Tema 10 Análisis de datos categóricos Grados de utrición Humana y Dietética Ciencia y Tecnología de Alimentos

Transcripción

1 Tma 10 Análisis d datos catgóricos Grados d utrición Humana y Ditética Cincia y Tcnología d Alimntos Ángl Corbrán y Francisco Monts Dpartamnt d Estadística i I. O. Univrsitat d València

2 1. Tablas d contingncia : indpndncia y asociación Existn n la vida cotidiana strotipos qu son comúnmnt acptados sin habr sido comprobados o somtidos al mnor análisis. Por jmplo, la gnt admit sin discutir qu dtrminadas actituds stán ligadas al génro: son las mujrs las qu más consumn las llamadas rvistas dl corazón, son también las mujrs las qu conforman la mayor part d la audincia d los culbrons d la sobrmsa, son los hombrs los qu consumn n mayor mdida bbidas d alta graduación (n los años ssnta hizo furor un anuncio d coñac qu afirmaba qu s cosa d hombrs). En otras ocasions no son actituds, sino rasgos fnotípicos los qu s considran asociados: la gnt con cabllos claros sul tnr los ojos también claros. Considracions sociológicas apart, nustro intrés stá n conocr n qué mdida la Infrncia Estadística pud ayudarnos a contrastar afirmacions o crncias d sta índol. Dicho n l lnguaj qu nos s propio, s trata d construir un tst qu prmita contrastar la hipótsis stablcida, pusto qu toda afirmación d st tipo supon l stablciminto d una hipótsis. Rcurramos, como simpr, a un jmplo. Génro y rvistas dl corazón Una ditorial italiana, Cuor Editric, spcializada n la llamada prnsa dl, prtnd lanzar al mrcado spañol un nuvo producto. Por tratars d un mrcado muy saturado, la ditorial ha ncargado un ncusta para conocr los gustos d sus potncials lctors y podr así disñar una rvista con garantías d éxito. Uno d los objtivos d la ncusta s conocr si, como habitualmnt s afirma, st tipo d rvistas s más lída por las mujrs. Prsntación d los datos Sñalmos n primr lugar qu l análisis qu prtndmos hacr involucra dos variabls catgóricas: l sxo dl ncustado y la lctura d st tipo d rvistas. En ambos casos las catgorías son dos. La prsntación d los datos ha d sr tal qu prmita conocr, con una simpl ojada, l númro d rspustas habidas n cada una d las cuatro posibls combinacions rsultants d cruzar las dos catgorías d cada variabl. Lo qu dnominarmos tabla d contingncia 1 s la mjor solución: s trata simplmnt d una tabla d dobl ntrada n la qu sus filas y columnas acogn las catgorías d una y otra variabl, rspctivamnt, y n las qu sus cldas rprsntan la intrscción d dos catgorías, una por cada una d las variabls. Para l caso qu nos ocupa, l rsultado d la ncusta ha dado lugar a la siguint tabla d contingncia: Sí l o l TOTAL Hombr Mujr TOTAL Es costumbr dsignar las cldas mdiant dos subíndics, l primro hac rfrncia a la fila y l sgundo a la columna. Así, mdiant C 11 dsignamos la clda corrspondint al cruc d la primra fila con la primra columna, s dcir, aqulla qu rprsnta los hombrs qu sí ln las rvistas dl corazón, qu n la ncusta han rsultado sr 80. El rsto d las cldas son C 1 (con 50 obsrvacions), C 1 (con 131 obsrvacions) y C (con 59 obsrvacions). Hay una rlación qu s intrsant ponr d manifisto porqu nos srá d utilidad más tard. Supongamos qu lgimos al azar una d las 35 prsonas qu han sido ncustadas y considrmos los siguints sucsos: H={la prsona lgida s un hombr} M={la prsona lgida s una mujr} S={la prsona lgida sí l las rvistas} ={la prsona lgida no l las rvistas}. Los sucsos qu rprsntan las distintas cldas, pudn también rprsntars como intrscción d dos d stos sucsos: C 11 = H S C 1 = H N C 1 = M S C = M N 1 Contingnt s dic d aqullo qu pud o no sucdr. En st sntido, una tabla d contingncia s limita a dar f, mdiant la prsntación d los datos, d lo qu ha ocurrido. A. Corbrán & F. Monts Dpt. d Estadística i I. O. Análisis d datos catgóricos

