Matemáticas II. Universidad de Ciencias de la Informatica. Escuela de Ingeniería. Carrera de Análisis de Sistemas.

Transcripción

1 Uiversidd de Ciecis de l Iformtic Escuel de Igeierí Crrer de álisis de Sistems Mtemátics II Profesores: Diel Mur Miguel Muñoz J Rossy Rivero S

2 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Defiicioes Mtrices Defiició: u mtriz sore el cuerpo de los úmeros reles es u ordemieto rectgulr de úmeros deotdo por: m m m dode ij IR, i,,, m j,,, L i - esim fil de es ( ) j - esim colum de es: i i i co i m j j mj Mietrs que l co j si u mtriz posee m fils y colums, diremos que es u mtriz de orde m por ( m ) Si m, se dice que l mtriz es u mtriz cudrd de orde y que los elemetos,, form l digol pricipl de Y os referimos los elemetos ij como ls etrd ( i, j) de l mtriz co lo cul podemos escriir: ) m El cojuto M m (K) deot el cojuto de tods ls mtrices de orde m sore el cuerpo K( IR o C) si m M (K) deot el cojuto de ls mtrices cudrds de orde sore el cuerpo K ( ij - - Curso: Mtemátics II

3 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S - - Curso: Mtemátics II Defiició: dos mtrices m Y q p B so igules si y solmete si q p m, y j m i ij ij,,, ;,,,, Ejemplo: oserve que e cd cso los pres de mtrices ddos so diferetes: ), y que los ordees so diferetes, mietrs l primer mtriz posee orde l segud mtriz posee orde ) B, y que los elemetos Y so diferetes Ejemplo: determie c,, y d si eiste de mer que e cd cso ls igulddes se vlids ), e ) ( IR M ) 6 c d c d c c, e ) ( IR M c) d c c, e ) ( IR M Solució: ) () () De l ecució () vemos que u solució es i, co lo cul, C sí l iguldd o es posile e ) ( IR M

4 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S - - Curso: Mtemátics II ) si () () () 6 d c c d c c c d c d c c de () y () oteemos que 6 c, pero este vlor o stisfce l ecució () Co lo cul deducimos que o eiste c,, y d úmeros Reles pr que l iguldd se vlid c) ( ) () () () d c d c c d c c Mtrices Especiles Defiició: defiimos l mtriz ul o mtriz cero por l mtriz que posee tods sus etrds cero, l cul deotmos por m Ejemplo: ) B) Defiició:(Mtriz Digol) se ) ( ) ( IR M ij diremos que es u mtriz digol si y solo si ij pr j i Ejemplo: ) ) B c) C

5 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Defiició: llmmos mtriz idetidd o uitri de orde l mtriz digol de orde defiid por I I Defiició: (Mtriz Trigulr Superior e Iferior) U mtriz ( ) M ( IR) se deomi mtriz Trigulr Superior si ij, i > j, logmete diremos que ( ) M ( IR) es u mtriz Trigulr Iferior si ij, i < j Ejemplo: ij ij ) mtriz trigulr superior ) mtriz trigulr iferior Opercioes etre Mtrices Ls opercioes etre mtrices produce uevs mtrices prtir de ls mtrices dds Defiició:(dició) se ( ), B ( ) M ( IR) defiimos l sum etre y B por: ij ij m ij ij ij ( ) B ( ) ( ) ( c ) Oserve que l sum de mtrices solo est defiid etre mtrices de mismo orde ij ij - - Curso: Mtemátics II

6 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Ejemplo: se, B etoces Teorem: ( M m (IR ) B 6 ) es u grupo elio, es decir l sum es socitiv, comuttiv, eiste elemeto eutro y eiste elemeto iverso Defiicio: se ( ) M ( IR) y k IR defiimos el producto de u esclr k por l mtriz por: ij m k k ij ) ( k ) ( ij Ejemplo: 6 ( ) Defiició:(Multiplicció de Mtrices) se ( ij ) M m ( IR) B ( ) M ( IR) defiimos el producto de y B por: ij p B ( ij ) ( ij ) ( cij ) m p m p y dode c ij k ik kj i,,, m j,,, p Ejemplo: se, B etoces B 6 6 Oservció: el producto de mtrices o es comuttivo - - Curso: Mtemátics II

7 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Curso: Mtemátics II Ejemplo: cosideremos, B etoces B B Defiició: si es u mtriz cudrd de orde y k N, defiimos ls potecis de l mtriz por k k I Ejemplo: se determie Defiició: se ) ( ) ( IR M ij diremos que es Idempotete si Defiició: se ) ( ) ( IR M ij diremos que es Nilpotete si eiste k N, tl que k Defiició: se ) ( ) ( IR M ij diremos que es Ivolutiv si I

8 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Ejemplo: se, B, C oserve que: ) es Idempotete ) B es Nilpotete de orde dos y que c) C es Ivolutiv Defiició:(Mtriz Trspuest) Se ( ) M ( IR), defiimos l trspuest de por t ( ij ) M m ( IR) dode ij ij ji Es decir l trspuest de u mtriz se otiee prtir de itercmido ls fils por ls colums de Ejemplo: 6 t 6 B 7 t 7 Teorem: se B M ( IR) t ) ( ) t t t ) ( ) k k t t t c) ( B) B t t t d) ( B ) B, y k IR etoces m Curso: Mtemátics II

9 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Defiició:(Trz) se ( ) M ( IR) defiimos l trz de por Teorem: se B M ( IR) ) Tr ( k) ktr( ) ) Tr ( B) Tr( ) Tr( B) c) Tr ( B) Tr( B) ij Tr( ) i ii, y k IR etoces Defiició:(Mtriz Simétric) se M ( IR) t Defiició:(Mtriz tisimétric) se M ( IR) tisimétric si t Proposició: dd M ( IR) diremos que es Simétric si diremos que es eiste u descomposició úic de como l sum de u mtriz simétric co u mtriz tisimétric, tl descomposició es: Ejemplo: simetric tisimetric t t t 6 6 6, etoces es simétric 6 6 t 6 6, etoces es tisimétric Oservció: ote que si u mtriz es tisimétric los elemetos de su digol está oligdos ser ceros Defiició: se M ( IR) t t diremos que es ortogol si I Curso: Mtemátics II

10 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Ejemplo: se es ortogol Defiició: se M ( IR) t t, diremos que es Norml si Oservció: ote que si M ( IR) es simétric, tisimétric u ortogol etoces ovimete es orml Si emrgo o tods ls mtrices ormles so de los tipos de mtrices y meciodos Ejemplo: 6 es orml 6 u mtriz orml etoces es simétric o ie l sum de u mtriz esclr y otr tisimétric Teorem: se M ( R) Curso: Mtemátics II

