Electromagnetismo I. Semestre: TAREA 7 Dr. A. Reyes-Coronado

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José Arturo Aguilar Agüero
hace 6 años
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Calcula la fuerza sobre un espira cuadrada de lado a, que está en el plano Y Z y centrada en el origen, por la que circula una corriente estacionaria (tú decide la dirección de la corriente).

1 Electromagnetismo Semestre: 14- TAREA 7 Dr. A. Reyes-Coronado Solución por Carlos Andrés Escobar Ruíz 1.- Problema: (pts) Considera que el campo magnético B en una región del espacio está dado por: B = k z ê x donde k es una constante. Calcula la fuerza sobre un espira cuadrada de lado a, que está en el plano Y Z y centrada en el origen, por la que circula una corriente estacionaria (tú decide la dirección de la corriente). Solución al problema 1 Supongamos que la corriente estacionaria circula en sentido contrario a las manecillas del reloj. Las fuerzas sobre los lados derecho e izquierdo de la espira son nulas. F izq = dl B = dz( ê z ) kzê x = kê y zdz = kê a y z =. (1) Siguiendo el mismo razonamiento encontramos que F der es nulo. La fuerza producida en la parte superior de la espira es ab = ak( a a ) = k( ), y apunta en la dirección ê z, lo mismo para la parte inferior. Formalmente, en las integrales que se deben de realizar, las direcciones de las corrientes son contrarias en la parte inferior y superior, sin embargo, una integral está evaluada con el campo en z = a, mientras que la otra en z = a, y dado que el campo magnético es proporcional a z pues cambia de signo, de ahí del por qué se tiene el mismo signo. Con lo cual la fuerza total sobre la espira es F T = ka ê z. () a.- Problema: (pts) Una corriente fluye por un alambre de radio a. a) Si está uniformemente distribuída sobre la superficie, calcula la densidad de corriente superficial K. b) Si está distribuída de tal manera que la densidad volumétrica de corriente es inversamente proporcional a la distancia del eje, calcula J. Solución al problema a) Dado que la corriente está uniformemente distribuda sobre la superficie, y la longitud perpendicular a la corriente es la circunferencia, entonces K = πa. (3) 1

2 b) J = α r, = por lo tanto Jda = π a J = α rdrdθ = απa, α = r πa, (4) πar. (5) 3. Problema: (pts) a) Un fonógrafo del siglo antepasado hace girar un disco cargado con una densidad estática de carga σ uniformemente distribuída. Si gira a una velocidad angular ω, calcula la densidad de corriente superficial K. b) Una esfera sólida uniformemente cargada, de radio R y de carga total, está centrada en el origen de coordenadas y gira con una velocidad angular constante ω alrededor del eje z. Considerando que la velocidad angular y el radio R son las misma que la del planeta Tierra, y que la carga total es de 1 Coulomb, calcula la densidad de corriente volumétrica J en cualquier punto (r, θ, ϕ) dentro de la esfera. Solución al problema 3 a) La densidad superficial de corriente K está dada por K = σ v = σrω ê φ. (6) b) La densidad volumétrica de corriente está dada por J = ρ v, donde v es la velocidad tangencial, que está dada por Entonces, v = ω r, (7) = ωr (ê z ê r ), = ωr [ê z (sin θ cos φ ê x + sin θ sin φê y + cos(θ) ê z )], = ωr sin θ ( sen φ ê x + cos φ ê y ), = ωr sin θ ê φ. ( 3 J = ρ v = 4 πr 3 ) ωr sin θ ê φ r sin θ ê φ C m 3 s, (8) dado que el radio de la Tierra es de aproximadamente 6,378 Km y la velocidad angular de /s. 4. Problema: (pts) Dos alambres paralelos e infinitos, separados por una distancia d, tienen una densidad de carga lineal λ cada uno (ambos con el mismo signo), y se mueven ambos con una rapidez constante v como se muestra en la figura. ué tan grande tendrá que ser la rapidez v para que la fuerza de atracción magnética cancele a la fuerza de repulsión eléctrica? Es razonable la velocidad que calculaste? (calcula numéricamente la velocidad empleando unidades de m/s).

