Álgebra I Práctica 4 - Números enteros (Parte 1)

Transcripción

1 Divisibilidad y úmeros primos Álgebra I Práctica 4 - Números eteros (Parte 1) 1. Decidir cuáles de las siguietes afirmacioes so verdaderas a, b, c Z: i) a b c a c y b c, ii) 4 a 2 2 a, iii) 2 a b 2 a ó 2 b, iv) 9 a b 9 a ó 9 b, v) a b + c a b ó a c, vi) a c y b c a b c, vii) a b a b, viii) a b a b, ix) a b + a 2 a b, x) a b a b, N. 2. Hallar todos los N tales que i) , ii) , iii) , iv) Determiar todos los Z tales que Z Hallar todos los Z tales que Probar que las siguietes afirmacioes so verdaderas para todo N: i) , ii) , iii) , iv) Sea a, b Z. i) Probar que a b a b para todo N. (c.f. Ejercicio 7 Práctica 3.) ii) Probar que si es u úmero atural impar, etoces a + b a + b. iii) Probar que si es u úmero atural par, etoces a + b a b. 7. Sea a u etero impar. Probar que 2 +2 a 2 1 para todo N. 8. Probar que las siguietes afirmacioes so verdaderas para todo N: i) El producto de eteros cosecutivos es divisible por!. ( ) 2 ii) es divisible por 2. iii) 2 (2i 1) es divisible por!. iv) i=1 ( ) 2 que ( ) ( 2 = (2 + 2) 2 ) ( (2 + 1) 2 ) ). es divisible por + 1 (sugerecia: probar que (2 + 1) ( 2 ) ( = ( + 1) 2+1 ) y observar 9. i) Probar que u úmero atural es compuesto si y sólo si es divisible por algú primo positivo p. ii) Determiar cuáles de los siguietes eteros so primos: 91, 209, 307, 791, 1001, iii) Hallar todos los primos meores o iguales que

2 Álgebra I Práctica 4 Págia Sea N. Probar que i) si 1 y ( 1)! + 1 etoces es primo. ii) si es compuesto, etoces 2 1 es compuesto. (Los primos de la forma 2 p 1 para p primo se llama primos de Mersee, por Mari Mersee, moje y filósofo fracés, Se cojetura que existe ifiitos primos de Mersee, pero aú o se sabe. Hasta hoy, abril 2016, se cooce 49 primos de Mersee. El más grade producido hasta ahora es , que tiee dígitos, y es el úmero primo más grade coocido a la fecha.) iii) si es primo, etoces es ua potecia de 2. (Los úmeros de la forma F = se llama úmeros de Fermat, por Pierre de Fermat, juez y matemático fracés, Fermat cojeturó que cualquiera sea N {0}, F era primo, pero esto resultó falso: los primeros F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257, F 4 = 65537, so todos primos, pero F 5 = = Hasta ahora o se cooce más primos de Fermat que los 5 primeros mecioados...) 11. Criba de Eratóstees El siguiete algoritmo computa la Criba de Eratóstees para los úmeros hasta u N dado. Para k = 2 Hasta N Hacer C k.= Verdadero Fi Para Para k = 2 Hasta N Hacer Si C k es Verdadero Etoces Para i desde 2 hasta N/k Hacer C i k = Falso Fi Para Fi Si Fi Para Corra el algoritmo a mao para N = 20. Compruebe que cuado termia el algoritmo, C k es Verdadero si y sólo si k es primo. Dado N, cuátas operacioes realiza el algoritmo? Teiedo e cueta el item i) del ejercicio 9, qué optimizacioes podemos hacerle al algoritmo? Algoritmo de divisió y sistemas de umeració 12. Calcular el cociete y el resto de la divisió de a por b e los casos i) a = 133, b = 14, ii) a = 13, b = 111, iii) a = 3b + 7, b 0, iv) a = b 2 6, b 0, v) a = 2 + 5, b = + 2 ( N), vi) a = + 3, b = ( N). 13. Sabiedo que el resto de la divisió de u etero a por 18 es 5, calcular el resto de i) la divisió de a 2 3a + 11 por 18, ii) la divisió de a por 3, iii) la divisió de 4a + 1 por 9, iv) la divisió de a por 36, v) la divisió de 7a por 28, vi) la divisió de 1 3a por Sea a 1, a 2, a 3,..., a úmeros eteros. Probar que existe ídices i, j co 1 i j tales que j a k es divisible por. (Sugerecia: cosidere los restos e la divisió por de los úmeros a 1, k=i a 1 + a 2, a 1 + a 2 + a 3,..., a 1 + a a.)

