Medidas. Problemas para examen. Estos problemas están redactados por Egor Maximenko y Breitner Arley Ocampo Gómez.

Transcripción

1 Medidas Problemas para examen Estos problemas están redactados por Egor Maximenko y Breitner Arley Ocampo Gómez. Sigma-álgebras 1. Propiedades elementales de σ-álgebras. Demuestre que una σ-álgebra es cerrada bajo las intersecciones numerables, bajo las uniones finitas, bajo las intersecciones finitas y bajo la operación de la diferencia de los conjuntos. 2. Propiedades de conjuntos finitos o numerables (repaso). Recuerde cómo se demuestran las siguientes proposiciones: Sea (A k ) k N una sucesión de conjuntos a lo más numerables. Entonces la unión k N A k también es un conjunto a lo más numerable. Sea B un conjunto a lo más numerable y sea C B. Entonces que C también es a lo más numerable. 3. Subconjuntos finitos o numerables de un conjunto no numerable y sus complementos. Sea X un conjunto no numerable. Denotemos por F al conjunto de todos los A X tales que A es finito o numerable o X \ A es finito o numerable. Demuestre que F es una σ-álgebra. 4. Intersección de un conjunto de σ-álgebras. Demuestre que la intersección de cualquier conjunto de σ-álgebras es una σ-álgebra. 5. Definición de la σ-álgebra generada por una colección de conjuntos. Escriba la definición de la σ-álgebra generada por una colección de conjuntos. 6. Ejemplo: la σ-álgebra generada por una colección dada de conjuntos. Sea X = 1, 2, 3, 4, 5} y sea G = 1, 2}}. Encuentre la σ-álgebra generada por G. Enuncie la respuesta y presente una demostración completa. 7. Ejemplo: la σ-álgebra generada por una colección dada de conjuntos. Sea X = 1, 2, 3, 4, 5} y sea G = 1, 2, 3}, 3, 4, 5}}. Encuentre la σ-álgebra generada por G. Enuncie la respuesta y presente una demostración completa. 8. σ-álgebra generada por los subconjuntos finitos de un conjunto no numerable. Sea X un conjunto no numerable y sea F el conjunto de todos los subconjuntos finitos de X. Describa la σ-álgebra generada por F. Medidas, problemas para examen, página 1 de 11

2 Medidas En estos problemas se supone que (X, F, µ) es un espacio de medida. 9. Propiedad aditiva. Sean m N y A 1,..., A m F disjuntos a pares. Demuestre que ( m ) µ A j = j=1 m µ(a j ). j=1 10. Sean A, B F. Demuestre que µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b). 11. Medida de la diferencia. Sean A, B F tales que A B. Demuestre que µ(a) + µ(b \ A) = µ(b). 12. Monotonía de medida. Sean A, B F tales que A B. Demuestre que µ(a) µ(b). 13. Medida de la unión de una sucesión creciente (continuidad de medida por abajo). Sea (X, F, µ) un espacio de medida y sea (A n ) n=1 una sucesión creciente de conjuntos F-medibles, esto es, n 1, 2,...} A n A n+1. Denotemos por B a la unión de esta sucesión de conjuntos: B = lim µ(a n) = µ(b). n A n. Demuestre que 14. Medida de la intersección de una sucesión decreciente (continuidad de medida por arriba). Sea (X, F, µ) un espacio de medida y sea (A n ) n=1 una sucesión decreciente de conjuntos F-medibles, esto es, n 1, 2,...} A n+1 A n. Supóngase que el conjunto A 1 es de medida finita, es decir µ(a 1 ) < +. Denotemos por B a la intersección de esta sucesión de conjuntos: B = A k. Demuestre que lim A n = µ(b). n k=1 n=1 Medidas, problemas para examen, página 2 de 11

