Soluciones de las actividades

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1 Soluciones de las actividades Página 09. Se divide coste entre tiempo y resulta 0,8 para todos los planes, por tanto es una función tal que: c(t) 0,8t c(,), miles de euros. Página 0. Las soluciones son: a) f (0) f () - f ( ) f () b) f (0) / f () / f ( ) / f () no eiste (cero en el denominador) c) f (0) f () 0 f ( ) 0 f () no eiste (raíz negativa) d) f (0) f () f ( ) f () 7. Los dominios de las funciones son: a) Dom (f) R {} b) Dom (f) [, + ) c) Dom (f) R {8, -8} d) Dom (f) (-, -] [, + ) Página. Las soluciones son: a) f + g + + b) f + h + c) f g d) f h + e) h g - + f) f h + g) f g + h) g h. El dominio en cada caso es: a) Dom (g/h) R {-/} b) Dom (f/h) R {-/} c) Dom (/(f g)) R {-, 0, } d) Dom (f/h ) R {-/} Página 6. Las funciones compuestas f g y g f son: a) ( f g )() (log ) ( g f )() log ( ) b) ( f g ( g f )() ln (e ) )() e ln c) ( f g )() e + ( g f )() e + d) ( f g )() ( g f )() Las funciones compuestas f g y g f y sus dominios son: a) ( f g )() (ln ) Dom ( f g ) (0, + ) ( g f )() ln ( ) Dom ( g f ) (-, -) (, + ) b) ( f g )() ( -) ( ) + Dom ( f g ) (-, (- 7 ) / ] (-, ) [( ) /, + ) ( g f )() + + ( + ) - + Dom ( g f ) [-, -) (-, + ) 8. La función compuesta h g f y su dominio son: a) ( h g f )() ( + + ) Dom ( h g f ) R b) ( h g f )() - Dom ( h g f ) (-, - ] [, + ) 7-

2 c) ( h g f )() + - ( -) - + Dom ( h g f ) R d) ( h g f )() ( 7) + - ( 7 - ) + horizontal, que coincide con el eje, y 0. Su único punto de corte con los ejes es el origen de coordenadas (0, 0).. Las imágenes se repiten a intervalos de longitud π, por tanto, el período es π.. Las respuestas son: a) Una función no puede tener más de dos asíntotas horizontales: una en la que tiende a, y otra en la que tiende a -. No es posible que haya más. + 9 Por ejemplo: f ( ), tiene asíntotas en y y en y -. Dom ( h g f ) R {7} Página 9. Las funciones inversas son: a) y / y +/ b) y y + c) log y y 0 d) y + y ± - No es una función 0. Comprobamos: ( g f )( ) log log ( f g) ( ) Tampoco puede tener más de dos asíntotas oblicuas, de nuevo para, y para - (una por la derecha de la gráfica y otra por la izquierda). Por ejemplo: f ( ) +, cuyas asíntotas + son y +, e y -.. Es la identidad, ya que I (I()) I () Página. La simetría de las siguientes funciones es: a) f (-) -(-) + (-) - + f () Simetría respecto del eje de ordenadas. ( ) + + b) f (-) -f () Simetría respecto del origen de coordenadas. c) f (-) (-) (-) + (-) - + -f () Simetría respecto del origen de coordenadas. d) f (-) ( ) -f () ( ) b) No, pues una asíntota vertical implica un valor de en el que la función no está definida. Por ejemplo: f ( ) tiene una asíntota vertical en, y su dominio es Dom(f) R- {} 7- Simetría respecto del origen de coordenadas.. Tiene dos puntos de discontinuidad, -, y, de tal forma que tiene dos asíntotas verticales, una en cada punto; tiene además una tercera asíntota,

