Modelo para el precio de las acciones

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1 MaMaEuSch Management Mathematics for European Schools Modelo para el precio de las acciones Elke Korn Ralf Korn1 El proyecto MaMaEuSch ha sido desarrollado con ayuda parcial de la Unión Europea dentro del programa Sócrates. El contenido no refleja necesariamente la posición de la Unión Europea ni implica ninguna responsabilidad por parte de esta.. 1 Universidad técnica de Kaiserslautern, Facultad de matemáticas

2 152 CAPÍTULO 5: Modelo para el precio de las acciones Introducción general Palabras claves de economía: - Modelos de mercados de valores - Arbitraje - Estrategia comercial - Modelo binomial - Modelo de Black-Scholes Palabras claves de las matemáticas escolares: - Distribución binomial - Distribución normal - Bar plot (histograma) - Función exponencial - Logarítmo natural - Funciones contínuas Contenidos Observación del desarrollo del activo o bienes Discusión: nuevo modelo en Düsseldorf Principio básico matemático: distribución binomial y normal Continuación de la discusión: arbitraje mucho dinero de ninguna parte Trasfondo: arbitraje en un modelo binomial de un periodo Continuación de la discusión: modelo más realísta modelo binomial de periodo múltiple Principio básico matemático: el modelo binomial de n-periodos y el modelo de Black- Scholes Continuación de la discusión: la importancia del modelo de Black-Scholes Principio matemático básico: números aleatorios y simulación de la evolución del precio de las acciones Resumen Resultados: nuevos modelos de precio Guía para el capítulo 5 En este capítulo se lleva a cabo un modelo explícito para la evolución del precio de las acciones en un determinado intervalo de tiempo. Se desarrollan modelos de mercados de valores usando el modelo binomial y el de Black-Scholes, que también se pueden usar en la práctica para la cotización de las acciones caracterizadas por su curso irregular. Esto, en cuanto a la forma se refiere, no tiene apenas ninguna similitud con las funciones que aparecen en las clases convencionales de las escuelas. Para comprender este capítulo, hacen falta conocimientos básicos de cálculo de probabilidades (como los utilizados en los ejercicios de la sección 5.6). En particular, la distribución binomial y normal jugarán un papel muy importante. En realidad es posible prescindir de algunas secciones basadas en la distribución normal, pero debido al significado que tienen estos modelos en la

3 153 práctica, se recomienda que se tengan en cuenta. En la sección 5.1 primero se mostrarán algunos aspectos y la necesidad de formular un modelo específico para la evolución del precio de las acciones. En las secciones de discusiones 5.2 y 5.4 se presentarán el modelo binomial y el de Black-Scholes. A continuación se transmitirá de manera clara el concepto económico condición de no-arbitraje, basado en un modelo de cotización de las acciones (véase en el capítulo 7). La sección 5.3 trata sobre las características y propiedades de la distribución normal, que podrían pasar por alto, dependiendo del conocimiento previo de los alumnos. El problema del espacio de probabilidad, relativo a la distribución normal, no se puede abarcar dentro del ámbito de este libro. En esta sección se ofrece la posibilidad de entablar una conexión entre la distribución normal y la binomial (véase en la discusión 1). El término condición de no-arbitraje, nos dice que no es posible ganar beneficios invirtiendo en acciones sin correr riesgo. En la sección 5.5 se presentarán formulaciones de modelos de un periodo. Debido a que este término tiene un significado muy importante entre otros visto en el siguiente capítulo se debería discutir en detalle (como por ejemplo en la discusión 5.4). La presentación formal del modelo binomial y del modelo de Black-Scholes se desarrolla en la sección 5.7, empleando el teorema de Moivre-Laplace se muestra como el modelo de Black- Scholes se obtiene como límite en tiempo continuo del modelo binomial. En la sección 5.8 se presentan los principios básicos para la simulación de acontecimientos accidentales. Aquí se ofrece la posibilidad de implementar modelos individuales mediante un ordenador. La simulación tiene generalmente en las matemáticas financieras mucha importancia, como veremos en el siguiente capítulo a través del método de Monte Carlo. 5.1 Observación del desarrollo del activo o bienes Una primera idea Sería perfecto ser capaz de predecir la evolución exacta del precio de las acciones, porque en ese caso se podrían tomar decisiones de inversión verdaderamente óptimas. Desgraciadamente esto no es posible debido a numerosas influencias que determinan el precio final de una acción (tales como por ejemplo, el valor de la futura perspectiva de una empresa, la situación económica general, decisiones políticas, el comportamiento del consumo, etc.). Estimaciones de la esperanza y la varianza de la tasa de beneficios de un valor bursátil, nos ofrecen una primera indicación sobre la evolución futura del precio de una acción. Este modelo aproximado para la evolución del precio de una acción (empleado en el capítulo 4), que está siempre orientado hacía un solo punto de tiempo futuro, no es particularmente útil cuando se trata de un problema complicado. En este caso se necesita un modelo que tenga en cuenta muchos puntos de tiempo futuros o incluso una evolución continua del precio de los valores. En la práctica normalmente se usa un modelo denominado movimiento geométrico Browniano para modelar el precio de las acciones, que veremos más detenidamente en este capítulo. Este modelo considera una evolución continua del precio de las acciones. A su vez esta continuidad se refiere al tiempo del modelo (la evolución del precio se observará en todos los puntos de tiempo futuros) así como el valor que toma la acción (i.e. se supone que el precio de la acción es una función continua en el tiempo). Esto no se corresponde realmente con la realidad, ya que los precios oscilan mucho (a menudo estas oscilaciones son muy pequeñas), este modelo ha sido probado en la práctica y debido a esta directa aplicación que mantiene con la vida real es cada vez más sofisticado. Es una buena ayuda para calcular precios y detectar riesgo. Usando este modelo también se puede simular la evolución de capital, intentando de esta manera a predecir los posibles resultados futuros.

