( ) ( ) DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA Examen Final (sólo 2ª parte) de Análisis Matemático 21-Mayo-2015 GRADOS ECO y ENI NOMBRE: D.N.I.

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1 DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA Emen Finl (sólo ª prte) de Análisis Mtemático -Mo-05 GRADOS ECO ENI NOMBRE: DNI TURNO: TEST 45 PUNTOS (Cd pregunt contestd correctmente sum 05 puntos, contestd errónemente rest 0 puntos) L ecución del plno tngente l supericie dd por (, ) = cos( + ), en el punto (, ) es: ) + z+ 6= 0 b) + 4z+ = 0 c) + z+ 4= 0 L ecución de l rect tngente l curv = (), deinid implícitmente por l ecución ( ) ( ) F(, ) = 0, en el punto (, ) es: ) + 6 = 0 b) + = ( ) + p L unción (, ) = grdo : ) Sólo si p = 0 b) Pr culquier vlor de p 4 Dd (, ) 00 ( ) 4 es homogéne de = + se veriic: ) Su dominio de deinición son todos los puntos del plno R b) L curv de nivel c = 6 es l circunerenci con centro en el origen rdio 8 5 L derivd direccionl de (, ) = e, en el punto (, 4), en l dirección del vector v = (, ) vle: ) 6 b) 6 L pendiente de l curv de nivel que ps por el punto (, ), del cmpo (, ) = ln ( + ) + 8, vle: ) 5/ b) c) 5 El módulo del vector grdiente de l unción (, ) = 5 +, en el punto (, ), vle: ) / 8 b) 0 8 L dirección de máimo crecimiento del cmpo (, ) = cos( ), en el punto (, ), puede venir dd por el vector: ) (, ) b) (4, ) c) (, 0) 9 El vlor de que veriic que 5 d = es: ) = b) = c) Ningun de ls nteriores, el vlor de debe ser: PROBLEMAS 5,5 PUNTOS P (,5 puntos) Dd l unción (, ) = e, se pide: ) (0,5 puntos) Dibuj l curv de nivel b) (,5 punto) Su polinomio de Tlor de grdo en el punto (, ) c) (0,5 puntos) Desrroll l epresión nterior hst su orm polinómic P ( puntos) Hll clsiic los puntos estcionrios de l unción (, ) = P (,5 puntos) Clcul el áre delimitd por l prábol de ecución = l rect = + 4

2 SOLUCIONES TEST L ecución del plno tngente l supericie dd por (, ) = cos( + ), en el punto (, ) es: ) + z+ 6= 0 b) + 4z+ = 0 c) + z+ 4= 0 (, ) sin ( = + ) (, ) = sin 0 = ( ) (, ) sin ( = + ) + (, ) = sin 0 + = ( ) Como (, ) = cos 0 = 4, se tiene que l ecución del plno tngente es: ( ) z 4= ( ) + ( + ) + z+ 4= 0 L respuest es c) L ecución de l rect tngente l curv = (), deinid implícitmente por l ecución ( ) ( ) F(, ) = 0, en el punto (, ) es: ) + 6 = 0 b) + = ( ) Prciles: F (, ) = ( ) + ; F (, ) = ( + 4 ) + L pendiente de l rect tngente viene dd por d F ( ) + 4 = = (en (, )) = = d F ( + 4) + + Por tnto, l rect tngente es + = ( ) + 6 = 0 L respuest es ) 4 + p L unción (, ) = es homogéne de grdo : ) Sólo si p = 0 b) Pr culquier vlor de p Pr que se homogéne de grdo debe cumplir que ( t, t) = t (, ) ( ) 4 t pt t t t + p 4 + t + p + ( t, t) = = = ; t (, ) = t t t t t ( ) p Ambs epresiones son igules sólo cundo p = 0 L respuest es )

