TEMA 60. Parámetros estadísticos: Cálculo, propiedades y significado.

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1 Tema 60. Parámetros estadístcos: Calculo, propedades, sgcado TEMA 60. Parámetros estadístcos: Cálculo, propedades y sgcado.. Itroduccó La estadístca se puede der como la ceca aplcada que se ocupa del estudo de los métodos y procedmetos para recoger, clascar, resumr, aalzar datos y hacer erecas cetícas a partr de tales datos. De la prmera parte de la decó se ocupa la Estadístca Descrptva y de la seguda la Estadístca Ierecal. Podemos dstgur e todo estudo estadístco las sguetes ases:. Der la poblacó objeto de estudo.. Seleccoar la varable estadístca objeto de estudo: que puede ser cualtatvas o cuattatvas (dscretas o cotuas). 3. Recolectar los datos: puede ser de toda la poblacó (ceso) o de ua parte del msmo (muestreo). S se hace de la seguda orma es deseable que se haga de orma que todos los dvduos de la poblacó msma probabldad de perteecer a la muestra. 4. Orgazar los datos e tablas y elaborar la grácas: - La tabla tee los datos co su recueca absoluta, relatva, porcetaje, recuecas y porcetajes acumulados. - Las grácas más mportates so los dagramas de barras (varables cualtatvas o dscretas), hstograma (varable cotua), dagrama de sectores, polígoos de recueca, pctogramas 5. Obtecó e terpretacó de parámetros estadístcos: las grácas y tablas os proporcoa ua ormacó muy geeral y poco operatva por lo que es ecesaro buscar meddores secllos, más precsos, que os permta obteer ormacó clara, comparar Dos tpos de parámetros estadístcos: - Tedeca cetral: so valores que os dca e toro a qué poscó se dstrbuye los datos de que dspoemos. - Dspersó: tee como propósto estudar lo cocetrada que está la dstrbucó e toro a algú promedo. - Cocetracó: se reere al grado de cocetracó e el reparto. - Forma: los valores estudaremos so dos característcas:la asmetría y el aputameto E este tema os cetraremos e esta parte del estudo estadístco.. Medas de tedeca cetral. Supodremos que ya teemos los datos orgazados e tablas, que utlzaremos para el cálculo de los dsttos parámetros. Este varos parámetros de cetralzacó, los más mportates so: meda artmétca, meda geométrca, meda armóca, medaa y la moda. Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara

2 Tema 60. Parámetros estadístcos: Calculo, propedades, sgcado.. Meda artmétca: Se llama meda artmétca de ua sere de valores,,..., de ua varable estadístca, a la suma de todos ellos dvdda por el úmero total de datos. Se desga por + m( ) µ S los datos está agrupados, se multplca cada valor por su correspodete recueca absoluta. S la varable es cotua, se toma como valores cada ua de las marcas de clase Propedades:. La suma de las desvacoes de cada valor respecto de la meda es gual a cero. Es el cetro de gravedad de la dstrbucó de la varable. Es por tato la úca solucó a (. z) 0. La suma de las derecas al cuadrado de todos los datos co es míma es decr la solucó de la epresó m( z) (. z) 3. S cambamos la localzacó (sumamos ua costate) o la escala (multplcacó de ua costate) de los datos la meda camba e la msma escala y localzacó. m(a +b)a m()+b. Demostracó a + b a + b S y a + b y a + b 4. La meda es recursva, es decr s añadmos u uevo dato, la meda se puede recalcular a partr del ateror: + m(,,., + )m(,,, ) Vetajas e coveetes Vetajas: es muy ácl de calcular y utlza todos los datos; Icoveetes: valores etremos muy dspares luye altamete e su valor Meda artmétca poderada. Es recuete ecotrarse co valores de ua varable que posee dstta mportaca detro del cojuto total. E estos casos se asga a cada valor u coecete de poderacó o peso ( w ) La meda artmétca poderada será p. w w w w Ejemplo- otas de u alumo (prmer eame 60 %, segudo 40 % ) Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara

3 Tema 60. Parámetros estadístcos: Calculo, propedades, sgcado.. Meda geométrca. La meda geométrca de datos es la epresó dada por la raíz -ésma del producto de los datos: m g. Podemos calcularlo de orma más... seclla s tomamos logartmos: l( m g) l( ) Propedades:. S cambamos la escala de medda la meda camba e la msma medda. Es decr que se cumple m g (a )a m g ().. S depede del cambo de localzacó. 3. La meda geométrca es solucó a la epresó ( l lz) 0 4. La meda geométrca mmza la epresó m(z) (l lz) 5. Se puede calcular la de orma recursva: m (,..., ) + ( m (,..., ) g + `+ g ) Vetajas e coveetes Vetajas: es muy ácl de calcular, utlza todos los datos y meos sesble que la artmétca a los valores etremos; Icoveetes: s u valor es 0 aula todos los demás valores y meos terpretacó estadístca que la artmétca..3. Meda armóca. Se dee como el verso de la meda artmétca de los versos de los valores de la varable. S teemos datos ma Ejemplo- Hemos recorrdo la dstaca Barceloa-Tarragoa a 80 Km/h y el regreso a 60 Km/h Cuál es la velocdad meda del trayecto total? ( o es 70 Km/h) so la meda armóca de 80 y 60 68,57km/h ota: o debe utlzarse cuado esta valores cercaos a cero. Propedades:. Solucó de 0 z. Mmza la epresó 0 z + 3. La meda armóca es recursva: m a(,,..., + ) m (,,..., ) + a + Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara 3

4 Tema 60. Parámetros estadístcos: Calculo, propedades, sgcado Vetajas: s camba la escala las udades camba de la msma orma. Los valores etremos luye muy poco. Icoveetes: o sempre este (cuado algú valor es cero), e valores cercaos al cero luye mucho e su valor al. Además el sgcado meos tutvo que la meda..4. Meda cuadrátca. Es la raíz cuadrada de la meda artmétca de los cuadrados de la varablec Medaa. Ordeados los valores e setdo crecete o decrecete, se llama medaa, Me, a aquel que tee tatos térmos erores a él como superores. S los datos o está agrupados, será el valor cetral s hay u º mpar y s hay u º par será la meda de los dos valores cetrales Ej:,3,4,6,9 Me 4 ;,,4,5 Me (+4) / 3 S los valores se preseta agrupados, co sus recuecas, la Me será el valor correspodete a la prmera recueca acumulada mayor que /. S da eactamete / es la meda etre este valor y el sguete. / 6,5 Me F S teemos los datos agrupados e tervalos utlzaremos el polígoo de recuecas acumuladas, hallado el tervalo que cotee la medaa o tervalo medao que correspode a la mayor recueca acumulada mayor que / L - límte eror tervalo medao, L límte superor, - recueca acumulada clase ateror al tervalo medao, recueca acumulada e el tervalo medao, recueca del tervalo medao - -, c ampltud del tervalo medao L - L - Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara 4

5 Tema 60. Parámetros estadístcos: Calculo, propedades, sgcado El valor eacto de la medaa se obtee aplcado Me L + c ota: La demostracó se obtee aplcado proporcoes, etre recuecas e tervalos, para ver el puto eacto que correspode a /. Propedades:. S cambamos la localzacó o la escala la medaa camba de la msma orma, es decr M e (a +b)a M e (X)+b. Dvde el hstograma e dos regoes guales. 3. o se puede calcular de orma recursva Vetajas: para su cálculo se utlza todos los putos pero es meos sesble que la medaa a la varacó e cualquer dato, s cambamos la escala y el orge la medaa camba de gual orma. Icoveetes: o es ta seclla de calcular, los valores etremos práctcamete o luye ada y o se puede calcular de orma recursva..6. Moda. La moda, M o, es el valor de la varable que más veces se repte e la estadístca. E el caso que los datos se ecuetre agrupados, es ácl determar la clase modal (la de mayor recueca absoluta). E el caso de que haya más de u valor co la máma recueca se dce que la varable es bmodal, trmodal Propedades:. S cambamos la localzacó o la escala los datos de la medaa camba e la msma medda: M o (a +b)a M o ()+b. o se puede calcular de orma recursva. Vetajas: es seclla de calcular, tee ua seclla terpretacó y sempre este, suele estar e cas todas las calculadoras y programas estadístcos. Icoveetes: para su cálculo o usa todos los datos, e especal los poco recuetes, e geeral o es úca..7. Cuartles. Los cuartles so meddas poscoales, pero o so de poscó cetral. Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara 5