11 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Dds ls siguietes mtrices: Ejercicios B 8 C 6 7 D E 6 clculr si es posile: ( E), C E ( C E) t E C, CB D, B, B, B D, t D, BD, C, Resolver l ecució mtricil pr M ( IR) X ; X B t, dode: Si ecució mtricil: [ ] ; B y B t t t X B X, determie l mtriz X e l siguiete Resuelv l siguiete ecució mtricil, de cuerdo los diversos vlores de l costte : X (dode X es u mtriz cudrd de orde ) Si, demuestre que ( ) I ; IN Clcule - - Curso: Mtemátics II

12 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S - - Curso: Mtemátics II 6 Ecuetre, e fució de, si 7 Demuestre que, e geerl, pr dos mtrices, B cudrds del mismo orde, se tiee que: ( )( ) B B B 8 Supog que y B so dos mtrices cudrds de orde, ivertiles y tles que B tmié es ivertile Resuelv el siguiete sistem de ecucioes mtriciles, co X e Y so mtrices cudrds de orde : X BX YB B I O X BX YB I B O 9 Dd l mtriz deduzc u formul pr Si ; ; ; ; E D C B Clculr si s posile: CE; B; C-E; CBD; BDD Si es posile clculr: BD; (CE); CBDE; c t ; (B) t ; B t t ; (CE) t ; C t E t Determir R w z y,,, tles que 6 w z y w w z y Se 6 determir u mtriz B de orde co etrds distits tles que B Se determie ) ( f dode ) ( f

13 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Se Determir u mtriz de orde o ul, B, tl que B B Se u, determir tods ls mtrices colums u tles que y 6 Determir tods ls mtrices de orde dos M que comut co z t 7 Determir, y, s, t R si eiste de tl modo que y se s s t ortogol 8 Demuestre que si es ortogol etoces c d 9 Determir tods ls mtrices de orde dos que comute co Determie B M ( IR), distits tles que B Resolver el sistem mtricil pr, Y M ( IR) t X Y X t X B t t ( ) Y B IN dode, B Ecuetre tres mtrices de orde dos tles que B C co B C y - - Curso: Mtemátics II

14 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Se u mtriz de orde m y c IR demuestre que si c etoces c o Se [ IR] Diremos que es Idempotete si y solo si Diremos M que es Nilpotete si y solo si eiste p N tl que p Muestre que: es Idempotete B 6 es Nilpotete Si demuestre que 9 pero que 9I 6 Diremos que u mtriz de orde es Ivolutiv si I Demuestre que si es Ivolutiv etoces ls mtrices ½ ( I ) y ½ ( I ) so idempotetes y que: ( I )( I ) - - Curso: Mtemátics II

15 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Mtrices Ivertiles Defiició: se M ( IR) I, diremos que es ivertile si B IR tl que B B y diremos que B es l ivers de y deotremos Propieddes: se B M ( IR) ) ( ) ) ( ) B B t c) ( ) ( ) t, mtrices ivertiles etoces: ( ) M B Oservció: se M ( IR) u mtriz ivertile, tl que etoces c d es fácil compror que es ivertile si y solo si d c y su ivers es: d d c c Oservció: si u mtriz es ivertile, est es llmd hitulmete mtriz Regulr o No Sigulr E lo que sigue de est secció trtremos de proporcior ls herrmiets ecesris pr poder determir cudo u mtriz es ivertile y si lo es poder determir su ivers, y que pr mtrices de orde > o es t fácil deducir u formul pr l ivers Determites L ide ituitiv de determite de u mtriz M (IR) es l siguiete El determite de deotdo por det( ) o por, es u umero que perteece l cuerpo de los úmeros reles Pr mtrices de orde dos y tres es fácil clculr su determite y que este est ddo por: Si M IR d c c d ( ) det( ) - - Curso: Mtemátics II

16 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Si M ( IR) Etoces det( ) L epresió oteid pr clculr el determite de u mtriz de orde tres es fácil recordrl por el siguiete lgoritmo Ley de Srrus Se escrie ls dos primers colums cotiució de l mtriz Se desrroll los productos triples segú los sigos de ls flechs del siguiete digrm Pr u desrrollo ms geerl, primero defimos pr M (IR) l sumtriz M ij, como l mtriz de orde ( ) ( ) que se otiee de l mtriz l elimir l fil i y l colum j Ejemplo: se etoces oservmos que M ; M ; etc Oservció: ote que si M (IR) etoces podemos formr de l form M ij sumtrices - - Curso: Mtemátics II

17 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Estmos e codicioes de defiir recursivmete el determite de u mtriz Defiició: se ( ) M ( IR) etoces ij det( ) j ( ) i j ij det( M ij ) si [ ] pr > Ejemplo: si etoces si escogemos j oteemos que: det( ) ( ) j i j ij det( M ij ) Proposició: se, B M ( IR) y c IR etoces t ) det( ) det( ) ) Si l mtriz B se otiee prtir de l mtriz por u itercmio de fils(o colums) etoces det( B) det( ) c) Si tiee dos fils (colums) igules etoces det( ) d) Si tiee u fil(colum) ul etoces det( ) e) Si B se otiee prtir de l mtriz l multiplicr u fil(colum) por u esclr c etoces det( B ) cdet( ) Curso: Mtemátics II

18 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S f) Si B se otiee prtir de l mtriz l itercmir l fil(colum) i por l sum de l fil(colum) i ms c veces l fil(colum) j ( i j) etoces det( ) det( B) g) Si es trigulr superior(iferior) etoces el determite de es el producto de los elemetos de s digol, es decir det( ) h) es regulr si y solo si det( ) i) det( B ) det( )det( B) Ejemplo: se si plicmos l operció elemetl F oteemos l mtriz B sí det( B ) det( ) Proposició: si M (IR) es o sigulr etoces det( ) det( ) 6 Clculo de Iverss ví Determites Defiició:(Cofctor) se ( ij) M ( IR) el cofctor ij de ij se defie por: ij ) M i j ( ij, dode ij M es l sumtriz ij de l mtriz Ejemplo: se 7 6 etoces vemos que 6 ( ) M 7 ( ) M Curso: Mtemátics II

19 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Defiició:(djut) se ( ij) M ( IR) l mtriz djut de deotd por dj() est defiid por Ejemplo: se ( ) dj( ) 6 etoces podemos clculr l mtriz djut ( ) 7 ( ) 6 ( ) 6 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) 8 6 sí l mtriz djut es dj () ( ) Teorem: si ( ) M ( IR) es u mtriz regulr etoces ij dj( ) Curso: Mtemátics II

