Análisis Matemático I CIBEX - Repaso para el Primer Parcial

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1 Análisis Matemático I CIBEX - Repaso para el Primer Parcial Módulo 1: Funciones: dominio, imagen, operaciones entre funciones, funciones básicas 1. Indiquen el dominio natural de las siguientes funciones compuestas: a) ln( 2 3) + 1 b) 2 2. Dadas g() = ln y, encuentren el dominio de h() = f(g()) y justiquen su procedimiento. 3. Analicen si las siguientes funciones son pares o impares, o ninguna de las dos opciones: a) 2 1 b) g() = Propongan en cada caso un valor de la constantea para que la recta de ecuación a+2y 3 = 0 cumpla la condición indicada. Analicen en qué casos se puede encontrar más de un valor de a. a) Contenga al punto de coordenadas (1; 3) b) Sea paralela al eje y c) Sea paralela a la recta de ecuación + y 1 = 0 d ) Sea perpendicular a la recta de ecuación 2 + y 1 = Utilizando los grácos de las funciones sen y cos, hallen y señalen sobre el eje horizontal los valores en el intervalo [0, 2π] tales que: a) sen = 0.5 b) sen 0.5 c) d) cosec 1 2 Módulo 2 y parte del Módulo 5: Límites y continuidad 1. Analicen los límites indicados, justicando el procedimiento que utilicen: a) lím tan(2) π c) lím d ) lím e) lím f ) lím 0 1 cos g) lím 0 h) lím 0 sen (1 cos ) 2 2 1

2 i) lím π 4 j ) lím 0 ANÁLISIS MATEMÁTICO I CIBEX - REPASO PARA EL PRIMER PARCIAL 2 1 tan sen cos sen (2) 2. Denan qué signica que una función f() sea continua en un punto = a. Ilustren con una gráca. 3. Describan qué signica que una función f() tenga una discontinuidad tipo salto en el punto = 3. Ilustren con una gráca. 4. Comprueben que la siguiente función no es continua en = 2 2 4, 2 si 2 2, si = 2. Analicen si es posible refedinirla en = 2 para que f() resulte continua en dicho punto. 5. Sea la función dada por + 2, si < 0 + b, si > 0. Determinen el valor de b para que f() tenga una discontinuidad evitable en = 0. Justiquen el procedimiento. 6. Sea la función ¾Eiste un punto c en el intervalo [ 1, 1] tal que f(c) = 0? ¾Qué Teorema garantiza la respuesta? 7. Analicen si eiste algún número que verique que su cubo menos 8 sea igual a dos veces ese número. Enuncien el Teorema que garantiza la eistencia de dicho número y comprueben que en este caso se cumplan sus hipótesis. 8. Describan qué signica que lím a. Ilustren con una gráca esquemática. 2, 9. Sea la función 2 si ±2 4. a, si = 2 ó = 2 a) Determinen el valor de a para que f() sea continua en = 2. b) Comprueben que = 2 es la ecuación de una asíntota vertical de la función, sin importar el valor de a. 10. Describan qué signica que lím. Ilustren con una gráca esquemática. 11. Describan el signicado de asíntota horizontal a izquierda de una función. Ilustren con una gráca. 12. Calculen los siguientes límites en el innito. Justiquen su procedimiento a) lím ± c) lím ± Sea f() es una función tal que lím 3. Determinen si las siguientes armaciones son verdaderas o falsas. Justiquen la respuesta. a) f() < 3.1 para sucientemente grande. b) y = 3 es asíntota horizontal a la derecha. c) y = 3 es asíntota horizontal a la izquierda.

3 ANÁLISIS MATEMÁTICO I CIBEX - REPASO PARA EL PRIMER PARCIAL Calculen los siguientes límites, justicando su respuesta. e a) lím ln e c) lím e d ) lím e) lím f ) 2 π lím e ln ln ( 2 ) g) lím 5 sen ( ) 1 h) lím ( ln ) i) lím ln Sea la siguiente función 2, si < 1 1, si 1 < < 3. 4, si 3 a) ¾Cuál es el dominio de f? b) Calculen lím f() y lím f(). ¾La función tiene alguna asíntota horizontal? c) Analicen la continuidad de f() en todo el eje real. d ) Clasiquen la discontinuidad en = 1. Módulo 3: Derivada 1. a) Indiquen cuál es el dominio de derivabilidad de las siguientes funciones y calculen las funciones derivadas. ; g() = 2 1; h() = e ; k() = ln b) Indiquen el dominio donde se pueden usar reglas de derivación y calculen las derivadas de las siguientes funciones (la notación se reere a las funciones del inciso anterior): f() + g(); f(g()); g(f()); h() g() ; k(g()). 2. Si una función f() es continua en un punto 0, ¾pueden armar que es derivable? 3. Dadas las siguientes funciones, indiquen en qué dominio son derivables y encuentren la función derivada. 4 2 ( + 1) 1 ; e 3 ; + cos sen(2), 4. Calculen (f g) () en el valor de indicado. a) ; g() = ; = 0 ( ) 2 =1 b) ; g() = 1 =1; = = ¾Qué entienden por recta tangente a la gráca de una función en un punto? Den un ejemplo donde eista la recta tangente y uno donde no eista. 6. Dada + cos,