3 Página 7 6. Tal y como se aprecia en la figura, la función es decreciente en (-, -/) y en (0, /), y creciente en (-/, 0) y en (/, ). Tiene don mínimos relativos, en -/ y en /, y un máimo relativo en 0. Es cóncava en (-, -) y en (, ), y convea en (-, ). Así pues los puntos de infleión son - y. 7. Una gráfica con esas características es: b) f() g() c) f() g() d) f() / g() P. La imagen de por la función compuesta f g se calcula: ( f g) () f(g()) La composición de funciones no es conmutativa, por ejemplo, si f() y g() sen : ( f g) () f(sen ) sen () ( g f ) () g( ) sen ( ) P6. Es la función que cumple que si f() y, entonces se cumple que f (y). No siempre eiste, para comprobarlo se debe cumplir: ( f f )( ) ( f f ) I( ) Por ejemplo f () tiene función inversa: y y f - () 8. Las respuestas en cada caso son: a) Tiene simetría respecto al origen de coordenadas, y es discontinua en 0. Es decreciente en los dos intervalos del dominio, así que no tiene máimos ni mínimos relativos. Es convea en (-, 0), y cóncava (0, + ). b) Tiene simetría respecto al origen del eje de ordenadas, y es continua en todo el dominio. Es creciente en (-, 0), y decreciente (0, + ), con un máimo absoluto en 0. Es convea en (-, ), y cóncava en (-, -) y en (, + ), con puntos de infleión (-, ) y (, ). 9. No puede eistir tal función, pues si es estrictamente creciente y cóncava en todo su dominio, no puede cortar al eje de abscisas en más de un punto. ( f f )( ) I( ) ( ) I( ) ( f f )( ) Por ejemplo f () no tiene inversa, ya que: y y ± Tendría inversa si solo la estudiáramos en el segmento D [0, + ). P7. Una función f () par es la que cumple f (-) f () y su gráfica presenta simetría respecto del eje de ordenadas. Una función f () impar es la que cumple f (-) -f () y su gráfica presenta simetría respecto del origen de coordenadas. P8. Una función periódica de período p si se cumple, para cualquier perteneciente al Dom (f), que f ( + p) f (). Por ejemplo la grafica de una función periódica con p sería: Página 0 P. Mientras que en una correspondencia hay una relación entre cada elemento del primer conjunto con ninguno, uno o más elementos del segundo, en una función, a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único valor del segundo. Un ejemplo de correspondencia sería: ± P. Cuando el primer y el segundo conjunto son subconjuntos de la recta real. P. En una función f (), el dominio, Dom (f), es el conjunto de valores que toma mientras que la imagen, Im (f), es el conjunto de valores que toma f(). P. Las epresiones en función de f () y g () son: a) f() + g() P9. Para obtener los puntos de corte de una función f () con el eje de las X, tenemos que resolver f () 0. Y para obtener los puntos de corte con el eje de las Y, tenemos que resolver f (0) siempre que 0 pertenezca al Dom (f). P0. Cuando se puede dibujar en papel sin levantar el lápiz. P. Es una recta a la cual la función se acerca indefinidamente, sin llegar a cortarla. 7-

4 P. Para cualesquiera y pertenecientes al intervalo, tales que <. Una función será creciente si se cumple f ( ) f ( ). Y será decreciente si se cumple f ( ) f ( ). Si la función pasa de creciente a decreciente en un punto, dicho punto es un máimo relativo. Si pasa de decreciente a creciente, es un mínimo relativo. P. Una función será cóncava en a si la recta tangente a la curva en a está por debajo de la gráfica en ese punto. En cambio, será convea si la recta tangente está por encima de la grafica. Tercera función: h() / 0 0 / /6 0 00/ 0. Las respuestas son: 7-6 a) f ( ) +, g( ), b) Primera función: f() Segunda función: g() h ( ) +. Las soluciones son: a) f (0) f () f ( ) 9 f () f ( ) 9 b) f (0) no eiste (raíz negativa) f () no eiste (raíz negativa) f ( ) no eiste (raíz negativa) f () no eiste (raíz negativa) f ( ) 0. Calculamos, y los resultados son: a) f(0) no eiste b) f() - c) f() no eiste d) f(-) no eiste e) f() f) f() / 9 g) f(-) / h) f(-) La función no está definida para 0,,, valores que hacen cero el denominador.. Es dominio de cada función es: a) Dom (f) R b) Dom (f) R {-, } c) Dom (f) R {-, 0, } d) Dom (f) (-, / ] [, + ) e) Dom (f) R f) Dom (f) R g) Dom (f) (-, -] [, + ) h) Dom (f) (-, ]

