UNA ECUACION DIFERENCIAL DE CURIOSA SOLUCIÓN
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- Julio Espinoza Morales
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1 UNA ECUACION DIFERENCIAL DE CURIOSA SOLUCIÓN Josp Maria Franqut Brnis Maria Pilar Caballé Tudó RESUMEN Los autors afrontan la rsolución dl siguint jrcicio o problma d valor inicial (PVI) rfrnt a una cuación difrncial ordinaria d primr ordn. La solución d sta cuación no homogéna o complta, qu aparntmnt parc sncilla, s complica sgún l método qu s sigu para llo. Los dsarrollos n sri computrizados d Taylor y Mc Laurin rsultan ficints para abordar la rsolución dl problma plantado. Palabras clav: cuación difrncial, coficints, variación d constants, dsarrollo n sri, asíntota, rama parabólica, punto d inflión. SUMMARY / ABSTRACT Th authors fac th following rcis or initial valu problm (IVP) rsolution rlating to an ordinary diffrntial quation of th first ordr. Th solution of this quation not homognous or complt, which apparntly sms to b simpl, it will b complicatd according to th mthod followd to do so. Computrizd dvlopmnts in sris of Taylor and Mc Laurin ar fficint to addrss rsolution of th problm. Ky words: diffrntial quation, cofficints, variation of constants, dvlopmnt sris, Asymptot, parabolic branch, turning point. INTRODUCCIÓN Con motivo d la laboración d una monografía publicada por l Cntro Asociado d la UNED n Tortosa (Franqut, 0), su autor afrontó la rsolución dl siguint jrcicio o problma d valor inicial (PVI) rfrnt a la cuación difrncial ordinaria d primr ordn: y' y =, con la condición inicial: y(0) = 0. Dr. Ingniro Agrónomo. Dr. Cincias Económicas y Emprsarials. Dirctor C.A. UNED-Tortosa. Campus dl Nordst. dirctor@tortosa.und.s. Licnciada n CC. Matmáticas. Profsora-Tutora UNED. Tortosa.
2 La solución d sta cuación no homogéna o complta, qu aparntmnt parc sncilla, s complica sgún l método qu s sigu para llo, como tndrmos ocasión d comprobar sguidamnt. METODOLOGÍA En fcto, los coficints d la cuación prsada son continuos para toda qu prtnzca al curpo d los númros rals, o sa, qu l intrvalo d solución s: R - < <. La cuación difrncial antrior tin la forma: y p() y = g(), con p() = ; d tal modo qu, para rsolvrla, hallamos l factor intgrant: µ = p d = p(), µ () =. Ahora, multiplicamos la cuación difrncial ordinaria antrior por dicho factor µ() =, y s tndrá qu: y y = /( ) ( y) = /( ) - y = [ /( )] d c y = [ /( )] 0 d c, qu s la intgral gnral dl problma plantado aunqu sría más corrcto prsntar un rsultado más dsarrollado d la misma. Dsd lugo, a la misma conclusión hubiéramos llgado por aplicación dircta d la fórmula corrspondint (Alcaid, ), pusto qu s trata, como hmos apuntado, d una cuación difrncial ordinaria linal d primr ordn, o bin por l método d variación d constants. En fcto, la cuación s dl tipo: dy dy X y X = 0, sto s : y = 0, n qu X = y X =. d d X d S tin qu: X d = ; X d = d ; d dond: y = c d = d c, c.s.q.d. Substituyndo ahora la condición inicial dada n la cuación antrior, s obtin: 0 0 t 0 y(0) = 0 [ /( t )] dt c c = 0 =. 0 Finalmnt, substituyndo n la cuación, s obtin la intgral particular buscada: y = /( ) 0 d, cuya rprsntación gráfica s la siguint:
3 La función obtnida pasa por l orign d coordnadas, pusto qu 0 cuando = 0, sucd qu: y = d = 0 = 0. 0 Es vidnt qu ist una asíntota horizontal qu s l propio j OX, pusto qu: lím y = 0. Por otra part, cuando - s tndrá qu: 0 lím y = d = 0 d =, lo cual prsum la istncia d ramas parabólicas, circunstancia qu habrá qu confirmar. Para llo, calculamos la prsión: /( ) 0 y d m = lím = lím, límit qu no ist, por lo qu podmos asgurar la no istncia d ramas parabólicas. Para hallar l punto n qu la función alcanza l máimo calculamos la drivada primra (condición ncsaria o d primr grado):
4 y = d 0. Igualamos a cro y la solución a la cuación s =.00. Hallamos la sgunda drivada para comprobar si s trata d un máimo rlativo o local (condición suficint o d sgundo grado): y = d 0, ( ) y, 00 ; 0, 0 < 0. Lugo, la función alcanza un máimo n l punto d coordnadas (.00, 0.00). Vamos ahora los puntos d inflión. Igualando a cro la sgunda drivada obtnmos qu =. (Franqut, 0). Efctivamnt, s trata d un punto d inflión ya qu: 0 y, = d = 0, 0. ( ), Para rsolvr la intgral qu nos aparc n la antrior prsión d la solución particular, dbn tnrs n cunta los siguints dsarrollos d la función intgrando, así como d la función:, n sri d Mc Laurin hasta la novna drivada. Esto s, rspctivamnt:
5 f = ; f (0) = ( ) f = ; f ( 0 ) = ( ) ; ( ) ( 0 ) ( ) ; ( ) ( 0 ) ( 0 0 ) ; ( ) IV ( 0 ) ( 0 ) ( ) f = f = f = f = = = IV f f f f f V V VI = ; 0 = 0 0 ( ) ( ) ( 00 ) ; VI f ( 0 ) ( ) = = y así sucsivamnt. D lo qu rsulta l siguint dsarrollo (hasta la novna potncia d ): s: = f(0) f'(0)! = f' '(0) f' ''(0)! 0 0 IV V f (0) f (0) f!!! VI (0)... = 0 0 Dl mismo modo procdríamos con l otro dsarrollo mncionado, sto...
