Sintonización de Controladores

Transcripción

1 Sistemas de Control Automáticos Sintonización de Controladores Acciones de control Las acciones de los controladores las podemos clasificar como: Control discontínuo Control ON OFF Control contínuo Controles PID (Proporcional, Integral y Derivativo) Los segundos se pueden ajustar en forma independiente formando controladores P, PI, PD y PID. Un controlador PID ideal, matemáticamente queda expresado como: m( K C 1 e( Ti t 0 e( dt Td d dt e( ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) Corresponde a la respuesta del controlador en el tiempo, donde: m( : salida de control e( : error dinámico del sistema K C : ganancia proporcional del controlador Ti : constante de integración Td : constante derivativa Además se acostumbra definir: mevo17@gmail.com

2 La ganancia proporcional K C suele ser reemplazada por la banda proporcional (PB). Este parámetro es adimensional, porcentual y se define como: PB R y max 100 En donde: R max y = Valor máximo posible de la referencia = Rango de variación de salida La banda proporcional y la ganancia K C están relacionadas a través de la expresión: 100 PB K C Propiedades de los controladores continuos Una correcta selección de un controlador para un proceso determinado depende fundamentalmente del efecto que éste producirá sobre el proceso. En un controlador PID ello pasa por conocer el efecto que producen los distintos modos de control. Modo de control proporcional Aplica una señal de control proporcional al error generado. Es relativamente rápida, pues entrega una señal de control instantánea. Frente a una perturbación esta acción no asegura que el sistema retorne a su punto de trabajo original (e ss ). m( K e( Gc( KC C M ( E( Modo de control integral Es más lenta que la acción proporcional. Puesto que introduce un polo en el origen, tiende a inestabilizar un tanto el sistema. Teóricamente asegura e ss =0 Página 2

3 Sistemas de Control Automáticos 1 m( Ti t 0 e( dt Gc( M ( E( 1 Ti s Modo de control derivativo Sólo tiene efecto en la parte transiente de la respuesta (en estado estacionario m=0). Es fuertemente sensible a ruidos. Se utiliza para estabilizar lazos demasiado oscilatorios. d M ( m( Td e( Gc( Td s dt E( SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID El ajuste de parámetros o sintonía de controladores, es uno de los aspectos más importantes en el contexto de un sistema de control. A pesar de su importancia, existen tan solo algunos procedimientos generales que permiten la estimación de los parámetros en base a mediciones directas del proceso o por relaciones empíricas. Se hace hincapié que son solamente métodos aproximados y por lo tanto deben realizarse un ajuste fino de los parámetros, en un entorno, hasta lograr la respuesta adecuada. Todos los procedimientos aproximados siguen las siguientes etapas básicas: Determinación de un modelo que describa el comportamiento dinámico del proceso en torno al punto de trabajo (modelo en lazo abierto). Definición de un criterio de comportamiento para el proceso controlado. Determinación de los parámetros del controlador. De acuerdo al tipo de modelo dinámico que se ajuste a la respuesta del proceso y al criterio de comportamiento, se obtiene diversas reglas para fijar los parámetros de los controladores. mevo17@gmail.com

4 SP CRITERIOS DE COMPORTAMIENTO Una vez que se tiene una representación dinámica del proceso sin el control (en lazo abierto), es necesario definir un criterio de calidad para la respuesta del proceso controlado. En otras palabras se debe decidir la forma en que se desea que se comporte el proceso con el controlador instalado. La forma usual de definir un criterio de comportamiento es en base a la respuesta al escalón; comparando la respuesta del proceso con la que idealmente se podría obtener y que es lógicamente un escalón. La diferencia entre este escalón ideal de respuesta y la respuesta actual se define como el error e(. Yc Respuesta real e Respuesta ideal Tiempo Un criterio de comportamiento muy usado por la simplicidad de su verificación es el llamado razón de amortiguamiento de ¼, el cual está indicado en la siguiente figura. VARIABLE CONTROLADA a a/4 a/16 Perturbacion Tiempo Al especificar la razón de amortiguamiento se pretende garantizar un adecuado margen de estabilidad y al mismo tiempo asegurar que las variaciones de la variable controlada serán despreciables prácticamente después del cuarto ciclo de oscilación. Página 4

