4Proporcionalitat geomètrica

Transcripción

1 unitat 4Proporcionalitat geomètrica Mesura amb el regle la columna de l esquerra de la part frontal del Partenó. ra mesura l alçada de l última columna de l esquerra. ompara les dues mesures, quantes vegades és més gran l una que l altra? reus que a la realitat passa aiò? què és degut? 80

2 punt onsiderem dues circumferències concèntriques en les quals el radi de la circumferència eterior és el triple del radi de la circumferència interior. Presentem, en forma de taula, diverses mesures de les dues circumferències i dels cercles corresponents. Suposem que r = 1,5 cm és el radi de la circumferència interior: O r r ircumferència interior ircumferència eterior Radi r = 1,5 cm r = r = 1,5 = 4,5 cm Diàmetre d = r = 1,5 = cm d = r = 4,5 = 9 cm Longitud L = d π =,14 = 9,4 cm L = d π = 9,14 = 8,6 cm Àrea cercles = r π = 1,5,14 = 7,065 cm = r π = 4,5,14 = 6,585 cm Volem esbrinar si hi ha proporcionalitat entre els dos radis, els diàmetres, les longituds de les dues circumferències i les àrees dels dos cercles. Per aiò dividirem cada una de les mesures de la circumferència eterior per les mesures corresponents de la circumferència interior. r r 45, = = 15, d = d = L 8, = L 94, = 6, = 7, 065 = 9 r d L Observem que: k = = = =, en canvi = 9 = = k r d L És a dir, la raó entre els radis és la mateia que entre els diàmetres i entre les longituds de les circumferències, i val k =. Podem assegurar que els radis, els diàmetres i les longituds són proporcionals amb constant de proporcionalitat k =. Però no es manté aquesta mateia proporcionalitat entre les àrees dels cercles, ja que la raó entre les àrees és el quadrat de la raó entre els radis. En aquesta unitat tractarem qüestions semblants a la que acabem de plantejar, en les quals es treballa la proporcionalitat en figures geomètriques. 81

3 4.1. Segments proporcionals cm 4 cm Per indicar la longitud a d un segment d etrems i B, escriurem: B = a Si EF =,5 cm i GH =, cm, tindrem: EF 5, = GH, M 6 cm P 8 cm B D Dibuiem dos segments de longitud i 4 cm respectivament: podem epressar-ho com B = cm i D = 4 cm. Si indiquem el quocient entre els nombres que determinen les dues mesures, obtenim la raó dels dos segments. Podem escriure, doncs, dues raons possibles dels segments B i D B D = o D B = La raó de dos segments és el quocient entre els nombres que indiquen les seves longituds, epressades en la mateia unitat. La raó de dos segments no sempre serà una fracció, ja que la longitud d un segment no sempre es pot epressar mitjançant un nombre natural. Si la raó de dos segments és una fracció, podem obtenir un dels segments B com a fracció de l altre. ií, la igualtat = -----, també la podem escriure: B = D. Tenim que el segment B és les tres quartes parts del D 4 4 D 4 segment D. De la mateia manera, com que = -----, obtenim que B 4 D = B. El segment D representa els quatre terços del segment B. Dibuiem, ara, dos segments més de 6 cm i 8 cm. MN = 6 cm i PQ = 8 cm. MN 6 PQ 8 4 La raó d aquests dos nous segments és = = o = = PQ 8 4 MN 6 Tenim, doncs, que la raó dels dos parells de segments B i D per una banda i MN i PQ per l altra és la mateia. Direm que els parells de segments són proporcionals i ho epressarem aií: B MN D PQ = o = D PQ B MN Dos segments són proporcionals a uns altres dos quan la raó dels dos primers és igual a la raó dels altres dos. La igualtat entre les dues raons establei una proporció. 8 N Q om que una proporció és una igualtat entre dues raons, no cal que els seus termes siguin nombres naturals, poden ser nombres decimals. Donades les longituds de tres dels segments d una proporció, podem obtenir la longitud del quart segment. Per eemple: B EF Sabem que = , B = cm, D = dm i GH = 5 cm. Per D GH calcular la longitud del segment EF, escrivim la proporció determinada per les longituds epressades en la mateia unitat, en aquest cas en EF 5 centímetres: = EF = = 40 cm. La longitud del segment EF és de 40 cm.