3 Establciminto d las hipótsis Al afirmar qu las mujrs son las lctoras mayoritarias d stas rvistas, stamos admitindo simultánamnt qu los hombrs lo hacn n mnor mdida. Una forma d rfrirnos a st dobl hcho s afirmando qu la lctura d stas rvista stá asociada al, o dpnd dl sxo dl, lctor. Podmos ahora stablcr nustras hipótsis a partir d la ida d dpndncia o, su dual, indpndncia. Obsrvmos qu mintras la indpndncia s un concpto sncillo d xprsar n términos d probabilidad, la dpndncia, por sr suscptibl d prsntars n distintos grados d magnitud, s d difícil concrción. Si rcordamos admás qu la hipótsis nula db star plantada n términos tals qu prmita conocr lo qu habría ocurrido d sr cirta, stablcrmos las hipótsis d la siguint forma: frnt a H 0 : H A : lctura y sxo son indpndints lctura y sxo prsntan algún grado d asociación o dpndncia Obtnción dl stadístico El stadístico qu vamos a obtnr stará basado n la discrpancia ntr lo obsrvado n cada clda y lo sprado si la hipótsis nula fus cirta. Cómo obtnr la cantidad sprada d obsrvacions? Vámoslo. Rcordmos qu H 0 supon indpndncia ntr sxo y lctura. Es dcir, los sucsos H y M, qu dscribn l sxo d las prsonas, son indpndints d cualquira d los dos sucsos ligados a la lctura, S y N. En conscuncia las probabilidads d las intrsccions n las qu stén implicados stos sucsos s obtndrán mdiant l corrspondint producto, lo qu nos prmit scribir P(C 11 ) = P(H S) = P(H) P(S) P(C 1 ) = P(M S) = P(M) P(S) P(C 1 ) = P(H N) = P(H) P(N) P(C ) = P(M N) = P(M) P(N) Los valors d las probabilidads d los sucsos ligados al sxo y a la lctura son sncillos d calcular a partir d la información qu la tabla d contingncia nos proporciona. D las 35 prsonas ncustadas, 135 son hombrs y 190 son mujrs, y si atndmos a las catgorías dfinidas por la lctura d rvistas, 11 sí ln y 114 no ln. Las probabilidads qu d stos datos s drivan son: P(H) = P(M) = P(S) = P(N) = P(C 11) = P(C 1 ) = P(C 1) = P(C ) = Obsrvmos qu si H 0 fura cirta la variabl alatoria X qu dscrib l númro d obsrvacions la clda C ij sría una B(35,p ij ) y su spranza valdría, E(X) = 35 p ij. D acurdo con llo, si dsignamos por ij las obsrvacions spradas n la clda C ij, sus valors son: = 35 = = = 35 = = = 35 = = = 35 = = A. Corbrán & F. Monts Dpt. d Estadística i I. O. Análisis d datos catgóricos 3

