TALLER 1B TALLER: FUNCIONES

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1 UNIVERSIDAD DEL VALLE Matematica Fundamental (111007M) Profesor: Alvaro Ortiz TALLER 1B TALLER: FUNCIONES 1. Bajo ciertas condiciones, si dos padres con ojos de color café tienen exactamente 3 hijos, la probabilidad P de que tengan exactamente r hijos con ojos azules está dada por la función P = P (r), donde P (r) = 3!( 1 4 )r ( 3 4 )3 r r!(3 r)! Determine la probabilidad de que exactamente dos de los hijos tengan los ojos azules. FUNCIONES POLINÓMICAS 2. Encuentre todos los valores de la constante k para los que la recta (k 3)x (4 k 2 )y + k 2 7k + 6 = 0 a) Sea paralela al eje x. b) Sea paralela al eje y. c) Pase por el origen. 3. Obtener una valor de k tal que sean perpendiculares las rectas cuyas ecuaciones son 3kx + 8y = 5 y 6y 4kx = Los biólogos han encontrado que el número de chirridos por minuto hechos por los grillos de cierta especie están relacionados con la temperatura. La relación es

2 casi lineal. A 68 F, los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto. A 80 F son alrededor de 172 por minuto. Determine una ecuación que dé la temperatura Fahrenheit, T en términos del número de chirridos, c, por minuto. 5. Un bebé pesa al momento de nacer 6 libras y 4 aˆnos después alcanza un peso de 38 libras. Suponga que el peso (en libras) de un niˆno hasta los 6 aˆnos está relacionado linealmente con la edad (en aˆnos). a) Exprese el peso del niˆno en función de su edad. b) Determine el peso del niˆno a los tres aˆnos. c) Qué edad tiene el niˆno si su peso es de 22 libras?. 6. La relación entre la temperatura T del aire (en F ) y la altitud h (en pies sobre el nivel del mar) es aproximadamente lineal. La temperatura al nivel del mar es de 60 F. Si la altitud es de 5000 pies, la temperatura del aire decrece alrededor de 18 F. Expresar a T en función de h y calcular la temperatura del aire a una altitud de pies. 7. Se lanza desde el piso una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 58,8m/s. La altura y (en metros) en función del tiempo (en segundos), está dada por y = 4,9t ,8t Cuál es la altura máxima y cuánto tiempo tarda en alcanzarla? 8. Los animales que saltan siguen, al brincar, trayectorias parabólicas. La figura muestra el salto de una rana superpuesta a un sistema de coordenadas rectangular. La longitud del salto es de 9 pies y la altura máxima es de 3 pies. Halle una función cuadrática f que especifique la trayectoria de la rana.

3 9. Obtenga un polinomio f(x) de grado 7 tal que 1 sea una raiz de multiplicidad 2, 0 una raiz de multiplicidad 3, 1 es una raiz de multiplicidad 2 y f(2) = A una isla pequeña se introdujo una manada de cien venados. Suponiendo que el número de animales está dado por N(t) = t t donde t es el tiempo en años. Para qué tiempo el número de venados será de 180? OPERACIONES CON FUNCIONES, FUNCIONES COMPUESTAS E INVER- SAS, FUNCIONES A TROZOS, GRAFICAS 11. Un globo esférico de juguete se infla con gas helio. Si el radio del globo cambia a razón de 1,5cm/seg. Expresar el volumen V del globo como una función del tiempo. 12. En un campo seco empezó un incendio que se propaga en forma de circulo. Si el radio de este circulo aumenta a razón de 6pies/min. Exprese el área total del incendio como función del tiempo t. 13. Determine las funciones f y g tales que h(x) = f(g(x)) a) h(x) = (4x 3) 3 b) h(x) = 5 x+1 3 c) h(x) = x+1 (x+1) 2 +2 d) h(x) = x 2 2 e) h(x) = 1 x En los siguientes ejercicios, halle f +g, f g, f.g, f/g, f g y g f y sus dominios. a) f(x) = x + 4 y g(x) = x 2 9 b) f(x) = x 3 + 5x y g(x) = 4x

4 c) f(x) = x 2 + 9x y g(x) = x + 9 d) f(x) = 3 x y g(x) = x e) f(x) = x x+1 y g(x) = x 1 f ) f(x) = 1 x+1 y g(x) = x + 1 g) f(x) = x 3 1 y g(x) = 3 x Encuentre la función inversa de f. a) f(x) = 1 3x 1 x > 1 3 b) f(x) = 9 x 2, x 0 c) f(x) = 4 x 2, 0 x 2 d) f(x) = 3 x + 8 e) f(x) = 5x Tiene inversa la función constante?. Explique. 17. Sea f(x) = 2x + 3 si x < 0 x 2 si 0 x < 4 x si x > 4 a) halle f(0), f( 1), f(4), f( 3), f(1/2), f(5). b) Determinar el dominio de f c) Graficar 18. En un cultivo están desarrollándose bacterias. El tiempo t (en horas) para que el número de bacterias se duplique (tiempo de generación), es una función de la temperatura T (en grados Celsius) del cultivo. Si esta función está dada por 1 t = f(t ) = T + 11 si 30 T T 175 si 36 < T