5 . El dominio de la función es: Dom (f) (-, -) (-, -] (, ) [, + ). Buscamos una función que no esté definida en -, 0, y. Lo más sencillo es buscar un cociente cuyo denominador se anule en esos tres valores de : f ( ) ( + )( ) 6. Las soluciones son: a) b) c) d) e) f + g + f + h + + g + h f g g h f) f h g) f h + 9 c) ( f g)( ) 9 ( g f ) 9. f ( ) g ( h i), donde: i ( ), h ( ), y g ( ) Página 0. Analíticamente: f ( ) + y + y g( ), son inversas. Gráficamente: h) f g i) g h f 7., y su dominio es R salvo aquellos g valores de que anulen el denominador: Dom(f/g) R-{0, } f h h g Dom(f/h) R ; hallamos las raíces del denominador: ( ) Dom(h/g) R-{0, } 8. Las funciones compuestas son: a) ( g f )( ) ( f g)( ) + + ( + ) b) ( g f )( ) ( )( ) f g + +. Comprobamos que la composición da la identidad: g f 6 ( )( ) Las funciones inversas son: a) y + 9 y 9 b) y y + y c) y y + d) y 6 y + 6. Las respuestas son: a) f (-) (-) (-) + + f () Función par con simetría respecto del eje de ordenadas. ( ) b) f (-) -f () ( ) Función impar con simetría respecto del origen de 7-7

6 coordenadas. d) f ( ) ( ) f ( ) d) Función par con simetría respecto del eje de ordenadas. ( ) ( ) f ( ) ( ) + + No es par ni impar, no tiene simetrías.. La simetría en cada caso es: a) Simétrica respecto al origen de coordenadas. b) Simétrica respecto al eje de ordenadas.. Las soluciones son: 6n a) f ( ) a( ) + b( ) + c y como 6n será siempre un número par: 6n f ( ) a + b + c f ( ) Función par. b) f ( ) a( ) + b( ) + c 6n+ y como 6n+ será siempre un número impar: 6n+ f ( ) a b + c No es par ni impar. 6. Al ser impar, f(-) -f() f(-) -f() -7 Y como es simétrica respecto al origen de coordenadas, en habrá un máimo relativo. 7. Su período es. 8. La gráfica para caso queda: a) b) 9. Los puntos de corte son: a) Con el eje y: y, Con el eje : -, -,, y b) Con el eje y: y Con el eje : -, -, -, y 0. Los puntos de corte con los ejes son: a) Con el eje y: y 0 + Con el eje : + 0, no hay puntos de corte con el eje. b) Con el eje y: Con el eje : ± c) Con el eje y: Con el eje : y y , descartamos - porque haría que el denominador fuese 0. d) Con el eje y: y 8 8 Con el eje : e) Con el eje y: y + Con el eje : , no eisten puntos de corte con el eje. f) Con el eje y: y 8 Con el eje : c). Las respuestas son: Cierto. Falso, g no está definida en (-. ). Falso, su período es. Falso, Im(f)(0, ). Cierto. Falso, no es simétrica respecto al eje de ordenadas. Falso, para > es creciente. Cierto. Cierto. 7-8

