La volatilidad implícita

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1 La volatilidad implícita Los mercados de opcioes ha evolucioado bastate desde los años setetas, época e la que ue publicada la órmula de Black Scholes (BS). Dicha órmula quedó ta arraigada e la mete de los traders que aú hoy e día sigue siedo ampliamete utilizada a pesar de sus alecias. Ua de las más grades herecias que obtuvo el mercado por el uso de esta órmula, ue la posibilidad de calcular la volatilidad implícita. Esta medida actúa de ua maera muy similar a como ucioa el redimieto hasta el vecimieto de u boo. Cuado se usa el redimieto hasta el vecimieto, los traders puede comparar de ua maera ácil el valor relativo de boos co dieretes vecimietos o calidades crediticias si ecesidad de mirar el precio limpio. De la misma orma los operadores de opcioes mira la volatilidad implícita para comparar dieretes opcioes si ecesidad de mirar las primas a las que se egocia e el mercado. La volatilidad implícita tambié se utiliza bastate para compararla co la volatilidad realizada del activo subyacete. Hay dieretes maeras de calcular la volatilidad realizada. Allí hacemos uso de la iormació histórica del activo subyacete, particularmete de los retoros del mismo. No vamos a tratar el tema e este documeto ya que os ocupáremos esecialmete del cálculo de la volatilidad implícita. Para trabajar este tema es udametal que estemos amiliarizados co la órmula de BS (Se puede cosultar uestro documeto Lá Fórmula de Black Scholes e uestra secció de HERRAMIENTAS). La volatilidad implícita es aquella que habría que igresar a la órmula de BS para obteer u precio observado e el mercado. Sabemos que el precio de ua opció bajo el paradigma de Black-Scholes es ua ució del Spot (S), el Strike (K), la tasa de iterés (r), el tiempo al vecimieto (T) y la volatilidad (). Esto es CALL S, K, r, T, Supogamos que teemos u mercado de opcioes e dode podemos observar las primas para dieretes strikes y vecimietos. Lo úico que teemos que hacer para calcular la volatilidad implícita es mirar el precio spot del activo subyacete (S) y la tasa de iterés de ese plazo (r). Co estos datos podemos deducir que valor de la volatilidad me geera ua prima como la observada e el mercado. Veamos u ejemplo. Supogamos que teemos los siguietes datos: S = 100, K=110, r=0.05, T=0.25, CALL= Podemos utilizar la ució que costruimos e Pytho, bsimpvol, para calcular cual sería la volatilidad implícita e este precio. Esto se ilustra e la Figura 1. Allí podemos ver que la volatilidad implícita dados estos valores es del 15% aproximadamete. Esto es cosistete co el ejemplo que ilustramos e uestro documeto La Fórmula de Black Scholes.

2 Figura 1 Ahora surge la preguta de como obtuvimos el valor del 15%. Desaortuadamete la órmula de BS o permite que tegamos ua solució aalítica. Esto debido a que o podemos despejar explícitamete el valor e ució de los otros parámetros. Por esta razó, si queremos calcular la volatilidad implícita de ua opció, teemos que utilizar u método umérico. Este problema es el mismo que el de ecotrar las raíces de ua ecuació del tipo (x) = 0. Veamos por ejemplo la ució 3 ( x) 2x 3x 4 e la Figura 2. Allí vemos que esta ució tiee ua raíz e el itervalo [1,2] y a simple vista pareciera que está alrededor de 1.6 o 1.7. Figura 2 Los algoritmos más utilizados para solucioar este tipo de problemas cuado x o se puede despejar explícitamete so dos: a) El método de la Bisecció. b) El método de Newto-Raphso. Estos algoritmos los explicamos co detalle e el Aexo 1 y 2 al ial de este documeto. La ituició básica de los mismos es que vamos buscado iterativamete u valor que haga que la ució sea igual a u valor objetivo. E el caso de la Figura 2, teemos que buscar u valor (que creemos está cerca de 1.6 o 1.7 por ispecció visual) que haga que la ució valga cero. El algoritmo se puede modiicar de ua orma simple para que la ució tega u valor especíico. E uestra aplicació putual de la volatilidad implícita el valor objetivo va a ser la prima de la opció y el