20 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Curso: Mtemátics II Ejercicios Clculr los siguietes determites: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( i c c c c c h y y y y y y g f y y y y e d c Determie los vlores de l costte, de modo que el determite de l mtriz, se cero Ecuetre los vlores de ls costtes y, de modo que l siguiete mtriz se ivertile: Si 6 7, resuelv l ecució det( ) I, dode es u vrile rel

21 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Verifique que c c c c c ( c) ( Use Mple) cd cd 6 Eprese el determite de l mtriz c c d, e form d d c fctorizd 7 Verifique que ( ) 8 Se, dode y so úmeros reles Eprese el determite de e form totlmete fctorizd y prtir de esto clcule el rgo de l mtriz, depediedo de los vlores de ls costtes y 9 Ecuetre l form geerl de ls mtrices cudrds de orde, tles que det( B) det( ) det( B), dode Se t t Demuestre que I y prtir de ést relció deduzc l ivers de l mtriz - - Curso: Mtemátics II

22 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S - - Curso: Mtemátics II Clcule, e fució del úmero turl, si Clcule los siguietes determites, usdo propieddes, Clculr el determite de Determir los determites de ls mtrices,, co ceros e l digol y uos e ls demás posicioes puede determir el vlor de? Se, B ) (R M tles que y B B clcule B Dd l mtriz determie los vlores de k tl que ki 6 Determie si so vlids ls siguietes igulddes ) ) c) z z z y y y

23 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S - - Curso: Mtemátics II d) z y z y 7 Resuelv ls siguietes ecucioes ) ) m m m c)

24 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S 7 Sistems de Ecucioes E est secció resolveremos sistems de ecucioes co ls herrmiets epuests e ls seccioes teriores Cosideremos los siguietes sistems: () oserve que () es equivlete l sistem mtricil X () dode ( ) M ( IR), M ( IR) y M ( IR) ij X ( ) M ( IR), M ( IR) y M ( IR) ij X L mtriz ) M ( IR) ij m y respectivmete ( se deomi mtriz socid l sistem Oservció: los sistems ddos e () posee solució úic si y solo si ls mtrices socids l sistem es u mtriz ivertile Método de Crmmer Si u sistem de orde dos de l form posee solució úic, dich solució est dd por:, dode - - Curso: Mtemátics II

25 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S,, álogmete Si u sistem de orde tres de l form posee solució úic, dich solució est dd por:,, dode,,,, Ejemplo: determie si el siguiete sistem posee solució: Solució el sistem posee solucio por lo tto, de dode se tiee que l solució est dd por:, - - Curso: Mtemátics II

26 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S - - Curso: Mtemátics II Ejercicios Oteer si 8 Ecuetre ls iverss de : 6, C y B Ecuetre u mtriz P o-sigulr tl que P B, dode: B y Ecuetre l ivers de: T Determie e cd cso, si eiste,, C B 6 Pr ls mtrices B y Clcule ( ) t t t t t t t BB B B B,,,,

27 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Curso: Mtemátics II y B so mtrices o sigulres tles que ( ) ( ) ( ) I B B B t t t t Despeje e térmios de B 7 Si ( ) K M B, E que cso se cumple ( ) ( )? B B B 8 Pr 6 verifique que Ecuetre ( ) ( ) y t t 9 Se z y X B ; ;, resuelv l ecució: X-I X t BX Se Ecuetre l ivers de si eiste y resuelv el siguiete prolem: w v u w v u v u Se ) ( M IR tl que I, demuestre que es ivertile y clcule su ivers Se, determir, si eiste

28 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S 6 Si determie tods ls solucioes de los siguietes sistems: X X y X X Resolver los siguietes sistems de ecucioes y z y z y z w y z y z w y z z w c d y z w y z z w y z e y w y z y z f y z y z y z y z y z y z y z y z y z u y z 9 g h z u y z u 7 y z w z w y z w y z Resuelv ls siguietes ecucioes mtriciles: c d 7 8 c d 7 e f g h 7 9 p r t p q r s y z 6 8 t u v w 6 lizr segú los vlores de,, c, d l eisteci y los vlores de ls solucioes de los siguietes sistems lieles Curso: Mtemátics II

29 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S y z d y z y z y z y z y z c c y z y z y z y z d y z y z 9 7y 8z 7 Determie los vlores de de modo que el siguiete sistem pose solució: y z y z y z 8 Determie el vlor de m pr que el siguiete sistem teg solució 9 Ddo el sistem m y z my z y mz y ( ) z y ( ) z y ( 7 ) z co pr y de mer que el sistem teg solució:, IR, determie codicioes Determie t de mer que se sigulr Tiee solució el t t sistem X t Determie,, c R tl que el sistem y cz cy z 6 teg como solució C(,, ) t y cz Curso: Mtemátics II

30 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Curso: Mtemátics II Resuelv el sistem: 6 z y z y z y dode ) ),, c),, Resuelve los siguietes sistems ) ) y z y y z c) 8 6 d) e) 7 f) g) h)

31 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Nocioes Básics de Sumtoris Números Nturles Defiició: Cosideremos l sucesió de térmios reles, deotd por, IN Llmremos sum prcil o sumtori de los -primeros térmios de, l epresió : i i Número de térmios de u sumtori ) i i l sumtori tiee térmios m ) i tiee (m-) térmios, es decir, el umero de térmios se otiee i medite l operció: límite superior - límite iferior Propieddes Importtes ( i ± i ) i ± i i i i g i i ( ) λ i λ i, λ IR i i h i i ( )( ) 6 c k k i, k IR i i i ( ) p d i i i, p < i i i p p e i i i, p < i p i i f ( i i ) i - - Curso: Mtemátics II

32 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Ejercicios Desrrolle ls siguietes sums e térmios de sumtoris y clcúlels: ) KK 9 ) KK c) * *7 * KK * d) * *8 8* KK * Sume los primeros térmios ) KK ) * * *7* 9 K c) ()()()()() d) *(-)*(-)* Clcule l sum de los primeros prétesis; Clcule k( k )( k ) L( k p) k Clcule l sum de los térmios ()(7)(97) * **6 * *6L(k) K Sugereci : uk y clcule uk u * **7 **7*(k ) k 6 Clculr : S *77**7 7*6 (Idicció? S (k )(k ) ) k 7 Demuestre que: i i ( i ) ( )( ) 8 Determie el vlor de l epresió: ( )( i ) i i 9 Si se se que, i de l epresió: ( )( ) 9 i i 9 i i i y ( ) 78 i i clculr el vlor i - - Curso: Mtemátics II