6 Tema 60. Parámetros estadístcos: Calculo, propedades, sgcado Los cuartles so los tres valores que dvde u cojuto de datos ordeados e cuatro partes porcetualmete guales. Aparece ctados e la lteratura cetíca por prmera vez e 879 por D. McAlster. La dereca etre el tercer cuartl y el prmero se cooce como rago tercuartílco. Se represeta grácamete como la achura de las cajas e los llamados dagramas de cajas. Dada ua sere de valores X,X,X 3...X ordeados e orma crecete, podemos pesar que su cálculo podría eectuarse: Prmer cuartl (Q) como la medaa de la prmera mtad de valores, ocupa poscó del 5%; Segudo cuartl (Q) como la propa medaa de la sere, ocupa la poscó del 50%; Tercer cuartl (Q3) como la medaa de la seguda mtad de valores, ocupa la poscó del 75%. Pero esto coduce a dsttos métodos de cálculo de los cuartles prmero (así como tercero) segú la propa medaa se cluya o ecluya e la sere de la prmera (respecto de la seguda) mtad de valores. Se suele calcular los cuartles de la sguete orma: Q, el prmero que supera su porcetaje acumulado u 5% (s es eactamete 5% se hace la meda co el sguete valor) Q 3, el prmero que supera su porcetaje acumulado u 75% (s es eactamete 75% se hace la meda co el sguete valor) 3. Meddas de Dspersó Las meddas calculadas co aterordad srve para resumr la dstrbucó de recuecas e u solo valor. Las meddas de dspersó, tee como propósto estudar lo cocetrada que está la dstrbucó e toro al valor promedo. Por ejemplo dos eámees de 5 la meda es 5 y la dspersó ula, u eame de 0 y otro de 0 su meda es la msma, 5, pero la dspersó es máma. 3.. Recorrdo Se llama recorrdo o rago R, a la dereca etre el mayor y el meor valor de la varable estadístca: Rma( )-m( ) Ua aplcacó es la costruccó de tervalos equespacados e las estadístcas co datos cotuos. Cuáto meor es R e ua dstrbucó mayor represetatvdad tee los valores cetrales. Propedades:. S cambamos la localzacó o la escala veamos cómo camba el recorrdo. R(a+b)a R(). El rago es mayor o gual que la dereca etre dos valores de la dstrbucó. Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara 6

7 Tema 60. Parámetros estadístcos: Calculo, propedades, sgcado Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara El rago o es recursvo. Vetajas: su cálculo es muy secllo, varate a los cambos de localzacó, terpretacó seclla y sempre este, se suele clur e todas las calculadoras. Desvetajas: para su cálculo solo tervee dos datos, y o depede de los demás por lo que la ormacó que proporcoa es muy sesgada. 3.. Desvacoes respecto a la meda, desvacó meda. Se llama desvacoes respecto a la meda a las derecas etre cada uo de los valores de la varable y la meda artmétca La suma de todas las desvacoes da cero (ya que hay postvas y egatvas), por lo que o podemos utlzarla como medda de dspersó. Para palar esto recurrmos a dos procedmetos: a) Utlzar el valor absoluto de las desvacoes, que dará lugar a la desvacó meda (DM) Se dee como la meda artmétca de los valores absolutos de las derecas etre los valores de la varable y su meda artmétca DM b) Utlzar el cuadrado de las desvacoes respecto a la meda, lo que dará lugar a la varaza 3.3. Varaza y desvacó típca. Se dee varaza ( σ ) como la meda artmétca de los cuadrados de las desvacoes de los valores co respecto a su meda ) ( ) var( σ La raíz cuadrada de la varaza se le llama desvacó típca (σ) Observacó: Este u método más ácl de cálculo. Desarrollado la epresó de la decó teemos ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( m m σ Demostracó: ( ) ) ( σ

