TEMA 4 VECTORES VECTORES TEMA 4. 1.º BACHILLERATO - CIENCIAS VECTOR FIJO. VECTOR LIBRE. SUMA DE VECTORES LIBRES
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- Domingo Castro Blanco
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1 TEMA 4 VECTORES VECTOR FIJO. VECTOR LIBRE. Un ector fijo en IR 2 está determinado por dos puntos A y B, llamados respectiamente, origen y extremo del ector. Su representación gráfica es una flecha que a desde A hacia B y su notación es: AB. El ector nulo tiene su origen y su extremo en el mismo punto Los elementos que definen un ector son tres: Módulo: Longitud del segmento AB. Y se escribe: AB Dirección: Es la recta que pasa por los puntos A y B y todas sus paralelas. Sentido: es el indicado por la flecha. Cada dirección tiene dos sentidos. Dos ectores son equipolentes si tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo. Dado un ector fijo AB, el conjunto formado por todos los ectores equipolentes a él se llama ector libre del plano. Un ector libre se suele denotar con una letra minúscula: u,,... Un ector libre puede desplazarse por todo el plano, sin ariar su módulo, su dirección ni su sentido. SUMA DE VECTORES LIBRES Para sumar dos ectores libres u y tenemos dos métodos: Forma 1. Se toman dos representantes de u y con el mismo origen: AB y AC. Se construye un paralelogramo ABCD. La suma u + es el ector libre que tiene como uno de sus representantes al ector fijo con el mismo origen que u y y cuyo extremo es el értice D, del paralelogramo anterior. Unidad 4 Vectores Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 1
2 Forma 2. Se toman dos representantes de u y de forma que el extremo del primero sea el origen del segundo: AB y BC. La suma u + es el ector libre AC, una ez representados los anteriores. PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR LIBRE El producto de un número real k 0 por un ector u (no nulo) es otro ector k u cumpliendo: Tiene igual dirección que el ector u. Tiene el mismo sentido que el ector u si k es positio. Tiene sentido contrario del ector u si k es negatio. Su módulo es: k u Si el ector u es nulo, el resultado uele a ser el ector nulo. PLANO VECTORIAL V 2 El conjunto de todos los ectores del plano, con las operaciones de suma y producto por un número real, se llama plano ectorial y se denota: V 2. Realiza la suma AB + CD. Realiza 2 EF Unidad 4 Vectores Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 2
3 COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Una combinación lineal de dos ectores libres no nulos, u y, es cualquier expresión algebraica de la forma α u + β, donde α y β son dos números reales. α u + β Dos o más ectores libre son linealmente dependientes si uno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los otros. En caso contrario son linealmente independientes. En el plano ectorial V 2 tenemos que: Dos ectores libres no nulos de distinta dirección son siempre linealmente independientes. Tres o más ectores siempre son linealmente dependientes. Escribe los ectores a, b y c en función de x e y Solución Unidad 4 Vectores Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 3