4 154 Estimación objetiva de capital y riesgo Hoy día los bancos juegan un papel muy importante en la economía, funcionan como, entidades de crédito, intermediarios financieros, contratistas de inversiones financieras, así como de servicios financieros o proveedores. Al cumplir estas tareas los bancos se exponen a ciertos tipos de riesgo. Por ejemplo, puede ocurrir que de repente un deudor no pueda pagar su préstamo. También surgen pérdidas financieras cuando los activos internacionales del banco pierden casi todo su valor debido a una fuerte devaluación de la correspondiente moneda. Además, también podría suceder que la red de ordenadores se colapsara y surgieran pérdidas debido a entradas y salidas de transacciones erróneas. Un banco puede caer en problemas si debido a un repentino incidente (ej. pérdidas de un gran deudor y por consiguiente pérdida de confianza en el banco) muchos de sus clientes liquidan sus cuentas al mismo tiempo (riesgo de liquidación). Sin embargo, todos estos riesgos no deben conducir a la inestabilidad del sistema bancario. De acuerdo con el hecho de que los ahorros de los clientes deben estar protegidos, los bancos seguros están equipados con un buen sistema económico, y deben transmitir un sentimiento de certeza y estabilidad. Por este motivo la mayoría de los bancos de todo el mundo están obligados a asegurar sus préstamos y el riesgo del precio de mercado mediante unos bienes propios (véase en Basel Capital Accord (1988) y Basel Market Risk Paper (1996)), que controla la supervisión del banco. Las nuevas investigaciones matemáticas conducen a instrumentos financieros mejorados y nuevos métodos de control de riesgo. Por este motivo las directrices vigentes entre 1988 y 1996 parecen estar anticuadas y el Comité Basel en la supervisión de bancos está actualmente trabajando en nuevas propuestas para los bancos centrales internacionales, que pueden verse en internet bajo el password Basel II. Por consiguiente, en un futuro también se considerará como asegurar otras operaciones de riesgo (ej. un fallo en los ordenadores). Estos decretos y los que aún faltan por publicarse exigen que las instituciones financieras posean contínuamente un conocimiento exacto sobre sus capitales actuales y estimaciones de los futuros. Esto puede especialmente motivar y forzar a los bancos a emplear mucho tiempo en el desarrollo de nuevos modelos matemáticos de valores (bienes) e implementarlos añadiéndoles nuevas propiedades más realistas. De esta manera los bancos importantes poseerán para los diferentes mercados (mercado bursátil, mercado de divisas, mercado de valores, etc.) distintos modelos matemáticos que se ajustarán a las características de cada uno de estos mercados, y mediante estos se llevarán a cabo simulaciones (véase en la sección 5.8) o cálculo de precios (véase en la sección 6.4). 5.2 Discusión: modelos nuevos en Düsseldorf Mientras se divisa el paisaje en el tren whizzing que va a 250 km/h el revisor trae cuatro tazas de café y tres croissants al departamento de conferencias del tren. Dentro se encuentran Selina, Oliver, Nadine y Sebastian del equipo de Clever Consulting Team preparando un nuevo trabajo de Düsseldorf. El Banco alemán de arte y cultura S.A., cuya central está situada en Düsseldorf, invitó al equipo para que examinaran detenidamente los modelos matemáticos de mercado que otros consultores habían desarrollado para ellos. Nadine: Nuevos modelos de mercado en el Banco alemán de arte y cultura S.A.! Nunca he oído nada acerca de este banco en toda mi vida. Selina: Se fundó hace poco. El lugar que este banco ocupa en el mercado se descubrió hace poco. Ofrece préstamos a museos y centros de interpretación y financia grandes conciertos de rock, como por ejemplo el último concierto de Green Mild Peppers en Colonia (Alemania). Ofrece también préstamos a diseñadores de perspectiva moderna y financia shows de moda.

5 155 Sebastian: Este es el motivo por el cual tiene la central en Düsseldorf, la capital de la moda. Oliver: Ahora creo que sé la verdadera razón por la que tú, Selina, te estabas muriendo por venir con nosotros a ver a nuestro nuevo cliente. Pues según recuerdo tienes muy poca idea acerca de modelos matemáticos de valores! Selina: Primero, vosotros también necesitáis una persona neutral con conocimientos básicos en economía empresarial que pueda cuestionar críticamente vuestra teoría. Segundo, me podríais explicar ahora una o dos cosas y de esta manera ganaríamos mucho tiempo. Tercero, seré vuestra mejor asesora de compras del mundo, si queréis ampliar vuestro vestuario de negocios en los ratos libres. Oliver: Definitivamente debería tener un asesor de moda, a cambio te explicaré gratamente todo sobre el precio de las acciones. Además, creo que me escucharás atentamente si se trata de predecir el precio de las acciones. Selina: No creo en las predicciones del precio de las acciones. Los precios están tan fuertemente influenciados por el azar que como mucho podrás indicar la tendencia esperada a largo plazo. Sebastian: Pero con un modelo apropiado se puede al menos tomar algunas decisiones importantes. Ahora lo explicaré con un modelo binomial de un periodo. Nadine: Esto es una teoría antigua de las matemáticas financieras. Necesitamos un modelo continuo para la evolución del precio, que abarque todo el periodo de observación, desde hoy hasta el intervalo planeado de inversión. Quién no quiere croissant? Oliver, estás a dieta o algo así? Oliver: No, por Dios. Debe ser Selina la que está intentando morirse de hambre para poder llevar su nuevo vestuario. Dejemos esto aparte, y comencemos con el modelo simple del precio de las acciones. Nadine: No, este modelo simplifica mucho la realidad. En un principio esto está enfocado en dos puntos en el tiempo, concretamente en hoy y en un punto futuro en el tiempo. Así mientras hacemos esto, el tiempo pasa de forma continua. Sebastian: Para aproximarnos a esto, podemos crear un modelo y luego observarlo en varios pequeños periodos... Mientras el equipo directivo de consultores devora sus croissants, con una excepción, y aún discutiendo un poco sobre modelos reales y ficticios, antes de que comience la verdadera tarea, veamos algunos principios básicos matemáticos. Discusión 1: En este momento podemos discutir como modelar problemas en general. Se puede contemplar más adelante las simplificaciones que se sugieren para modelos de mercado (ej. sólo una acción, los intereses correpondiente a un depósito a plazo fijo, etc.). Qué problemas pueden surgir si uno no simplifica lo suficiente? 5.3 Principios básicos matemáticos: distribución binomial y normal Un caso especial de distribución binomial: la distribución de Bernoulli La más simple de todas las distribuciones aleatorias se puede decir que es la distribución de Bernoulli (denominada así por el matemático Jakob Bernoulli, ), un caso particular de distribución binomial. Describe un experimento aleatorio en el que algo particular ocurre o no