3 15. Medida de la intersección de una sucesión decreciente, contraejemplo. Construya un espacio de medida (X, F, µ) y una sucesión decreciente (A n ) n=1 de conjuntos F-medibles tales que µ ( k=1 A k ) < lim n µ(a n ). 16. Propiedad subaditiva de la medida, el caso de dos conjuntos. Sean A, B F. Demuestre que µ(a B) µ(a) + µ(b). 17. Propiedad subaditiva de la medida, el caso de una unión finita. Demuestre por inducción sobre n que ( n ) n µ A i µ(a i ). i=1 18. Propiedad subaditiva de la medida, el caso de una unión numerable. Sea (A n ) n=1 una sucesión en F. Demuestre que ( ) µ A i µ(a i ). n=1 19. Criterio de que una medida es σ-finita. Sea (X, F, µ) un espacio de medida. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (a) Existe una sucesión (A n ) n N de conjuntos F-medibles tales que µ(a n ) < + para todo n N y X = n N A n. i=1 n=1 (b) Existe una sucesión creciente (B n ) n N de conjuntos F-medibles tales que µ(b n ) < + para todo n N y X = n N B n. (c) Existe una sucesión (C n ) n N de conjuntos disjuntos por pares, F-medibles y tales que µ(c n ) < + para todo n N, y X = n N C n. Si µ cumple con estas condiciones, entonces se llama σ-finita. Medidas, problemas para examen, página 3 de 11

4 Funciones medibles 20. Criterio general de la medibilidad de una función en términos de las preimágenes de los conjuntos generadores de la sigma-álgebra en el contradominio. Sean X, Y conjuntos, sean F y H algunas σ-álgebras sobre X y Y respectivamente, y sea G 2 Y un conjunto de subconjuntos de Y tal que H está generada por G. Además sea f : X Y una función. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes: (A) f es F-H medible, esto es, f 1 [B] F para todo B H. (B) f 1 [B] F para todo B G. 21. Criterio de la medibilidad de una función real. Sea X un conjunto, sea F una σ-álgebra sobre X y sea f : X R una función. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes: (a) f es F-medible, esto es, f 1 [B] F para todo conjunto B medible en R. (b) f 1 [(a, + )] F para todo a R. (c) f 1 [(r, + )] F para todo r Q. 22. Criterio de la medibilidad de una función con valores en el eje real extendido. Sea X un conjunto, sea F una σ-álgebra sobre X y sea f : X R una función. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes: (a) f es F-medible, esto es, f 1 [B] F para todo conjunto B medible en R. (b) f 1 [(a, + ]] F para todo a R. (c) f 1 [(r, + ]] F para todo r Q. 23. Criterio de medibilidad de una función compleja. Sea X un conjunto, sea F una σ-álgebra sobre X y sea f : X C. Denotemos por g y h la partes real y la parte imaginaria de f: g = Re(f), h = Im(f). Demuestre que f M(X, F, C) si y sólo si g, h M(X, F, R). 24. Criterio de la medibilidad de la función característica de un conjunto. Sea X un conjunto, sea F 2 X una σ-álgebra sobre X y sea A X. Denotemos por χ A a la función característica (llamada también función indicadora) del conjunto A: 1, x A; χ A : X R, χ A (x) = 0, x X \ A, Demuestre que la función χ A es F-medible si y sólo si A F. 25. Medibilidad de una función continua. Sean X, Y espacios topológicos y sean B X y B Y sus álgebras de Borel. Sea f C(X, Y ). Demuestre que f M(X, B X, Y, B Y ), esto es, f es B X B Y medible. Medidas, problemas para examen, página 4 de 11

5 Operaciones con funciones medibles 26. Supremo de una sucesión de funciones medibles. Sea X un conjunto, sea F una σ-álgebra sobre X y sea (f n ) n N una sucesión de funciones F-medibles, f n : X R para todo n N. Demuestre que es F-medible la función g : X R, donde x X g(x) := sup f n (x). n N 27. Ínfimo de una sucesión de funciones medibles. Sea X un conjunto, sea F una σ-álgebra sobre X y sea (f n ) n N una sucesión de funciones F-medibles, f n : X R para todo n N. Demuestre que es F-medible la función g : X R, donde x X g(x) := inf n N f n(x). 28. Medibilidad de la composición de funciones medibles. Sean X, Y, Z conjuntos y sean F 2 X, G 2 Y, H 2 Z algunas σ-álgebras. Sea f M(X, F, Y, G) y sea g M(Y, G, Z, H). Demuestre que g f M(X, F, Z, H). 29. Medibilidad de la composición de una función continua con una función medible. Sea (X, F) un espacio medible y sean Y, Z espacio topológicos. Sea f M(X, F, Y ) y sea g C(Y, Z). Demuestre que g f M(X, F, Z). 30. Cada subconjunto abierto del plano se puede representar como una unión numerable de ladrillos abiertos. Sea A un subconjunto abierto de R 2. Demuestre que existen a n, b n, c n, d n R tales que A = n N(a n, b n ) (c n, d n ). 31. Teorema sobre la medibilidad de una función continua de dos argumentos reales, compuesta con dos funciones medibles. Sea (X, F) un espacio medible, sean f, g M(X, F, R) y sea Φ C(R 2, Y ), donde Y es un espacio topológico. Definamos h: X Y mediante la siguiente fórmula: x X h(x) = Φ(f, g). Demuestre que h M(X, F, Y ). Sugerencia: puede utilizar el resultado de 30. Hay por lo menos dos caminos para demostrar la medibilidad de la suma y producto de dos funciones reales medibles. Primero consideramos el método basado en el Teorema Suma y producto de dos funciones reales medibles. Sea X un conjunto, sea F una σ-álgebra sobre X y sean f, g M(X, F, R). Demuestre que f + g M(X, F, R) y fg M(X, F, R). Sugerencia: aplicar el Teorema 31. Medidas, problemas para examen, página 5 de 11

