Algebra Operativa. Definiciones Básicas. Matías Enrique Puello Chamorro

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1 Algebra Operativa. Definiciones Básicas Matías Enrique Puello Chamorro 21 de febrero de 2018

2 Índice 1. Introducción 3 2. Definiciones básicas del Algebra Definición de igualdad Propiedades de la igualdad Ecuación Solución de una Ecuación Clasificación de las Ecuaciones Fórmula Despeje de fórmulas matemáticas La potenciación Propiedades de los exponentes Exponentes negativos Multipicación de Polinómios Productos Notables

3 1. Introducción El algebra es una rama de las matematicas que se ocupa de estudiar las propiedades generales de las operaciones aritmeticas y lo números para generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos analogos. esta rama se caracteriza por hacer implicitas las incognitas dentro de la misma operación; ecuación algebraica.. En esta oportunidad estudiaremos el concepto de igualdad y sus propiedades para aplicarlas en la solución de ecuaciones de primer grado y segundo grado.

4 2. Definiciones básicas del Algebra 2.1. Definición de igualdad Una igualdad algebraica esta formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=). Por ejemplo: 2x + 2 = x + 4 2x + 2 = 2(x + 1)

5 Definiciones básicas del Algebra 2.2. Propiedades de la igualdad Las tres propiedades más importantes de la igualdad se resumen en una estructura matemática que se conoce como relación de equivalencia. Relación de equivalencia La relación de equivalencia se define con las siguientes propiedades: Nombre Simbolo Ejemplo Reflexiva a = a 5 = 5 Simétrica Si a = b entonces b = a Si x = 2 entonces 2 = x Transitiva Si a = b y b = c entonces a = c Si x = 2 y 2 = w entonces x = w

6 Propiedades de la igualdad Además de las propiedades que se mencionan en la relación de equivalencia, la igualdad presenta las siguientes Simbolo Ejemplo Para la suma: Si a = b entonces a + c = b + c Si x = 5, entonces, x + 3 = Para la resta Si a = b entonces a c = b c Si x = 5, entonces, x 3 = 5 3. Para la multiplicación Si a = b entonces a c = b c Si x = 5, entonces, x 3 = 5 3. Para la división Si a = b entonces a = b c c Si x = 5, entonces, x = Para la potencia Si a = b entonces a n = b n Si x =5, entonces, x 3 = 5 3. Para la raiz Si a = b entonces a = b Si x = 5, entonces, x = 5.

7 2.3. Ecuación Identidad y Ecuación. Una igualdad algebraica esta formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=). Cuando la igualdad es cierta para algún valor de las letras se llama ecuación. Si la igualdad es cierta para cualquier valor de las letras se llama identidad. Ejemplo Identidad y ecuación Identidad 7(5x 1) + 5x = 40x 7 Ecuación 6(7x 1) + 3x = 4x + 76

8 2.4. Solución de una Ecuación El valor de la letra que hace que la igualdad se verifique se llama solución de la ecuación. Resolver una ecuación es encontrar la solución ó soluciones. Una ecuación se llama compatible si tiene solución. Si no tiene solución se llama incompatible. Dos o más ecuaciones que tienen las mismas soluciones se llaman equivalentes.

9 2.5. Clasificación de las Ecuaciones Ecuaciones de primer grado Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar en la forma: siendo a y b números reales y a 0. ax + b = 0 El mayor exponente de la variable x debe ser 1. Si a 0 siempre tiene solución y además es única, la solución es: x = b a

10 Método de resolución Para resolver una ecuación de primer grado se siguen estos pasos. Se eliminan los denominadores. Para ello se calcula el mcm de los denominadores y se multiplican los dos miembros de la ecuación por él. Se quitan los paréntesis. Agrupar los términos en x a la izquierda del igual y los números a la derecha. Reducir términos semejantes. Ejemplo Resolución de una ecuación 3x 2 + 2(x + 1) = 5

11 Ejemplo Resolución de una ecuación 2x (x + 1) 4 Ejemplo Problema de aplicación = 5x La edad de un padre es el triple que la de su hijo, si entre los dos suman 56 años Cuál es la edad de cada uno?