4 La tabla siguint rcog los valors obsrvados como rsultado d la ncusta, los valors sprados y la difrncia ntr ambos, a la qu dnominarmos rsiduo. Es lógico qu cualquir tst qu quramos dsarrollar sté basado n los rsiduos y qu l rchazo d H 0 sté ligado a valors grands d los rsiduos. La prgunta s: d qué forma cuantificarlos conjuntamnt?. Dsd lugo la suma d todos llos no s una opción válida porqu, como al igual qu ocurría n la obtnción d la varianza (allí hablábamos d dsviacions rspcto d la mdia), dicha suma s simpr cro. Podmos rcurrir a un artificio smjant al qu allí mplamos: utilizar l cuadrado d los rsiduos. Sí l o l TOTAL Hombr o 11 = = r 11 = o 1 = 55 1 = r 1 = Mujr o 1 = = r 1 = 7.64 o = 59 = r = TOTAL Utilizar los cuadrados d los rsiduos nos prmit soslayar l problma d la suma nula. En fcto, la suma d los cuadrados d los rsiduos srá simpr no ngativa, pro, s convnint utilizarla? Pnsmos qu la importancia dl rsiduo stá dirctamnt rlacionada con l tamaño dl valor obsrvado, no s lo mismo un rsiduo d 50 unidads frnt a un valor obsrvado d 1000, qu frnt a un valor obsrvado d 100. S impon por tanto rlativizar l cuadrado obtnido frnt al valor sprado. La suma d stas cantidads rlativas srá un valor adcuado para dcidir a partir d él. D la tabla antrior obtndrmos la tabla siguint n la qu aparc nmarcada y ngrita la suma d los rsiduos rlativizados. Hombr Mujr Sí l r = r = r = r 1 1 = o l r = r 1 1 = 13. r = r = χ = 3.5 Nos quda por último dilucidar si l valor d la suma s lo suficintmnt grand como para rchazar H 0 o, por l contrario, procd d unos rsiduos qu stán dntro d unos márgns acptabls dado l caráctr alatorio dl procso. Esta suma s una variabl alatoria, como s dduc dl procso qu la ha originado, a la qu dnominarmos stadístico χ (chi cuadrado) porqu s dmustra qu su distribución d probabilidad s corrspond aproximadamnt con la d una variabl alatoria conocida como χ 1 (chi cuadrado con 1 grado d librtad). Est rsultado nos prmit llvar a cabo l contrast d hipótsis siguindo l procdiminto dscrito n l tma antrior. Es dcir, para contrastar H 0 a un nivl d significación α compararmos l valor d nustro stadístico con aqul valor d la variabl χ 1 qu dja a su drcha una probabilidad α. Dcisión Si l nivl d significación s l habitual, α= 0.05, al buscar n las tablas d la χ con 1 grado d librtad l P-valor asociado al stadístico nos ncontramos con qu 0.10 P-valor A. Corbrán & F. Monts Dpt. d Estadística i I. O. Análisis d datos catgóricos 4

5 lo qu no nos da vidncia suficint para rchazar H 0. La ditora dbría prparar su publicación tnindo n cunta qu s lrá con indpndncia dl sxo dl potncial lctor. La variabl alatoria χ Ya hmos dicho qu l stadístico qu s obtin a partir d una apropiada transformación d los rsiduos s, muy aproximadamnt, una variabl alatoria χ. Al igual qu ocurría con la t d Studnt, los valors d la χ dpndn dl númro d grados d librtad, razón por la cual s la rprsnta añadindo un subíndic qu indica los grados d librtad, χ gl. Para qu obsrvmos l distinto comportaminto d la variabl sgún los grados d librtad, n la figura siguint hmos rprsntado las gráficas corrspondints a varias chi cuadrado con difrnts grados d librtad. Las tablas d la χ s ncuntran al final dl tma.,6 GL=1,4 GL= GL=3, GL=4 GL=5 GL=10 0, Un comntario acrca d los grados d librtad y su obtnción El númro d grados d librtad hac rfrncia al total d valors qu podmos fijar n la tabla para qu ésta qud totalmnt dtrminada. Qué significa y cómo s dtrminan? Volvamos sobr la tabla original qu rsum l rsultado d la ncusta. En lla, como n todas las tablas d contingncia obtnidas d manra similar, s supon qu los valors marginals son fijos, lo qu significa qu tanto l númro d hombrs y mujrs como l d los qu sí ln y no ln qu aparcn n los márgns drcho infrior d la tabla, rspctivamnt, son cantidads fijas producto d la obsrvación llvada a cabo. Sindo así, si altramos l valor d una cualquira d las cuatro cldas, los otros trs qudan automáticamnt fijados. En fcto, si n nustra tabla inicial fijamos un nuvo valor para la clda C 11 d, por jmplo, 100 tndrmos qu C 1 = = 35 pusto qu l númro total d hombrs ha d sr fijo igual a 135, C 1 = = 111 pusto qu l númro total d los qu sí ln ha d sr fijo igual a 11, C = = 79 pusto qu l númro total d mujrs ha d sr fijo igual a 190. Podmos ya, dspués d habr dsarrollado con dtall l jmplo qu nos ha srvido para introducir l contrast, rsumir l procdiminto a sguir para contrastar la asociación o indpndncia ntr las catgorías d dos variabls dicotómicas: RESUME : Tablas d Contingncia A. Corbrán & F. Monts Dpt. d Estadística i I. O. Análisis d datos catgóricos 5