4 BASE DE V 2 Dos ectores libres no nulos de distinta dirección, u y forman base B = u, en el plano ectorial V 2. B = u, Sabemos que tres ectores son siempre linealmente dependientes. Si tenemos dos ectores libres no nulos de distinta dirección en el plano ectorial V 2, u y, cualquier otro ector w se puede expresar como combinación lineal de ellos: w=α u + β, donde α y Dos ectores u y siempre forman una base si no están en la misma dirección. β son dos números reales. Dada una base B = u, de V 2, se llaman coordenadas del ector w al par ordenado de números reales (α, β) tales que w=α u + β. Si los ectores u y son perpendiculares, la base B = u, de V 2 se llama base ortogonal. Se llama base canónica de V 2 a B = i, j, en los que los ectores i y j son dos ectores unitarios (de módulo uno) y perpendiculares entre sí. Se trata de una base ortonormal. i : ector unitario en el sentido positio del eje de abscisas. j : ector unitario en el sentido positio del eje de ordenadas. Tipos de bases de V 2 Unidad 4 Vectores Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 4
5 Demuestra si los ectores u = 1, 3 y 2, 6 forman una base de V 2 o no. No forman una base porque son linealmente dependientes, ya que: 2u. Demuestra si los ectores u = 2, 3 y 1,5 forman una base de V 2 o no. Sí forman una base porque son linealmente independientes, ya que no podemos escribir uno en function del otro. Tienen direcciones distintas.. Como los ectores u = 2, 3 y 1,5 forman una base de V 2, calcula las coordenadas del ector w = -3,-1 en la base B = u,. w=α u + β Sustituyendo: -3 = 2α +β (-3,-1) = α (2,3) + β (1,5) -1 = 3α + 5β Basta resoler el sistema: α = -2, β =1. w = -3,-1 en la base canónica. w = -2,1 en la base B. OPERACIONES CON COORDENADAS (PARES ORDENADOS) u = u,u y, en una base cualquiera. Sean: a) Suma de ectores libres. u + = u,u, u +,u b) Multiplicación de un número real por ector libre. k u = k u, u = k u, k u Sean: u = 1,-2 y 0, 6 dos ectores en una base cualquiera B. a) Calcula u + : u + 1,-2 + 0, 6 1, 4 b) Calcula 2u - : 2u - 21,-2-0, 6 2,-4-0, 6 2, -10 Unidad 4 Vectores Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 5
6 MÓDULO Y ARGUMENTO DE UN VECTOR Sea u un ector con coordenadas B = i, j. El módulo del ector u es: u u u u = u,u en la base canónica 2 2 u u u 2 2 El argumento del ector u es el ángulo que forma dicho ector con el eje positio de abscisas. u Se calcula: arg(u) = arctg u 2 1 u arg(u) = arctg u 2 1 JUSTIFICACIÓN. u = u,u, representado al margen. Sea el ector Por Pitágoras, 2 u u u 2 2, de donde u u u 2 2. u Por otro lado tenemos que: tg α 2. u 1 u2 Despejando: arctg. u 1 Calcula el modulo y el argumento del ector u = ( 1, -1) en la base canónica a) u u u 1 + (-1) 2 u2-1 b) arg(u) = arctg arctg = arctg(-1) = 315º u 1 1 NOTA: EL VECTOR (1, -1) SE SITÚA EN EL CUARTO CUADRANTE. Unidad 4 Vectores Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 6
7 SISTEMA DE REFERENCIA EUCLÍDEO El sistema de referencia del plano euclídeo O, i, j está formado por el origen de coordenadas O(0, 0) y la base canónica B = i, j. Se llama ector de posición al representante de un ector libre cuyo origen es el punto O. Para calcular las coordenadas de un ector en el sistema de referencia euclídeo, basta contar el desplazamiento horizontal (x) y ertical (y) desde su origen a su extremos. (ojo a os signos) El ector u (margen derecho) tiene por coordenadas: u = (1, 3) Halla las coordenadas de estos ectores en la base canónica. AB ( 3, 4) CD 2 (, 1) EF ( 3, 0) Las coordenadas de un punto P en el sistema de referencia del plano euclídeo O, i, j son las coordenadas del ector de posición OP. El punto P (al margen) tiene coordenadas P(2,4), que coinciden con las coordenadas del ector de posición OP = (2, 4) Las coordenadas de un ector cualquiera AB de origen A(a 1, a 2 ) y extremo B(b 1, b 2 ) en una base cualquiera. Las coordenadas del ector son: AB = (b - a, b - a ) 1 2 Unidad 4 Vectores Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 7
