I. Funciones trigonométricas. Armónicos.

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1 PRÁCTICA : APROXIMACIONES DE FOURIER I I Fucioes trigoométricas Armóicos Iformació básica Las fucioes trigoométricas básicas Las fucioes trigoométricas básicas so las fucioes seo y coseo: siωt y cosω t, dode el alor ω es la frecuecia (o elocidad) agular Claramete ambas fucioes so periódicas y su período es T = ω Armóicos o fucioes siusoidales U armóico o fució siusoidal es la que resulta al combiar (sumar) fucioes acos ωt + bsi ωt trigoométricas de la misma frecuecia ω : ( ) ( ) Esta suma admite ser expresada e la siguiete forma: ( ) + ( ) = ( ) acos ωt bsi ωt Asi ωt ϕ Es imediato obserar que u armóico es ua fució periódica de periodo dos sumados que lo ha costruido T =, el comú a los ω Obsérese que la fució siusoidal cotiee tres costates o parámetros, A, ω y ϕ, que describimos breemete Por u lado, u armóico tiee ua amplitud A = a + b, su frecuecia ω es la comú a los sumados y, además, hay u desfase agular ϕ Por cierto que este desfase agular es el úico úmero ϕ (, ] que erifica: { cos ϕ = siϕ = radiaes del desfase temporal que es ϕ ω segudos b A a A Debe distiguirse el desfase agular de ϕ Poliomios trigoométricos U poliomio trigoométrico es la suma de armóicos de frecuecias múltiplos de ua dada ω, es decir, u poliomio trigoométrico es ua combiació lieal de las fucioes trigoométricas, cos ωt, si ωt, cos ωt, si ωt,, cos ωt, si ωt { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Supoiedo, pues, que la frecuecia fijada de partida es ω, que, por cierto, se llama frecuecia fudametal, el poliomio trigoométrico de orde es de la forma: MDolores Lerís Zeaida Uriz Uiersidad de Zaragoza, España

2 ( ω ω ) ( ω ω ) ( ω ω ) p ( t) = a0 + asi t+ bcos t + asi t+ bcos t + a3si 3 t+ b3cos3 t + + armóico de frecuecia ω armóico de frecuecia ω armóico de frecuecia 3ω + ( a si ωt+ b cos ωt) armóico de frecuecia ω o bie, ( ) si ( ) si ( ) si ( 3 ) si ( p t = A + A ωt ϕ + A ω t ϕ + A ω t ϕ + + A ω t ϕ ) Obsérese que todos los armóicos que iteriee e el poliomio trigoométrico so periódicos de período comú T = ω, por tato, el poliomio trigoométrico tambié es periódico de período T = ω El caso más importate de poliomio trigoométrico es el de frecuecia fudametal ω =, es decir, el de período T = Su expresió es ( t b cos ) ( ) ( ) ( p( t) = a0 + asi + t + a si t+ b cos t + a3 si 3t+ b3 cos 3t + + a si t+ b cos t = armóico de frecuecia armóico de frecuecia armóico de frecuecia 3 armóico de frecuecia ( ϕ ) ( ϕ ) ( ϕ ) ( ϕ ) = A + A si t + A si t + A si 3 t + + A si t ) Ejercicios E estos ejercicios o ecesitas el ordeador Ejercicio : E la figura de al lado se obsera la gráfica de las fucioes trigoométricas: 3sit y si t Idica para cada ua de ellas cuál es el alor de: a) La amplitud b) La frecuecia c) El período Completa la siguiete frase: La líea de trazo grueso represeta al armóico ; mietras que la líea de trazo fio represeta al armóico Ejercicio : La fució siusoidal o armóico t () si( 3t ) dibujada e el gráfico que iee a cotiuació Se pide: - 6 t - = está a) La amplitud de la oscilació b) La frecuecia agular (radiaes/seg), el período (seg) y la frecuecia (hertzios) de las odas c) Cuál es el desfase agular?, y el temporal? d) Cuál es el iteralo de tiempos e el que se ha dibujado ua oda completa (el trazo más oscuro)? Ejercicio 3: La fució f () t = sit+ cost es suma de dos fucioes trigoométricas de igual frecuecia ω = y, por tato, es ua fució siusoidal o armóico de la misma frecuecia Se pide: a) Completa la siguiete igualdad: si t+ cos t = si t+ Amplitud desfase MDolores Lerís Zeaida Uriz Uiersidad de Zaragoza, España

3 b) Dibuja dos odas completas de f ( t) = si t+ cost comezado e el alor del desfase temporal = Se pide: a) Cuál es su frecuecia fudametal?, y el período? Ejercicio : Cosidera el poliomio trigoométrico pt () sit si( 3t) si( 5t) b) E la figura de al lado está las gráficas del poliomio trigoométrico y de los tres armóicos que lo forma Distigue a cuál correspode cada ua Cuál es la diferecia gráfica más otoria etre el poliomio trigoométrico y sus armóicos? c) Dibuja e u gráfico de barras los coeficietes de cada armóico - 3 II Oscilacioes o fucioes periódicas: costrucció y gráficas Iformació básica Las fucioes trigoométricas y sus combiacioes lieales (los armóicos y los poliomios trigoométricos) so los casos más coocidos de fucioes periódicas, pero hay otras formas de oda periódicas Comezamos escribiedo la ya coocida defiició de fució periódica y luego os ocupamos de costruir y dibujar alguas fucioes periódicas que o so trigoométricas Ua fució f es periódica de período T si, para cualquier alor de t, erifica: f ( t+ T) = f( t) Como cosecuecia de la defiició, es fácil er que los alores de la fució se repite idefiidamete, pues e t+ T, t+ 3T, t+ T,, su alor coicide co f () t Las fucioes periódicas que se suele utilizar e la práctica se costruye geeralmete como ua extesió de ua dada e u iteralo Por ejemplo, ua oda rectagular es la fució periódica que e el iteralo [, ] toma los alores f() t =, si < t < 0 {, si 0 < t < y que se extiede repitiedo estos alores e iteralos cosecutios de igual logitud Obsera la gráfica de esta fució e la siguiete figura t E esta secció uestra tarea es saber exteder periódicamete ua fució y e alguos casos secillos coseguir su gráfica co ayuda del programa Mathematica MDolores Lerís Zeaida Uriz Uiersidad de Zaragoza, España