6 1. Tnmos una mustra alatoria d tamaño n n la qu obsrvamos dos variabls dicotómicas A y B cuyas catgorías dsignamos por A 1 y A y B 1 y B, rspctivamnt. Cada obsrvación prtnc, ncsariamnt, a una d las cuatro catgorías gnradas por las intrsccions d las antriors: C 11 = A 1 B 1 C 1 = A 1 B C 1 = A B 1 C = A B El rsultado d clasificar las obsrvacions s prsnta n una tabla d contingncia: B 1 B total filas A 1 o 11 o 1 n 1 = o 11 +o 1 A o 1 o n = o 1 +o total columnas n 1 = o 11 +o 1 n = o 1 +o n. Las hipótsis qu s stablcn son: H 0 : las variabls A y B son indpndints H A : las variabls A y B prsntan algún grado d dpndncia o asociación 3. Elgimos l nivl d significación α (habitualmnt 0.05) 4. La obtnción dl stadístico χ s llva a cabo mdiant la fórmula (o χ = ) 1 ) 1 1 ) 1 ) 11 (o + 1 (o + 1 (o + dond ij, númro d obsrvacions spradas n la clda C ij, s obtin a partir d: ij total fila i total col j n i n j = = n n 5. Comparamos l P-valor asociado a χ, obtnido a partir d las tablas d la χ 1, con l nivl d significación α, y dcidimos lo qu corrsponda d acurdo con la rgla d dcisión: si P-valor > α acptamos H 0 si P-valor α rchazamos H 0, Tablas d contingncia k r: indpndncia y asociación Pud ocurrir qu las dos variabls catgóricas, cuya posibl indpndncia o asociación qurmos contrastar, tngan más d dos catgorías. El procdiminto antrior s xtind d manra inmdiata a sta nuva situación. Supongamos qu una d las variabls, A, prsnta k catgorías, A 1, A,, A k y la otra variabl, B, prsnta r catgorías, B 1, B,, B r. La tabla d contingncia rsultant d clasificar las n obsrvacions d una mustra contndrá k r cldas, C 11, C 1,, C kr, tal como s mustra a continuación: B 1 B B j B r total fila A 1 o 11 o 1 o 1r n 1 A o 1 o o r n A i o ij n i A k o k1 o k o kr n k total columna n 1 n n j n r n El procdiminto d contrast s smjant al antrior, con los cambios lógicos qu impon la nuva dimnsión. Entr los más cambios importants stá la distribución dl stadístico, qu s ahora la d una variabl chi cuadrado con (k-1) (r-1) grados d librtad, χ ( ( siguint cuadro rsum l procdiminto. k 1) r 1) por las razons ants xpustas. El A. Corbrán & F. Monts Dpt. d Estadística i I. O. Análisis d datos catgóricos 6

7 RESUME : Tablas d Contingncia k r 1. Tnmos una mustra alatoria d tamaño n n la qu obsrvamos dos variabls catgóricas A y B con k y r catgorías, rspctivamnt: A 1, A,, A k y B 1, B,, B r. Cada obsrvación prtnc, ncsariamnt, a una d las k r catgorías gnradas por las intrsccions d las antriors: C 11 = A 1 B 1 C kr = A k B r El rsultado d clasificar las obsrvacions s prsnta n una tabla d contingncia: B 1 B B j B r total fila A 1 o 11 o 1 o 1r n 1 A o 1 o o r n A i o ij n i A k o k1 o k o kr n k total columna n 1 n n j n r n. Las hipótsis qu s stablcn son: H 0 : las variabls A y B son indpndints H A : las variabls A y B prsntan algún grado d dpndncia o asociación 3. Elgimos l nivl d significación α (habitualmnt 0.05) 4. La obtnción dl stadístico χ s llva a cabo mdiant la fórmula χ = i, j (o ) dond ij, númro d obsrvacions spradas n la clda C ij, s obtin a partir d: ij total fila i total col j n i n j = = n n 5. Comparamos l P-valor asociado a χ, obtnido a partir d las tablas d la χ ( ( ij ij ij, k 1) r 1) l nivl d significación α, y dcidimos lo qu corrsponda d acurdo con la rgla d dcisión: si P-valor > α acptamos H 0 si P-valor α rchazamos H 0 Ejmplo: ordn d naciminto y dlincuncia En rptidas ocasions s ha plantado la hipótsis d si l ordn d naciminto dntro d una familia stá rlacionado con la dlincuncia juvnil. Con l objtivo d contrastar sta hipótsis s abordó un studio a gran scala utilizando la población d los Institutos d Bachillrato, a una mustra d la cual, compusta por 1154 studiants, s l pasó un custionario disñado para mdir l grado d comportaminto dlictivo xhibido. La valoración y tabulación postrior prmitía clasificar a los studiants como potncialmnt dlincunts o no. El custionario prguntaba también l ordn qu ocupaban dntro d la familia: l mayor, intrmdio, l mnor o hijo único. Los rsultados obtnidos aparcn n la siguint tabla d contingncia 4: Ordn d naciminto Mayor Intrmdio Mnor Único Total fila Dlincunt Si potncial o Total columna Las hipótsis a plantar son: H 0 : ordn d naciminto y dlincuncia son indpndints,, y A. Corbrán & F. Monts Dpt. d Estadística i I. O. Análisis d datos catgóricos 7