12 Ecuaciones de segundo grado Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar en la forma: siendo a, b y c números reales y a 0. ax 2 + bx + c = 0 Los coeficientes de la ecuación son a y b. El término independiente es c. Si b 0 y c 0, se dice que la ecuación es completa. Si b = 0 ó c = 0 la ecuación es incompleta. Ejemplo Ecuación de segundo grado Ecuación de segundo grado completa 3x 2 + 4x + 2 = 0 Ecuación de segundo grado incompleta { x2 5x = 0 3x 2 9 = 0

13 Resolución de ax 2 + bx = 0 La ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax 2 + bx = 0 tiene dos soluciones: x 1 = 0 y x 2 = b a Se resuelve sacando factor común a la x e igualando los dos factores a cero. Ejemplo Resolución de una ecuación incompleta 3x 2 + 9x = 0

14 Resolución de ax 2 + c = 0 La ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax 2 + c = 0 puede no tener solución ó tener dos soluciones distintas de la forma x = ± c a Se resuelve despejando la variable x y luego extraer la raiz cuadrada a ambos miembros. Ejemplo Resolución de una ecuación incompleta x 2 9 = 0

15 Resolución de ax 2 + bx + c = 0 La ecuación de segundo grado completa es una igualdad algebraica que se puede expresar de la forma siendo a, b y c números reales y a 0 ax 2 + bx + c = 0 Para obtener las soluciones utilizamos la fórmula x = b ± b 2 4ac 2a Ejemplo Resolución de una ecuación completa x 2 5x + 6 = 0

16 2.6. Fórmula En Geometría, Estadística y otras ramas de las Matemáticas, una fórmula es una ecuación que relaciona constantes o variables matemáticas y que se expresa mediante una igualdad matemática. Existen fórmulas para el cálculo de las áreas de los polígonos regulares. Por ejemplo, el problema de determinar el volumen de los cuerpos geométricos V = 4 3 πr3 En Física, Química y otras ciencias, una fórmula relaciona magnitudes físicas que pueden ser medidas, para calcular el valor de otras de muy difícil o de imposible medida. En un contexto general, nos suministran una solución matemática para un problema del mundo real. La expresión general de la segunda ley de Newton, que también puede expresarse como F = ma, es aplicable a un rango muy amplio de situaciones físicas y nos permite calcular unas variables a partir de otras conocidas o predecir el comportamiento de un sistema físico.

17 2.7. Despeje de fórmulas matemáticas El despeje es un instrumento muy poderoso no solo en matemáticas, ya que se emplea en varias áreas como en física, química, ciencias biológicas, ciencias sociales,... Despejar: Consiste en quitar todos los términos y coeficientes que estén antes y después de la literal que se requiere despejar, aplicando las propiedades de la igualdad. Ejemplo Despeje de la variable x 1 De la formula: v = x t 2 De la formula: v 2 = v 2 o + 2a x

18 2.8. La potenciación La potenciación es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales Por ejemplo = 2 4 = 16 en general a n = a } a {{ a a} n veces

19 2.9. Propiedades de los exponentes 1. Cualquier número elevado al exponente 0 es igual a 1. a 0 = = 1 2. Cualquier número elevado al exponente 1 es igual a sí mismo. a 1 = a 5 1 = 5 3. Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. a n a m = a n+m = = División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. a n a m = a n m = = 5 2

20 Propiedades de los exponentes 5. Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. (a m ) n = a m n (5 2 ) 3 = = Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases. a n b n = (a b) n = (5 2) 2 = Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. a n b n = (a b) n = (4 2) 2 = 2 2

21 2.10. Exponentes negativos Hemos visto que el exponente positivo indica las veces que se va a multiplicar la base; así por ejemplo 2 4 = Nos preguntamos Qué indica el exponente negativo? Definición Si a 0 hemos definido que a 0 = 1 y si n es un entero positivo, se define a n = 1 a n

22 2.11. Multipicación de Polinómios En la multiplicación de polinomios, se tienen en cuenta las leyes estudiadas en la multiplicación de números enteros y las leyes de la potenciación; luego se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición. Por ejemplo en la multiplicación de (2x + 1)(3x 2) (2x + 1)(3x 2) = 2x(3x 2) + 1(3x 2) = 6x 2 4x + 3x 2 = 6x 2 x 2

23 2.12. Productos Notables Un Producto Notable es una multiplicación cuyo resultado se escribe por simple inspección, es decir, tienen unas características propias. Son productos notables 1 Cuadrado de un binomio (a ± b) 2 = (a) 2 ± 2(a)(b) + (b) 2 2 Producto de binomios con un término común 3 Producto de suma por diferencia (x + a)(x + b) = (x) 2 + (a + b)x + (a)(b) 4 Cubo de un binomio (x + a)(x a) = (x) 2 (a) 2 (a ± b) 3 = (a) 3 ± 3(a) 2 (b) + 3(a)(b) 2 ± (b) 3

24 Referencias [1] A.H.Cromer. Física para las ciencias de la vida Libro básico, Editorial Reverté, [2] J.D.Wilson. Física con aplicaciones. Editorial McGRAW-HILL