4 a c t i v i t a t s 1. Dibuia dos parells de segments que siguin proporcionals, i de raó La raó de dos segments és Si el més llarg 4 mesura,5 cm, quina és la longitud de l altre segment?. Els segments B, MN i D mesuren respectivament 7 cm, 5,7 dm i 19 cm. alcula la B MN longitud del segment PQ si = PQ D 4. Sabent que B = D, calcula la longitud 5 del segment D si B = 1 cm. 4.. Teorema de Tales P B B Recorda que una proporció es pot escriure de diferents maneres. D D E E r De ben segur que no has sentit gaires vegades la paraula teorema. Et deus preguntar què és un teorema. Doncs, un teorema és una conclusió a què s arriba a partir de proposicions demostrades prèviament. El grec Tales de Milet (segle VI a) va arribar a la conclusió que dóna nom al seu teorema. El teorema de Tales és un dels més importants de la geometria, que sens dubte hauràs de fer servir molt sovint. El teorema de Tales diu el següent: Els segments determinats per un conjunt de rectes paral leles sobre dues rectes secants són proporcionals. continuació en veurem la interpretació gràfica, i al matei temps en farem la demostració. la figura de l esquerra, hi ha dues rectes r i s que es tallen en el punt P. questes rectes són tallades per rectes paral leles, traçades de manera que determinen diferents segments sobre cadascuna de les rectes r i s. D aquesta manera, sobre la recta r determinen els s segments: B = B, D = B i DE = B. I semblantment sobre la recta s: B = B, D = B i D E = B. Tenim, doncs: B B B B = 1, = = questa proporció també B B B B B B la podem escriure: = B B B = -----, B 1 B B B D = = que és el matei que: = D D D D B D B 1 B 1 B B B DE = -----, = = = DE D E DE D E B D E 8

5 La propietat transitiva de la igualtat és: Si a = b i b = c a = c a c Si ---- = ----, també és veritat b d a c a+ c que ---- = ---- = b d b+ d eemple 1 Tenint en compte les tres proporcions, i per la propietat transitiva de la igualtat, podem concloure que: B B questa és la conclusió a què va arribar Tales de Milet. Els parells de segments B i B, B i B, D i D, DE i D E que verifiquen el teorema de Tales s anomenen segments corresponents. partir de la conclusió del teorema podem escriure: B B quest nombre k, que és la raó de dos qualssevol d aquests parells de segments corresponents, és la raó o constant de proporcionalitat. Tenint en compte que: B D = = = B D DE D E B D DE = = = = k B D D E = B + B; D = B + B + D; E = B + B + D + DE = B + B ; D = B + B + D ; E = B + B + D + D E i aplicant la propietat de les proporcions citada al marge, podem trobar altres parells de segments que també són proporcionals: B B D DE B D E = = = = = = B B D D E B D E De manera semblant, també podem escriure: P PB P PD PE = = = = P PB P PD PE Es tracta de dividir un segment de longitud a en b dos segments de raó c P b c b a M R a Dibuiem el segment d etrems P i Q de longitud igual a a, és a dir, PQ = a. Tracem una semirecta per l etrem P que formi un angle agut amb el segment PQ. c y N Q mb l ajuda del compàs, col loquem sobre la semirecta dos segments consecutius de longituds b i c, els quals determinen els punts M i N. Finalment, unim el punt N amb el punt Q i tracem una paral lela al segment NQ des del punt M. questa paral lela determina el punt R sobre el segment PQ. Els segments PR = i RQ = y són els segments que ens demana el problema, ja que pel teorema de Tales es complei que: PR PM = RQ MN ---- b y ---- c Hem dividit, doncs, el segment a en dos segments i y de raó b c = ---- y = b ---- c 84

6 a c t i v i t a t s Dibuia un segment de 8 cm i dividei-lo en dos segments de raó Mesura les dues parts i comprova n el resultat. plicant el teorema de Tales a la figura, calcula la longitud del segment PR sabent que B = cm, B = 1,7 cm i PQ =,5 cm. B 7. Troba les longituds a i b dels segments de la figura., cm cm cm 1 cm a b P Q R 8. Dividei un segment de 1 cm en parts proporcionals a 1, i Podem dividir un segment en parts iguals a partir del teorema de Tales. Vegem-ho: Divisió d un segment en parts iguals onsiderem un segment B qualsevol, que volem dividir en cinc parts iguals. B P Q R S T D E F B Tracem una semirecta d origen el punt i amb el compàs hi situem cinc segments de la mateia longitud. Són els segments P, PQ, QR, RS i ST. continuació, unim el punt T amb el punt B, i amb el regle i l escaire tracem paral leles al segment TB des dels punts P, Q, R i S, les interseccions d aquestes paral leles amb el segment B determinen els punts, D, E i F. Per demostrar que el segment B s ha dividit en cinc parts iguals, ens queda per veure que els segments, D, DE, EF i FB són iguals. La figura de més amunt verifica les condicions del teorema de Tales. Per tant, P PQ QR RS ST podem escriure: = = = = , i com que P = PQ = D DE EF FB = QR = RS = ST, ja que tenen la mateia longitud, deduïm que: = D = DE = EF = FB questes igualtats ens confirmen que les cinc parts en què s ha dividit el segment B són iguals. 85