8 H A : ordn d naciminto y dlincuncia prsntan algún grado d dpndncia. La tabla siguint mustra n cada clda los valors obsrvados, los sprados (n cursiva) y los rsiduos rlativizados (ngrita) y n l xtrmo infrior drcho l valor dl stadístico. Dlincunt potncial Ordn d naciminto Mayor Intrmdio Mnor Unico Si o χ = 4.4 Si l nivl d significación s l habitual, α= 0.05, al buscar l P-valor asociado al stadístico, qu ahora s distribuy como una χ, nos ncontramos con qu P-valor y sindo l P-valor mucho mnor qu 0.05, rchazarmos la hipótsis nula. Así pus habrmos d concluir qu la dlincuncia y l ordn dl naciminto prsntan algún grado d dpndncia o asociación. Si qurmos prcisar más sta afirmación, sñalando ntr qué catgorías s produc la asociación, obsrvmos n la tabla antrior qu los casos d dlincuncia potncial obsrvada ntr los hijos únicos stá muy por ncima d lo qu cabría sprar (l rsiduo val 14.1 = 3-8.9) sindo su aport al stadístico l mayor d todos (.08). Algo smjant ocurr, aunqu n mnor scala, para los hijos mnors. Por contra, los hijos mayors dlincunts potncials son mnos d los qu cabría sprar, rsiduo = -1.6 y un aport al stadístico d 10.3, l sgundo n importancia. En rsumn, pud dcirs qu la dlincuncia potncial aparc positivamnt ligada a los hijos únicos y a los mnors, sindo sta asociación n sntido ngativo para los hijos mayors d las familias. 3 Comparación d proporcions: tst d homognidad Los contrasts qu hmos dsarrollados s conocn gnéricamnt con l nombr d tst d la χ, obviamnt porqu l stadístico asociado s distribuy como una chi cuadrado cuyos grados d librtad dpndn d las caractrísticas dl problma analizado, n concrto d númro d catgorías d los dos factors cuya asociación qurmos studiar. Exist otro tipo d tst, conocido como tst d homognidad, qu s rsulv también mdiant un tst d la χ pro cuyo orign s muy distinto. Lo dsarrollarmos también a través d un jmplo. Consumo d alcohol por sxos En un studio sobr drogodpndncias s han obtnido sndas mustras d hombrs y mujrs d nivls socio-conómicos similars a los qu s ls ha prguntado por l consumo diario d alcohol (mdidos n l quivalnt a vasos d vino). El rsultado d las rspustas s rcog n la siguint tabla d contingncia: Consumo diario d alcohol n vasos o más Total fila Sxo Hombr Mujr Total columna Establciminto d las hipótsis El studio prtnd stablcr si l consumo s homogéno ntr ambos sxos, s dcir, si las proporcions d hombrs y mujrs qu consumn un dtrminado númro d vasos diarios d vino son las mismas. En nustro lnguaj: A. Corbrán & F. Monts Dpt. d Estadística i I. O. Análisis d datos catgóricos 8