4 ANÁLISIS MATEMÁTICO I CIBEX - REPASO PARA EL PRIMER PARCIAL 4 a) escriban la ecuación de la recta tangente en el punto 0 = π 2 y en 1 = π 4. b) Escriban la epresión de un incremento diferencial de la función f() alrededor de cada uno de esos puntos. ¾En cuál es mayor el ritmo de crecimiento? c) ¾eiste algún punto del dominio c cuya recta tangente sea paralela a la recta y =? Fundamenten su respuesta. 7. Dada 2 + 4, a) escriban la ecuación de la recta normal a la gráca de y = f() en el punto ( 3, 5). b) encuentren dos puntos del dominio cuya recta tangente sea paralela a la recta y = ¾Eiste algún punto en la gráca de ln donde la recta tangente sea paralela a la recta de ecuación 4=2y + 1 = 0? Si la respuesta fuera armativa, hallar la ecuación de la recta tangente. 9. Dada la función 4, si 3 < 5 1, si 5, a) Determinen si eiste la derivada lateral f +(3). b) Analicen la continuidad de f() en todo su dominio. c) ¾Es f() derivable en = 5? Justiquen la respuesta. 10. Dada la función + b, si < , si 1 a) Encuentren el valor de la constante b para que f() sea continua en 0 = 1. b) Para el valor de b encontrado: 1) calculen (si es que eisten) las derivadas laterales f y f + en 0 = 1. 2) ¾Es derivable en 0 = 1? c) Elijan ahora b = 0. Sin calcular el cociente incremental, ¾será f() derivable en 0? ¾En qué resultado está basada la respuesta? 11. Sea. Calculen, si es que eiste, f +(0). ¾Se puede aplicar la regla de la derivada de un producto en este caso? Módulo 4: Crecimiento, etremos locales y absolutos 1. Sea la función 2/3 en el intervalo [0, 1]. Sin calcular la función derivada, analicen si la siguiente armación es verdadera o falsa. Justiquen la respuesta. Graquen la situación. Eiste un punto cen el intervalo [0, 1]tal que f (c) = ¾Por qué se puede asegurar que una función con derivada positiva en un intervalo abierto sea creciente en ese intervalo? Utilicen el Teorema del Valor Intermedio para elaborar su respuesta. 3. En cada caso, sabiendo que g() es la función derivada de una función f(), encuentren los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f() y determien la eistencia de etremos locales. Graquen cualitativamente f() sabiendo que f(0) = 2. a) g() = 2 1 b) g() = 3 4. Sea la función ( 2 4) 2/3. a) Hallen los etremos locales. ¾Alguno de ellos es absoluto? b) Hallen máimo y mínimo absolutos en el intervalo [ 1, 3]. ¾Por qué sabe que eisten, antes de calcularlos?

5 ANÁLISIS MATEMÁTICO I CIBEX - REPASO PARA EL PRIMER PARCIAL 5 5. Construyan una función que describa las siguientes situaciones (averigüen los términos que no conozcan). No olviden indicar el dominio adecuado. Luego resuelvan el problema planteado. a) Un rectángulo se inscribe en un semicírculo de radio 2. ¾Cómo se representa el área de los distintos rectángulos posibles en función de la longitud de sus bases? ¾Cuál es el área máima que puede tener el rectángulo y cuáles son su base y su altura en ese caso? b) Se quiere construir una lata cilíndrica, con tapa, que contenga eactamente 1000 cm 3 de aceite. ¾Cómo pueden describir la cantidad de metal necesario para fabricarla? ¾Cuáles deben ser las dimensiones de la lata para minimizar la cantidad de metal que se utilizará? c) Encuentren distintos pares de números reales cuya suma sea 23. Entre todas las posibilidades, seleccionen los números tales que su producto sea máimo. d ) Encuentren dos números positivos cuyo producto sea 100 y cuya suma sea mínima. 6. Una gura rectangular está apoyada sobre el eje, tiene su lado derecho sobre la recta = 3 y el vértice superior de su lado izquierdo sobre la gráca de la función 1. a) Graquen la situación. b) Construyan una función que eprese el área de la gura en función de la posición del vértice inferior del lado izquierdo. c) Indiquen el dominio de esta función. d ) Determinen la posición del vértice inferior que hace máima el área de la gura y el valor del área correspondiente. 7. Justiquen por qué las siguientes armaciones son verdaderas: a) La función cos ( ) tiene recta tangente horizontal en algún punto de abcisa 1 < < 3. b) Sea f() una función derivable en R que posee en 0 un punto crítico. Entonces la función g() = f() + cos( 0 ) también posee un punto crítico en 0 c) La función ln ( ) presenta un máimo y un mínimo absolutos en el intervalo [1, 10]. Módulo 5: Comportamiento asintótico. Análisis cualitativo de grácas 1. Dadas dos funciones que tienden a innito, ¾qué signica que una tenga mayor orden de magnitud que la otra? En los items a), b), c), d), e) del ejercicio 14 de la página 3, de acuerdo al resultado obtenido comparen el orden de magnitud entre el numerador y el denominador 2. Gracar las siguientes funciones, indicando dominio, puntos de discontinuidad, regiones de crecimiento y/o decrecimiento, máimos y/o mínimos locales, regiones de concavidad y comportamiento asintótico (asíntotas horizontales o verticales). a) b) c) e 2 d ) 1 + ln(1 2 ) e) 2 + 1