7 Página. No presenta simetría, y es continua en todo su dominio. Es creciente en (-, -7,) y (7, + ), y decreciente en (-7,, 7). Tiene un máimo relativo en (-7,, 6) y un mínimo relativo en (7, -). Es convea en (-, -) y (0,,), cóncava en (-, 0) y (,, + ), y tiene tres puntos de infleión: (-, ), (0, 0) y (,, -).. Actividad personal. A modo de ejemplo:. Las respuestas son: a) Presenta discontinuidad para n, con n,,.... Las soluciones son: a) Para k 0 f ( ), resulta una función impar, es decir, simétrica respecto al origen de coordenadas, continua en todo R, convea en (-, 0), cóncava en (0, ), y con un punto de infleión en (0, 0). b) No eiste epresión analítica como tal, pero se puede epresar en lenguaje matemático como: E( ) ma{ k Ζ / k } Para k f ( ) +, de nuevo impar (simétrica respecto al origen), continua en todo R, convea en (-, 0), cóncava en (0, ), y con un punto de infleión en (0, 0). 6. Las respuestas son: a) Al inicio ( 0) tenían 00 mil euros (y 00). b) A partir de los 00 días, pues es cuando la y se vuelve negativa (pérdida de beneficios). c) La coordenada y vuelve a ser positiva para 800 días, es decir, que tienen que pasar días. 7. Las soluciones son: a) El beneficio serán los ingresos menos los costes, es decir: I ( ) C( ) Para k f ( ), ahora es impar, continua en todo R, convea en (-, 0), cóncava en (0, ), pero con un máimo y un mínimo relativos. b) Será rentable hasta que deje de dar beneficios, es decir, cuando y I( ) C( ) < 0, lo cual ocurre para 0 años. b) Siempre habrá un punto de infleión en (0, 0). 8. Las respuestas son: a) m 00 t ms b) t s 000 ms m 68,

8 9. Las soluciones son: a) Si el número de entradas vendidas es, los beneficios son: y ( ) 8, 00 b) c) Calculemos la inversa: r πa A. El área de un rectángulo es A b h, con b la base y h la altura. Si construimos el rectángulo con la cuerda de 00 m, se tiene que el perímetro: 00 b + h. 00 h b 0 h A 0h h ; si la re- Con lo que el área queda: presentamos respecto de h: r π Habrá beneficio desde que y > 0, así que, según el gráfico, a partir de, entradas vendidas. c) La función será entonces: y ( ) (0, 8, + 0,6 0) 00 9, 00 así que se obtendrían beneficios a partir de: 00 y 0 9, 00, 9, Es decir, a partir de entradas vendidas. 0. Si es el número de días que van a estar de vacaciones, e y() lo que les va a costar: a) Opción A: y ( ) Vemos que tiene un máimo para h m A 6 m ma. Producirá la máima luminosidad cuando sea lo más grande posible, es decir, con la mayor área posible. El área de un rectángulo es A b h, y como su perímetro cumple 8 b + h b h, y así: A h h, que si la representamos: Opción B: y( ) 80 b) A partir de días, pues así con la opción A gastan 860, y con la B Las respuestas son: a) Dom(r) R, y la imagen es A 0. b) A,0 m πr,0 r 6 m π Vemos que tiene un máimo en h m, así que el área máima será: A m ma Numéricamente, si vamos dando valores a h: h A h h A Vemos que h cumple que antes y después de él todos los valores de A son inferiores, ergo, es un máimo. Página. El valor de k para que f () + k tenga por dominio [, + ) es: 7-0