5 Sistemas de Control Automáticos Existen tres criterios de comportamiento: a) ISE Integral del error al cuadrado ISE e( 2 dt Pondera poco los errores pequeños. Fácil de trabajar analíticamente. Curva de respuesta de poca magnitud durante periodos de tiempo apreciables. b) IAE Integral del valor absoluto error IAE e( dt Sensible a errores pequeños y menos a los errores grandes. Respuesta con mayor sobre impulso en tiempos de establecimientos más cortos. Pondera tanto a errores positivos como negativos sin considerar su magnitud. Respuesta rápidamente amortiguada. Es muy laborioso de trabajar. c) ITAE Integral del valor absoluto del error por tiempo ITAE t e( dt Insensible a valores iniciales. Pondera fuertemente los errores que ocurren más tarde en el tiempo. Respuesta óptima con tiempos de respuesta cortos y mayores sobre impulsos que los criterios anteriores. Respuesta rápidamente amortiguada con gran oscilación inicial. El diagrama de un control en lazo cerrado tiene la siguiente forma: Si el modelo matemático de la planta es tan complicado que no es fácil de obtener, se debe recurrir a los enfoques experimentales para la sintonización de los controladores PID. La FdT del controlador es M ( C( y de la planta es E( M ( mevo17@gmail.com

6 Este método hace uso del modelo matemático del proceso. Se supone un sistema de primer orden con retardo en la respuesta: Gp( s K e T s 1 Luego se determina el valor: T Posteriormente se determinan: K Kp A B T Ti C D Td T E F Despejando los parámetros del controlador, se tiene: K C A K B Ti D C Td E F Donde A, B, C, D, E y F se obtienen de la tabla del método (ISE, IAE e ITAE). Página 6

7 Sistemas de Control Automáticos ZIEGLER - NICHOLS Establecen valores de K C, Ti y Td con base en las respuestas escalón experimentales. Existen dos métodos de sintonización de Ziegler-Nichols. En ambos se pretende obtener un 25% de sobre impulso en la respuesta escalón. PRIMER METODO En el primer método la respuesta de la planta a una entrada unitaria se obtiene de manera experimental. Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta escalón unitario puede tener la siguiente forma: mevo17@gmail.com

8 Esta curva se caracteriza por dos parámetros: el tiempo de retardo y la constante de tiempo. El tiempo de retardo y constante de tiempo se determina dibujando una recta tangente en el punto de inflexión de la curva con forma de S y determinando las intersecciones de esta tangente con el eje de tiempo y línea c(=k. La función de transferencia del controlador con un retardo del modo siguiente: C( M ( se aproxima mediante un sistema de primer orden C( M ( s K e s 1 Se establecen los valores de K C, Ti y Td de acuerdo a la siguiente tabla: Tipo de controlador K C Ti Td P / 0 PI 0,9 / / 0,3 0 PID 1,2 / 2 0,5 Remplazando las constantes del controlador PID: G C 1 s ( 0,6 s Por lo tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en: SEGUNDO METODO 2 1 s En el segundo método, primero se establece Ti= y Td=0, usando sólo la acción de control proporcional. Página 8

9 Sistemas de Control Automáticos Se incrementa K C de 0 a un valor crítico Kcr en donde la salida tenga una una primera oscilación sostenida (si no lo tiene con cualquier valor de K C, no se aplica éste método). Por lo tanto, la ganancia crítica Kcr y el periodo Tcr correspondiente se determinan experimentalmente de: Tipo de controlador K C Ti Td P 0,5 Kcr 0 PI 0,45 Kcr Tcr / 1,2 0 PID 0,6 Kcr 0,5 Tcr 0,125 Tcr Remplazando las constantes del controlador PID: G C 4 s Tcr ( 0,075 Kcr Tcr s 2 Por lo tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en: 4 s Tcr Si la planta tiene la presencia de un integrador, no se aplica el primer método, ya que la respuesta no tendrá una forma de S, más bien se incrementa con el tiempo, por lo tanto, se aplica el segundo método. El término de Kcr se determina a través del método de estabilidad de Routh Hurwitz donde se obtiene el valor de K C en que el sistema se hace inestable. El término de Tcr, se obtiene del análisis de la mevo17@gmail.com

10 ecuación característica en el dominio de la frecuencia al sustituir posteriormente obtener: Tcr 2 el operador s por j, y COHEN-COON Este método establece que la mayoría de los procesos se pueden aproximar por una o dos constantes de tiempo más un retardo. Al igual que el segundo método de Ziegler-Nichols supone conocidos los parámetros de la planta. Así, se define: Planta de primer orden T Planta de segundo orden T 1 T 2 Tipo de controlador P PI PID K C Ti Td Página 10