Ejemplos: + 3 no es una ecuación, es una identidad. Por qué? La igualdad 3( x + 1) = 2x + 1 sí es una ecuación. Por qué?

Transcripción

1 TEMA:.- POLINÓMICAS Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones algebraicas que sólo se verifica para algunos valores de sus incógnitas. Estos valores son las soluciones de la ecuación. Las epresiones algebraicas que figuran a ambos lados del signo igual se llaman miembros (primer y segundo miembro) Si al trasponer y agrupar términos semejantes resulta una ecuación del tipo P( ) 0, con P() un polinomio, la ecuación se llama polinómica. Ejemplos: La igualdad ( + ) + no es una ecuación, es una identidad. Por qué? La igualdad ( + ) + sí es una ecuación. Por qué? Las ecuaciones: + 5 0, ( + ) 8 (5 7) +, son polinómicas 5( + ) [ ( )], , Las ecuaciones: + ( ) 5, , polinómicas. Por qué? 8 0 +, ( ) 5 ( ) +, + 8, log(5 + ) 6, no son.- DE SEGUNDO GRADO La epresión de una ecuación polinómica de segundo grado es: a b c b ± b ac Para resolver estas ecuaciones utilizamos la fórmula: a Justificación de la fórmula: Partimos de Multiplicamos por a: Sumamos b : Restamos ac: a b c a + ab + ac 0 a + ab + ac + b b + + a ab b b ac El primer miembro es una identidad notable: ( + ) a b b ac Etraemos la raíz cuadrada: + ± a b b ac Despejamos : ± b b ac a /7 IBR IES LA NÍA

2 Discriminante de la ecuación de segundo grado: El número de soluciones de la ecuación de segundo grado depende de la epresión Si > 0 Dos soluciones Si < 0 No tiene solución real Si 0 Una solución doble b ac Ecuaciones incompletas: El coeficiente a no puede ser 0 porque la ecuación dejaría de ser de segundo grado, pero b y c sí pueden ser nulos. Si es así, la ecuación es incompleta y, aunque se puede resolver con la fórmula habitual, es más frecuente utilizar estas técnicas: Si c0 (no tiene término independiente) a + b 0, se resuelve sacando factor común : + 0 ( + ) 0, para que el producto sea 0 debe ser 0 alguno de los dos 0 0 factores: + 0 Estas ecuaciones siempre tienen dos soluciones y una de ellas es 0 Si b0 (no tiene término de primer grado) a + c 0, se despeja y después : ± ±, 9 9 Pueden tener dos soluciones opuestas, o ninguna solución si en el radicando queda un nº negativo. Ejercicios: º) Indica, sin resolverlas, el número de soluciones de las siguientes ecuaciones: a) b) c) + 0 d) º) Resuelve las siguientes ecuaciones a) [/ y /] b) 5 0 [0 y 5/] c) 5 ( ) + 8 [ 5, ] d) ( )( + ) 8 [ ± ] e) ( + ) 0 ( ) f) 6 0, [0 y /] g) [ y ] h) + 5 i) ( + ) + 9 [-5] /7 IBR IES LA NÍA

3 j) ( ) 5( ) [ y -5/] k) ( ) ( )( + ) ( + ) º) Determina el valor de k en la ecuación k + k 7 0 para que tenga una solución doble..- POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR A DOS No disponemos de un método general para hallar las soluciones de una ecuación polinómica de grado superior a dos. Sólo podremos resolver estas ecuaciones si somos capaces de factorizar en polinomios de primero o segundo grado. Ejemplo: Resuelve la ecuación: Vamos a factorizar el polinomio : ) Sacamos factor común: (6 + 7 ) ) Para seguir factorizando consideramos los divisores enteros del término independiente: ±, ± ) Observamos que (+) es divisor de ) Podríamos continuar el proceso con 6 +, pero no es necesario ya que es de segundo grado. ) Factorizamos: (6 + 7 ) ( + )(6 + ) 5) La ecuación es equivalente a ( + )(6 + ) 0 6) Como el producto de números reales sólo puede ser cero si alguno de los factores es cero, resulta que: , Ejercicio: º) Factoriza y resuelve las siguientes ecuaciones: a) + 0, b) 0, c) 0, /7 IBR IES LA NÍA

4 d) ( ) + e) , f) , g) , h) + 0,.- BICUADRADAS La ecuación bicuadrada es de la forma: a + b + c 0 Mediante la transformación t, (considerando que si t entonces t ), la ecuación anterior se puede escribir con este otro aspecto: at + bt + c 0 que es fácilmente resoluble como ecuación de segundo grado. Una vez resuelta esta ecuación (valor de t), no olvides calcular para obtener las soluciones de la ecuación original. Ejemplo: Resuelve la ecuación: Haciendo t entonces t 5t t, la ecuación se escribe: 5 ± t Como ± 9 8 t ± ± 5 ± 7 8 t 9 ± 9 ± 9 Nota: Las ecuaciones bicuadradas también se pueden resolver directamente sin cambiar a la variable t: a) Despejando directamente, ya que pueden ser consideradas como ecuaciones de segundo grado cuya incógnita es : a + b + c 0 a ( ) + b( ) + c 0, con la fórmula de las ecuaciones de segundo grado obtendríamos el valor de y, posteriormente, el de. b) Como en cualquier ecuación polinómica podemos utilizar la descomposición factorial para obtener las soluciones enteras. Ejercicio: 5º) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( + ) ( + ), [ ± ] b) , [ ] c) , [ ±, ± ] d) + 8 0, [ ±, ± ] e) 0 5, [ ± 5 ] /7 IBR IES LA NÍA