8 Propedades: Tema 60. Parámetros estadístcos: Calculo, propedades, sgcado. S cambamos la localzacó o la escala de datos etoces la varaza se modca de la sguete orma: var(a +b)a var().. La varaza es recursva pues se calcula a partr de la meda y de las medas de los cuadrados de la varable Vetajas: es u varate al cambo de localzacó, sempre este y tee terpretacó seclla, para su cálculo de se usa todos los datos. Desvetajas: o es varate respecto al cambo escala, y los valores etremos luye mucho e su valor Cuasvaraza y cuasdesvacó típca. Se llama cuasvaraza ( S ) a S ( ) sedo la cuasdesvacó S S. Es semejate a la Varaza, ecepto que la dvsó es por -. Este estadístco es apropado para obteer estmacoes de la Varaza de la poblacó e el aálss erecal de datos. La cuasvaraza da valores lgeramete superores a la varaza. També íjese que a medda que aumete, la dereca etre el resultado de ua y otra tederá a hacerse ímo. 4. Medadas de dspersó relatvas. Las meddas de dspersó relatvas os da el valor de la dspersó relatva al valor de la meda. Muchas veces es mportate saber estos valores para comparar magtudes co dstto tamaño. σ - Coecete de varacó: cocete etre la desvacó y la meda: cv. R - Rago relatvo: cocete etre el rago y la meda: R 5. Meddas de orma. 5.. Asmetría. Se dce que este asmetría a derecha o zquerda s la cola más alargada se ecuetra a la derecha o zquerda. Grácamete sería Smétrca Asmetría a derecha Asmetría a zquerda Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara 8

9 Tema 60. Parámetros estadístcos: Calculo, propedades, sgcado ) Las curvas smétrcas es cuado el úmero de datos es parecdo e los valores aterores y posterores de la meda. S hablamos de la probabldad de que salga u valor se cumple : p(<) p(>) ) La asmetría derecha ocurre cuado hay muchos datos después de la meda que ates. S hablamos de probabldad cumple: p(<)<< p(>). 3) La asmetría zquerda ocurre cuado hay muchos datos ates de la meda que después. S hablamos de probabldad cumple: p(<)>> p(>) Para medr cuattatvamete la asmetría se podría utlzar la dereca de los valores co la meda, pero o es posble pues hemos vsto que el valor sempre es cero. S utlzamos las derecas al cuadrado tampoco os da la ormacó deseada pues al ser todas postvas o relejaría la compesacó que caracterza la smetría. Se usa por tato el ídce de Fsher. 3 ( ) Utlzamos el ídce de Fsher g 3 s S vale cero, este smetría total, s es postvo hay asmetría a la derecha y s es egatvo asmetría a la zquerda. 5.. Meddas de aplastameto. La dstrbucó ormal co σ que tee orma campaode y smétrca S comparamos otras dstrbucoes co la ormal (0,), para saber s so más o meos putagudas podemos ecotraros co a) mayor aputameto ( leptocúrtca ) b) meor aputameto (platcúrtca ) c) aputameto smlar ( mesocúrtca ) 4 ( ) Cuattatvamete podemos medr co el coecete de curtoss g 3, 4 s se cumple que s g <0 es platcúrtcas, s g 0 mesocúrtcas y s g >0 leptocútcas. Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara 9

10 6. Coclusoes. Tema 60. Parámetros estadístcos: Calculo, propedades, sgcado Los parámetros estadístcos se mparte desde el º curso de secudara, los alumos debe ser capaces de calcularlos así como de terpretarlas. Puede ser muy útl eplcar cómo calcular estos parámetros co herrametas ormátcas como las hojas de cálculo. Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara 0

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