7 Si un segment PQ mesura el doble d un altre segment MN, vol dir que: PQ PQ = MN = MN o, el que és el matei, MN PQ 1 = MN = eemple PQ Un cop dividit el segment B en cinc parts iguals, podem establir diferents raons i diferents proporcions entre segments, per eemple: D 1 EF 1 D EF = ; = = ; F DB F DB D 1 E 1 D E = = ; = = = F 4 B 4 F B I també podem epressar un dels segments com a fracció d un altre: DF DB = DF = DB o = DB = DF DB DF La divisió d un segment en parts iguals ens permet representar sobre la recta numèrica i de manera eacta qualsevol fracció. Representem sobre la recta numèrica: 11 a) el nombre decimal 0,4 b) la fracció Per dibuiar la recta numèrica, fiem el punt zero i definim el segment unitat. continuació, assenyalem sobre la recta els nombres naturals Un cop tenim la recta numèrica, ja hi podem representar els nombres indicats. a) Primer cal passar el nombre decimal 0,4 a fracció: 0,4 = = La fracció està situada entre 0 i 1, per 5 tant, caldrà dividir el segment unitat d etrems 0 i 1 en cinc parts iguals i agafar-ne dues. a c t i v i t a t s Dibuia un segment de 7 cm i dividei-lo en tres parts iguals. omprova-ho gràficament. El segment B l hem dividit en quatre parts iguals. P Q R B Indica la raó dels parells de segments següents: ; ; ; ; P PB Q PQ RB B QB B B Q 11 b) La fracció és impròpia, primer l haurem d epressar com a suma d un nombre natural més una fracció pròpia, de manera que: = La fracció està situada entre els nombres i 4. Hem de representar els del segment d etrems i , Representa sobre la recta numèrica: ,5; ;,6 i Escriu les fraccions representades pels punts, B, i D. B D

8 4.4. Semblança de triangles Observa la figura de l esquerra: els triangles B i DE tenen els costats B i DE paral lels, mentre que els costats B i D per una banda i els costats i E per l altra estan sobre una mateia recta. E Una cosa semblant passa amb els parells de triangles FGH i FIJ, KLM i KNO de la figura de la dreta. H O M N L D B En els tres triangles, podem I observar que si tracem una paral lela a un dels costats, aquesta F paral lela sempre talla els altres J dos costats, cas del triangle B, o les seves prolongacions, cas dels altres dos triangles. G K Fia t que en tots els casos s obté un nou triangle. Diem que el triangle original i el nou triangle estan en posició de Tales. Dos triangles en posició de Tales tenen dos costats paral lels i els altres dos parells de costats es troben sobre una mateia recta. P B R Q Dos angles són corresponents quan tenen un costat sobre la mateia recta i els altres dos costats són paral lels. Vegem quines particularitats tenen aquests tipus de triangles. la figura de l esquerra hem dibuiat un triangle B i per un punt P qualsevol del costat B tracem una paral lela a cadascun dels altres dos costats. La paral lela al costat B determina el punt Q sobre el costat, mentre que la paral lela al costat talla el costat B en el punt R. Tenim que els triangles B i PQ, i B i PBR estan en posició de Tales. Tractarem per separat cadascun dels parells de triangles: començarem pels triangles B i PQ. Fia t que els dos triangles tenen els angles iguals: l angle és comú als dos triangles i, a més, es complei que B = P i = Q, perquè són angles corresponents. Pel teorema de Tales podem escriure la proporció: P Q = B Pel que fa als triangles B i PBR, també pel teorema de Tales, podem escriure: P B P B P R = = = R B R B B B i com que R = PQ, es complei que: P B = P B PQ B = Q

9 En definitiva, els costats dels triangles B i PQ verifiquen: P Q PQ = = els costats són proporcionals B B Dos triangles en posició de Tales tenen els seus angles respectivament iguals i els costats que s hi oposen són proporcionals. Es diu que dues figures geomètriques són semblants si tenen la mateia forma i diferent grandària. En les figures semblants els elements que es corresponen s anomenen homòlegs. En el cas dels polígons semblants, els elements homòlegs són els vèrtes, els angles o els costats. Doncs bé, resulta que dos triangles en posició de Tales sempre són dos triangles semblants. En el cas dels triangles B i PQ de la figura anterior, els elements homòlegs són els parells de costats P i B, Q i, PQ i B. Per tant: Dos triangles són semblants si tenen els angles respectivament iguals i els seus costats homòlegs són proporcionals. Si k = 1 els triangles són iguals. eemple La raó constant k que hi ha entre dos costats homòlegs qualssevol de dos triangles semblants s anomena raó de semblança. ií: P Q PQ = = = k B B P B 1 Si = k, també podem escriure: = És a dir, la raó de semblança dels dos triangles és k o B P k 1 k Observa els triangles B i DEF de la figura. Són semblants? Quina és la raó de semblança? Quant mesura el costat? 6,4 cm 4 cm Si fem coincidir dos vèrtes i les direccions dels costats que els determinen en el nostre cas seran els vèrtes i D i les direccions dels costats B i amb les dels costats DE i DF, obtindrem la figura de la dreta. B Efectivament, els triangles B i DEF estan en posició de Tales; per tant, són dos triangles semblants. D 8 cm F 6,4 cm F E 4 cm = D 8 cm B E En definitiva, dos triangles semblants es poden col locar sempre en posició de Tales. Per tant, entre els dos triangles de la figura es verifica que: Els angles són iguals dos a dos: = D, B = E i = F. Els costats homòlegs són proporcionals: B B = = DE DF EF Per la figura sabem que B = 6,4 cm i DE = 8 cm, d on tenim que la raó de semblança dels dos triangles B és: k = , = = 08, DE 8 B B De la proporció = , i sabent que EF DE 4 B = 4 cm i EF =, deduïm la igualtat: ---- = 08, a partir de la qual podem trobar el valor de : = = cm 08, 5 88