4 Ejercicios Ejercicio 5: Oda e diete de sierra Se trata de odas que se costruye a partir de u segmeto icliado que se repite Por ejemplo, el segmeto de partida puede ser f () t 05 t t 05,05, que al extederlo periódicamete co período = + cuado [ ] T =, se obtiee la oda e diete de sierra Dibuja co papel y lápiz los dietes de sierra del iteralo t [ 5,5] Ejercicio 6: Ua oda siusoidal rectificada es ua fució seo modificada para que tome el alor cero e aquellos iteralos e los que el seo es egatio Se puede expresar de diferetes maeras Ua de ellas es f() t = 3si t, si 0 < t < { 0, si < t < e el iteralo [ 0, ] t, para luego extederse a izquierda y derecha cada T = uidades Otra, mucho más Max@ 3 Si@ t D,0D cocisa, es Se pide: a) Dibuja, a mao, cuatro odas completas de la oda siusoidal 3s it rectificada, dos a la izquierda del cero y dos a la derecha Haz el mismo dibujo usado el programa Mathematica b) Aerigua ua forma de escribir la fórmula de la siusoide rectificada que hay e el gráfica siguiete: 3 t +, si < t < 0 Ejercicio 7: Ua oda triagular Dibuja a mao la fució f (t) = t +, si 0 < t < a) Costruye, tambié a mao, desde t = hasta t = 7 la extesió periódica de la oda básica dibujada Cuál es el período? b) Obsera las odas triagulares que has obteido, forma ua fució par? 3 t MDolores Lerís Zeaida Uriz Uiersidad de Zaragoza, España

5 III El producto escalar e el espacio ectorial de las fucioes periódicas de periodo Iformació básica Atecedete: el producto escalar e R Recuerda que e el espacio R, de dimesió fiita, hay defiido u producto escalar como sigue: si u = ( u, u, u3,, u ) y = (,, 3,, ) so dos ectores de R, etoces el producto escalar de u y es el úmero real u = u + u + u u = u i i De este producto escalar se deduce cómo medir logitudes de ectores, cómo proyectar ortogoalmete ectores e icluso cómo calcular el águlo etre dos ectores Las fórmulas so estas: La logitud o orma de u es Si u = 0, etoces u y so ortogoales La proyecció ortogoal de u sobre El coeficiete de la proyecció i= i i= u = u u = u + u + + u = u u es el ector u Proyu= de la misma direcció que se llama coeficiete de Fourier Iteresa recordar que el ector del subespacio geerado por el sistema ortogoal,,, más próximo a u es el ector resultado de proyectar u sobre ese susbespacio, es { } decir, el ector: seccioes de este guió u u u Haremos uso de este hecho e las siguietes Producto escalar de fucioes periódicas de período El paso de ectores co u úmero de compoetes que se puede cotar a espacios ectoriales de fucioes, dode los ectores so fucioes y sus compoetes, las imágees, aría e u cotiuo obliga a sustituir sumas por itegrales Vamos a cosiderar el espacio ectorial PC ( ) de todas las fucioes de período, cotiuas e [,] salo a lo sumo e u úmero fiito de putos de discotiuidad de salto fiito Las operacioes del espacio ectorial so la suma de imágees y el producto por reales que ya coocemos So ectores de este espacio ectorial las fucioes cost, si t, y todas las de la forma y si t co 0,,,3, cos( t ) ( ) = El producto escalar de dos fucioes f y g de PC ( ) es f g = f() t g() t dt MDolores Lerís Zeaida Uriz Uiersidad de Zaragoza, España

6 Al igual que e el caso de R, el producto escalar defiido e PC ( ) llea a las siguietes fórmulas: f = f f = f() t dt La logitud o orma de f es [ ] Si f g = 0, etoces f y g so ortogoales La proyecció ortogoal de f sobre g es la fució f() t g() t dt f g gt () = gt () g g [ gt ()] dt Afirmamos que, co este producto escalar, las fucioes: {, cos t, si t, cos ( t), si ( t),, cos ( t), si ( t) } forma u sistema ortogoal y, además, tiee orma uo salo la primera Ejercicios Ejercicio 8: Comprueba co Mathematica que las fucioes, cost, si t, cos( 3t ) a) So ortogoales etre sí b) Tiee logitud uo, excepto la fució costate, cuya logitud es Ejercicio 9: Vamos a trabajar co los armóicos 50 sit y 5si ( 3t ) Respode a las siguietes pregutas: a) Cuál es la orma o logitud de las fucioes: 50sit y 5si ( 3t )?, y su amplitud? b) So ortogoales etre sí los armóicos 50sit y 5si ( 3t )? c) Aerigua por qué la logitud de I() t 50sit 5si( 3) = + t es It ( ) = MDolores Lerís Zeaida Uriz Uiersidad de Zaragoza, España