33 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Si i ( ) i determie: i i Ddo que ( ) ; 6 c tl que: i i i 8 i i, determie el o los vlores de l costte ( c ) 6 Si ( ) ; ( )( ) 6; ( ) 98 determie: i 9 i i i i i i i y i 8 8 ( ) i i 8 i i 9 ( i 7) c ( ) i Si ( ) 6 i 6 ( ) i ; ; 6 y 8, determie i i ( ) i 6 i i i c ( ) ( ) i 6 d ( ) i i i i i k Clculr ( ) i Curso: Mtemátics II

34 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S k Clculr ( ) 8 k 6 Clculr 9 ( ) 7 Clculr k ( k ) k 9 ( ) 8 Clculr ( k ) k k ( ) 9 Clculr ( k ) k Ecuetre l sum de todos los múltiplos de compredidos etre 8 y 66 Ecuetre l sum de todos los úmeros pres compredidos etre 7 y Curso: Mtemátics II

35 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Nocioes Básics de Teorem del Biomio Hciedo uso de ls sumtoris gregremos u uevo cocepto, este es u geerlizció de ls fórmuls que coocimos teriormete, tles como el cudrdo y cuo de iomio Previmete lizremos dos elemetos que so defiicioes muy usds e l mtemátic uiversitri Defiició: El fctoril de u úmero turl es represetdo por!, y se defie por:! (-) (-) (-), ΙN Defiició: Se defie!, es ecesrio gregr est defiició puesto que fctoril sólo se defie pr úmeros turles Propieddes: )! ( - )! ) ( )! ( ) (-) ()! ) ()! ( - ) ( - ) ( - ) Oservció: (m )! m!! Defiició: El coeficiete iomil est defiido por: m m! ( m )!! co m teg presete el lector que este elemeto, precerá tmié e el cálculo de comitori y proiliddes Propieddes: m ) m ) m m ) m m - - Curso: Mtemátics II

36 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S m ) m m m m ) k k k Teorem: Biomio de Newto Ddos, IR y IN se tiee que ( ) k k Oserve que e el desrrollo de ( ) se tiee termio dode el k -esimo est ddo por: térmio ( ) k k tk k Oservció: e lgus ocsioes es útil cosiderr los térmios de u progresió ritmétic de l siguiete form: dode d deot l difereci k, d, d,, d, d, álogmete e el cso de u progresió geométric es ueo cosiderr los elemetos de l siguiete form:,,,, r, r r r, k - - Curso: Mtemátics II

37 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Ejercicios E el desrrollo Hllr: ) El quito térmio ) El térmio idepediete de Ecotrr el coeficiete de e: ( )( ) ) El térmio idepediete de e: 9 Demuestre que: k k k k Ecuetre el térmio cetrl de Determie l relció que dee eistir etre r y, pr que los coeficietes de los térmios de lugres r y r e el desrrollo de (), se igules 6 Si r ocup u lugr e el desrrollo de coeficiete es: pruee que su ()!/ ( )! ( ) r! r Curso: Mtemátics II

38 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Nocioes Básics de Progresioes Defiició: U Progresió ritmétic (P) es u sucesió de epresioes, e l cul todos los térmios, posteriores l primero, se otiee, siempre sumdo u mism ctidd l úmero terior, est ctidd es llmd rzó de l progresió, o ie, difereci E otrs plrs u serie de térmios se ecuetr e P si l difereci etre dos térmios cosecutivos culesquier es u vlor costte d - Los térmios e u P está ddos por: ; d ; d ; d ; d ; ; ( - )d Si cosidermos l sum de todos primeros térmios de u (P): S ( d) ( d) ( d) ( d) ( ( - )d) Oservmos que est qued represetd por: S ( ( - )d) E resume el térmio geerl y l sum de los primeros térmios está dd por: ( - )d S ( ( - )d) Defiició: U Progresió Geométric (PG) es u sucesió de epresioes, e l cul todos los térmios, posteriores l primero, se otiee, siempre multiplicdo u mism ctidd l úmero terior, est ctidd es llmd rzó de l progresió, o ie, cuociete E otrs plrs u serie de térmios se ecuetr e PG si el cuociete etre dos térmios cosecutivos culesquier es u vlor costte r / Los térmios e u PG está ddos por: Curso: Mtemátics II

39 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S ; r ; r ; r ; r ; r ( - ) Clrmete se puede precir que el -ésimo térmio est ddo por: r ( - ) Si cosidermos l sum de todos estos térmios: S ( r) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ( - ) ) est qued represetd por: S ( - r ) - r Defiició: Se llm medios ritméticos o geométricos etre y, quellos térmios que correspode u P o PG y que se uic e form orded etre y Oservció: Si se dese isertr t medios ritméticos etre y, se clcul primero d, el cul está epresdo por d ( - ) / (t ) Luego se clcul cd uo de los térmios de l progresió Cudo d > l progresió es creciete, y si d <, l progresió es decreciete Oservció: Si se dese isertr t medios geométricos etre y, se clcul primero r, el cul está epresdo por: r t Ls pliccioes de ls progresioes ls podemos ecotrr por ejemplo e el ámito ficiero, cudo plicmos tss de iterés u determido moto, cudo se trt de u iterés simple, estmos frete u P e l cul d correspode l iterés simple plicdo, y los períodos se relcio co el úmero de térmios requeridos E el cso de u iterés compuesto, l rzó correspode l iterés compuesto plicdo y uevmete los períodos se relcio co el úmero de térmios Curso: Mtemátics II

40 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Ejercicios Supog que,9/,,, c, d, es u progresió ritmétic fiit Ecuetre los medios ritméticos,, c, d de y Itercle medios ritméticos etre y Itercle 8 medios ritméticos etre y Hlle el trigésimo térmio de l sucesió 7, -, -,, Hlle el vigésimo térmio de l sucesió,,, 6 Hlle el seto y el séptimo térmios de u progresió geométric cuyo primer térmio es y cuy rzó es r -/ 7 Hlle el décimo térmio de l sucesió /79, /, /8, 8 Hlle el primer térmio de u progresió geométric cuyos curto y quito térmios so 8 y respectivmete 9 Sumr 7 térmios de l progresió: 9,,9, 7 Sumr 9 térmios de l progresió;,,, Dd l P,,, clculr el térmio geerl siedo que eiste 7 térmios, etre los etremos El tercer térmio de u P es 8 y el séptimo es Ecotrr S7 Ecotrr el úmero de térmios de l P:,6,, si S8 Si f(), f()-9 y f()- Ecuetre y Ecotrr l sum de todos los úmeros etre y, que se divisiles por 6 L sum de los primeros térmios de u P es y l de los siguietes 7 Ecotrr y d ) Demostrr que pr todo perteeciete los turles, se cumple que l sum de térmios de l serie:,,,8 es u cudrdo perfecto ( y) ) Ecotrr 6 c) Ecotrr r si f(r)f(r) S Curso: Mtemátics II