10 a c t i v i t a t s Dibuia els triangles següents i deduei si són semblants: a) Dos triangles qualssevol. b) Dos triangles equilàters. c) Dos triangles isòsceles. d) Dos triangles rectangles isòsceles. Els catets de dos triangles rectangles isòsceles mesuren 4 cm i 6 cm respectivament. a) alcula la raó de semblança dels dos triangles. b) Dibuia el triangle més gran i mesura n la hipotenusa. Quant mesurarà la hipotenusa del triangle més petit? Fes la comprovació gràficament alcula les longituds dels costats d un triangle semblant a un altre de costats 4, cm, 5,6 cm i 8 cm, sabent que la raó de semblança és 0,5. Dibuia els dos triangles i observa que es poden col locar en posició de Tales. Sabent que la raó de semblança entre els triangles de la figura és -----, 5 calcula, y i z. z y cm cm cm 4.5. riteris de semblança de triangles P B M N la pràctica, per esbrinar si dos triangles són semblants o no ho són, només cal comprovar si es verifiquen unes quantes condicions. Les condicions mínimes que han de verificar dos triangles per ser semblants s anomenen criteris de semblança. continuació veurem quins són aquests criteris. Dos triangles són semblants si tenen dos angles iguals. onsiderem els triangles B i MNP, en els quals = M i = P. om que la suma dels tres angles de qualsevol triangle és 180, podem escriure que: + B + = 180 B = 180 ( + ) M + N + P = 180 N =180 ( M + P ) om que = M i = P, tenim que: B = 180 ( + ) = 180 ( M + P ) = N Necessàriament han de tenir també igual el tercer angle: B = N. leshores, els dos triangles es poden col locar en posició de Tales i, per tant, són semblants. Si = M i = P els triangles B i MNP són semblants. 89

11 c B k c N M a a b k a k b P Dos triangles són semblants si tenen els costats proporcionals. Si es complei aquesta condició, els dos triangles han de tenir forçosament els angles iguals. I, per tant, els dos triangles han de ser semblants. Si dibuies dos triangles qualssevol que tinguin els costats proporcionals, veuràs que es poden col locar en posició de Tales. La raó de semblança serà el quocient entre les longituds de dos costats homòlegs. Si B MN = = MP B , els triangles B i MNP són semblants. NP Dos triangles són semblants si tenen dos parells de costats proporcionals i igual l angle que determinen. k a c B M k c N P Si dibuies dos triangles que tinguin les característiques de l enunciat d aquest criteri, veuràs que, en efecte, els pots situar en posició de Tales, i, per tant, seran semblants. En aquest cas, s ha de mantenir forçosament la proporcionalitat per al tercer parell de costats. B B Si = i B = N, els triangles B i MNP són MN NP semblants. Un problema molt comú d aplicació de semblança de triangles és el de calcular l altura d un edifici a partir de la longitud de l ombra que projecta, comparant-la amb la longitud de l ombra d un objecte del qual en coneiem l altura. Un eperiment semblant va fer Tales per determinar l altura de la piràmide de Keops. eemple 4 Sabem que un pal d 1,5 m col locat verticalment projecta una ombra de 90 cm. alcula l altura d un edifici que a la mateia hora projecta una ombra de 18 m. 90 cm 1,5 m M 18 m La figura ens mostra de manera esquemàtica la situació del problema. En el dibui s indica amb una l altura de l edifici que es vol calcular. Fia t que els dos triangles són rectangles i tenen un dels angles aguts igual = M. Per tant, verifiquen el primer criteri de semblança de triangles, ja que tenen dos angles iguals; és a dir, són dos triangles semblants. Si tenim present que 90 cm = 0,9 m, per la semblança dels dos triangles podem escriure: 09, 15, = ,9 = 18 1,5 0,9 = 7 = 7 : 0,9 = 0 m L altura de l edifici és de 0 m. 90