6 156 ocurre. Por lo tanto este experimento aleatorio tiene dos sucesos, que se pueden designar como 1 ( ocurre o también "éxito") o 0 ( no ocurre o también fracaso ). Tomaremos como ejemplo el de la tirada de una moneda justa. A 1 se le puede asignar el suceso "cara" y a "0" el suceso "cruz". Ambos sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir, i.e. P 1 = =. 2 ({ 1} ) P( { 0} ) Sin embargo, no todos los experimentos aleatorios, con dos posibles sucesos, tienen en ambos sucesos la misma probabilidad. Por ejemplo, consideremos el experimento aleatorio del sexo de un recién nacido. Muchos estudios empíricos revelan que nacen más niños que niñas. Esto significa que la probabilidad de que el recién nacido sea niño es un poco mayor de 1/2, supongamos que P( { niño }) = 0,51. De acuerdo a las reglas de cálculo de probabilidades, se cumple que ({ }) 1 0,51 0, 49 P niña = =. Se puede escribir el experimento de Bernoulli indicando que la probabilidad de "éxito", i.e., del suceso "1": ({ }) P 1 = p, 0 p 1. Entonces la probabilidad del suceso"0" se tiene como P ({ }) 0 = 1 p. La esperanza de la variable aleatoria X que sigue una distribución de Bernoulli, toma sólo los valores 0 o 1, su cálculo es muy sencillo: ( ) ( ) Para la varianza tenemos el siguiente resultado: en resumen tenemos: E X = p 1+ 1 p 0 = p. 2 ( ) = ( 2 ) ( ) = ( 1 ) 2 = ( 1 ) Var X E X E X p p p p p Distribución de Bernoulli: Un experimento aleatorio se denomina experimento de Bernoulli si tiene sólo dos posibles resultados que se designan con 1 y 0. Es suficiente indicar la probabilidad de "éxito", el suceso "1": ({ 1 }) =, 0 1 P( { }) P p p 0 = 1 p. Una variable aleatoria X que sigue un modelo de Bernoulli toma sólo los valores 0 ó 1 y para este tipo de variable se cumple que: ( Ej.5.1, Ej.5.2) La distribución binomial Esperanza: E ( X ) = p, Varianza: Var ( X ) = p ( 1 p). Si se realiza el mismo experimento más de una vez de manera independiente y contamos el número de experimentos en los que ocurre nuestro caso especial, que le hemos asignado el "1", la variable aleatoria "número" muestra la distribución binomial. Un simple ejemplo sería tirar una moneda tres veces consecutivas y contar cuántas veces sale cara. O podemos estudiar el caso de una familia con cinco hijos de diferentes edades (significa

7 157 que no existen gemelos, pues en este caso el sexo de uno depende del otro), y contar el número de chicas. Distribución binomial: Si se lleva a cabo n-veces consecutivas un experimento de bernoulli con probabilidad de éxito p, se cumple que la variable aleatoria X, que cuenta el número de éxitos es: n k ({ }) ( 1 ) ( n k P X = k = p p ), 0 k n. k Por lo tanto, decimos que la variable X sigue una distribución binomial con parámetros 0<p<1 y n IN, y escribimos esto como (, ) X B n p. De manera que esta variable aleatoria que sigue una distribución binomial sólo puede tomar los valores 0,1,..,n y se cumple que : Esperanza: E ( X ) = n p, Varianza: Var ( X ) = n p ( 1 p). La probabilidad P(X=k) para k éxitos, se puede entender mejor teniendo en cuenta que p k (1 p) n k es la probabilidad de que una secuencia de n experimentos independientes de bernoulli tenga k éxitos y n k fracasos. El coeficiente n!/k!(n k)! (i.e. el coeficiente binomial) indica las distintas formas de conseguir k éxitos y n k fracasos en n experimentos. La probabilidad de salir cara una sola vez, tirando una moneda justo tres veces consecutivas es: ( ) 1 2 3! 1 1 P( X = 1) = = 0,375, 1! 3 1! 2 2 por lo tanto, un poco mayor que un tercio. En una familia con cinco hijos se puede calcular la probabilidad de que todos sean chicas como P 5! 5 0 ( X = 5) = 0, 49 0,51 0,028 5! 5 5!, ( ) esto significa que la probabilidad es menor del 3%. Al seguir la variable aleatoria X un modelo binomial en el que se cuentan el número de éxitos, sabemos que está compuesta por la suma de las variables aleatorias independientes X 1,..., X n que son modelos individuales de bernoulli, la esperanza y la varianza de se puede calcular fácilmente como: X = X X n, ( ) ( ) ( ) E X = E X E X n = n p, ( ) ( ) ( ) ( ) Var X = Var X Var X n = n p 1 p. Hemos de tener en cuenta que la covarianza de X i, i=1,...n es cero, porque suponemos que son variables aleatorias independientes. ( Ej.5.3,Ej.5.4) La distribución normal Sin exagerar se puede decir que la distribución normal (también denominada distribución de Gauß) es la más importante de las distribuciones aleatorias. Está presente diariamente en la vida