9 H 0 : p H0 = p M0, p H1 = p M1,, p H5 = p M5 H A : p H0 p M0 y/o p H1 p M1 y/o y/o p H5 p M5, dond, p Hi y p Mi rprsntan la proporción d hombrs y mujrs qu consumn l quivalnt a i vasos diarios d vino. Obsrvmos qu no s trata aquí d stablcr si las proporcions obsrvadas sigun una distribución prviamnt stablcida, lo qu s prtnd s contrastar si una variabl catgórica tin la misma distribución n dos poblacions distintas, ntndindo por igual distribución qu las proporcions d cada una d sus catgorías san iguals n ambas poblacions. Nada s conjtura por tanto acrca d cuál srá l vrdadro valor d stas proporcions. Obtnción y distribución dl stadístico Como sgún H 0 la proporción para cada catgoría s la misma n hombrs y mujrs, una stimación d la misma pud obtnrs a partir dl númro total d obsrvacions n dicha catgoría. Es dcir, sumando las obsrvadas n los hombrs y las obsrvadas n las mujrs, rsultado qu aparc n la marginal infrior d la tabla. Tndrmos pus, = = = = = = π$, π$, π$, π$, π$, π$ Sñalmos qu las antriors proporcions hubiran podido también stimars a partir d la mustra d los hombrs o d la mustra d las mujrs, sparadamnt, pusto qu sindo cirta H 0 staríamos stimando la misma proporción por caminos difrnts. Si hmos prfrido hacrlo utilizando la suma d ambas mustras conjuntamnt, s porqu, al sr mayor l númro d obsrvacions disponibls, la calidad d la stimación así obtnida srá mjor. Conocr ahora l númro d obsrvacions spradas n cada catgoría para cada una d las mustras s muy sncillo, bastará con multiplicar los antriors valors por l total d hombrs y mujrs, rspctivamnt. El stadístico χ s obtin d forma idéntica a como lo hicimos para las tablas d contingncia y su distribución srá muy aproximadamnt la d una variabl chi cuadrado con 5 = (-1) (6-1) grados d librtad. La tabla siguint mustra n cada clda los valors obsrvados, los sprados (n cursiva) y los rsiduos al cuadrado rlativizados (ngrita) y n l xtrmo infrior drcho l valor dl stadístico Sxo Hombr Mujr Consumo diario d alcohol n vasos o más χ = 4.10 Dcisión Si l nivl d significación s l habitual, α= 0.05, al buscar n las tablas d la χ con 5 grados d librtad l P-valor asociado al stadístico nos ncontramos con qu P-valor lo qu nos da vidncia suficint para rchazar H 0 y admitir qu l consumo s distinto n ambos sxos. Obsrvmos qu n l caso d las mujrs las catgorías d poco consumo prsntan valors sprados por dbajo d los obsrvados, no así para las catgorías d lvado consumo, y qu st comportaminto s justo l contrario n l caso d los hombrs. Así, dducimos qu l consumo d alcohol n éstos s mayor qu n aqullas. El procdiminto sguido s idéntico al mplado n las tablas d contingncia aún cuando l problma tin un orign distinto. Como hmos vnido hacindo, l cuadro siguint rsum l procdiminto. RESUME : Tst d Homognidad 1. Tnmos k mustras alatorias d tamaños n 1, n,, n k, xtraídas d otras tantas poblacions, n las qu obsrvamos una misma variabl dicotómica B con r catgorías, A. Corbrán & F. Monts Dpt. d Estadística i I. O. Análisis d datos catgóricos 9