12 a c t i v i t a t s En un triangle B tenim que B = 9 cm, = 6 cm i = 5, mentre que en un altre triangle PQR sabem que PQ = cm, PR = cm i P = 5. Els triangles B i PQR són semblants? Per què? Indica n la raó de semblança. Dos dels angles d un triangle mesuren 45 i 75, i dos dels angles d un altre triangle, 45 i 60. Són semblants els dos triangles? Per què? Justifica la semblança d aquests dos triangles, a partir d un dels criteris citats. cm 5 cm 1 cm Quina és la raó de semblança? 5 1,5 cm Un noi d 1,8 m d alçada projecta una ombra de 80 cm. En el matei instant, un edifici projecta una ombra de 1 m. Quina és l altura de l edifici? 4.6. Polígons semblants Fins ara hem vist les condicions que han de complir els elements de dos triangles perquè siguin semblants. Però, què passa amb els polígons de més de tres costats? D entrada el que podem assegurar és que dos polígons només poden ser semblants si tenen el matei nombre de costats. Però, com podem estar segurs que es tracta de polígons semblants? No n hi ha prou de mesurar els costats i calcular-ne la raó. Per eemple, els costats dels quadrilàters de la figura de sota tenen raó, en canvi, els dos quadrilàters no són semblants, perquè no tenen la mateia forma. b b a a Tampoc no n hi ha prou de mesurar-ne els angles i veure que són iguals, ja que el quadrat i el rectangle de la figura de l esquerra tenen els angles iguals, però un quadrat i un rectangle no tenen la mateia forma, per tant, no són semblants. Dos polígons amb el matei nombre de costats són semblants si tenen els angles iguals i els costats homòlegs proporcionals. 91

13 D El fet que tot polígon es pugui descompondre en triangles, traçant-ne les diagonals des d un matei vèrte, simplifica molt les coses. D Observa els dos quadrilàters BD i B D. Si en fem la triangulació, resulta que els triangles B i B són semblants. I també ho són els triangles D i D. Tenim que =, B = B, = i D = D. = B B I per la semblança dels triangles B i B podem escriure la següent B B igualtat: = = B B E E D D = B B D D Semblantment, per als triangles D i D : = = D D Fia t que la raó de semblança és la mateia en els dos parells de triangles, ja que en cadascuna de les epressions aparei la raó Si B B D D l anomenem k, es verifica: = = = = k B B D D Tenim, doncs, que els dos quadrilàters de la figura tenen els angles iguals i els costats proporcionals. Són dos polígons semblants, amb raó de semblança k. En general, dos polígons són semblants si en superposar dos costats amb el vèrte comú, els vèrtes homòlegs estan situats sobre la mateia diagonal. Per eemple, els dos pentàgons de l esquerra són semblants. eemple 5 la figura hi ha representats dos romboides BD i B D semblants, dels quals sabem que B = D = 1 cm, D = B =10 cm i B = D = 18 cm. 10 cm D D 1 cm = B 18 cm Observa que són semblants, perquè en superposar els costats B i B, i, D i D amb el vèrte = comú, els vèrtes i estan sobre la mateia diagonal. partir d aquesta figura treballarem la semblança de polígons, per la qual cosa ens plantegem dues qüestions que pots veure tot seguit. B a) Quina és la raó de semblança dels dos polígons? Sabent la mesura dels costats B i B, podem B 1 determinar-la: k = = = B 18 D on tenim que B = B o = B iò vol dir que cada costat del romboide petit és del costat homòleg del romboide gran, o bé que cada costat del romboide gran és homòleg del romboide petit del costat b) Quina és la mesura dels costats D i B? Sabent que D = D, tenim que D = = = 15 cm. I com que els costats B i D són iguals, obtenim B = 15 cm. 9

14 a c t i v i t a t s 1.. Dos quadrats qualssevol, són semblants? Raona la resposta. Observa els dos trapezis de la figura. D D. 4. Les diagonals d un rombe mesuren d = 6 cm i D = 9 cm. alcula la longitud de les diagonals d d i D d un rombe semblant tal que = d 4 Troba la raó de semblança dels dos rectangles de la figura. alcula el perímetre i la longitud de la diagonal del rectangle més gran. = B B Són dos polígons semblants? Per què? cm 10 cm 8 cm 4 cm 4.7. Perímetres i àrees de dues figures semblants Fins ara hem tractat la proporcionalitat entre costats de figures semblants. continuació veurem si aquesta proporcionalitat també es manté entre els perímetres i les àrees de dues figures semblants. E E B = B a a D b D b Els rectangles BDE i B D E de la figura són semblants. Per tant, B D ED BE = = = = k, on k és la raó de semblança. B D E D B E Suposem que les longituds dels diferents segments són: B = ED = a, BE = D = b i les dels seus homòlegs: B = E D = a, B E = D = b. a b Per la proporcionalitat entre els segments, es complei que: = = k. a b ií, podem escriure: a = k a i b = k b. El perímetre del rectangle interior és: P = a + b + a + b = a + b = (a + b), que podem epressar: P = (k a + k b ) = k (a + b ) = k (a + b ) I com que P = a + b + a + b = a + b = (a + b ) és el perímetre del rectangle eterior, arribem a la conclusió que: P = k P Observa que d aquesta igualtat es deduei que: P = k P La raó dels perímetres dels dos rectangles coincidei amb la raó de semblança. 9