3 Álgebra I Práctica 4 Págia i) Hallar el desarrollo e base 2 de (a) 1365, (b) 2800, (c) , (d) ii) Hallar el desarrollo e base 7 de iii) Hallar el desarrollo e base 16 de 4074, 4064 y Sea a N 0. Probar que si el desarrollo e base 10 de a termia e k ceros etoces el desarrollo e base 5 de a termia e por lo meos k ceros. 17. i) Cuáles so los úmeros aturales más chico y más grade que se puede escribir co exactamete dígitos e base d > 1? ii) Probar que a N 0 tiee a lo sumo log 2 (a) + 1 bits cuado se escribe su desarrollo biario. (Para x R 0, x es la parte etera de x, es decir el mayor úmero atural (o cero) que es meor o igual que x.) 18. Sea a = (a d a d 1... a 1 a 0 ) 2 u úmero escrito e base 2 (o sea escrito e bits). Determiar simplemete cómo so las escrituras e base 2 del úmero 2a y del úmero a/2 cuado a es par, o sea las operacioes multiplicar por 2 y dividir por 2 cuado se puede. Esas operacioes se llama shift e iglés, o sea corrimieto, y so operacioes que ua computadora hace e forma secilla (comparar co el Ejercicio 37 de la Práctica 1). 19. Sea f : N N ua fució defiida recursivamete por f(1) = 1, y para > 1 { f( f() = 2 ) si es par, f( 1 2 ) + 1 si es impar. Cuátos eteros positivos 2047 cumple que f() = 9? Cogruecia y tablas de restos 20. i) Si a 22 (14), hallar el resto de dividir a a por 14, por 2 y por 7. ii) Si a 13 (5), hallar el resto de dividir a 33a 3 + 3a 2 197a + 2 por Hallar, para cada N, el resto de la divisió de ( 1) i i! por i) Probar que (31) para todo N. ii) Hallar el resto de la divisió de por 31. iii) Sea k N. Sabiedo que 2 k 39 (31), hallar el resto de la divisió de k por 5. iv) Hallar el resto de la divisió de por Sea a u etero impar que o es divisible por 5. i) Probar que a 4 1 (10). ii) Probar que a y a tiee el mismo resto e la divisió por i) Hallar todos los a Z tales que a 2 3 (11). ii) Probar que o existe igú etero a tal que a 3 3 (13). i=1 iii) Probar que a 2 1 (5) a 2 (5) ó a 3 (5). iv) Probar que 3 a 2 + b 2 3 a y 3 b. v) Probar que 7 a 2 + b 2 7 a y 7 b. vi) Probar que 5 a 2 + b 2 a 2b (5) ó a 3b (5). vii) Probar que 5 a 2 + b a ó 5 b. viii) Probar que cualesquiera sea a, b, c Z, a 2 + b 2 + c o es divisible por 8.