41 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S 7 Clculr l sum de,,,(7 térmios) 9 8 Iterpolr tres medios geométricos etre 9/,,/9 9 Si,,c,d está e PG, demostrr que ( c) ( c ) ( d ) ( d ) Clculr l sum de los - térmios de S//7/8 L sum de tres úmeros e PG es 7, si los etremos so mplificdos por y el del medio por, l serie está e P Hllr los úmeros Hllr u P cuyo primer térmio se l uidd y tl que los térmios de lugres, y forme u PG U cmpesio vedió l primero de sus comprdores l mitd de sus mzs más ½ mz; l segudo l mitd de ls resttes más ½ mz; l tercero l mitd de cuts le qued más ½, etc El sétimo comprdor dquirió tmié l mitd de ls mzs resttes más ½, gotdo co ello l mercderí Cuáts mzs teí el cmpesio? Hlle el primer térmio de u progresió ritmétic cuyos quito y seto térmios so y respectivmete Hlle el oveo térmio de u progresió ritmétic cuyo primer y tercer térmio so 8 y respectivmete 6 Hlle el octvo térmio de u progresió geométric si el segudo y el curto térmios so /9 y 8/8 respectivmete 7 Hlle u progresió ritmétic cuyo primer térmio es y l sum del segudo y tercer térmio es 8 8 Hlle u sucesió geométric cuyo segudo térmio es, y tl que 6 9 U prej decide horrr US$ cd mes del primer ño de mtrimoio, US$ cd mes del segudo ño de mtrimoio, US$ cd mes del tercer ño del mtrimoio, y sí sucesivmete umetdo US$ l ctidd mesul cd ño Hlle l ctidd que deerá horrr cd mes del ño décimo E el prolem terior ecuetre u fórmul pr l ctidd que l prej deerá horrr cd mes del ño -ésimo Puede prorse que los térmios de l sucesió { } defiidos por l fórmul de recurreci - - Curso: Mtemátics II

42 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S r Se proim cd vez más r cudo umet Supog que E cd uo de los siguietes csos hlle y compre co el vlor correspodiete que dé su clculdor () r () r (c) r L medi geométric de dos úmeros positivos y es el úmero m tl que, m y so térmios cosecutivos de u progresió geométric fiit Ecuetre u fórmul pr l medi geométric de y Si ( ) es u progresió ritmétic co y 6, ecuetre: ()-d ()- (c)-s Se ( ) u progresió ritmétic co d tl que S 6; hlle y Supog que -7 y so el primero y el -ésimo térmio respectivmete de u serie ritmétic pr l cul S 67 Hlle y d 6 Si { } es u progresió co r / tl que S 99, ecuetre el primer térmio 7 Si el primer térmio de u serie geométric ifiit es y su sum es, hlle r 8 Hlle l sum de los ocho primeros térmios de l progresió ritmétic,,, 9 Hlle l sum de los primeros térmios de l progresió geométric,,, U turist le sc u foto u pirámide y oserv que e su se hy loques, e l fil siguiete hy 9, e l siguiete 8, y sí sucesivmete - - Curso: Mtemátics II

43 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S hst que e l fil superior hy 8 loques Cuátos loques tedrá es cr de l pirámide fotogrfid? U prej decide horrr US$ cd mes de su primer ño de mtrimoio, US$ cd mes de su segudo ño de mtrimoio, y sí sucesivmete umetdo US$ l ctidd mesul cd ño Cuáto hrá horrdo l cumplir ños de csd? E u reuió de persos cd u le dio u pretó de mos tods ls demás persos ectmete u vez Cuátos pretoes de mos huo? Hy u tigu leyed cerc de ls series geométrics y los tleros de jedrez Cudo u rey de Persi predió jugr el jedrez quiso grdecerle l ivetor del juego por ello y le prometió cocederle lo que le pidier Este señor llmdo Sess, quiso jugrle u rom, y co ire de modesti le pidió u gro de trigo por el primer cudro del tlero, por el segudo, por el tercero, 8 por el curto y sí sucesivmete Eplique e qué cosiste l rom de Sess U perso ve dos ucios de empleo pr relizr el mismo trjo durte todos los dís de u mes o dís Uo de ellos dice que pgrá US$, por el mes de trjo y el otro dice que pgrá dirimete c el primer dí, c el segudo, c el tercero y sí sucesivmete hst el último dí del mes Cuál empleo le result más llmtivo? Por qué? U utomóvil que se celer e u rzó costte recorre metros el primer segudo, 8 metros el segudo, metros el tercer segudo, y sí sucesivmete recorre metros dicioles cd segudo Hlle l distci totl que el utomóvil h recorrido después de segudos 6 U epidemi crece t rápido que cd dí hy el dole de persos cotmids que hí el dí terior Si u polció se cotmi completmete e 9 dís, si el primer dí hy persos cotmids Cuátos dís se demorrá si el primer dí hy persos cotmids? - - Curso: Mtemátics II

44 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Nocioes Básics de Poliomios U epresió de l form: P ( ) se llm poliomio de grdo,,,, se deomi coeficietes del poliomio, los cules puede ser reles o complejos Se dice que r es u cero del poliomio P() ó u ríz o solució de l ecució: P(), si P(r) Ejemplo: Se P ( ) 9 8 u poliomio de grdo tres co coeficietes reles, etoces es u ríz o u cero del poliomio E efecto, como ( ) 9 8 P l reemplzr e P() se otiee: P( ) ( ) ( ) () 9( ) Defiició: Dos poliomios P ( ) y Q ( ) so igules, si sus coeficietes so igules, es decir:,,,, Defiició: L sum de los poliomios P ( ) y Q ( ) está dd por: P( ) Q( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Divisió sitétic Tiee por ojetivo dividir dos poliomios uo de l form P ( ) y el otro de l form r Descripció, primero order P() de grdo myor meor y etrer sus coeficietes y llevrlos u tl de l form - o Icorporr el vlor de r l ldo derecho de l tl - o r - - Curso: Mtemátics II