15 Si k és la raó de semblança de dues figures semblants, aleshores la raó dels perímetres també és k i la raó de les àrees és k. Passa el matei amb la raó de les àrees? Vegem-ho. L àrea del rectangle interior és = a b, igualtat que podem escriure: = (k a )(k b ) = k a b. I com que = a b és l àrea del rectangle eterior, tenim que: = k, d on obtenim: = k questa última epressió ens diu que: La raó de les àrees dels dos rectangles és igual al quadrat de la raó de semblança. Tot i que el cas que acabem de veure correspon a dos rectangles semblants, les conclusions anteriors són vàlides per a qualsevol parell de figures semblants. eemple 6 S RS R S = R S = cm S Q = Q 10 cm 8 cm 1 cm onsiderem els triangles rectangles QRS i Q R S que estan en posició de Tales i, per tant, són semblants. omprovem amb aquest eemple que la raó dels perímetres coincidei amb la raó de semblança i que la raó de les àrees és el quadrat de la raó de semblança. Primer de tot calculem el valor de la raó de semblança: QR 8 k = = = Q R 1 partir d aquest valor podem trobar les longituds dels costats que ens falten. ií: QS QS = = QS = = 6 cm Q S 9 R R 10 R S = = 15 cm El perímetre del triangle rectangle petit és: P = = 4 cm I el perímetre del triangle rectangle gran és: P = = 6 cm La raó de perímetres és: P = = = k P 6 L àrea del triangle rectangle QRS és: 8 6 = = 4 cm La del triangle Q R S és: 1 9 = = 54 cm I, finalment, calculem la raó de les àrees: = = = = = k Efectivament, la raó dels perímetres coincidei amb la raó de semblança i la raó de les àrees és el quadrat de la raó de semblança. 94

16 a c t i v i t a t s El perímetre d un triangle mesura 9 cm i els costats d un triangle semblant mesuren 6 cm, 9 cm i 1 cm. a) Esbrina la longitud dels costats del primer triangle. b) Dibuia els dos triangles, traça n les altures i mesura-les. Quina és la raó entre aquestes altures? c) alcula l àrea de cada triangle i troba n la raó. omprova que la raó de les àrees d aquests triangles és el quadrat de la raó de semblança. 7. Els costats de dos quadrats mesuren 5 cm i 7 cm cadascun. Quina és la raó de semblança? alcula la raó dels perímetres i la raó de les àrees. La raó de les àrees de dues figures semblants 16 és a) Si l àrea de la figura gran és de 15 cm, quant mesura la superfície de la figura petita? b) Sabent que la longitud d un costat de la figura petita és de 1 cm, troba la longitud del costat homòleg de la figura gran Escales Segurament alguna vegada deus haver vist un plànol d una casa, d un apartament o d unes oficines, o deus haver treballat sobre un mapa. Tant els plànols com els mapes són dibuios de figures semblants a l objecte real que representen. 95

17 ndorra la Vella Lleida Tarragona Barcelona Perpinyà Girona Els plànols i els mapes porten incorporada una notació com la que aparei al mapa de la figura E = 1 : , que és l escala. Però, quin és el significat d aquesta notació? E = 1 : , que també es pot escriure 1 E = , vol dir que una unitat de longitud en el mapa representa unitats de la mateia longitud en la realitat. Per eemple, 1 cm del mapa són cm en la realitat, és a dir: 1 cm del dibui cm = 55 km reals astelló Maó L escala és la raó de semblança entre un dibui un mapa o un plànol i la realitat que aquest dibui representa. València lacant om que l escala és una raó de semblança, els dos nombres que la determinen s han d epressar en la mateia unitat de longitud. Eivissa Palma de Mallorca escala 1: La raó donada per l escala d un mapa o d un plànol ens permet calcular longituds de la realitat que aquest mapa o aquest plànol representen. ií, a partir del mapa de la figura, podem saber la distància que hi ha entre dues ciutats, per eemple, Girona i astelló. Mesurem amb un regle la distància sobre el mapa entre els dos punts que situen aquestes dues ciutats. questa distància és de 6,1 cm. Es tracta de calcular la longitud d un segment homòleg en la figura real, que és semblant al mapa dibuiat. Si representem amb d la distància real entre Girona i astelló, podem escriure la proporció següent: 1 61, = d = ,1 = cm = 5,5 km d rribem a la conclusió que la distància que separa en línia recta les ciutats de Girona i astelló és de 5,5 km. 96