8 158 cotidiana. Sin embargo, posee (en el ámbito de este libro) una peculiaridad: El conjunto Ω de todos los posibles resultados del experimento aleatorio correspondiente no es finito, de hecho Ω contiene incluso números reales. La consecuencia es que no se tendrán en cuenta ninguno de estos posibles valores con probabilidad positiva. Esto significa que necesitamos del término probabilidad densa, que describiremos brevemente. Lo mejor es observar la distribución normal en ejemplos básicos: - La altura de todas las mujeres de 20 años que viven en una determinada ciudad sigue aproximadamente una distribución normal. - Si en una clase se pregunta por la anchura de un pupitre, los valores estimados de los estudiantes siguen en general una distribución normal. - El peso de los ratones blancos machos de 6 semanas de vida sigue aproximadamente una distribución normal. - Al medir una pequeña pieza por diferentes trabajadores con un aparato de medición. A pesar de la exactitud hay errores de medida. Estos siguen aproximadamente una distribución normal. - En una fiesta de fin de año, un grupo de amigos tratan de predecir el precio de un tipo específico de champagne para el próximo fin de año. En la fiesta siguiente de fin de año, se dieron cuenta que el error estimado (precio correcto precio estimado) sigue por lo general una distribución normal. Todos los ejemplos tienen algo en común: existe un valor medio denominado "valor de precisión", o un tipo de valor normal alrededor del cual se distribuyen todos los otros valores. En efecto, los otros valores se distribuyen simétricamente alrededor de este valor central. Aproximadamente existe el mismo número de valores posicionados por debajo de él que por arriba. La mayoría de los valores se sitúan muy próximos de este valor central, y los valores situados muy alejados no suelen aparecer. Si se dibuja el gráfico de barras (histograma), se obtiene como resultado una gráfica que se podría parecer a la siguiente (basada en 200 datos aleatorios): Frecuencia Categoría Dibujo 5.1 Histograma de una muestra aleatoria de una variable aleatoria que sigue una distribución normal Si se evalúan más y más datos aleatorios y se alcanza la categoría de la gráfica de barras de una manera más precisa, se conseguiría una campana con forma amorfa que se asemejaría al siguiente gráfico. Este gráfico muestra la densidad de la distribución normal estándar ϕ(x):

9 159 Dibujo 5.2 Densidad de la distribución normal estándar En la teoría de probabilidades la densidad representa una función real no negativa que en principio modela una "gráfica ideal de barras". Mediante la densidad podemos calcular la probabilidad. Esto se debe al hecho de que la superficie de área por debajo de la curva comprendida entre y y z, indica directamente la probabilidad que el experimento aleatorio asociado tome un valor del intervalo (y, z]. Como consecuencia toda el área comprendida entre el eje x y la densidad debe ser uno. Dibujo 5.3 Cálculo de la probabilidad mediante la densidad Definición: Una variable aleatoria X tiene densidad f: IR [0, ) si se cumple para todos los valores y z con y,z IR que Por lo tanto la esperanza de X cumple que si este valor es finito. ({ }) ( ) P y X z f x dx =. ( ) = ( ) E X x f x dx, z y De ahí se obtiene que y ({ = }) = ( ) = 0 P X y f x dx. y

10 160 En este caso se ha de prestar atención al hecho de que una variable aleatoria que sigue una distribución normal puede adoptar todos los valores reales posibles. Es tan difícil especificar con exactitud el valor y, que a cada uno de estos valores puntuales se le asigna una probabilidad cero. A pesar de que, el valor de la densidad en este punto nos especifica casi la probabilidad de y. Si la densidad f(.) es continua en y, para pequeños valores ε >0 se cumple que y+ ε ({ ε + ε} ) = ( ) 2 ε ( ) P y X y f x dx f y. y ε Por lo tanto, cuanto mayor sea f(y), mayor será la probabilidad de que X tome valores en la proximidad de y. Basándonos en los ejemplos anteriores, se espera que en el caso de una variable aleatoria, que siga una distribución normal, alcance en un intervalo próximo al "valor normal" una probabilidad mayor a la de un intervalo situado lejos del "valor normal". Esto es exactamente lo que se observa en la densidad de una distribución normal, que adopta el valor más alto en el "valor normal". Por el mismo razonamiento basándonos en los ejemplos anteriores nos damos cuenta que el intervalo ( valor normal - y, valor normal ) tiene la misma probabilidad que [ valor normal, valor normal + y). Esto ocurre también con la densidad de la distribución normal, que es simétrica. Distribución normal: a) La densidad de la distribución normal se expresa de la siguiente forma: ( x µ ) ϕ 2 ( x) = e σ, σ > 0, µ IR. 2 2 σ π Si µ = 0 y σ = 1, entonces se denomina densidad de la distribución normal estándar. b) La función de distribución de la distribución normal estándar se expresa de la siguiente manera: z 2 1 x z P X z e 2 dx ( ) ({ }) Φ = =. 2 π c) Si la variable aleatoria X sigue una distribución normal con parámetros µ IR y σ > 0, entonces se escribe: 2 (, ) X N µ σ. Una variable aleatoria que siga una distribución normal puede tomar valores en todo IR y se cumple que: Esperanza: E ( X ) = µ, Varianza: Var ( X ) 2 = σ. Desafortunadamente la integral no se puede calcular explícitamente en la función de distribución de la distribución normal estándar. Debido a la importancia de esta distribución, se han desarrollado métodos numéricos para el calculo y la tabulación de esta distribución y a su vez de Φ(z). Estas tablas se encuentran en los libros de estadísticas (e.j. Henze(1997)). Debido a que, ( z) 1 ( z) Φ = Φ, en general sólo se tabulan los Φ(z) para los z positivos. La función Φ se puede usar para calcular la probabilidad en intervalos como (y, z] o (z, ) de variables aleatorias que siguen una distribución normal ({ }) ( ) ( ) P y < X z = Φ z Φ y,