45 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S El coeficiete de, se repite e l últim fil de l tl - o r Se multiplic por r y se escrie jo - y luego se sum - o r *r - *r Luego el resultdo oteido se multiplic por r, se escrie jo - y luego se sum y sí sucesivmete hst llegr l o - - o R *r ( - *r)*r - *r - ( - *r)*r Luego los coeficietes se etre pr escriir el poliomio resultte que es de u grdo meos que el poliomio P() prtiedo por l izquierd y el último coeficiete correspode l resto de l divisió Ejemplo: Se quiere dividir ( ) P por Escriir todos los coeficietes P(), quellos que o prece so ceros, es decir, P ( ) * llevr los coeficietes l tl, escriir e l últim colum el vlor de r, escriir e l últim fil el primer coeficiete Efectur ls multipliccioes y sums respectivs (*-) - (-*-) (*-) - (-*-) Curso: Mtemátics II

46 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Filmete l tl qued sí: P( ) El resultdo de y resto lgoritmo de l divisió Pr cd poliomio P(X) de grdo myor o igul uo y pr cd úmero r eiste u poliomio úico Q() de u grdo meor que el de P() y u úmero úico R que puede ser cero tl que: P()(-r)Q()R El poliomio Q() se deomi cuociete, -r es el divisor y R el residuo o resto Del ejemplo terior ( ) R Teorem del residuo P, r, Q ( ) y Si R es el residuo o resto después de dividir el poliomio P() etre -r, etoces P(r)R Ejemplo: Se ( ) 9 P, verifique el teorem pr r - Podemos decir que P ( ) 9 se quiere dividir por, usdo divisió sitétic se tiee: Cocluimos que el resto es l reemplzr - e P() se otiee: ( ) ( ) ( ) 9( ) P( ) *8 *( 7) 7 7 Teorem del fctor P, Si r es u cero del poliomio P() etoces r es u fctor de P(), iversmete si - r es u fctor de P(), etoces r es u cero de P() - - Curso: Mtemátics II

47 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Ejemplo: Use el teorem del fctor pr pror que es u fctor de P ( ) E este cso r -, luego P(-)(-) - Por lo tto - es u cero de P() y es u fctor de P() Teorem fudmetl del álger Cd poliomio de grdo myor o igul uo, co coeficietes reles o complejos tiee l meos u cero rel o complejo Teorem de los ceros Todo poliomio P() de grdo myor o igul uo co coeficietes reles o complejos se puede epresr como el producto de fctores lieles, por lo tto, tiee ectmete ceros, o ecesrimete distitos Si P() se represet como el producto de fctores lieles y - r ocurre k veces etoces r se deomi cero de multiplicidd k Ejemplo: Cosidere P ( ) ( ) ( ) ( i)( i) Este poliomio es de grdo siete, tiee siete ceros, o todos distitos: es u cero de multiplicidd - es u cero de multiplicidd i es u cero de multiplicidd -i es u cero de multiplicidd Teorem: Regl de los sigos de Descrtes Ddo u poliomio P() co coeficietes reles, este puede teer: ) Ceros positivos: El úmero de ceros reles positivos de P() uc es myor que el úmero de vricioes de sigo de P() y si es meor, etoces siempre será e u úmero pr ) Ceros egtivos: El úmero de ceros reles positivos de P() uc es myor que el úmero de vricioes de sigo de P(-) y si es meor, etoces siempre será e u úmero pr Curso: Mtemátics II

48 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Ejemplo: Determie los posiles ceros positivos y egtivos del poliomio P ( ) Como ( ) P { cmio cmio cmio eiste tres cmios o vricioes de sigo, luego eiste tres o u cero rel positivo hor clculmos P( ) ( ) ( ) ( ) etoces ( ) { P eiste u cmio o vrició de No huocmio Cmio Nohuocmio sigo, luego eiste u cero rel egtivo Teorem de loclizció Si P() es u poliomio co coeficietes reles y si P() y P() so de sigo opuesto, etoces eiste l meos u cero rel etre y Loclizció de ceros rcioles Teorem: Si el úmero rciol, e los térmios meores es u cero del c poliomio P ( ) co coeficietes eteros, etoces dee ser u fctor de o (el térmio costte de P()) y c dee ser u fctor de (el coeficiete del térmio de myor grdo e P()) Ejemplo: Ecuetre los posiles ceros rcioles de P( ) 8, sus divisores so: ±, ±, ± c, sus divisores so: ±, ± Por lo tto ls posiles ríces o ceros rcioles so ( ) 8 c ±, ±, ±, ± P dos vricioes de sigo por lo tto eiste dos o igú cero rel positivo P ( ) 8 u vrició de sigo por lo tto eiste u cero rel egtivo Como eiste más ceros positivos que egtivos es coveiete pror primero co los úmeros positivos Usdo divisió sitétic: Curso: Mtemátics II

49 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Como el resto o cero, por lo tto o es u cero de P() Proemos co Luego es u cero de P() e cosecueci P 8 Q( )( ) ( )( ( ) ) Pr loclizr el resto de l ríces trjmos co Q ( ), uevmete utilizdo divisió sitétic y co liderdo ls resttes posiles ríces positivs, teemos: - 8 Como el resto o cero, por lo tto o es u cero de P() - / Luego Q( ) ( ) ( ) ( )( ) Filmete: ( ) 8 ( )( )( ) P es decir los ceros rcioles so,, Curso: Mtemátics II

50 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Descomposició e frccioes prciles: N( ) Culquier frcció propi reducid (el grdo del poliomio del umerdor D( ) dee ser meor que el del deomidor) se puede descompoer e l sum de frccioes prciles como sigue: ) Si D() tiee u fctor liel que o se repite, de l form, etoces l N( ) descomposició e frccioes prciles de cotiee u térmio de l D( ) form dode es costte ) Si D() tiee u fctor liel que se repite k veces, de l form ( ) k N( ) etoces l descomposició e frccioes prciles de cotiee D( ) k térmios de l form dode, ( ) ( ) ( ) k,, k so costtes c) Si D() tiee u fctor cudrático que o se repite, de l form c, N( ) etoces l descomposició e frccioes prciles de cotiee u D( ) B térmio de l form dode y B so costtes c d) Si D() tiee u fctor cudrático que se repite k veces, de l form ( c) k N( ), etoces l descomposició e frccioes prciles de D( ) cotiee térmios de l form: B B B k Bk c c c c ( ) ( ) ( ) k dode,,, k B, B,, B k so costtes Ejemplo: Descompoer e frccioes prciles: 7 ( )( ) Curso: Mtemátics II

