Universidad de Los Andes Álgebra lineal 1. Parcial 3 - Tema A. 20 de abril 2013 MATE 1105

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1 Universidad de Los Andes Álgebra lineal Parcial 3 - Tema A de abril 3 MATE 5 Esto es un examen individual. No se permite el uso de libros, apuntes, calculadoras o cualquier otro medio electrónico. Los celulares deben estar apagados durante todo el examen. Las respuestas deben ser justificadas. Cada pregunta vale puntos. Ejercicio I Se considera la matriz A = Mostrar que el polinomio característico de A es P A(λ) = (λ + ) (λ ).. Dé los valores propios de A e indique sus respectivas multiplicidades algebraicas. 3. Para cada valor propio λ de A, halle una base del sub-espacio propio correspondiente: E λ = ker(a λi 3). 4. Diga si A es diagonalizable y, en caso afirmativo, encuentre una matriz invertible C y una matriz diagonal D tales que C AC = D (se pide justificar que C es invertible) Calcule A 5 3. Ejercicio II Se consideran los puntos O = (,, ), A = (,, ) y B = (,, ) en R 3 y se denota P el plano generado por los vectores OA y OB.. Halle el área del paralelograma determinado por los vectores OA y OB.. Halle una base de la recta P (el complemento ortogonal de P en R 3 ). 3. Halle la proyección ortogonal del vector v = a la recta P. 4. Halle la distancia entre el punto C = (,, ) y el plano P. Ejercicio III Justificando su respuesta con una demostración o un contra-ejemplo, diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.. Sea P el espacio vectorial de polinomios de grado inferior o igual a con coeficientes en R. Entonces la matriz de la transformación lineal T : P P P P en la base canónica (, X, X ) de P es A =. x. Para cualquier x R, la matriz A = 3 x es invertible.

2 Universidad de Los Andes Álgebra lineal Parcial 3 - Tema B de abril 3 MATE 5 Esto es un examen individual. No se permite el uso de libros, apuntes, calculadoras o cualquier otro medio electrónico. Los celulares deben estar apagados durante todo el examen. Las respuestas deben ser justificadas. Cada pregunta vale puntos. Ejercicio I 3 Se considera la matriz A = Mostrar que el polinomio característico de A es P A(λ) = (λ ) (λ + ).. Dé los valores propios de A e indique sus respectivas multiplicidades algebraicas. 3. Para cada valor propio λ de A, halle una base del sub-espacio propio correspondiente: E λ = ker(a λi 3). 4. Diga si A es diagonalizable y, en caso afirmativo, encuentre una matriz invertible C y una matriz diagonal D tales que C AC = D (se pide justificar que C es invertible). 5. Calcule A 5. Ejercicio II Se consideran los puntos O = (,, ), A = (,, ) y B = (,, ) en R 3 y se denota P el plano generado por los vectores OA y OB.. Halle el área del paralelograma determinado por los vectores OA y OB.. Halle una base de la recta P (el complemento ortogonal de P en R 3 ). 3. Halle la proyección ortogonal del vector v = a la recta P. 4. Halle la distancia entre el punto C = (,, ) y el plano P. Ejercicio III Justificando su respuesta con una demostración o un contra-ejemplo, diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.. Sea P el espacio vectorial de polinomios de grado inferior o igual a con coeficientes en R. Entonces la matriz de la transformación lineal T : P P P P en la base canónica (, X, X ) de P es A =.. Para cualquier x R, la matriz A = x es invertible. x

3 Universidad de Los Andes Álgebra lineal Solución del tercer parcial 3-I MATE 5 Ejercicio I. El polinomio característico de una matriz cuadrada A es P A(λ) = det(a λi 3). Tema A: 5 λ 3 6 det(a λi 3) = det 6 4 λ 6 λ = ( λ)[(5 λ)( 4 λ) + 8] = (λ + )[λ λ ] = (λ + ) (λ ). Tema B: λ 3 det(a λi 3) = det λ 3 3 λ = ( λ)[( λ)( λ) ] = (λ ) (λ + ).. Tema A: Ya que P A(λ) = (λ + ) (λ ), los valores propios de A son ( ) y. El valor propio ( ) tiene multiplicidad algebraica y el valor propio tiene multiplicidad algebraica. Tema B: Ya que P A(λ) = (λ ) (λ + ), los valores propios de A son y ( ). El valor propio tiene multiplicidad algebraica y el valor propio ( ) tiene multiplicidad algebraica. 3. Para hallar una base del sub-espacio propio correspondiente, E λ = ker(a λi 3), se resuelve el sistema homogéneo asociado a la matriz (A λi 3) Tema A: Si λ =, A λi 3 = A + I 3 = Por lo tanto, E = span,. Si λ =, A λi 3 = A I 3 = E = span Por lo tanto,

4 3 Tema B: Si λ =, A λi 3 = A + I 3 = 3. Por lo tanto, E = span. 3 3 Si λ =, A λi 3 = A I 3 =. Por lo tanto, E = 3 3 span,. 4. Se tiene dim E +dim E = 3 = dim R 3. Por lo tanto, A es diagonalizable. Recordemos que, al concatenar las bases de E y E halladas anteriormente, por teorema se obtiene una familia libre de 3 vectores de R 3, es decir una base de R 3. Tema A: Se forma C = y D =. Por definición de C y D y los resultados de la pregunta 3, se tiene que AC = CD y, por la observación anterior, que las columnas de C forman una base de R 3. Por lo tanto, C es invertible y C AC = D. Tema B: Se forma C = y D =. Por definición de C y D y los resultados de la pregunta 3, se tiene que AC = CD y, por la observación anterior, que las columnas de C forman una base de R 3. Por lo tanto, C es invertible y C AC = D. 5. Tema A: Al expresar el vector propuesto en la base de R 3 compuesta de vectores propios de A hallada anteriormente, se obtiene 3 3 = + + luego A = A 5 + A 5 + A 5 = ( ) 5 + ( ) = 3. Tema B: Al expresar el vector propuesto en la base de R 3 propios de A hallada anteriormente, se obtiene = + + compuesta de vectores

5 3 luego A 5 = A 5 + A 5 + A 5 = ( ) = 3. 3 Ejercicio II. El área del paralelograma determinado por los vectores OA y OB es igual a la norma del producto cruz OA OB. Tema A: OA i j k OB = = i j + k luego OA OB = =. Tema B: OA i j k OB = = i + j + k luego OA OB = =.. Ya que P es el plano de R 3 generado por los vectores OA y BA, el vector OA OB genera la recta P. Cualquier vector proporcional a ése también funciona. Por ejemplo los siguientes vectores. Tema A: P = span. Tema B: P = span. 3. Denotemos a la base de la recta P hallada en la pregunta. Entonces la proyección ortogonal del vector v a la recta P es el vector Tema A: v a = p v a P ( v) = a a. =, a = y p P ( v) = = / /.

6 4 Tema B: v a = =, a = y p P ( v) = = /. / 4. Temas A y B: Ya que OC = v, a distancia entre el punto C = (,, ) y el plano P es igual a v p P( v) = p P ( v) = = Ejercicio III. Temas A y B: Falso. La matriz de T : P P en la base canónica (, X, X ) de P es A =.. Tema A: Falso. Se tiene det A = x + x 3 = x 4 luego A es invertible si y sólo si x. Tema B: Verdadero. Se tiene det A = x x+( ) = por lo que A es invertible.