11 ({ }) 1 ({ }) 1 ( ) P X > z = P X z = Φ z. Los valores de Φ(z) también se pueden encontrar en las tablas de cálculo de un ordenador bajo el nombre de función de distribución de la variable normal estándar. ( Ej.5.3) El valor medio o el "valor normal" en nuestros ejemplos, alrededor del cual se distribuyen todos los otros valores, es el parámetro µ,, que es también el valor esperado de la distribución normal. Si la variable aleatoria X no sigue una distribución normal estándar, pero si sigue una distribución normal, se puede usar la tabla para la distribución estándar normal aplicando una simple transformación. Simplificación a la distribución normal estándar: Si la variable aleatoria X sigue una X µ distribución normal, entonces la variable aleatoria Z = sigue una distribución normal σ estándar. Por lo tanto se cumple que: ({ }) y µ y µ P X y = P Z = Φ σ σ. Un punto importante en la aplicación de la distribución normal para modelar la altura, la longitud, etc., es que una variable aleatoria que sigue una distribución normal con probabilidad positiva también puede tomar valores negativos. Pero estas probabilidades son muy pequeñas, ya que la densidad de una distribución normal decrece muy rápido cuando se va alejando del valor esperado µ. De manera que se cumple: P P µ + 2 σ µ µ 2 σ µ + = Φ Φ σ σ ({ µ 2 σ X µ 2 σ} ) ({ µ 3 σ X µ 3 σ} ) = 2 Φ( 2) 1 = 0,9544, µ + 3 σ µ µ 3 σ µ + = Φ Φ σ σ = 2 Φ( 3) 1 = 0,9974. Como consecuencia los valores fuera del intervalo [µ 3 σ, µ + 3 σ ] aparecerán con una probabilidad de 0,26 % como máximo. Prácticamente esto significa que rara vez observaremos dichos valores. Como ejemplo de cálculo tomamos el de una pieza de trabajo que se mide por diferentes personas. Suponemos que esta pieza de trabajo se mide exactamente por el centro, y sea la desviación estándar del error de medida exactamente 10 mm. El error de medida se modela por una variable aleatoria X que sigue una distribución normal de valor esperado µ = 0 y desviación estándar σ =10. Cuál será la probabilidad de cometer un error de menos de 5 mm? Antes de todo convertimos la variable aleatoria en una variable que sigue una distribución normal estándar 5 0 X P( { 5 < X 5} ) = P < = P < Z , y ahora podemos tomar los valores de la tabla de la distribución normal estándar 161

12 P < Z = Φ Φ = 2 Φ 1 = 0, La probabilidad de conseguir un error de medida menor a 5 mm es mayor de 1/3. Supongamos ahora que las mujeres de 20 años que viven en una ciudad tienen una altura de 170 cm y que la desviación estándar de esta medida es de 9 cm. X va a ser una variable aleatoria que sigue una distribución normal estándar de valor esperado µ =170 y desviación estándar σ =9. Cuál será la probabilidad de que una mujer elegida al azar mida más de 190 cm? X P( { X > 190} ) = P > = P Z > 9 9 9, P Z > = 1 Φ = 0, Esta probabilidad será menor de 2 % (teniendo en cuenta que en nuestro ejemplo hemos tomado mujeres muy altas de una ciudad). Ejercicios Ej.5.1 Son los siguientes experimentos de Bernoulli? a) Tirar un dado. b) Tirar un dado y comprobar si el número es par o impar. c) El número de padres (por alumno), que acuden a una reunión de padres. d) El juego de me quiere no me quiere con una flor. Ej.5.2 La probabilidad de que una bolsa de ositos de gominola contenga un número de ositos que se pueda dividir por tres es 1/3. Cuál es la probabilidad que tres niños que quieren repartirse a partes iguales los ositos de una bolsa, se peleen por los ositos que sobran? Observa que la variable aleatoria X toma el valor 1 si los niños se pelean, y el valor 0 en caso contrario. Calcula el valor esperado y la varianza de X. Ej.5.3 Calcula las probabilidades de las siguientes variables aleatorias que siguen una distribución binomial: a) En una familia con cinco hijos, no gemelos, qué probabilidad existe de que sean todos chicos? (Toma la probabilidad dada anteriormente). b) En el caso de tirar una moneda dos veces consecutivas, cuál es la probabilidad de que salga cara una vez? c) La señora Schmitt va a comprar agua mineral en un supermercado. Quiere comprar en total 12 botellas de agua mineral con gas o sin gas, como tiene prisa coge las botellas aleatoriamente de la estantería. Cuál es la probabilidad de que tome exactamente el mismo número de botellas de cada clase? d) Cuál es la probabilidad de que la señora Schmitt no haya cogido ninguna botella de agua mineral sin gas? e) Cual es la probabilidad de no obtener ningún seis en una secuencia de tres tiradas de dado en el programa televisivo alemán Mensch-Ärger-Dich-Nicht? f) La probabilidad de comprar una bombilla defectuosa es de 1/100. Cuál es la probabilidad de que al comprar un paquete de 4 bombillas de rebaja, no haya ninguna defectuosa?

13 163 Ej.5.4 Calcula las probabilidades de las siguiente variables aleatorias que siguen una distribución binomial: a) Un ornitólogo está observando pájaros en un parque. La probabilidad de observar un gorrión es del 80 %. Si ahora el científico observó 15 pájaros por separado ( por qué es esto importante?), Cuál es la probabilidad de que al menos 4 de estos pájaros sean gorriones? b) El técnico de una compañía de ordenadores fija en el 90 % de los casos, el tiempo de reparación de un ordenador en 15 minutos y en todos los demás casos un tiempo de 40 minutos. Una mañana recibe 14 incidencias a las ocho en punto. Cuál es la probabilidad de que no pueda ir a tomar un aperitivo a las doce en punto? Ej.5.5 Explica detalladamente porqué la variable aleatoria X, que sigue una distribución normal P y X z z y P X > z = 1 P X z = 1 Φ z. estándar, cumple que ( < ) = Φ( ) Φ ( ) y ( ) ( ) ( ) (Véase también el capítulo 4) Ej.5.6 Para los siguientes ejercicios se necesitará una tabla de la distribución normal estándar. Si tiene acceso a un ordenador con el software adecuado, intente obtener una tabla. Tome los valores de los ejemplos anteriores (página 150). a) Cuál es la probabilidad de cometer un error de medida menor de 7 mm al medir una pieza de trabajo? b) Cuál es la probabilidad de cometer un error de medida mayor de 8 mm? c) Suponemos que una persona mide la pieza de trabajo con 2 cm de más de largo. Cuál es la probabilidad de que ocurra algo así? d) En la ciudad descrita anteriormente, cuál es la probabilidad de encontrase con una mujer de 20 años que mida menos de 152 cm? e) Cuál es la probabilidad de encontrase con una mujer de 20 años que mida aproximadamente unos 170 cm, entendiendo por "aproximadamente 170" todas las mujeres que midan entre 168 y 172 cm? Ej.5.7 Un doctor declara que la duración de las conversaciones con sus pacientes sigue una distribución normal con valor esperado 12 minutos y con una desviación estándar de 3 minutos. a) Cuál es la probabilidad de que una conversación elegida al azar dure menos de 10 minutos? b) El representante de fármacos sabe que puede hablar con el doctor después de atender a su próximo paciente. Cuál es la probabilidad de que tenga que esperar más de 20 minutos? c) Cuál es la probabilidad de que una conversación elegida al azar dure más de 30 minutos? Haz un juicio, basado en este resultado, de si es apropiado tomar una distribución normal para la duración de las conversaciones del doctor con sus pacientes. Ej.5.8 El dueño de una terraza, Fredel, de verano cree que el número de clientes por día en verano se distribuye aproximadamente por una normal. Así que introduce los datos en su nuevo programa informático y tras muchos cálculos llega a la conclusión de que sus datos siguen una distribución normal con un valor esperado de 200 clientes al día y una desviación típica de 50. a) Se asustó al darse cuenta que la cerveza disponible para ese día era para servir como mucho a 210 clientes. Cuál es la probabilidad de tener a clientes descontentos con el servicio? b) El dueño piensa que la mejor ambiente se alcanza cuando hay entre 170 y 240 clientes. Cuál es la probabilidad de que un día cualquiera se alcance este número óptimo de clientes? c) Un matemático al que le gusta frecuentar esta terraza de verano, tras unas cuantas cervezas comienza una conversación con el dueño, él cree que Fredel aplicó su programa informático de forma descuidada. En primer lugar, una distribución normal considera como posibles resultados,