8 Las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(a 1,a 2 ) y B(b 1,b 2 ) son: a +b a +b M=, Tres puntos A, B y C están alineados si y solo si los ectores AB y AC tienen la misma dirección. Son paralelos, tienen coordenadas proporcionales. Los puntos A(1,1) B(2,3) y C(0,1) están alineados. AB = (2-1,3-1) = (1,2) no son proporcionales AC = (0-2,1-3) = (-2,-2) No están alineados Calcula el alor de k para que los puntos A(k, 3) B(2, 2) y C(-2, 1) estén alineados. AB = (2 -k,2-3) = (2 -k, -1) 2 -k -1 2 k 4 k 6 BC = (-2-2,1-2) = (-4,-1) en cruz -4-1 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Sean u y dos ectores libres. Se llama producto escalar de ambos ectores al alor de la siguiente expresión: u u cos con α=áng(u,) Nota: el producto escalar es un número Propiedades del producto escalar: u u u u cos 0 º u 2 u u u ( u) u ( ) u ( w) u u w u 0 si y solo si u y son ortogonales (perpendiculares) Unidad 4 Vectores Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 8
9 Sean: u = u 1,u 2 y 1, 2 dos ectores en la base canónica. La expresión analítica del producto escalar es: u u + u 1 2 Dada la base canónica, calcula el alor de k para que el producto escalar de los ectores u = (k, 3) y =(-2, 1) sea 5. u = (k,3) (-2, 1) = 2k + 3 = 5 2k = -2 k = -1 Se llaman ectores unitarios a aquellos ectores que su u 1 Sea u un ector no nulo y no unitario. Normalizar dicho ector es construir otro, a partir de él, que tenga la misma dirección, sentido y que su módulo sea 1. Dicho ector se construye de la siguiente forma: u u' u Vector normal u u' u Sean u y dos ectores libres. El ángulo α que hay entre ambos u u cos α = ectores se calcula mediante la ecuación: cos α= u u La proyección de un ector u sobre otro ector se calcula con la fórmula: Proy u (u) = u Proy (u) = Unidad 4 Vectores Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 9
10 Dada la base canónica i, j y los ectores u = -3 i + 4 j a) Su producto escalar. b) El módulo de ambos. c) El ángulo que forman. a) u = (-3,4) (1,-2)= (-2)= -3-8 = -11 y = i - 2 j, calcula: b) 2 2 u ( 3) u ( 2) u c) u cos α = 169º 41' 43'' u Unidad 4 Vectores Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 10
11 EJERCICIOS DEL TEMA 1. Dibuja los ectores a y b en función de u y Soluciones 1 2. Demuestra que los ectores u =, 3 y 0,5 forman una 2 base de V Halla las coordenadas del ector w = -2,-1 respecto de la base del ejercicio anterior. 4. Sean: u = 3,-2 y 2,1 dos ectores en una base cualquiera B. a) Calcula u + b) Calcula u Calcula el modulo y el argumento del ector u = ( -1, -1) en la base canónica. 6. Halla el alor de k para que los ectores u = (5, - 2) y = (-2, k) sean paralelos 7. Están alineados los puntos A(2, 3) B(0, 3) y C(-2, 5)? 8. Calcula el alor de k para que los puntos A(k, k+1) B(-1, 1) y C(3, 2) estén alineados. 9. Halla el punto medio del segmento de extremos A(6, -7) y B(3, 5). 10. Halla las componentes del ector libre AB, dados los puntos A(1, 3) y B(2, 5). Sí forman base. No son proporcionales. α = - 4 ; β = 11/5 u + ( 5, 1) u - 3 ( 3, 5) u 2-1 arctg = arctg(1) = 225º -1 k = 4/5 No. Los ectores AB y AC no son proporcionales 1 k= 3 9 M=, -1 2 AB ( 3,8) Unidad 4 Vectores Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 11