3 4 Dd (, ) 00 ( ) = + se veriic: ) Su dominio de deinición son todos los puntos del plno R b) L curv de nivel c = 6 es l circunerenci con centro en el origen rdio 8 L unción está deinid cundo + 00: conjunto de los puntos del plno interiores o de ronter del círculo con centro en (0, 0) rdio 0 L curv de nivel 6 es (, ) = 00 ( + ) = 6 00 ( + ) = 6 + = 64, que es l circunerenci con centro en el origen rdio 8 L respuest es b) 5 L derivd direccionl de (, ) = e, en el punto (, 4), en l dirección del vector v = (, ) vle: ) 6 b) 0 0 = e + e = e + e (, 4) 4 = e + e = 9 = e 0 (, 4) = e = v Un vector unitrio en el sentido de v = (, ) es =, v Luego, ((, 4), v) = 9 + = L respuest es b) 6 L pendiente de l curv de nivel que ps por el punto (, ), del cmpo (, ) = ln ( + ) + 8, vle: ) 5/ b) c) 5 El punto (, ) está en l curv de nivel 0, pues: (, ) = ln ( + ) + ( ) 8 = 0 Prciles: (, ) = + (, ) = = 5 ; + (, ) = (, ) = 4 = + Si l ecución de l curv de nivel uese = g ( ), l pendiente de es curv de nivel en el punto (, d (, ) 5 5 ) será: = = = d (, ) L respuest es )

4 El módulo del vector grdiente de l unción (, ) = 5 +, en el punto (, ), vle: ) / 8 b) ( ) (, ) = 5 + (, ) = Luego: ( ) ( 5 + ) 4 (, ) =, 8 8 L respuest es ) (, ) = ( ) ( ) 4 (, ) = = 8 ( 5+ + ) 4 (, ) = + = L dirección de máimo crecimiento del cmpo (, ) cos( ) =, en el punto (, ), puede venir dd por el vector: ) (, ) b) (4, ) c) (, 0) (, ) = cos( ) sin ( ) ; (, ) = sin ( ) ; (, ) = 4cos 0 4sin 0 = 4; (, ) = 4sin 0 = 0 ; (, ) = 4 ; (, ) = 0 (, ) = (4, 0) L dirección de máimo crecimiento es l del grdiente Es dirección puede venir dd por el vector (4, 0); tmbién por el vector (, 0) L respuest es c) 9 El vlor de que veriic que 5 d = es: ) = b) = c) Ningun de ls nteriores, el vlor de debe ser: d = = + L respuest es c) = 5 + = = =

5 PROBLEMAS P (,5 puntos) Dd l unción (, ) = e, se pide: ) (0,5 puntos) Dibuj l curv de nivel b) (,5 punto) Su polinomio de Tlor de grdo en el punto (, ) c) (0,5 puntos) Desrroll l epresión nterior hst su orm polinómic ) L curv de nivel viene dd por: e = = 0 = Su gráic es l de l prábol djunt b) e =, e = e + 4e ; = = e ; = e = e (, ) = e + = Grdiente en (, ) (, ) (, ) = 6 Hessin en (, ) H (, ) = Por tnto: 6 P(, ) = + (, ) (, + ) + (, + ) + c) Desrrollo de l epresión nterior: P (, ) = + + ( 6 6, ) + P (, ) = + ( 6 8, + + ) + P(, ) = + ( ( ) ) P(, ) =

6 P ( puntos) Hll clsiic los puntos estcionrios de l unción (, ) = Condiciones de primer orden: = = 0 = ( ) = 0 = 0; = = 4 = 0 = 4 = 0 Si = 0 = 0; si = = ± Los puntos estcionrios son: (0, 0), (, ) (, ) Condiciones de segundo orden: = ; = H (, ) = = ; = 4 4 Luego: 0 En (0, 0) H (0,0) = [Deinid negtiv] H (0,0) > 0 (0, 0) = < (0, 0) es un máimo 0 4 En (, ) H (,) = [Indeinid] H (,) < 0 (, ) es PS En (, ) H (,) = [Indeinid] H (,) < 0 (, ) es PS 4 4 P (,5 puntos) Clcul el áre delimitd por l prábol de ecución = l rect = + 4 = L rect cort l prábol en ls soluciones del sistem: = + 4 = + 4 4= 0 = ; = El recinto limitdo por mbs gráics es el coloredo en l igur djunt Su áre viene dd por l integrl: ( 4 ) = S = + d 6 = = 9 u + 4 =

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