Posible solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de junio de 2007

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1 Posible soluió del exame de Ivestigaió Operativa de Sistemas de juio de 7 Problema : (3 putos) E u laboratorio se aaliza las probabilidades de que u átomo radioativo se ovierta e u átomo de otro tipo, trasurrido u miuto. Cada miuto, u átomo de Bismuto- tiee ua probabilidad,99 de seguir siedo Bismuto-, ua probabilidad,7 de overtirse e Plomo- y ua probabilidad,3 de overtirse e Talio-. Cada miuto, u átomo de Talio- tiee ua probabilidad, de seguir siedo Talio- y ua probabilidad, de overtirse e Plomo-. El Plomo- es estable, es deir, ua se ovierte e otra osa. a) Matriz de trasiió y diagrama de trasiió de estados (DTE). Clasifiar los estados y la adea de Markov. b) Si empezamos o u átomo de Bismuto-, uátos miutos trasurrirá omo promedio ates de que llegue a ser Plomo-? ) Si empezamos o u átomo de Talio-, uátos miutos trasurrirá omo promedio ates de que llegue a ser Plomo-? Soluió: Apartado a): El ojuto de los posibles estados del átomo e estudio es: S{Bi, Tl, Pb}, que se orrespode a Bismuto-, Talio- y Plomo-, respetivamete. a matriz de trasiió será la siguiete:,99,3,7 El DTE orrespodiete es: Q,,,99 Bi,7 Tl,,3, a lasifiaió de los estados será: Trasitorios: Bi, Tl Reurretes: Pb Periódios: iguo Absorbetes: Pb a CM se lasifia omo sigue. No es iruible (debido al ojuto errado {Pb}), y por tato o es reurrete, i trasitoria, i periódia, i aperiódia, i ergódia. Sí es absorbete. Pb

2 Apartado b): Nos pide alular el úmero medio de etapas que se estará e los estados trasitorios Bi y Tl ates de la absorió, supoiedo que empezamos e el estado trasitorio Bi S. Segú la teoría de las adeas de Markov absorbetes, este valor viee dado por la suma de los elemetos (,) y (,) de (I Q ). Se observa que los elemetos de S ya está ordeados omo se requiere para haer los álulos, es deir, primero los estados trasitorios y después los absorbetes. Por lo tato la matriz Q será la siguiete:,99,3 Q ', a matriz uyos elemetos eesitamos es la siguiete:,,3,5 ( I Q' ), 5 El úmero medio de etapas ates de la absorió será +,5,5 etapas,5 miutos. Es deir, u átomo de Bismuto- tarda omo media,5 miutos e overtirse e u átomo de Plomo-. Apartado ): Nos pide alular el úmero medio de etapas que se estará e el estado trasitorio Tl S ates de la absorió, supoiedo que empezamos e el estado trasitorio Tl S. Segú la teoría de las adeas de Markov absorbetes, este valor es el elemeto (,) de (I Q ). Como (I Q ) ya fue alulado e el apartado b), obteemos si haer más álulos que u átomo de Talio- tarda omo media 5 miutos e overtirse e u átomo de Plomo-. Problema : (3 putos) U ordeador almaea e ua ola los paquetes de iformaió que está pedietes de eviar mediate u módem. El módem es apaz de trasmitir paquetes a razó de 5 paquetes por segudo, o u tiempo de serviio expoeial. El 95% de los paquetes que se emite llega a su destio orretamete, mietras que el 5% sufre errores y debe ser oloados de uevo al fial de la ola para su retrasmisió. Por otro lado, a la ola llega paquetes uevos para ser trasmitidos a razó de paquetes por segudo, siguiedo u proeso de Poisso. El siguiete diagrama espeifia la ofiguraió del sistema de olas: a) Cuáto tiempo pasa por térmio medio e el sistema u paquete desde que llega por primera vez a la ola hasta que es trasmitido si error? b) Cuátos paquetes hay por térmio medio e la ola? ) Cuátos paquetes hay por térmio medio e el sistema?