10 rspctivamnt: B 1, B,, B r. El rsultado d clasificar las obsrvacions s prsnta n una tabla d contingncia: B 1 B B j B r total fila mustra 1 o 11 o 1 o 1r n 1 mustra o 1 o o r n mustra i o ij n i mustra k o k1 o k o kr n k total columna n 1 n n j n r n. Las hipótsis qu s stablcn son: H 0 : l comportaminto d B s homogéno n todas las poblacions H A : l comportaminto d B no s homogéno n todas las poblacions, ntndindo por homogéno qu B j, j=1,,,r s prsnta n la misma proporción n todas las poblacions 3. Elgimos l nivl d significación α (habitualmnt 0.05) 4. La obtnción dl stadístico χ s llva a cabo mdiant la fórmula χ = i, j (o ) dond ij, númro d obsrvacions spradas n la clda C ij, s obtin a partir d: total poblacion i total col j n i n j ij = = n n 5. Comparamos l P-valor asociado a χ, obtnido a partir d las tablas d la χ ( ( ij ij ij, k 1) r 1) l nivl d significación α, y dcidimos lo qu corrsponda d acurdo con la rgla d dcisión: si P-valor > α acptamos H 0 si P-valor α rchazamos H 0, y 4 Difrncias ntr los distintos tst d la χ Ya hmos dicho qu los tsts dsarrollados n st tma s agrupan bajo l nombr gnérico d tst d la χ. Aunqu ambos compartn l mismo stadístico y l mismo procdiminto, los problmas qu los originan son muy distintos. Un rasgo qu prmit distinguirlos s l númro d mustras y d variabls catgóricas implicadas n cada uno d stos tst. El cuadro qu sigu rsum sta información y ayuda a rconocrlos mjor: tst d indpndncia (tablas d contingncia) tst d homognidad (comparación d proporcions) 1 mustra o más mustras variabls 1 variabl 5 Condicions d aplicación dl tst d la χ Rcordmos qu al obtnr l stadístico n los tst qu acabamos d prsntar hmos scrito qu s distribuy aproximadamnt como una χ con los grados d librtad qu l corrspondan. La fiabilidad dl tst srá tanto mayor cuanto más próximo sté l stadístico a dicha distribución tórica. Para llo dbn satisfacrs unas mínimas condicions: 1. La mustra db sr suficintmnt grand. A. Corbrán & F. Monts Dpt. d Estadística i I. O. Análisis d datos catgóricos 10

11 . Al mnos un 80% d las cldas dbn tnr frcuncias spradas mayors o iguals a Ninguna clda db tnr frcuncia sprada 0. A. Corbrán & F. Monts Dpt. d Estadística i I. O. Análisis d datos catgóricos 11

12 Tabla d cuantils d la distribución Chi-cuadrado (χ ) Probabilidad n la cola drcha gl 0,0 0,10 0,05 0,0 0,01 0,001 0, ,64,71 3,84 5,41 6,63 10,83 15,14 3, 4,61 5,99 7,8 9,1 13,8 18,4 3 4,64 6,5 7,81 9,84 11,34 16,7 1,11 4 5,99 7,78 9,49 11,67 13,8 18,47 3,51 5 7,9 9,4 11,07 13,39 15,09 0,51 5,74 6 8,56 10,64 1,59 15,03 16,81,46 7,86 7 9,80 1,0 14,07 16,6 18,48 4,3 9, ,03 13,36 15,51 18,17 0,09 6,1 31,83 9 1,4 14,68 16,9 19,68 1,67 7,88 33, ,44 15,99 18,31 1,16 3,1 9,59 35, ,63 17,8 19,68,6 4,7 31,6 37, ,81 18,55 1,03 4,05 6, 3,91 39, ,98 19,81,36 5,47 7,69 34,53 40, ,15 1,06 3,68 6,87 9,14 36,1 4, ,31,31 5,00 8,6 30,58 37,70 44,6 16 0,47 3,54 6,30 9,63 3,00 39,5 45,9 17 1,61 4,77 7,59 31,00 33,41 40,79 47,57 18,76 5,99 8,87 3,35 34,81 4,31 49, ,90 7,0 30,14 33,69 36,19 43,8 50,80 0 5,04 8,41 31,41 35,0 37,57 45,31 5,39 1 6,17 9,6 3,67 36,34 38,93 46,80 53,96 7,30 30,81 33,9 37,66 40,9 48,7 55,5 3 8,43 3,01 35,17 38,97 41,64 49,73 57,08 4 9,55 33,0 36,4 40,7 4,98 51,18 58, ,68 34,38 37,65 41,57 44,31 5,6 60, ,79 35,56 38,89 4,86 45,64 54,05 61,66 7 3,91 36,74 40,11 44,14 46,96 55,48 63, ,03 37,9 41,34 45,4 48,8 56,89 64, ,14 39,09 4,56 46,69 49,59 58,30 66, ,5 40,6 43,77 47,96 50,89 59,70 67,63 A. Corbrán & F. Monts Dpt. d Estadística i I. O. Análisis d datos catgóricos 1