( ) ln ln m) f() sin sin cos -cos f '( ) 4 sin sin e + ln + cos n) f() é ù f '( ) êe + ln + sin ( - ) ú ë û o) f() ( + 6) (4- ) + 4 f '( ) 4 6 ( ) 4 æ ç è ( ) 9 0 f( ) ln(ln ) ln(ln ) f '( ) ln ln -cos cosec ln sin e / 5 ( 6) f '( ) ( + 6) ( + 6) p) f() e tg + tg f '( ) e + + cos tg -/ + e ( + ) é tg + e ê + ê cos ë ( + ) 4. El nombre N de bacteris d un determinat cultiu varia en funció del temps t epressat en hores, d acord amb l equació: t N 0 e a) Quin és el nombre inicial de bacteris en el cultiu? t 0 N(0) 0 bacteris. b) En quin moment crei més de pressa el nombre d aquests bacteris, quan t h o quan t 4 h? Per què? t N ' 0 e 5 e / t/ t h N'() 5e t 4 h N'(4) 5e N'(4) > N'() el nombre de bacteris crei més de pressa per a t 4 h. 5. Calcula les tres primeres derivades de la funció f() e. Deduei l epressió de la derivada enèsima f (n) d aquesta funció. f'() e ; f''() 9e ; f'''() 7e f (n) () n e 6. Tenint en compte que arc sec arc cos, calcula la derivada de la funció f() arcsec. De manera similar, pots calcular les derivades de les funcions g() arc cosec i h() arc cotg. Fes-ho. f( ) arcsec arccos - æ - f '( ) ç è - - f( ) arccosec arcsin æ - f '( ) ç - è - - ù ú úû Matemàtiques. Batillerat

12 f( ) arccotg arctg æ - f '( ) - ç + + è 7. Troba l equació de la recta normal al gràfic de la funció f() en els punts d ordenada nul la. f() , 5 (, 0) i (5, 0) Punt (, 0) mtg f '() m n Equació recta normal: y ( - ) y - -y - 0 Punt (5, 0) mtg f '(5) 5-7 m n - Equació recta normal: 5 y - ( - 5) y y Representa gràficament la funció f() +. Hi ha algun punt en el qual aquesta funció no sigui derivable? Justifica n la resposta. 0. Indica raonadament perquè la funció a f(), on a i b són nombres reals, no - b pot tenir punts estacionaris. La funció no pot tenir punts estacionaris, ja que f'() no s'anul la per a cap valor de real.. Se sap que la funció f() a + b + presenta un mínim en el punt (4, 4). Calcula a i b. f(4) 4 6a + 4b + 4 4a + b 4 f'() a + b; f'(4) 0 8a + b 0. Dibuia de manera aproimada el gràfic de la funció f() ln. Indica raonadament si hi ha algun punt en què aquesta funció no sigui derivable. Fig..9 -a f '( ) ( - b) 4a+ b -4ü ýa, b - 8 8a+ b 0þ La funció no és derivable en 0 perquè no eistei f(0) i, per tant, no pot ser-hi contínua. Fig..8 No. La funció és contínua i derivable a tot R. La seva gràfica és la mateia que la de la funció g() +, ja que f() > 0 per a tot ÎR. 9. Determina l epressió algèbrica de la funció f() que verifica les condicions següents: a) f (). Justifica el motiu pel qual la funció f() + no és derivable en 0. Perquè f '( ) no eistei f'(0). De fet, com que no eistei lim f( ), la funció - 0 no és contínua en 0 i, per tant, no pot eistir f'(). 4. Representa gràficament la funció f() log i, a partir d aquesta gràfica, dibuia la funció g() log. Per a quins valors de no eistei g ()? Per què? b) El seu gràfic passa pel punt (, 0) f() + n f() n n Per tant, f() + 4 Fig..0 Matemàtiques. Batillerat

13 La funció g() no és derivable en. Observa a partir de la gràfica que g'( ) ¹ g'( + ). ì - 4 ï si ¹ 5. La funció: f() í - és deriva- ï î si ble en? Per què? f() - 4 lim f( ) lim lim( + ) 4 - Com que lim f( ) ¹ f(), la funció no és contínua en. Aleshores, tampoc pot ser derivable en aquest punt. Matemàtiques. Batillerat

14