5 a) Determinar el dominio de f b) Encuentre f(30), f(36), f(39) 19. Graficar las siguientes funciones, hallar dominio y rango, determinar intervalos donde la función es creciente, decreciente o constante. a) f(x) = x b) f(x) = (x 3) 3 c) f(x) = x + 5 d) f(x) = (x 1) e) f(x) = 25x x + 1 f ) f(x) = 3x + 4 g) f(x) = 9 (x 1) 2 h) f(x) = x x 20. En los siguientes ejercicios pruebe la simetría con respecto al eje x, y y al origen. a) y = 5x b) 2x + y 2 = 4 c) 4x 2 + y 2 = 16 d) f(x) = (x 1) e) f(x) = 9 x 2 f ) f(x) = x3 x Existe una función que es par e impar a la vez. Cuál es?. FUNCIONES RACIONALES 22. El efecto de fotoinhibición es la rapidez de realización P de la fotosíntesis que debe disminuir hacia cero conforme la intensidad de la luz I crece hasta alcanzar

6 niveles altos (ver la figura). Cuál de las siguientes funciones debe usarse y cuál no? Por qué? a) P = ai b+i b) P = ai b+i 2 positivas. donde a y b son constantes 23. Determine las asíntotas horizontales y verticales y dominios de las siguientes funciones f(x) = 4 x 2 f(x) = x2 + 4 x f(x) = x2 + 1 x 2 1 f(x) = x2 25 x Un problema importante en la ciencia de la pesca consiste en predecir la población R de crías adultas (los renuevos) para el próximo año, a partir del número S de hembras que están desovando actualmente. Para algunas especies (como el arenque del mar del Norte) la relación entre R y S es de la forma R =. Cómo se interpreta la constante a?. as S + b 25. El costo C(x) (en miles de dólares) de limpiar x por ciento de un derramamiento de petróleo en la costa, aumenta mucho cuando x se aproxima a 100. Suponga que C(x) = 20x 101 x Compare C(100) con C(90) Qué concluye?. FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES 26. Graficar, hallar dominio y rango. f(x) = 2+3 x f(x) = 2 x f(x) = ( ) x 3 f(x) = 3 x+2 4

7 27. Graficar, hallar dominio y rango ( ) 1 f(x) = log 2 x f(x) = log 3 x f(x) = log 1 (x 3) 2 f(x) = log 3 (2 x) 28. En estadística la función de distribución normal se define como f(x) = 1 σ 2π e 1 2 ( x µ σ ) 2 para números reales µ y σ > 0 (A µ se le conoce como la media y a σ como la variación de distribución. Trace la gráfica de f para el caso en que σ = 1 y µ = La semivida del radio es de 1600 años es decir dada cierta cantidad de radio, la mitad se desintegrará en 1600 años. Si la cantidad inicial es q o miligramos puede mostrarse que la cantidad q(t) restante después de t años está dada por q(t) = q o 2 kt. Encuentre k. 30. El número N de bacterias en cierto cultivo después de t horas, está dado por N = t. Exprese a t como una función logaritmica de N con base Si n es el número promedio de terremotos (en todo el mundo) en un año, cuya magnitud está entre R y R + 1 (en la escala Richter) entonces log n = 7,7 (0,9)R a) Exprese a n en términos de R b) Calcule n si R = 4, 5, El peso W (en kilogramos) de una población de elefantes africanos hembras está relacionado con la edad t (en años) mediante W = 2600(1 0,51e 0,075t ) 3 a) Cuánto pesa un elefante recien nacido? b) Suponiendo que una hembra pesa 1800 kilogramos, estime su edad.

8 33. La fórmula de Ehrenberg ln W = ln 2,4 + (1,84)h es una fórmula que relaciona la estatura h (en metros) con el peso W (en kilogramos) de niños entre 5 y 13 años de edad. La fórmula ha sido verificada en muchos países. Exprese W como función de h. 34. Un nivel de intensidad del sonido de 140 decibeles produce dolor en el oido humano. Cuántas veces, aproximadamente debe ser I más grande que I 0 para que ( I α alcance este nivel. α = 10 log I 0 ). 35. La corriente I de cierto circuito eléctrico en el tiempo t está dada por I = E Rt (1 e L ) R en la que E, R, L representan la tensión o voltaje aplicado, la resistencia y la inductancia respectivamente. Use logaritmos naturales para evaluar t en términos de los demás simbolos. 36. Resuelva la ecuación 5 2x+1 = 6 x Relación presa- depredador En un artículo que concierne a presas y depredadores, Holling 1 hace referencia a una ecuación de la forma y = K(1 e ax ) donde x es la densidad en presas, y es el número de presas atacadas y K y a son constantes. Verificar su aseveración de que ( ) K ln = ax K y 1 C.S.Holling, Some Characteristics of Simple Types of Predation and Parasitism. The Canadian Entomologist, 91,num.7 (1959),