3 valor que vamos a iterar es el de la volatilidad implícita. E EXCEL se puede hacer esto usado la ució Buscar Objetivo. Allí vemos que el sistema itera hasta que os da u valor de la volatilidad implícita que coicide co el objetivo de prima que itroducimos iicialmete. EXCEL utiliza u procedimieto iterativo que o podemos observar explícitamete. Co uestros archivos de Pytho apredemos a geerar este algoritmo. Recordemos que PYTHON es u programa de uso libre por el cual o teemos que pagar ua licecia. Adjutamos tres archivos de Pytho que utilizamos para calcular la volatilidad implícita. Los archivos llamados Bisect.py y NewtoRaphso.py cotiee los algoritmos uméricos que itera para hallar el valor de ua raíz. El archivo BS.py cotiee ua ució llamada bsimpvol que hace uso de los módulos ateriores para calcular especíicamete el valor de la volatilidad implícita utilizado la órmula de BS. Mecioamos al pricipio del documeto que la volatilidad implícita es utilizada co ies comparativos. Veamos u ejemplo de cómo comparar la volatilidad implícita y la volatilidad realizada. La volatilidad realizada del S&P500 durate Eero de 2013 ue de aproximadamete 11.5%. A pricipios de este mes la volatilidad implícita de opcioes At The Moey (ATM) para el plazo de u mes sobre este ídice estaba alrededor del 13%. U operador de opcioes podría haber realizado ua estrategia de gamma scalpig vediedo Straddles ATM y cubriedo el delta e el spot para muy seguramete obteer ua utilidad de 1.5 volatilidades. Alguos de estos térmios como Gamma Scalpig, Straddles, Delta, etc, o los hemos explicado e este documeto. E uestro curso OPCIONES INTERMEDIO explicamos co detalle esta estrategia que es más coocida como Arbitraje de Volatilidad.

4 ANEXO 1: Método de la bisecció. El método de la bisecció es el más simple para resolver la ecuació escalar (x) = 0. Lo úico que ecesitamos e este método es poder evaluar la ució e cualquier puto. Supogamos que coocemos dos putos a y b co a<b. Supogamos adicioalmete que la ució es cotiua e el itervalo [a,b] y que (a)*(b) < 0. Esta última codició idica que la ecuació tiee ua raíz e el itervalo [a,b] ya que la ució pasa de positivo a egativo (o viceversa). Ua ució que cumple las ateriores codicioes puede ser observada e la Figura 3. Figura 3 (a) a b (b) El puto rojo ilustra ua raíz de la ecuació (x) = 0. A cotiuació podemos proceder a reducir el tamaño del itervalo para acercaros más al valor buscado. El método de la bisecció toma como aproximació el puto c, equivalete al puto medio etre a y b. Este se ilustra e la Figura 4. Figura 3 (a) a c = a+b 2 (c) b (b)

5 Allí podemos observar que el itervalo [a,c] es de meor logitud que el itervalo [a,b] y que igualmete cotiee la raíz de la ecuació (x) = 0. Para escoger el itervalo siempre debemos chequear si la raíz está coteida e [a,c] o [c,b], esto es (a)*(c) < 0 o (c)*(b) < 0. Tambié podría ser que (c) 0 co u ivel de toleracia predeiido. E este caso o tedríamos que iterar. E la siguiete iteració buscaríamos el puto medio del itervalo [a,c] y cotiuaríamos hasta que algua de las siguietes codicioes se cumpla: a) El valor de la ució sea muy cercao a cero (meor que ua toleracia ) -> (c ) < b) El valor del itervalo [a,b ] sea muy pequeño (meor que ua toleracia ) -> a -b < c) Se haya alcazado u úmero máximo de iteracioes. Esta descripció está basada e el libro Numerical Methods i Fiace ad Ecoomics del autor Paolo Bradimarte. Allí se puede ecotrar muchos más detalles como la tasa de covergecia o el error esperado del método.

6 ANEXO 2: Método de Newto Raphso. A dierecia del método de la bisecció, este método ecesita mayor iormació de la ució, particularmete su primera derivada. La deducció del método se puede ilustrar usado la expasió de ua serie de Taylor. Recordemos que ua ució puede ser aproximada usado la serie de Taylor como se ilustra a cotiuació. E este caso lo hacemos e el etoro del puto x x x ' '' x x x x x x 2 1! 2! Si tomamos u puto cualquiera x +1 y sólo expadimos los dos primeros térmios de la serie obteemos ' x x x x x 1 1 Ahora bie, si el valor x +1 es ua raíz de la ecuació (x) = 0 (o está cerca de ser ua raíz) tedríamos que x x x y por lo tato ' x x Esta ecuació ilustra la orma e la que podemos iterar para llegar a ua solució. Geométricamete el método se ilustra e las Figuras 3 y 4. E la Figura 3 podemos observar el puto x 0. Allí evaluamos la derivada de la ució e este puto (x 0 ) y proyectamos la recta tagete al eje x. El itercepto co el eje x, e este caso x 1 e u valor más cercao a la raíz de la ecuació (x) = 0. Figura 3 (x1) x1 x0 (x0)

7 Si hacemos ua ueva iteració podemos observar que x 2 está aú más cerca de ser la raíz. Figura 4 (x1) x2 x1 x0 (x0) Iteramos hasta que algua de las siguietes codicioes se cumpla: a) El valor de la ució sea muy cercao a cero (meor que ua toleracia ) -> (c ) < b) Se haya alcazado u úmero máximo de iteracioes.

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