18 eemple 7 Tenim un plànol d unes oficines a escala E = 1 : 00, tal com s indica en la figura. Volem determinar el valor real de l àrea del recinte marcat amb un (1). questa superfície es pot calcular de dues maneres diferents: a) Tenint en compte que l escala és la raó de semblança entre els valors del plànol i els valors reals, calcularem primer les longituds reals dels dos costats, que representarem per i y. Mesurant amb un regle les longituds dels costats del rectangle (1) del plànol, obtenim que els costats mesuren 4, cm i,7 cm. mb aquestes dades i el valor de l escala, podem determinar els valors de i y: 1 4, = = 00 4, = 860 cm , = y = 00,7 = 540 cm 00 y Per tant, l àrea real del recinte és: = y = = cm = 46,44 m (1) () b) Una altra manera de resoldre el problema és aplicant la raó de les àrees. Sabem que aquesta raó és el quadrat de la raó de semblança: k = = alculem l àrea del rectangle (1) del plànol: = 4,,7 = 11,61 cm plicant la raó de les àrees obtenim: 1 11, = = 00 11,61 = cm = 46,44 m Fia t que arribem al matei resultat. a c t i v i t a t s Pren les mesures necessàries sobre el mapa de la figura de la pàgina anterior i troba la distància en quilòmetres, en línia recta, que hi ha entre Palma i València, i entre Lleida i lacant. Si dos pobles estan separats en línia recta una distància de 14 km, quina distància els separaria, també en línia recta, si figuressin en el mapa anterior? alcula la superfície real del recinte assenyalat amb un () en el plànol de l eemple onsidera el rectangle que determinen els recintes (1), () i el que està entremig dels dos, del plànol que aparei a l eemple 7. alcula el perímetre i la superfície reals d aquest rectangle. Els costats d un terreny rectangular mesuren 450 m i 00 m. Dibuia el terreny a escala E = 1 : i calcula la superfície del rectangle que has dibuiat. omprova que la raó dels perímetres dels dos rectangles coincidei amb el valor de l escala del plànol que has dibuiat. 97

19 De tots colors ltres notacions diferents a l escala En els mapes, a vegades, en lloc de l escala aparei una notació diferent, per eemple: km iò vol dir que la longitud del segment es correspon amb 100 km en la realitat. Si mesurem amb un Tales de Milet (65 a-546 a) Una mica d història regle la longitud del segment, veurem que mesura,5 cm, és a dir, que 5 mm en el mapa són 100 km en la realitat. L escala, en aquest cas, seria: E = 5 : , ja que 100 km = mm. Recorda que les dues longituds que determinen l escala han d estar epressades en la mateia unitat. Si epressem l escala en forma de fracció, aquesta es pot simplificar. Per tant, podem considerar que l escala és: E = 7 : El segle I d, l historiador grec Plutarc va escriure: «Tales de Milet, per damunt de tot, jo us admiro perquè posant el vostre bastó a l etrem de l ombra d una piràmide, formàreu dos triangles amb raigs de sol, i demostràreu que l altura de la piràmide dividida per la longitud del bastó és igual a l ombra de la piràmide dividida per l ombra del bastó». questes paraules de Plutarc confirmen que fou el matemàtic grec Tales de Milet qui, per primera vegada, demostrà l eistència de triangles semblants, a partir d una eperiència realitzada per esbrinar l altura de la piràmide de Keops (Egipte). Per aquest fet històric, diem que quan dos triangles són semblants es poden col locar en posició de Tales i, recíprocament, dos triangles en posició de Tales són semblants. Tales havia nascut a Milet, ciutat grega de l Àsia Menor, l any 65 a; en aquell temps la ciutat era un centre important que es distingia per l agricultura, el comerç i la indústria. ctualment Milet és una petita ciutat de Turquia; de la seva antiga esplendor només en queden traces en les ruïnes, en les quals es descobreien restes d imponents construccions. La raó de semblança i les fotocòpies Si dibuies una figura geomètrica qualsevol i en fas una fotocòpia reduïda o ampliada, obtindràs dues figures semblants. El tant per cent de reducció o d ampliació és la raó de semblança de les dues figures. Per eemple, si fas una fotocòpia reduïda el 75 %, la raó de semblança entre la figura fotocopiada i la figura original és: k = = iò vol dir que les longituds de la figura de la fotocòpia són vegades les longituds de la figura 4 dibuiada, o el que és el matei, les longituds de la 4 figura original són vegades les longituds de la figura fotocopiada. En canvi, si en fas una fotocòpia ampliada el 150 %, la raó de semblança entre les 150 dues figures és: k = =

20 om ho veus? 1. Quina és la longitud l del segment de la figura? 7. Donada la figura: 4 cm 6 cm r P l 4, cm. Dibuia un segment PQ que mesuri 10 cm i dividei-lo en vuit parts iguals. ssenyala en el segment el punt M de manera que PM = PQ. 4 omprova-ho gràficament Representa en la recta numèrica: 0,6; ; i, Identifica les fraccions representades pels punts, B i en la recta numèrica. 0 1 B 5 5. El costat d un triangle equilàter és vegades 4 el costat d un altre triangle equilàter. Troba el perímetre del segon triangle, si el del primer mesura 7,5 cm. 6. alcula la longitud del costat del triangle B de la figura: s cm 9 cm a) Justifica la semblança dels dos triangles. b) alcula n la raó de semblança. c) Quina és la raó de les seves àrees? 8. La Marta té una alçada de 160 cm, mentre que la seva amiga Laura mesura 10 cm més. En un determinat moment, la Marta projecta una ombra de 1,8 m. Determina quants centímetres més mesurarà l ombra de la Laura en el matei instant. 9. Els costats d un triangle mesuren 8 cm, 1 cm i 10 cm. El costat més gran d un altre triangle, semblant al primer, mesura 18 cm. alcula la raó de semblança dels dos triangles i el perímetre de cadascun d ells. 10. Un mapa s ha dibuiat a escala E = 1 : a)troba la distància real en quilòmetres entre dues ciutats que en el mapa estan a una distància de 1 cm. b) alcula en metres quadrats la mesura real d una superfície que en el mapa té una àrea de 50 cm. 4 cm 1 cm B 7 cm 11. Les dimensions en el plànol del menjador d una casa, que té forma rectangular, són 7 cm i 6 cm. Si l escala a què està dibuiat el plànol és E = 1 : 150, calcula la superfície real del menjador. 99