6 33. Sean f, g M(X, F, R). Usando el resultado del problema anterior demuestre que los siguientes conjuntos son medibles: x X : f(x) < g(x) }, x X : f(x) > g(x) }, x X : f(x) = g(x) }. Ahora estudiamos otro método que utiliza el criterio de la medibilidad de funciones reales y la densidad de números racionales. 34. Sean f, g M(X, F, R). Demuestre que } x X : f(x) < g(x) = x X : f(x) < r} x X : g(x) > r} y deduzca de aquí que el conjunto x X : f(x) < g(x) } es medible. r Q 35. Sean f, g M(X, F, R). Demuestre que para cada α R x X : f(x) + g(x) > α} = r Qx X : f(x) > r} x X : g(x) > α r}. Deduzca de aquí que f + g M(X, F, R). 36. Sea f M(X, F, R). Demuestre que f 2 M(X, F, R). 37. Sea f M(X, F, R) y sea λ R. Demuestre que λf M(X, F, R). 38. Sean f, g M(X, F, R). Verifique las identidades de polarización fg = 1 4 ( (f + g) 2 (f g) 2), fg = 1 2 ( (f + g) 2 f 2 g 2). Usando cualesquiera de estas dos identidades y los resultados de ejercicios anteriores muestre que fg M(X, F, R). 39. Suma y producto de dos funciones complejas medibles. Sea X un conjunto, sea F una σ-álgebra sobre X y sean f, g M(X, F, C). Demuestre que f +g M(X, F, C) y fg M(X, F, C). Medidas, problemas para examen, página 6 de 11

7 Funciones simples 40. Lema. Para todo n 1, 2, 3,...} definimos la función ϕ n : [0, + ] [0, + ) de la siguiente manera: 2 n t, 0 t < n; 2 ϕ n (t) := n n, t n. Demuestre que: 1. La función ϕ n es simple y medible. 2. Para todo t [0, + ] y todo n 1, 2, 3,...}, ϕ n (t) ϕ n+1 (t). 3. Para todo t [0, + ], lim ϕ n(t) = t. n 41. Teorema. Sea (X, F, µ) un espacio de medida. Demuestre que para toda función F- medible positiva f : X [0, + ] existe una sucesión de funciones g n simples F-medibles positivas tal que en todo punto x X la sucesión (g n (x)) n=1 es creciente y g n (x) f(x). Medidas, problemas para examen, página 7 de 11

8 Varios modos de convergencia Sea (X, F, µ) un espacio de medida. Dada una sucesión (f n ) n N de funciones F-medibles X C y una función F-medible g : X C usamos las siguientes notaciones: A(ε, n) = x X : f n (x) g(x) ε }, B(ε, k) = C(ε) = A(ε, n), n=k k=1 B(ε, k), D = ε>0 C(ε). 42. Monotonía de las familias A, B, C, D. Para cada una de las siguientes familias o sucesiones estudie si es creciente o decreciente o en general no tiene ninguna de estas dos propiedades. En el último caso hay que dar un contraejemplo. 1. Sea ε > 0 fijo. Estudie la montonía de la sucesión ( A(ε, n) ) n N. 2. Sea ε > 0 fijo. Estudie la monotonía de la sucesión ( B(ε, k) ) k N. 3. Sea n N fijo. Estudie la monotonía de la familia ( A(ε, n) ) ε>0. 4. Sea k N fijo. Estudie la monotonía de la familia ( B(ε, k) ) ε>0. 5. Estudie la monotonía de la familia ( C(ε) ) ε> Descripción de los puntos de no convergencia. Demuestre que para todo x X, f n (x) g(x) x D. 44. Criterio de convergencia puntual. Usando el resultado de 43 muestre que las siguientes condiciones son equivalentes: (a) f n µ g. (b) D =. (c) ε > 0 C(ε) =. 45. Criterio de convergencia en casi todas partes. Usando el resultado de 43 muestre que las siguientes condiciones son equivalentes: (a) f n µ-c.t.p. g. (b) µ(d) = 0. (c) ε > 0 µ(c(ε)) = 0. Medidas, problemas para examen, página 8 de 11