14 164 no sólo los números naturales, sino también todos los números reales. En segundo lugar, la distribución binomial sería una mejor opción para estimar el número de clientes por día. El matemático sugiere que en una ciudad de habitantes, cada persona decide con la misma probabilidad, p, si ir un día a la terraza de Fredel o no. Así que habría que determinar p adecuadamente para que el valor esperado de la distribución binomial sea exactamente 200. Calcule una p apropiada. Calcule también la desviación estándar y compárela con la de la distribución normal. Piense en las ventajas y desventajas de elegir una distribución normal o binomial para modelar el número de clientes por día. 5.4 Continuación de la discusión: arbitraje mucho dinero de ninguna parte Quién no iba a pensar, que fue Selina quién no quiso tomarse su croissant y la que decidió que las explicaciones comenzaran con un modelo sencillo. Sebastian: El modelo binomial de un periodo es el modelo más sencillo para modelar el precio de una acción que te puedas imaginar. Ahora te mostraré un ejemplo. Supongamos que el precio de una acción evoluciona según el siguiente gráfico: Dibujo 5.4 Modelo binomial de un periodo i.e. el precio de una acción hoy de 100 en un año puede, o bien incrementarse hasta 120 o bien disminuir hasta 90. Nadine: Ahora bien, esto no tiene nada que ver con la realidad! Oliver: Sí, sí que tiene que ver! Observamos que el precio puede bajar o subir aleatoriamente. Sube con probabilidad p y disminuye con probabilidad 1 p. Como estamos tratando con una distribución binomial y la estamos observando en un sólo periodo, este modelo se denomina modelo binomial de un periodo. Sebastian: Selina, imagínate ahora que en este modelo el precio de la acción nunca baja, sino que siempre sube, en el peor de los casos sube sólo hasta 110 y que el interés del mercado actual para inversiones de dinero sin riesgo y para préstamos fuese menor de 10 %. Selina: Entonces veo claramente la posibilidad de hacerme rica. Pido el mayor préstamo posible al interés del mercado. Uso este dinero para comprar tantas acciones como pueda de 100 y tras un año, las vendo por al menos 110. Finalmente pago el préstamo con los intereses, por cada 100 prestado tendré que devolver menos de 110, porque Sebastian fijó el interés de mercado en menos de 10 %. Por cada acción conseguiré un dividendo determinado y después de un año seré millonaria. Sebastian: Sabía que eso sería exactamente lo que pensarías. Este camino es el denominado oportunidad de arbitraje, en otras palabras una posibilidad de conseguir beneficios sin usar tu

15 165 propio dinero y sin riesgo. En nuestros modelos voy a suponer a partir de ahora que no existe oportunidad de arbitraje. Selina: Pero porqué diablos supones eso? Sebastian: Supongamos que hay oportunidad de arbitraje. En el mundo existen millones de Selinas que inmediatamente se darían cuenta de esto. Todos se lanzarían a por la acción. Debido a la fuerte demanda de esta acción, su precio se elevaría inmediatamente y ya no existiría arbitraje. Oliver: A propósito, existe otra posibilidad de que ocurra arbitraje. Imaginemos un modelo en el que el precio de la acción sólo disminuye. Selina: En ese caso prestaría la acción en algún lugar y posteriormente la vendería. El préstamo de acciones y su consecuente venta se denomina venta a corto plazo. Esta técnica está muy limitada legalmente. El dinero obtenido lo invertiría a plazo fijo, tras un año tomaría los intereses, compraría la acción de nuevo a un precio muy barato en la bolsa y la devolvería. Incluso en el caso de un interés de sólo un 1 % anual, habría obtenido beneficios de cada acción. Sebastian: Exacto. Y si muchas personas actuasen como tú, se venderían muchas de estas acciones de una vez, de manera que su cotización bajara rápidamente hasta que de nuevo se perdiese esta oportunidad de arbitraje. Selina: Que pena...! Los beneficios sin riesgo de los que hablaba Selina ahora se derrumbaban. Para modelar el precio de una acción se debe prescindir de la oportunidad de arbitraje. Por este motivo, ahora nos concentraremos más en las oportunidades de arbitraje. Discusión 2: Se recomienda discutir sobre el concepto de oportunidad de arbitraje. Algunos aspectos posibles serían: - Es una oportunidad de arbitraje invertir en un bono sin riesgo? - Es una oportunidad de arbitraje la participación en lotería? - Cómo se puede trasladar el concepto de oportunidad de arbitraje en otros aspectos de la vida? - Crees que existen oportunidades de arbitraje (en el mercado, en la vida, etc.)? 5.5 Trasfondo: arbitraje en un modelo binomial de un periodo Arbitraje Primero queremos plantear una definición informal: Una oportunidad de arbitraje es la posibilidad de recibir beneficios sin usar un capital propio y donde a la vez no existe riesgo de sufrir pérdidas. Algebraicamente sería: Definición: Sea X(t) el capital de inversor que está invirtiendo en la bolsa, en este caso t recorre todos los puntos de tiempo entre 0 ( hoy ) y el tiempo horizonte T. Se dice que existe una oportunidad de arbitraje para el inversor, si es posible que comenzando con el capital X(0)=0 el capital final X(T) cumple que