21 arrega bateries 1. B i D són dos segments que verifiquen B = Si el segment D mesura 1 cm, D 5 quant mesura el segment B?. Dibuia un segment B de 5 cm de longitud i dividei-lo en sis parts iguals. ssenyala en el M segment el punt M tal que = B 7. Els perímetres de dos polígons semblants mesuren 1 cm i 16 cm. Si l àrea del més gran és cm, calcula l àrea de l altre polígon. 8. Els dos triangles rectangles de la figura són semblants. Per quin motiu? Troba n la raó de semblança, calcula n les àrees i comprova que la raó entre aquestes és el quadrat de la raó de semblança. omprova-ho gràficament mesurant el costat.. Quin nombre natural representa la lletra Q, sabent que PQ = PR? 1 85 P Q R cm 1 cm 4. Hem dividit un segment PQ en tres parts iguals. Escriu la raó que hi ha entre els parells de segments: PM i PQ, MQ i MN, PN i PQ, PM i PN. P M N Q 5. El costat desigual d un triangle isòsceles mesura 6 cm i cadascun dels costats iguals, 9 cm. Si el perímetre d un altre triangle semblant mesura 6 cm, esbrina la raó de semblança dels dos triangles i les longituds dels costats del segon triangle. 6. Determina els valors de i y de la figura: 5 cm 4 cm cm cm y cm 9. Un camp rectangular té 80 m de llargària i la seva àrea és de 00 m. alcula la llargària, en metres, d un altre camp que té la meitat de l àrea i la meitat de l amplària que el primer. 10. La distància entre els punts que situen dos pobles en un mapa a escala E = 1: és de 15, cm. alcula en quilòmetres la distància en línia recta entre els dos pobles. 11. Si la distància entre dues ciutats és de 10 km, troba la distància entre els punts que les situen en un mapa dibuiat a escala E = 1 : Un terreny de forma quadrada ocupa una superfície de m. El representem en un plànol a escala E = 1 : 400. a) alcula l àrea en centímetres quadrats del quadrat en el plànol. b) Determina de dues maneres diferents la longitud del costat del quadrat en el plànol. 100

22 tota màquina! 1. Dibuia un segment qualsevol B. continuació dibuia, si és possible, un altre segment 7 que verifiqui = B. 4. Respon raonadament les qüestions següents: a)per què dos polígons regulars amb el matei nombre de costats són semblants? b) Deduei els criteris de semblança per a dos triangles rectangles. al que tinguis en compte que, pel fet de ser rectangles, ja tenen un angle igual. c) Dos cercles qualssevol, són semblants?. La longitud d una circumferència és L = 18 π m. alcula l àrea del cercle limitat per una circumferència de longitud L = L. Determina la raó de semblança entre els radis de les dues circumferències i la raó de les àrees dels cercles. 4. alcula la longitud dels costats, y i z de la figura: 6. El costat desigual d un triangle isòsceles mesura 6 cm, i el perímetre d un altre triangle semblant és cm. Sabent que els dos costats iguals del segon triangle mesuren 1 cm cadascun, troba la longitud dels dos costats iguals del primer triangle. 7. Les diagonals d un rombe mesuren 6 cm i 4 cm, i la diagonal gran d un altre rombe semblant mesura 9 cm. alcula l àrea de cada un dels rombes i determina la raó de les àrees de dues maneres diferents. 8. El triangle BD és rectangle. Els triangles B, D i BD són semblants? Per què? alcula la longitud dels segments, y, z i t. 6 cm t y B D 11,7 cm 9. mb l ajuda d un mapa i mitjançant la triangulació, calcula de manera aproimada quina és la superfície en quilòmetres quadrats de l illa de Mallorca. z y z cm cm 4 cm 7 cm 8 cm 10. El perímetre i l àrea d un triangle són 1 cm i 6 cm, respectivament. alcula el perímetre i l àrea del triangle que resultarà de fer una fotocòpia reduïda al 80 % del primer triangle. Determina la raó dels perímetres i la raó de les àrees L àrea d un polígon és vegades l àrea d un 6 altre polígon semblant. alcula el perímetre del segon polígon sabent que el perímetre del primer mesura, cm. 11. Fem una fotocòpia ampliada el 15 % d un plànol dibuiat a escala E = 1 : 50. Determina l escala del plànol de la fotocòpia i calcula la distància real entre dos punts que en el plànol de la fotocòpia estan a una distància de,5 cm. 101