9 46. Criterio de convergencia uniforme. Describa la condición f n X = g en términos de los conjuntos B(ε, k). 47. Criterio de convergencia uniforme en el complemento de un conjunto. Sea X\E E F. Describa la condición f n === g en términos de los conjuntos B(ε, k). 48. Criterio de convergencia casi uniforme. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes: (a) f n converge casi uniformemente a g con respecto a la medida µ. (b) Para todo ε > 0 y todo δ > 0, existe un k N tal que µ ( B(ε, k) ) < δ. (c) Para todo ε > 0, lim k µ ( B(ε, k) ) = 0. Observación: las implicaciones (a) (b) (c) (b) se demuestran de manera natural. La demostración de la implicación (b) (a) es no trivial y utiliza la contrucción diagonal de Egóroff. Ejemplos de análisis de varios tipos de convergencia Se propone el siguiente plan para analizar varios tipos de convergencia: a) Investigar la convergencia puntual, esto es, para todo punto x X investigar la convergencia de la sucesión numérica (f n (x)) n N. b) Determinar si la sucesión (f n ) n N converge puntualmente o casi en todas partes a una función g. c) Para todo n N calcular sup f n (x) g(x). x X d) Usando el resultado del inciso c) determinar si la convergencia es uniforme. e) Para todos ε (0, ε 0 ) y n N calcular A(ε, n). Aquí ε 0 puede ser cualquier número positivo, por ejemplo en algunos ejemplos es cómodo elegir ε 0 = 1 o sea suponer que ε (0, 1). f) Determinar si f n converge a g en la medida µ. Usar el resultado del inciso e). g) Para todo ε (0, ε 0 ) y todo k N calcular B(ε, k) usando el resultado del inciso e). h) Usando el resultado del inciso g) determinar si la convergencia es uniforme y comprobar el resultado del inciso d). i) Para todo ε (0, ε 0 ) calcular C(ε). j) Calcular D. Comprobar el resultado del inciso b). Medidas, problemas para examen, página 9 de 11

10 k) Usando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme llamada también la convergencia de Egóroff. l) En el caso de la respuesta positiva en k), para un η > 0 arbitrario construir un X\E conjunto E tal que µ(e) < η y f n === g. Analice varios tipos de convergencia en los siguientes ejemplos: 49. X = R, µ es la medida de Lebesgue, 50. X = R, µ es la medida de Lebesgue, f n (x) = e n2 x 2. f n (x) = 51. X = R, µ es la medida de Lebesgue, n 2 x 2. f n (x) = 1 [n,n+1) (x R, n N). 52. X = [0, 1), µ es la medida de Lebesgue, f n (x) = x n (x [0, 1), n N). 53. X = R, µ es la medida de Lebesgue, f n (x) = 54. X = (0, 1], µ es la medida de Lebesgue, (x n) 2 (x R, n N). f n (x) = n 1 (0,1/n] = 55. X = (0, + ), µ es la medida de Lebesgue, n, x (0, 1/n], 0, x (1/n, 1]. f n (x) = e nx (x > 0, n N). 56. X = [0, 1], µ es la medida de Lebesgue, f n (x) = 4 n x n (1 x) n (x [0, 1], n N). Medidas, problemas para examen, página 10 de 11

11 Comparación de varios modos de convergencia Para demostrar los siguientes resultados se recomienda aplicar los criterios 45 y Demuestre que la convergencia casi uniforme implica la convergencia casi en todas partes. 58. Demuestre que la convergencia casi uniforme implica la convergencia en medida. 59. Teorema de Egóroff. Demuestre que en el caso de un espacio de medida finita la convergencia casi en todas partes implica la convergencia casi uniforme. 60. Sea (X, F, µ) un espacio de medida, sea (f n ) n N una sucesión de funciones F-medibles X C que converge en la medida µ a una función F-medible g : X C. Demuestre que existe una subsucesión (f np ) p=1 que converge a g casi uniformemente con respecto a la medida µ. Medidas, problemas para examen, página 11 de 11