12 11. Sean ab, y cd, dos bases de las que sabemos que a 2c 3d y b c 5d. a) Halla las coordenadas que tendrá el ector w 3a 5b con respecto a la base b) Halla las coordenadas de ( 4, 1) con respecto a la base a) w 11c 34d b) a b Calcula el módulo y el argumento de los siguientes ectores: AB (2, 2) AB 8u 315º GH (2, 2) GH 8u 315º EF (3,0) AB 3u 0º LM (0, 3) LM 3u 270º 13. Halla el értice D del paralelogramo ABCD de értices A(2, 3), B(0, 3) y C(-2, 5). 14. Los puntos A (-1,-2), B (1,1), C (4,0) son tres coordenadas de un paralelogramo ABCD. calcula las coordenadas del értice D. D(0,5) D(2,-3) 15. Calcula k para que el ector u = (2, -k) sea unitario. Nunca es unitario Calcula k para que el ector u, k sea unitario Calcula k para que el producto escalar de los ectores u = k, 5 y 3,1 alga k= 2 k = Halla la proyección de u = (1, - 3) sobre 2, Proy (u) = Calcula la proyección escalar del ector u = (3, 2) sobre el ector = (5, -1) 26 Proy (u) = 2 Unidad 4 Vectores Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 12
13 20. Dados los ectores u = (1, 3) y = (3, 2), halla la proyección de sobre u. Proy 9 10 u () = Qué ángulo forman los ectores u = (-3,1) y = (4,-3)? 22. Calcula el producto escalar de u y sabiendo que u = (3, 4) y = 5 y el ángulo que forman es de Calcula un ector ortogonal al ector u = (6, 8) que sea unitario. 24. Dado el ector u =( 5, k) calcula k de modo que sea ortogonal al ector = (3, -2) 25. Calcula todos los ectores paralelos al ector u = (6, 8). 26. Calcula todos los ectores paralelos al ector tengan módulo 5. u = (-9, 12) y que u = (6k, 8k). 27. Calcula k para que los ectores u = (1, 2) y = (2, k) sean: a) Paralelos b) Ortogonales c) Formen un ángulo de Dados los ectores u = (-1,- 2) y = (1, 2) en la base canónica, halla: a) u b) u c) 2u 3 d) u ( u+2 ) 29. Dado el ector u = (-3, 4), halla: = 2, - 1 a) El ángulo que forma con b) El alor de k para que w = 1, k sea perpendicular a u. a) 153º 26 6 b) -3 k= 4 Unidad 4 Vectores Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 13
14 30. Calcula el alor de k para que se erifiquen las igualdades siguientes: a) (-1, k ) (2,- 3) = 7 b) (3, -k) (2, -1) = 4k 31. Halla m para que el ector u = (m, 1) formen un ángulo de a) 90º. b) 0º y el ector = (2, 3) a) k = - 3 b) k = 2 c) 30º 32. Dado el triángulo de értices A2,-1,B1,2 y C-1,4, clasifícalo según sus lados y sus ángulos. 33. Se sabe que: u = 4, = 5 y que u. Calcula u Se sabe que: u = 2 5, = ángulo que forman u y u y u + = 29. Calcula el u + 41 = 41º 38 1 Unidad 4 Vectores Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 14
15 FÓRMULAS TEMA 4 - VECTORES VECTOR FIJO SUMA DE VECTORES k u MÓDULO Y ARGUMENTO Igual dirección que el ector u. Mismo sentido que el ector u si k es positio. Sentido contrario del ector u si k es negatio. Su módulo es: k u u u u 2 2 u arg(u) = arctg u 2 1 OPERACIONES CON VECTORES u + = u,u, u +,u + k u = k u, u = k u, k u 1 2 VECTOR AB PUNTO MEDIO COMBINACIÓN LINEAL a 1 +b1 a 2 +b2 M=, AB = (b - a, b - a ) 2 2 w=α u + β 1 2 PRODUCTO ESCALAR PROPIEDADES EXPRESIÓN ANALÍTICA TIPOS DE BASES DE V 2 u u cos u u u u cos 0º u u u 2 u u + u 1 2 ÁNGULO NORMALIZAR PROYECCIÓN ORTOGONALES u ( u) u ( ) u u cos α= u ( w) u u w u' u u 0 si y solo si u y son Proy (u) = u u ortogonales (perpendiculares). Unidad 4 Vectores Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 15
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