3 Soluió: Apartado a): El sistema es ua de olas ( de Jakso abierta) que tiee u úio odo (odo ) que es ua ola M/M/. Segú el diagrama teemos ua úia etrada a la : γ lietes/seg. Esto quiere deir que la tasa de llegadas a la es γ lietes/seg. Nos pide hallar el tiempo medio de respuesta de la de olas, otado, para lo ual eesitamos ooer, que para esta ola o u solo odo oiidirá o el úmero medio de trabajos para el odo. E primer lugar hallaremos la tasa de llegada al odo mediate la euaió de equilibrio: 4 γ +,5 +,5,95,5 lietes/seg,95 9 Hallamos el parámetro para el odo, teiedo e ueta que la tasa de serviio del úio servidor del odo es 5 lietes/seg: 4, Hallamos el úmero medio de lietes e el sistema para ua ola M/M/ a partir de las fórmulas que aparee al fial del exame: + q + q + q + + Por lo tato tedremos que: 9,77 lietes 9 Como hemos diho,. Ahora podemos apliar el teorema de ittle a la de olas: Apartado b):,3636 seg Nos pide el úmero medio de lietes e el odo. Al fial del exame teemos ua fórmula para alularlo: ( ) q,36 lietes Apartado ): E el apartado a) se vio que el úmero medio de lietes e el sistema es. Diho parámetro ya fue alulado e ese apartado:,77 lietes

4 Problema 3: ( putos) Dispoemos de. para ivertir e bolsa. Nos reomieda dos tipos de aioes. as del tipo A que ride el % y las de tipo B que ride el %. Deidimos ivertir u máximo de 3. e las de tipo A y, omo míimo, 6. e las de tipo B. Además, queremos que la iversió e las del tipo A sea meor o igual que el doble de la iversió e B. Determiar mediate el método gráfio: a) Cuál tiee que ser la distribuió de la iversió para obteer máximo beefiio aual. b) El valor de diho beefiio máximo. Soluió: Apartado a): Variables de deisió: x A Iversió e aioes A (e ) x B Iversió e aioes B (e ) Restriioes: x A + x B x A 3 x B 6 x A x B x A, x B Fuió objetivo que maximizar: F(x A, x B ), x A +, x B El gráfio orrespodiete será (regió fatible e verde):

5 os putos extremos que aparee e el gráfio so los siguietes: Puto x A x B Valor F O A 6 B C 3 94 D 4 6 E F 3 3 G H 3 65 I 6 4 J 6 6 De etre los putos listados, los fatibles so A, C, H, I, J. El puto que es soluió óptima úia es C, que se orrespode o ua iversió e aioes A de 3. y ua iversió e aioes B de.. Apartado b): El valor del beefiio máximo es el valor de la fuió objetivo F e el puto C. E este aso será de 9.4. Problema 4: ( putos) U omedor desea diseñar u meú para sus omesales a osto míimo pero proporioado al meos kiloalorías de eergía, 55 gramos de proteía y miligramos de alio. Para ello dispoe de los siguietes produtos o sus valores por raió: Produto Eergía (Kal) Proteía (g) Calio (mg) Preio ( ) Pa 4 Pollo 3 3 Huevo ,5 ehe 6 5, Tarta 4 4 4, Estofado 6 4,3 Además se preisa que e el meú propuesto o se iluya más de 4 raioes de pa, i más de 3 de pollo, i más de de huevo, i más de de lehe, i más de de tarta, i más de de estofado.

6 Formular u programa lieal que permita ooer uátas raioes de ada produto se debe iluir e el meú para miimizar el oste total. Nota: No itete obteer la soluió, sólo debe dar el plateamieto. Soluió: as variables de deisió será el úmero de raioes de ada produto que etrará e el meú: x i º de raioes del produto i que se iluye e el meú dode los ombres de los produtos se abrevia: i {Pa, Po, H,, T, E}. a fuió objetivo a miimizar será el oste total (e euros) del meú: x Pa + 3 x Po +,5 x H +, x + 4, x T +,3 x E E primer lugar, debemos aseguraros de que el úmero de raioes de ada produto es u úmero etero y o egativo: i {Pa, Po, H,, T, E}, x i Z i {Pa, Po, H,, T, E}, x i Además debemos asegurar que o se sobrepasa los úmeros máximos de raioes de ada produto: x Pa 4, x Po 3, x H, x, x T, x E. Por último, debemos aseguraros de que los aportes de los distitos utrietes está por eima de los valores míimos requeridos: Eergía (Kal): x Pa + x Po + 6 x H + 6 x + 4 x T + 6 x E Proteía (g): 4 x Pa + 3 x Po + 3 x H + x + 4 x T + 4 x E 55 Calio (mg): x Pa + x Po + 54 x H + 5 x + x T + x E FÓRMUAS DE TEORÍA DE COAS: M/M/: q t / () t e ( ) M/M/: p ( ) p, si,,..., p! p, e otro aso! p +!( ) q e t / ( ) ( )! q t + p! ( )

7 M/M/ y M/M/: q + q q M/M//k: ( ) k, si k + +, si p ( ) q + q efq ef Redes de Jakso abiertas: ef p k ( k + ) k k + k, si +, si K γ i i K i i V i i Redes de Jakso erradas: + j( m ) j( m) j j j() ( m) m j * jj( m) K ( m) i * i i j( m) j( m) ( m ) j

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