9 k f () +. El dominio y la imagen en cada caso son: a) eistirá siempre que, así que su dominio es Dom ( f ) { R / } Por otro lado, su imagen tomará siempre valores + negativos, al tener un signo menos delante de un valor absoluto: Im( f ) { y R / y < 0} b) está definido siempre, así que Dom(g) R Por otro lado, al haber un valor absoluto, g() sólo va a poder tomar valores positivos: Im( g ) { y R / y > 0} 6. El dominio en cada caso es: 7 a) Si < -, está definido salvo para ; y si -, está definido en todo R. + Además, la función tiene una discontinuidad en el punto -, donde cambia de comportamiento, así que: Dom ( f ) { R /, } b) está definido salvo en las raíces del denominado; calculémoslas: ± + ±, Por su parte, está definido salvo en 9 ±. En definitiva: Dom ( g) { R /,, } 7. La inversa de f() ( / ) es: y y log f y () log Comprobación: (f f ) () (f f ) () log log log / log log I () log I () 8. Demostración de que f () - + no tiene inversa: -y + y tiene inversa. ± No es una función, no Teniendo en cuenta que Dom (f) (-, ] y que solo podemos considerar los números reales positivos, para que la raíz le corresponda un único valor, el intervalo en el cual la función tendrá inversa será [0, ]. Y su inversa será: -y + y Comprobación: (f f ) () f - () ( + ) + I () (f f ) () ( ) I () 9. Actividad personal. A modo de ejemplo: 60. ( f g) f ( g( )), del mismo modo, ( f h) f ( h( )), y como f g f h f ( g( )) f ( h( )) g( ) h( ) Por ejemplo: f ( ) +, g( ), h( ) ( + )( ) f g f h ( ) + ( + )( ) + f g f h g( ) h( ) Esto es cierto en general, se cumple aunque la función f no tenga inversa. Por ejemplo: f ( ) +, g ( ) h( ) f g f h ( ) Si y f() es par, entonces f(-) f(). Así, y f () cumplirá f ( ) f ( ), seguirá siendo par. Si y f() es impar, entonces f(-) -f(). Así, y f () cumplirá f ( ) f ( ) f ( ), será par. 6. Una función impar cumple f (-) -f (), por tanto, cuando 0 se cumple 0 y 0. Por lo que necesariamente f (0) 0 y f (0) Tiene período, pues f ( + ) f ( ). Por ejemplo: 7-

10 f (,), E(,), 0, f (, + ) f (,), E(,), 0, 6. Si f y g son funciones crecientes en un subconjunto D de R entonces para cualesquiera y, pertenecientes a D, tales que <, se verifica que f ( ) f ( ). Y lo mismo para g (). a) Si k ϵ R y k > 0 f ( ) f ( ). k f ( ) k f ( ) Por tanto creciente. Si k ϵ R y k < 0 f ( ) f ( ). k f ( ) k f ( ) Por tanto decreciente. b) (f + g) ( ) f( ) + g ( ) (f + g) () f ( ) + g ( ) Si < (f + g) () (f + g ) ( ) Por tanto (f + g) () es una función creciente. c) ( f g) ( ) f( ) g ( ) ( f g) () f ( ) g ( ) Si < (f + g) () (f + g ) ( ) Por tanto ( f g) () es una función decreciente. Evaluación de estándares. f ( ) m + n + p f ( ) 9m + n + p f ( ) 6m + n + p Tengo tres ecuaciones con tres incógnitas. Resto la segunda y la primera, y la tercera y la segunda: m + n, y resto estas dos: m 6 m 7m + n Así: n m 9, y p m n Con lo cual: f ( ) + 9. El dominio de las funciones es: a) Dom(f) R b) Si está comprendido entre -8 y 8, resulta la raíz de un número negativo, así que: Dom ( f ) { R / 8, 8} c) Las raíces del denominador son: ± ±, Así: Dom ( f ) { R /, } d) Dom ( f ) { R /, }. Los resultados son: a) ( f g )( ) ( )( + 6) f h b) g g h ( )( + 6) c) f La composición es: g f ( + ) Dominio de la función: Dom ( g f ) R + Y como siempre será mayor o igual que (-), su imagen es: Im( g f ) { y R / y }. La función inversa es: y y ; y y ; y y + ; y( ) + ; y. 6. La simetría en cada caso es: a) f ( ) + f ( ), f( ) f() No es par ni impar. b) f( ) f() c) d) Es impar. f ( ) f () Es impar. f( ) f() Es par. 7. Corte con el eje y: f ( 0) 6 7-

11 + 6 Corte con el eje : ± + 6 +, 8. Una gráfica con esas características es: Imagen: Im( f ) { y R / y,} Monotonía: Es creciente en (, 0,) y en (,, ). Es decreciente en ( 0,,,) y en (, ). Curvatura: Es convea en (, ) y cóncava en (, ). Tiene un punto de infleión en (,,). Hay dos máimos relativos, en ( 0,,,) y en (,,), y un mínimo relativo en (,, 0,). 0. Una gráfica a modo de ejemplo es la siguiente: 9. Las soluciones son: Dominio: Dom ( f ) R 7-

12 DIRECCIONES DE INTERNET TICHING WEBS ncion.htm 7-