5 5.- CON RADICALES (IRRACIONALES) Son aquellas en las que la incógnita aparece dentro del signo radical. Para su resolución será necesario elevar los dos miembros de la ecuación a una determinada potencia, con el fin de poder eliminar algún radical. Esto únicamente se conseguirá aislando previamente en un miembro uno de los radicales. El hecho de elevar a una potencia nos llevará a otra ecuación que puede tener alguna solución más que la inicial, por tanto será necesario comprobar todas las soluciones en la ecuación original. Ejemplo: Resuelve la ecuación: + ) Aislando el radical: + + ) Elevando al cuadrado los dos miembros: ( ) ( + ) , ) Ambos valores son solución de la ecuación 9, pero puedes comprobar que el valor sí es solución de la ecuación +, mientras que no lo es. ) La única solución es Ejercicio: 6º) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) +, [ ], [ ] b) c) + +, [] d) +, [0] e) + 5, [ ] 7 + +, [ y ] f) 6.- CON FRACCIONES ALGEBRAICAS (RACIONALES) Para resolver ecuaciones con fracciones algebraicas debemos transformarlas en ecuaciones polinómicas, multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m de los denominadores. Se deben descartar los valores de que anulan los denominadores, ya que no pueden ser la solución de la ecuación. Ejemplo: Resuelve la ecuación: /7 IBR IES LA NÍA

6 ) Factorizamos los denominadores para poder calcular el mcm: se anula en + ( + ) se anula en 0, + 6 ( )( + ) se anula en, ) El mcm es ( )( + ), y además descartamos como posibles soluciones 0, y - ) Se multiplican los dos miembros por el mcm: ( + )( ) ( )( ) (5 5) 5 ) Resulta la ecuación polinómica: + 8 0, cuyas soluciones son y 5) Se descarta por anular algún denominador. La única solución de la ecuación es. EJERCICIOS : 7º) Resuelve las ecuaciones: ) y + y + 0 [ ± 7 ] ) ( ) 5, y ) ( + ) ( ) [- y -] ) +, [0/ y /] 5 6 5) 0, [ ] 8 6) 9, [-/ y -/] 7) ( ) ( + ) 7( + ) ( + )( ) + 0 [/ y -] 8) 5 + [ ±6], [ 0 y ] 9) ( + ) + ( ) 0) +, [] ) + 5, [9] ) + + [] ) + [5/] ) [] 5) , [] 6) + +, [] 7) + 0, [ ] 8) , [ ± ] 9) + 0) 6 +, [/] 6 + ) , [ y 5/] ) 6 0, [ y -] ) ) 5) 6) 7) , [0,,9,0] 6 0, 6 ( + 0) + 5 9, [ ± / ], [ ] ( 5) 9( ) ) , [/, -, - y ], [ 0 doble] 9) ( ) ) , [ y -/] + 0 ( + ) ) (7 ) + 6, [ doble y -/7] 6/7 IBR IES LA NÍA

7 ) [±] 5( ) + ) [, /] + ( ) 6( ) ) + + 5) [,-] [8] 6) +, [-/ y ] + 5 7) + +, [9/8] 8) 6 ( ), [-/ y ] 6 + 9) 0) [] ) , [] ), [7] ), [0 y -] ), [/] º) Encuentra una ecuación de º grado cuyas raíces sean opuestas a las de la ecuación: +-0. [ --0]. 9º) Para la calificación de un curso, se decide que la nota de la primera evaluación valga un 5%, la de la segunda un 5% y la de la tercera un 0%. Una alumna ha tenido un 5 en la primera y un 7 en la segunda. Qué nota debe lograr en la tercera para que su calificación final sea 7? [8,5] 0º) Qué número se diferencia de su cuadrado en 0 unidades? [6 y -5] º) La suma de los cuadrados de tres números enteros consecutivos es 65. Encuentra estos números. [0, y ; -, - y -0] º) Las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son tres números enteros consecutivos. Averigua las medidas de dicho triángulo.[,,5] º) El denominador de una fracción es unidades mayor que el numerador. Si se añaden unidades al numerador, resulta la inversa de la fracción primitiva. Halla dicha fracción.[/5] º) Un jardín rectangular de 50 m de largo por m de ancho está rodeado por un camino de anchura uniforme. Halla la anchura del camino si su superficie es 50 m.[m] 5º) Una pieza rectangular es cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 80 cm cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja. 6º) Descomponer el nº 00 en dos cantidades, sabiendo que la suma de sus raíces cuadradas vale. [6 y 6] 7/7 IBR IES LA NÍA