16 ( ) X ( T ) 0 y { ( ) } P X T > 0 > 0, i.e. al final el inversor nunca tiene deudas. Además las perspectivas de ganar son estrictamente positivas, debido a la probabilidad asignada al capital final. 166 Aunque la definición anterior se cumple en general para todos los valores, nosotros vamos a imponerle unas restricciones, de forma que en un modelo binomial de un periodo no exista oportunidad de arbitraje. Para ello, en primer lugar daremos una descripción formal del mercado de acciones mediante el modelo binomial de un periodo: El mercado de acciones según un modelo binomial de un periodo: Suponemos que en nuestro mercado en el tiempo t=0 existen las dos siguientes oportunidades de inversión: - Compra y venta a corto plazo de acciones de precio actual P 1 (0) = p 1 >0 y precio futuro rt f e + g p1 u con probabilidad p X ( T ) =, rt f e + g p1 d con probabilidad ( 1 p) cumpliendo que u > d. - Depósito o préstamo a largo plazo a una tasa de interés r 0, en este caso recibiremos un interés continuo en el intervalo [0,T], i.e. por cada unidad monetaria recibiremos un capital de ( 0) 1, ( ) 0 0 rt P = P T = e. Nota: Este interés continuo se elige de acuerdo con el modelo de Black-Scholes que veremos mas adelante (véase en las secciones 5.6/7/8). En el caso de que sólo considerásemos modelos discretos, para simplificar el problema, recibiremos un interés simple en el intervalo [0,T], por lo tanto ( ) ( ) P 0 = 1, P T = 1+ r T, 0 0 Si tomamos como tasa de interés r en lugar de r * =1/T (e rt 1), en ambos casos los intereses recibidos nos llevarán al mismo capital P 0 (T). Por lo tanto, el inversor puede distribuir su capital en t=0, comprando o pidiendo prestado acciones, así como pidiendo dinero prestado o invirtiendo. Si quiere, por ejemplo, comprar más acciones de las que le permite su capital inicial x, tendrá que pedir un préstamo adecuado. Sin embargo, si invierte menos de x unidades monetarias en acciones, según nuestro modelo, tendrá que invertir el resto del dinero en depósito a plazo fijo. En el modelo binomial según nuestra definición, el número de movimientos crecientes del precio de las acciones se distribuye según una binomial B(1,p), por este motivo se denomina modelo binomial. Definición: Denominaremos estrategia comercial (en un modelo binomial de un periodo) al par (f, g) en IRxIR tal que x = f + g p 1,

17 167 en este caso f describe el nominal invertido en t = 0 y g representa el número de acciones que existen en t = 0. Si f es un número negativo, esto significa que se tomó el préstamo. Si g es negativo, entonces tuvo lugar una venta a corto plazo de acciones. En un modelo de un periodo se negocia sólo al comienzo y se deja la combinación de acciones fijada hasta el final del periodo por este motivo también se le conoce con el nombre de estrategia de compra y mantenimiento. Esta estrategia nos conduce al siguiente capital final rt g p1 e + g p1 u con probabilidad p X ( T ) =. rt g p1 e + g p1 d con probabilidad ( 1 p) Con esta definición se ve claramente que la variable aleatoria X(T) (capital final), una vez que se toma esta estrategia, sólo puede tomar dos valores. Sólo si se invierte todo el capital total nominal, se puede saber en el tiempo t=0 que capital se obtendrá en el tiempo T. Sin embargo, si se sabe que incluso en el peor de los casos los intereses a recibir por las acciones van a ser mejores (en el sentido de mayores o iguales) que los intereses a recibir por el depósito a plazo fijo (o préstamo), en otras palabras si u > d e rt, entonces la estrategia a seguir sería la siguiente: se toma el préstamo, con ese dinero se compran acciones, en T se devolvería el préstamo y se recogerían los beneficios de las acciones. Por lo tanto, formalmente se elige f = g p 1 > 0 y resulta ( ) x = X 0 = 0, rt g p1 e + g p1 u con probabilidad p X ( T ) =. rt g p1 e + g p1 d con probabilidad ( 1 p) En ambos casos el capital final, X(T), debido a la suposición de u > d e rt, es no negativo y en el primer caso incluso estrictamente positivo. Por lo tanto se pueden ganar beneficios de arbitraje. Análogamente tendremos una oportunidad de arbitraje si la acción evoluciona de mal en peor comparado con la inversión financiera sin riesgo. Para evitar estas oportunidades de arbitraje, suponemos r T d < e < u Restricción de no arbitraje, en un modelo binomial de un periodo. De forma implícita tenemos también que 0< p <1. Ejercicios Ej.5.9 Describe detallada y formalmente, con tus palabras, la oportunidad de arbitraje que se generaría en un modelo binomial de un período, si el valor de la acción, aún en el mejor de los casos (en el sentido de más pequeño o igual), evoluciona peor que el de un depósito a plazo fijo. Ej.5.10 Con la estrategia comercial (f, g) y un capital inicial de x > 0, calcula: a) E(X(T)). b) Var(X(T)). Ej.5.11 El siguiente modelo binomial de un período viene dado por los parámetros r =0,05, u =1,2, d =1, T =1, p 1 =100, p=0,75 (se asignan como en el modelo anterior). Imagine que posee un capital inicial de a) Determina todas las estrategias comerciales (f,g) con E(X(T)) Cuál de estos casos tiene la varianza menor?

