En el espacio una superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado en las variables x, y, z. la forma general de esta ecuación es:

Transcripción

1 UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS. SUPERFICIES CUADRICAS 1 SUPERFICIES CUADRICAS En el espio un superfiie uádri es l gráfi de un euión de segundo grdo en ls vriles,,. l form generl de est euión es: A B C D E F G H I J 0 Donde A,B, C, D, E, F, G, H, I, J son onstntes o números reles. Ls superfiies que se estudirn, son quells en ls ules los oefiientes de los produtos rudos son igules ero. Es deir D = E = F = 0, siendo l euión de segundo grdo de l form: A B C G H I J 0 L tr de l superfiie en el plno es l interseión de ests dos grfis de superfiies. Por ejemplo si tenemos un esfer que se interept on el plno, se puede ver lrmente que l tr de est esfer on respeto l plno es un irunfereni de rdio r que dependerá de l uiión de l esfer respeto l plno. Esto se umplirá si ls dos superfiies se intereptn entre si pero no son tngentes. Pr visulir un superfiie espeifi en el espio, por lo generl st eminr sus trs en los plnos oordendos posilemente unos untos plnos prlelos estos. Ls trs en d uno de los plnos oordendos de un superfiie uádri son seiones ónis, ls ules se estudiron en el lulo uno ( Cirunfereni, práol, elipse, hipérol ) Eisten seis tipos ásios de superfiies uádris : ELIPSOIDE, HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA, HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS, CONO ELÍPTICO, PARABOLOIDE ELÍPTICO, PARABOLOIDE HIPERBÓLICO. Eminemos d uno de ellos.

2 CUADRICAS 1. EL ELIPSOIDE: Se otiene undo los oefiientes de los tres términos udrátios presenten igul signo pero vlores diferentes. Es importnte señlr que demás de est ondiión se he neesrio el estudio del término independiente que se reli despejándolo. Si el término independiente es nulo entones l euión representrí un punto en el espio, en mio si este es diferente de ero se dee oservr que un ve despejdo presente el mismo signo que los términos udrátios que en so ontrrio l euión no representrí lugr geométrio lguno. SU ECUACION GENERAL ES: 1 L elipsoide ort los ejes oordendos en los puntos (, 0, 0 ) ; ( 0,, 0 ) ; ( 0, 0, ). Su grfi se enuentr dentro de un j retngulr definid por ls desigulddes ; ; l grfi es simétri on respeto d uno de los plnos oordendos porque ls vriles de l euión que l definen están elevds l udrdo. Pr diujr l elipsoide l euión generl se le he el siguiente nálisis. 1 En l euión originl hiendo l vrile Se otiene l euión en dos vriles Que orresponde un óni llmd Cu grfi es prlel l plno = 0 1 = 0 1 = 0 1 Si = = son diferentes de ero, l epresión represent un esfer.

3 CUADRICAS 3. PARABOLIODE ELIPTICO. Su euión generl es: 0 Es simétrio los plnos = 0, = 0. l úni interseión sore los ejes es el origen. Eepto por ese punto. L superfiie se hll totlmente rri o totlmente jo del plno, dependiendo del signo de. Pr grfirl se he el siguiente nálisis. En l euión originl hiendo l vrile Se otiene l euión en dos vriles Que orresponde un óni llmd Cu grfi es prlel l plno = 1 = 0 Práol

4 CUADRICAS 4 = 0 Práol El eje de l práol orresponde l vrile elevd l poteni uno. Si =, se otiene un proloide irulr. 3. HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA. Su euión generl es: 1 Es simétrio respeto d uno de los tres plnos oordendos. Ls seiones ortds por los tres plnos oordendos son:

5 CUADRICAS 5 En l euión originl hiendo l vrile Se otiene l euión en dos vriles Que orresponde un óni llmd Cu grfi es prlel l plno = 0 1 = 0 1 = 0 1 Hipérol Hipérol 4. HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS : Su euión generl es 1 Es simétrio respeto los tres ejes oordendos.

6 CUADRICAS 6 Ls seiones son: En l euión originl hiendo l vrile Se otiene l euión en dos vriles Que orresponde un óni llmd Cu grfi es prlel l plno = 0 1 = 0 1 = 0 1 Hipérol Hipérol 5. CONO ELEIPTICO. Su euión generl es: 0

7 CUADRICAS 7 En l euión originl hiendo l vrile Se otiene l euión en dos vriles Que orresponde un óni llmd Cu grfi es prlel l plno = k k,0,0 = 0 = 0 = 0 0 Punto Ret Ret Si =, se otiene un ono irulr reto. 6. PARABOLOIDE HIPERBOLICO. Su euión generl es: tiene simetrí respeto los plnos = 0, = 0. En l euión originl hiendo l vrile X = 0 = 0 Se otiene l euión en dos vriles Z= 1 Que orresponde un óni llmd Práol Práol Hipérol Cu grfi es prlel l plno =

8 CUADRICAS 8

9 CUADRICAS 9 ACTIVIDAD. IDENTIFICAR LAS SIGUIENTES SUPERFICIES CUADRICAS