51 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Como y - so fctores lieles, l descomposició e frccioes prciles está dd por: 7 ( )( ) B ( ) B( ) ( )( ) por lo tto 7 ( ) B( ), uestro trjo se reduce clculr los vlores de y B, u método serí multiplicr, sumr y luego socir los elemetos del ldo derecho de l iguldd y luego comprr el poliomio resultte co el de l derech y resolver u sistem de ecucioes: 7 ( ) B( ) B B ( B) ( B) B etoces: ( ) B B B 7 Si B lo reemplzmos e l primer ecució oteemos que, sí 7 ( )( ) Otro método que os permite determir los vlores de y B, es el siguiete: Como 7 ( ) B( ), determir e que vlores de los prétesis se hce cero e este cso pr y - y estos vlores reemplzrlos e l iguldd: Si, etoces Si -, etoces * 7 ( ) B( ) B B *( ) 7 ( ) B( ) 8 Idepediete del método escogido lo importte es determir los vlores de y B 6 7 Ejemplo: Descompoer e frccioes prciles: ( )( ) E este cso es u fctor liel que se repite u vez y - es u fctor liel que se repite dos veces, luego l descomposició qued: - - Curso: Mtemátics II

52 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S - - Curso: Mtemátics II ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) C B C B De dode se otiee, B, C - por lo tto: ( )( ) ( ) 7 6 Ejemplo: Descompoer e frccioes prciles: ( ) 9 quí correspode u fctor cudrático que se repite dos veces, etoces l descomposició e frccioes prciles está dd por: ( ) ( ) 9 D C B de dode, B -, C, D, etoces: ( ) ( ) 9

53 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Ejercicios E cd cso, determie si el poliomio Q() divide P() ) P() - Q() - ) P() -9 Q() c) P() - Q() d) P() - Q() - e) P() 7 Q() f) P() -- Q() Utilizdo divisió sitétic, determir F(): G() ) F() -- G() ) F() - - G() - c) F() - G() d) F() - G() - e) F() 7 G() d) F() -- G() Descompog e frccioes prciles: ) 8 ) ) 6 ) ) ) ( ) 6 7) 6 6 8) 7 9) 7 8 ) Curso: Mtemátics II

54 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S - - Curso: Mtemátics II ) 7 9) ) ) 8 8 6) ) 6 8 ) ) ) )

55 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Geerliddes y Líe Rect Cosideremos el siguiete prolem: Geometrí lític Ddos P(,y) y Q(,) dos putos e el plo Determie l distci etre P y Q Solució: y d(p,q) ( ) ( y ) Defiició: Llmremos líe rect l lugr geométrico de todos los putos tles que tomdo dos putos diferetes P (, y), Q(, y) del lugr geométrico, el vlor: y y m result siempre costte Tl vlor se deomi pediete de l rect Motivció: Ddos dos putos P (, y), Q(, y) distitos como determir l ecució de l rect que ps por dichos putos?( Ecució puto puto) Solució: se L l rect requerid Y que los putos P(, y), Q(, y) perteece l rect semos que y y m sí podemos deducir que: y y L: y y ( ) Co lo cul hemos resuelto uestro prolem - - Curso: Mtemátics II

56 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Ecució Simétric de l rect: Se, ls iterseccioes co los ejes X y Y respectivmete de u rect L, etoces: y se deomi l ecució simétric de l rect L Defiició: Diremos que dos rects: L : y m L : y m - So Prlels si m m y deotremos L L - So perpediculres si m m,siempre y cudo ls pedietes se o uls, y deotremos L L Distci de u puto u rect Oservció: Dd u rect L siempre podemos represetrl e su form geerl es decir: L : By C dode, B, C R Se L : By C y P (, y ) pr determir l distci del puto l rect deemos clculr: d( P, L) By B C - - Curso: Mtemátics II

57 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Motivció: Ddos los putos (,) y B(c,d) determir u puto P que perteezc l segmeto B de modo que divid l segmeto e u rzó dd r es decir: r P : PB Solució: Cosideremos el siguiete gráfico: y C y P y de lo cul podemos cocluir r y ry oteemos r sí r r álogmete Curso: Mtemátics II

58 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Ejercicios Hllr l ecució de rect que ps por el puto (,) y tiee pediete Hllr l ecució de rect cuy pediete es y cuy itersecció co el eje Y es Hllr l ecució de rect que ps por los putos (,) y B(-,7) Los vértices de u cudrilátero so (,),B(,),C(6,7) y D(8,) Hllr l ecució de los ldos Los segmetos que u rect determi sore los ejes X y Y so y respectivmete Hllr su ecució 6 U rect ps por los putos (-,-) y B(,-6) Hllr su ecució e l form simétric 7 Hllr l ecució de l meditriz del segmeto (-,)B(,6) 8 U rect ps por el puto (7,8) y es prlel l rect que ps por los putos(-,) y (,-) 9 Hllr l ecució de l meditriz del segmeto que los ejes coordedos determi e l rect y U triágulo posee vértices (-,),B(,7) y C(6,-) Determir l rect que ps por el vértice y es prlelo l ldo opuesto Cosiderdo el triágulo del ejercicio hllr ls ecucioes de sus ldos Hllr el vlor de k pr que l rect k(k-)y-8 se prlel l rect 77 Determie el vlor de k pr que l rect k ( k ) y se perpediculr l rect y7 E ls ecucioes (-)y- y (-)y hllr los vlores de y pr que represete rects que ps por (,-) Hllr l distci de l rect -y l puto P(,-) 6 Los vértices de u triágulo so (-,)B(-,) y C(,-) Hllr l logitud de l ltur del vértice sore el ldo BC y el áre del triágulo 7 Hllr l logitud etre ls rects -y8 y y6-7 - Curso: Mtemátics II

59 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S 8 Hllr l ecució de l rect prlel y- y distte cutro uiddes de ell(dos solucioes) 9 El costo de lmceje de u rticulo est defiido por l fució G()$$6 dode es el costo uitrio de Diujr l fució G pr << Ecotrr el costo de lmceje pr u rticulo que cuest $6 c Ecotrr el vlor de u rticulo pr el cul su costo de lmceje es $8 Si el costo de vets es Q()/ y l gci por vet es R() / determir l fució utilidd U rticulo que cuest $9 se vede e $ y otro que cuest $99 se vede e $ si estos dos ejemplos represet l polític geerl de precios Determir u fució que represete el precio de vet e térmios del costo Ecotrr el costo de u rticulo que se vede e $8 c Ecotrr el precio de vet de u rticulo que cuest $ d Represetr l fució gráficmete El flete éreo de u lir de mercderí cuest $ trsportádol 8 mills y $ trsportádol mills Determie U fució liel que determie el costo de trsporte éreo si los dtos correspode l polític usul de costos El costo de trsportr lirs por mills Determie l Ecució Geerl y pricipl de l Rect que ps por los siguietes pres de putos: ) (,-) ; (8,) c) (-,) ; (7,-) ) (-,-) ; (9,) d) (,) ; (,-8) Curso: Mtemátics II