18 168 b) Es posible conseguir una estrategia comercial con E(X(T))=1000? Razone la respuesta. Ej.5.12 Está el siguiente "modelo binomial con dos acciones" libre de arbitraje? Haga un dibujo. Hemos supuesto en nuestro mercado que tenemos un valor con un beneficio continuo de 0,01. Las dos acciones comienzan a cotizar con un valor de 100. Tras un año el valor de la primera acción valdrá 120 con una probabilidad p y a valer 80 con probabilidad (1 p). La segunda acción al pasar un año, valdrá 115 con probabilidad p y a valer 90 con probabilidad (1 p). Sin embargo, estas acciones no son independientes entre ellas, esto quiere decir que si el precio de una de ellas disminuye, también lo hace el precio de la otra, igualmente si el precio de una de ellas aumenta también lo hará el precio de la otra. También podría existir la posibilidad de comprar una totalmente independiente de la otra. Ej.5.13 Veamos una pequeña observación de toda economía diaria: en la realidad es cierto que se dan oportunidades de arbitraje. Sin embargo hay muchas personas ( no sólo los corredores!), quienes buscan intencionadamente estas oportunidades de arbitraje los denominados arbitrageur por esta razón estas oportunidades nunca permanecen mucho tiempo y las probabilidades de obtener beneficios son muy pequeñas. Reflexione sobre ejemplos de la vida cotidiana en los que aparece esta oportunidad de arbitraje y discuta sobre si son viables o no (Ej. abrir una tienda que ofrezca gratis café y galletas). 5.6 Continuación de la discusión: modelo más realista modelo binomial de periodo múltiple Sí, sí Selina no ha tomado ni un bocado de croissant, para poder devorar modelos razonables de de acciones que tengan oportunidad de arbitraje. Después que Oliver mencionase que uno también puede llamar arbitraje a merienda gratis, su estómago vacío comenzó a rugir cada vez que pensaba en eso. Según el tópico A estómago gordo, cerebro flaco y junto con la idea de poder comprarse esta tarde una talla 36, Selina estaba muy motivada en la investigación sobre nuevos modelos matemáticos. Selina: Que ocurriría en el modelo binomial si existiesen más de dos acciones? Sebastian: Eso es más difícil. Pero lo que no conlleva problemas es ampliar el número de periodos. Tendríamos una unión de modelos sencillos. El resultado de esto es un árbol con muchas ramificaciones que denominamos modelo binomial de periodo múltiple. Esto es muy útil para la evolución del precio de las acciones. Dibujo 5.5 Árbol binomial

19 169 Nadine: Sí, pero Sebastian, seguro que no estás intentando explicarnos que esto tiene algo que ver con la realidad. Pues al final de un modelo binomial de 4 periodos existen sólo cuatro precios posibles para la acción! Cuántos periodos se necesitarán para conseguir modelos realistas? Sebastian: Selina: Cómo? Hablas en serio! Sebastian: Claro que sí. Aunque por supuesto que 1000 puede variar. Lo que quiero decir, es que debemos seleccionar el tiempo entre dos puntos, en otras palabras, la longitud del periodo, para conseguir el mayor número de precios posibles en el punto final del periodo de observación. Oliver: Ah, ya. Muchas subidas y bajadas constituyen algo que se asimila mucho a la cotización real de una acción. Selina: Subidas y bajadas en zig-zag? Cómo por ejemplo la cotización de la acción Gabriel Müll Inc. que he encontrado en un periódico? 40,00 35,00 30,00 25, Jul. 13. Nov. 14. Mrz. 13. Jul. Dibujo 5.6 Cotización ficticia de la acción Gabriel Müll Inc. Simplemente no puedo creerlo. Cómo un modelo de árbol que parece tan regular, puede dar lugar a una cotización de la acción tan caótica? Nadine: Sólo tienes que tener en cuenta que el árbol contiene todos los posibles cambios de precio de la acción. De hecho sólo puedes ver una consecuencia de estas subidas y bajada, en la que se observa un acentuado zig-zag. Oliver, no podrías rápidamente simular algo en el ordenador? Oliver: Ya sabía yo que me lo pedirías. Por supuesto, lo hago encantado. Elegiré u=1,013 y d=0,99. Supongamos que el precio inicial de la acción es 100. Nadine: Por qué tomas esos valores? Oliver: El 13 es mi número favorito. Selina: Ahora bien, no te debes sorprender de que te persiga la mala suerte. Oliver: también tengo que echar a suerte, en cada punto del tiempo, si el precio actual de la moneda va multiplicado por u o por d. Sebastian: Echarlo a suerte no te va a ayudar mucho, porque u aparece con probabilidad p y d con probabilidad (1 p).

20 170 Nadine: No seas tan sabelotodo. Oliver seguramente usa un generador de números aleatorios. Oliver: Eso es! Y esta es mi simulación. Cotización Aktienkurs t Dibujo 5.7 Cotización simulada en un modelo binomial de 100 periodos Tiene buena pinta, no? A propósito, he elegido p=1/2, pero también se podría echar a suerte en caso de una emergencia. Selina: Parece totalmente real! Nadine: A mí no me convence, deberías haber tomado más periodos. Si lo miras detalladamente, puede observarse una cierta regularidad. Oliver: Pero mi elección de u y d es muy buena, no? u no debe ser mayor de 1 porque si no el precio podría llegar a ser enorme. De la misma manera, d no debería ser menor de 1 de lo contrario casi rozaría el 0. Sebastian: Recuerdas las consideraciones de arbitraje en modelos de un periodo? Necesitamos r T d < e < u. Debido al hecho de que en un modelo binomial múltiple dividimos el tiempo en intervalos muy pequeños, nuestro T es muy pequeño y casi igual a cero. Esto quiere decir que e r T 1. Esta elección de Oliver de un modelo binomial de 100 periodos está exento de arbitraje. Nadine: Eso está bien! Así que tendremos un precio final de 1 ( ) X 100 X P 1 = 100 1,013 0,99, en el que la variable aleatoria X se distribuye según una binomial X B(100, 1/2). Pero con esta distribución binomial tenemos que hacer nosotros los cálculos. Imaginaos calcular todos los coeficientes binomiales nosotros mismos! Sebastian: Puede ser que ya estemos en condiciones de introducir el modelo de distribución normal y el de Black-Scholes. Nadine: Exacto. Antes de seguir con la conversación, tenemos que tener cuidado con algunos aspectos matemáticos y conocer los principios básicos de un modelo binomial de n periodos y del modelo de Black-Scholes, así como las relaciones ente ellos.

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