4 Álgebra I Práctica 4 Págia Demostrar que igua de las siguietes ecuacioes tiee solucioes eteras: i) x 3 2 = 7y, ii) 15x 2 7y 2 = 9, iii) 3x = y Probar que la ecuació x 2 + y 2 = 3 o tiee solucioes co (x, y) Q Probar que para todo N, el úmero o es primo. 28. Sea p u úmero primo. Probar que si p a b, etoces p +1 a p b p para todo N 0. Máximo comú divisor 29. Sea a Z. i) Probar que (5a + 8 : 7a + 3) = 1 o 41. Exhibir u valor de a para el cual da 1, y verificar que efectivamete para a = 23 da 41. ii) Probar que (2a 2 + 3a 1 : 5a + 6) = 1 o 43. Exhibir u valor de a para el cual da 1, y verificar que efectivamete para a = 16 da Sea a, b Z coprimos. Probar que 7a 3b y 2a b so coprimos. 31. E cada uo de los siguietes casos calcular el máximo comú divisor etre a y b y escribirlo como combiació lieal etera de a y b: i) a = 2532, b = 63, ii) a = 5335, b = 110, iii) a = 131, b = 23, iv) a = 2 + 1, b = + 2 ( N). 32. Sea a, b Z. Sabiedo que el resto de dividir a a por b es 27 y que b 48 (mod 27), calcular (a : b). 33. Sea a Z, a > 1 y sea, m N. i) Probar que si r es el resto de la divisió de por m, etoces el resto de la divisió de a 1 por a m 1 es a r 1. ii) Probar que (a 1 : a m 1) = a (:m) Verificar que la siguiete fució computa correctamete el Máximo Comú Divisor: Fució mcd (a,b) Si b =0 Etoces Devolver a Fi Si Devolver mcd (b,a % b) Fi Fució Aquí a % b deota al resto de dividir a por b. La fució está implemetada de maera iterativa. Cuátas iteracioes ocurre si llamamos a la fució e el par (F +1, F ), es decir dos térmios cosecutivos de la sucesió de Fiboacci? Qué podemos decir e geeral si la llamamos e el par (a, b)? 35. Sea a, b Z o ambos ulos. Probar que: i) (c a : c b) = c (a : b), c Z co c 0, ii) (a : b) = 1 y (a : c) = 1 (a : bc) = 1, iii) (a : b) = d y (a : c) = 1 (a : bc) = d, iv) (a : b) = 1 (a : b m ) = 1,, m N. 36. i) Determiar todos los a, b Z coprimos tales que 9a b + 7a2 b 2 Z. ii) Determiar todos los a, b Z coprimos tales que b + 4 a + 5 b Z.

5 Álgebra I Práctica 4 Págia Sea a, b Z co (a : b) = 2. Probar que los valores posibles para (7a + 3b : 4a 5b) so 2 y 94. Exhibir valores de a y b para los cuales da 2 y para los cuales da Sea a, b Z. Probar que si (a : b) = 1 etoces (a 2 b 3 : a + b) = Sea a, b Z tales que (a : b) = 5. i) Calcular los posibles valores de (ab : 5a 10b) y dar u ejemplo para cada uo de ellos. ii) Para cada N, calcular (a 1 b : a + b ). 40. Sea N. Probar que i) (2 + 7 : 2 7 ) = 1, ii) ( : ) = 3 ó 9, y dar u ejemplo para cada caso. iii) ( : ) = 2 ó 14, y dar u ejemplo para cada caso. 41. Sea N coprimo co 10. Probar que existe u múltiplo de de la forma Ecuacioes diofáticas y de cogruecia 42. Determiar, cuado exista, todos los (a, b) Z 2 que satisface i) 5a + 8b = 3, ii) 7a + 11b = 10, iii) 24a + 14b = 7, iv) 20a + 16b = 36, v) 39a 24b = 6, vi) 1555a 300b = Determiar todos los (a, b) Z 2 que satisface simultáeamete 4 a, 8 b y 33a + 9b = Determiar todos los b Z para los cuales existe a 4 (5) tal que 6a + 21b = Para ua multitudiaria fiesta se espera la presecia de exactamete 5000 ivitados. Los orgaizadores dispoe de dos tipos de mesas co las que debe asegurar que o falte i sobre igú lugar para que se siete todos los ivitados: mesas mediaas, para 8 persoas cada ua, y mesas grades, para 14 persoas cada ua. Además, los orgaizadores so supersticiosos, y quiere que la catidad total de mesas utilizadas sea u múltiplo de 13. De cuátas maeras distitas puede elegir la catidad de mesas de cada tipo? 46. Hallar, cuado exista, todas las solucioes de las siguietes ecuacioes de cogruecia: i) 17X 3 (11), ii) 56X 28 (35), iii) 56X 2 (884), iv) 33X 27 (45). 47. Hallar el resto de la divisió de u etero a por 18, sabiedo que el resto de la divisió de 7a por 18 es Hallar todos los N para los cuales ( 2 + 1). 49. Hallar todos los (a, b) Z 2 tales que b 2a (mod 5) y 28a + 10b = Hallar todos los a Z para los cuales (7a + 1 : 5a + 4) Describir los valores de (5a + 8 : 7a + 3) e fució de los valores de a Z.