3 λ" Solución al problema 4 λ" d" La fuerza de atracción debida a la fuerza magnética por unidad de longitud, para dos alambres paralelos portando corrientes 1 e, separados por una distancia d, está dada por: F m = µ 1 π d = µ (λv) π d. (9) Por otro lado, el campo eléctrico sobre un alambre está dado por: E = 1 πɛ λ d, (1) con lo cual la fuerza eléctrica de repulsión que siente el otro alambre será F e = 1 πɛ λ d. (11) Cuando la fuerza de atracción magnética sea igual a la fuerza de repulsión eléctrica, es decir, F m = F e, de lo cual despejamos la velocidad v para obtener v = 1 ɛ µ = c = m/s, (1) lo cual es precisamente la velocidad de la luz en el vacío. Dado que los alambres reales poseen masa, no es físicamente razonable la velocidad a la cual se cancelan las fuerzas, dado que es sabido que sólo partículas sin masa pueden alcanzar estas velocidades. Además, el cálculo correcto debería ser un cálculo relativista! 5. Problema: (pts) Calcula el momento dipolar magnético del disco cargado girando en el mismo fonógrafo viejito del problema 3. Solución al problema 5 Para un anillo de corriente tenemos que el momento dipolar magnético es m = πr. En este caso σvdr = σωrdr, por lo que hay que integrar sobre todos los anillos que conforman el disco, de lo que obtenemos m = R con dirección ê z si el disco se encuentra en el plano XY. πr σωrdr = πσωr4, (13) 4 6. Problema TORTO: (3pts) Un toroide delgado (como una dona de chocolate muy flaquita), con carga total y masa M gira alrededor del eje ê z. 3

4 a) Calcula el cociente de su momento dipolar magnético entre su momento angular. A esto se le conoce como la razón giromagnética del objeto. b) Calcula la razón giromagnética de una esfera uniformemente cargada girando. No requieres hacer un cálculo nuevo, solamente describe a la esfera como si estuviera compuesta por anillos infinitesimales y aplica el resultado del inciso anterior. c) De acuerdo a la mecánica cuántica, el momento angular de un electrón girando es /, donde es la constante de Planck. Calcula el momento dipolar magnético del electrón en unidades de A m. Este resultado semi clásico está de hecho mal por casi un factor de! La teoría relativista para el electrón desarrollada por Dirac obtiene un factor de exacto, y posteriormente Feynman, Schwinger y Tomonaga calcularon pequeñas correcciones a este factor. La determinación del momento dipolar magnético del electrón es probablemente el logro más fino de la teoría electromagnética cuántica, y es uno de los mejores acuerdos encontrados entre la teoría y el experimento en la historia de toda la física. A la cantidad (e /m), con e la carga del electrón y m su masa se le conoce como el magnetón de Bohr.!êz Solución al problema 6 a) La corriente está dada por = λ v, donde λ es la densidad lineal de carga y v es la velocidad tangencial. Suponiendo que el radio del toro es R y que tiene carga (despreciando su grosor), entonces: ( ) ( ) = ω R πr = ωr = ω πr π. (14) El área encerrada por la corriente es a = πr, de modo que el momento dipolar magnético está dado por ( ) ω m = a = πr ê z = π ωr ê z. (15) Por otro lado, el momento angular está dado por L = r p, y para este caso: L = R (M v ) = R (MωR ) ê z = MωR ê z, (16) entonces, la razón giromagnética g está dada por g = m L = ωr MωR = M, m = L M. (17) 4

5 b) Dado que g es independiente de R, la misma relación aplica para todo el toro, y por lo tanto para la esfera o cualquier otra figura de revolución, por tanto g = c) Empleando el resultado de los incisos anteriores tenemos que m = M. (18) M L (19) y si L para el electrón es /, y considerando la carga del electrón e y su masa m e, el momento dipolar magnético está dado por m = e m e = e = ( C)( J s) 4 m e 4 ( = A m. () Kg) 5

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