6 f t = =... ; f(0) f'(t) =... ; f'(0) = cos t ( sn t) f''(t) =... ; f''(0) = cos t f '''( t) =... ; f'''(0) = IV IV f ( t) =... ; f (0) = V V f ( t) =... ; f (0) = VI VI f ( t) =... ; f (0) =.. y así sucsivamnt. D lo qu rsulta l siguint dsarrollo (hasta la novna potncia d t): t t t IV t V t VI = f(0) t f'(0) f' '(0) f' ''(0) f (0) f (0) f (0)... =!!!!! t t t t t t t t = t La intgral buscada nos qudará así: /( ) d = u = d = v = arctg d dv = = arctg arctg d ; sta última intgral s rsulv por substitución y, postriormnt por parts, dl siguint modo: arctg d = = t = arctg dv = cos t dt = t cos t u = t = v = dv = cos dt t = t t t t t = t dt = t t... dt = 0 0 t t = t tg t t t t t t... = 0 0 0
7 (arctg ) (arctg ) = arctg arctg (arctg ) (arctg ) (arctg ) (arctg ) (arctg ) 0 (arctg )... 0 d dond s dduc qu: (arctg ) (arctg ) d = arctg 0 (arctg ) (arctg ) (arctg ) (arctg ) (arctg ) 0 (arctg )... 0 (I) D otro modo, mdiant l dsarrollo altrnativo, s tndría qu: 0 d = (II) Aparntmnt, ambos dsarrollos (I) y (II) son distintos aunqu, vidntmnt, para = 0 su rsultado s también 0. Vamos qué sucd n ambos casos para = considrando solo los sit primros sumandos dl dsarrollo y ajustando hasta las dizmilésimas, a fctos d simplificación oprativa: Caso (I) = =. Caso (II) = =. Rpitindo st mismo procso para =, s obtndría qu: Caso (I) = =.0 Caso (II) = =. Rpitindo st mismo procso para =, s obtndría qu: Caso (I) = =. Caso (II) = -.0 Dspués d habr añadido dos términos a ambos dsarrollos n sri d McLaurin y obsrvar qu los rsultados d ambas sris s aljan, con la
8 ayuda dl programa Driv s calculan los dsarrollos d grado 0 y las intgrals rsultants son las siguints: Con l cálculo dircto dl polinomio d Taylor (caso II), la intgral rsulta sr: Y por jmplo, para = 00, toma l valor Con l cálculo fctuado mdiant l cambio d variabl y postrior polinomio d Taylor (caso I), la intgral rsulta sr: Y por jmplo, para = 00, toma l valor.0, y l cocint: Driv s un programa d álgbra computacional (CAS) dsarrollado por Tas Instrumnts. Con él s pud llvar a cabo una amplia gama d cálculos matmáticos avanzados así como rprsntar gráficos n D y D n varios sistmas coordnados. Comprnd l manjo d variabls, prsions algbraicas, cuacions, funcions, vctors, matrics, trigonomtría, tc. También tin capacidads d calculadora cintífica. La primra vrsión n l mrcado data d. En la volución d Driv a TI-CAS, pasó d sr una aplicación informática a star incluido n las calculadoras TI- y TI-Nspir CAS d Tas Instrumnts. Estuvo disponibl también para las plataformas Windows y DOS. Fu dscontinuado l d junio d 00 n favor d TI-Nspir CAS. Su última vrsión fu la. para Windows.
9 .0 0, jmplifica mucho mjor la considración asintótica dl punto 00 n custión. Por otra part, comparando los rsultados qu ofrcn los casos (I) y (II) para los primros valors ntros d ( {,,}), s obsrva, n l caso (I) y para los primros sumandos dl dsarrollo, qu: Para = y = -. = 0. Para = y = -.0 = 0. Para = y = -. = valors, todos llos, qu s ajustan mjor a la intgral particular obtnida (obsérvs qu para =, n l caso (II), rsultaría una cantidad ngativa), por lo qu dfinitivamnt adoptarmos como rspusta al problma plantado la qu ofrc la solución a bas dl cambio d variabl y postrior aplicación dl polinomio d Taylor. D st modo, la intgral particular buscada d la cuación difrncial qu s objto d studio, srá: (arctg ) (arctg ) (arctg ) y() = d = [arctg 0 (arctg ) (arctg ) (arctg ) (arctg )...], con lo cual quda dfinitivamnt rsulto l problma. (arctg ) 0 CONCLUSIONES La solución d sta cuación difrncial ordinaria d primr ordn, no homogéna o complta, con condición inicial, qu aparntmnt parc sncilla, s complica sgún l método qu s sigu para llo, como s ha tnido ocasión d comprobar, aunqu los dsarrollos n sri computrizados d Taylor y Mc Laurin rsultan altamnt ficints para abordar la rsolución dl problma plantado.
10 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. ALCAIDE INCHAUSTI, A. Matmáticas para conomistas y matmáticas mprsarials. Univrsidad Nacional d Educación a Distancia (UNED). Madrid,. pág.. FRANQUET BERNIS, J.M. Ecuacions difrncials ordinarias y n difrncias finitas. Curso práctico. Ed. Cntro Asociado d la UNED. Cadup-Estudios. Tortosa, 0. 0
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