60 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S Ecuetre el vlor de k IR tl que l rect -(k 6)y 9 se Prlel : Perpediculr : 6y y - y y 8 - y 8 y ( y) - 8y - 7y 9 6 Determie l ecució de l rect que es perpediculr 7y - y que ps por el puto de itersecció de ls rects 6y -9 ; y 8 7 Determie l ecució de l rect que ps por el puto de itersecció de ls rects 7y - ; y y - 6y 8 ; y 8 Ecuetre l distci de los siguietes putos l rect: - y - 9 ) (-, ) ) (, ) c) (, -) d) (-6, ) 9 Determie l distci etre ls rects y - 8 y 6 y - U empres fric u producto de tl form que si fric uiddes el costo es de dólres y si fricr 6 el costo serí de dólres Determie u fució liel que represete el costo y determie Cuál es el costo si se produjer rtículos? Cuátos rtículos se produjero si el costo fue dólres? U rtículo que cuest $ 9 se vede e $ y otro que cuest $ 99 se vede e $ Si estos dos rtículos represet l polític geerl de precios ) Ecuetre u fució liel que represete el precio de vet e térmios del costo ) Determie el costo de u rtículo que se vede e $ U empres vede u producto l precio uitrio de $ Si l fució de costo totl correspodiete está defiid por C (), determie prtir de que úmero de uiddes vedids l empres sufrirá pérdids Curso: Mtemátics II

61 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S U empres elor u producto que se vede u precio de $ por uidd El costo vrile por uidd se estim e $ y los costos fijos e $ ) Determie el ivel de producció e equilirio ) prtir de qué úmero de uiddes vedids l empres comiez reciir utiliddes? c) Cuál será l utilidd, si l demd es de uiddes? Demuestre que el triágulo de vértices (,), (,) y (, ), es equilátero Diuje el triágulo e u sistem coordedo Demuestre que los putos de coordeds (7,), (,) y (6,-7), so los vértices de u triágulo rectágulo Ecuetre su áre y perímetro Determie el vlor del úmero rel positivo, de mer que el triágulo de vértices (,), (,) y (,), se equilátero Ecuetre ls coordeds del puto del plo que está l mism distci de cd uo de los putos de coordeds (,7), (8,6) y (7,-) Hg u gráfic de l situció 6 Ddo el triágulo de vértices (,-), (,) y (8,); ) Determie ls ecucioes de ls rects que cotiee ls trsversles ) Determie ls ecucioes de ls rects que cotiee ls medis c) Ecuetre el áre de dicho triágulo Ecuetre ls coordeds de los putos que divide l segmeto de rect co etremos (,7) y (6,-), e tres prtes igules 7 Ecuetre l ecució de l rect que ps por el puto (-,) y por el puto medio del segmeto de rect de etremos (,) y (,) 8 Determie el vlor de úmero rel c, de modo que l rect de ecució ( c ) ( c ) y c, se: ) Prlel l rect de ecució y Curso: Mtemátics II

62 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S ) Perpediculr l rect de ecució y 9 E cd cso, ecuetre codicioes sore los úmeros reles y, de mer que ls rects ( ) y y ( ) y : ) Coteg l puto (,-) ) Se prlels c) Se perpediculres Ls tres rects que se d cotiució, defie u triágulo BC: y, y y y Determie: ) El perímetro del triágulo BC ) El áre del triágulo BC c) L ecució de l circufereci circuscrit l triágulo BC Ecuetre ls ecucioes de ls rects que ps por el puto de coordeds (,-) y está uiddes de distci del orige Los costos fijos que cor mesulmete u empres de gu potle, los usurios, so de $ 8 diciolmete l empres cor $ por cd metro cúico cosumido (costo vrile) Ecuetre u fórmul que eprese el gsto totl mesul de u usurio del servicio, e fució de los metros cúicos de gu cosumidos Grfique ést fució y determie el gsto de u usurio que cosumió, metros cúicos de gu, e u cierto mes U empres dquiere u máqui por u vlor de US$, que se depreci lielmete hst que su vlor de vet es de US$ después de ños Eprese el vlor de l máqui e fució de su edd Grfique ést fució y clcule el vlor de l máqui cudo ést tiee cutro ños de uso L empres de rriedo de utos cor 8 cetvos de dólr por cd kilómetro recorrido, más u ctidd fij de dólres, por el rriedo de u cierto tipo de utomóvil L empres B cor 6 cetvos de dólr por cd kilómetro recorrido, más u ctidd fij de dólres, por el rriedo del mismo tipo de utomóvil Cuál empres es más coveiete pr u usurio del servicio, depediedo del kilometrje recorrido Grfique l situció plted Curso: Mtemátics II

63 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rossy Rivero S L Práol Defiició: U Práol es el lugr geométrico de u puto que se mueve e u plo de tl mer que su distci de u rect fij, es siempre igul l distci de u puto fijo que o perteece l rect El puto fijo se deomi foco y l rect fij se deomi directriz de l práol Desigremos por F y d el foco y l directriz de l práol l rect J que ps por el foco y es perpediculr L se deomi eje focl de l práol El puto medio del segmeto F se deomi vértice de l práol y lo deotremos por V d J V F Ecució de l práol de vértice e el orige y eje focl uo de los ejes coordedos: - Eje focl igul l eje X y p F(, p ) d: p - Eje Igul l eje Y py F( p,) d: y p Oserve que e muchos csos puede ocurrir que el vértice de l práol o coicid co el orige, e ese cso como determimos l ecució de l práol? Motivdos por el prolem terior determiremos ls ecucioes de ls práols co ejes focles prlelos uo de los ejes coordedos Proposició: L ecució de l práol co vértice V( h,k) es : Curso: Mtemátics II

64 Uiversidd de ciecis de l Iformtic Profesores: Diel Mur Fcultd de Igeierí Miguel Muñoz J Crrer de álisis de Sistems Rosy Riveros - si el eje focl es prlelo l eje X teemos que l ecució es: ( y k) p( h) F ( h p, k) d : h p - si el eje focl es prlelo l eje Y teemos que l ecució es: ( h) p( y k) F ( h, k p) d : y h p Proposició: U ecució de segudo grdo e ls vriles térmios y puede escriirse de l siguiete mer:, y que o pose Cy D Ey F () Si, C y D l ecució () represet u práol co eje focl prlelo l eje Y Si E l ecució () represet dos rects prlels l eje Y coicidetes o o ó igú lugr geométrico Si, C y D l ecució () represet u práol co eje focl prlelo l eje X Si D l ecució () represet dos rects prlels l eje Y coicidetes o o ó igú lugr geométrico Ejemplo: Determir l práol que ps por los putos (/,); B(,) y C(-6,-7) Curso: Mtemátics II