Profesora: María José Sánchez Quevedo FUNCIÓN DERIVADA

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1 FUNCIÓN DERIVADA Cosideremos, de etrd, u fució f cotiu, Ituitivmete diremos que l fució f es derivble si es de vrició suve, esto es, que o preset cmbios bruscos como picos o cmbios vertigiosos pediete ifiit. Observ l gráfic de ls siguietes fucioes: e qué putos, vlores de, o es suve l fució? f derivble e f o derivble e (pto guloso e ) f o derivble e (pto de tgete verticl e ) Veremos todo lo ecesrio pr defiir, mtemáticmete, lo que es u fució derivble.

2 DEFINICIÓN DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se f u fució cotiu e =, se defie l derivd de l fució f e el puto = y se escribe f( ) como: f( ) lim f f ( ) ( ) Si f( ) eiste, es fiito, se dice que f es DERIVALBLE EN = Se deomi domiio de derivbilidd, l cojuto de vlores posibles pr los que el límite terior eiste (es fiito), éste cojuto, coicidirá como mucho, co el domiio de cotiuidd de l fució. Ejemplo : Se l fució elemetl f ( ), tomemos el puto =, clculemos f () f f 4 0 f() lim lim lim lim 4 0 Esto es f () 4 Ejemplo : Se l fució elemetl f ( ), tomemos el puto = 4, clculemos f (4) f f f (4) lim lim lim lim lim lim Esto es 4 4 f (4) 4 DERIVADAS LATERALES Se f( ) u fució cotiu, se defie: f( ) f( ) l derivd lterl por l izquierd: f( ) lim f( ) f( ) l derivd lterl por l derech: f( ) lim L fució f será derivble e = cudo eist, se fiits, ls dos derivds lterles y coicid f ( ) f ( ) lim f( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim eiste y coicide f ( ) f ( ) lim f( )

3 FUNCIÓN DERIVADA E geerl, dd u fució f(), l fució derivd f () es u plicció tl que cd vlor de e geerl le hce correspoder l derivd de l fució pr dicho vlor f. D D f f f () Ejemplo : Se l fució costte f ( ) K, tomemos u puto culquier, clculemos f ( ) f f KK 0 f( ) lim lim lim 0 Esto es f ( ) 0 CONCLUSIÓN : Pr u " " e geerl será: f( ) K f ( ) 0 Ejemplo : Se l fució liel f ( ) K, tomemos u puto culquier, clculemos f ( ) K K f f K f ( ) lim lim lim lim K K Esto es f ( ) K CONCLUSIÓN : Pr u " " e geerl será: f( ) K f ( ) K Ejemplo : Se l fució elemetl clculemos f ( ) 0 f ( ), tomemos u puto culquier, f f f ( ) lim lim lim lim 0 Esto es f ( ) CONCLUSIÓN : Pr u " " e geerl será: f( ) f ( ) de este modo f ( ) f () 4 etc

4 Ejemplo 4: Se l fució elemetl f ( ) clculemos f ( ), tomemos u puto culquier, f f 0 f( ) lim lim lim 0 lim lim lim Esto es f ( ) CONCLUSIÓN : Pr u " " e geerl será: f ( ) f ( ) de este modo f () () f etc Ejemplo 5: Se l fució elemetl f ( ) se( ), tomemos u puto culquier, clculemos f ( ) cos se f f se se 0 f ( ) lim lim lim 0 cos se se lim limcos lim cos cos Esto es f ( ) cos SE DEMUESTRA QUE ÉSTE LÍMITE VALE MÁS ADELANTE CUANDO VEAMOS L`HOPITAL CONCLUSIÓN : Pr u " " e geerl será : f ( ) se f ( ) cos de este modo f (0) cos(0) f ( ) cos 0 etc SI ESTE PROCESO LO HICIÉSEMOS CON CADA FUNCIÓN ELEMENTAL SE OBTIENE LA TABLA SIGUIENTE: 4

5 TABLA DE DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES / COMPUESTAS y ELEMENTALES y k y 0 y k y k y y y y y y y l y e y e l e e y log y log y l y y se y cos y cos y se y tg y sec y ctg y cosec y sec y sec tg y cosec y cosec cot e COMPUESTAS () y f y f f y f ( ) f ( ) y f ( ) y f ( ) y f ( ) f ( ) y e y f ( ) f ( ) y e f f ( ) f ( ) y l f ( ) ( ) f ( ) l e f ( ) e f ( ) y log f ( ) y log e f ( ) f ( ) y l f ( ) y f ( ) f ( ) y se f( ) y f( ) cos f( ) y cos f( ) y f( ) se f( ) y tg f( ) y f ( ) sec f( ) y ctg f( ) y f( ) cosec f( ) y sec f( ) y f ( ) sec f( ) tg f( ) y cosec f( ) y f( ) cosec f( ) ctg f( ) y rc se y y rccos y y rctg y y rcctg y y rc sec y y rc se f( ) y f ( ) f ( ) y rc cosf ( ) y f ( ) f ( ) y rctgf ( ) y f ( ) f ( ) y rcctg f ( ) y f ( ) f ( ) y rc sec f( ) y f ( ) f( ) f( ) 5

6 REGLAS DE DERIVACIÓN. L Derivd de u costte por u fució es igul l costte por l derivd de l fució: y C f y C f C f. L Derivd de l sum o difereci de fucioes es igul l sum o difereci de ls derivds de cd u de ells: y f g y f g f g. L Derivd del producto de dos fucioes es igul l derivd de l primer fució multiplicd por l segud fució si derivr, más l primer fució si derivr multiplicd por l derivd de l segud fució: y f g y f g f g f g 4. L Derivd del cociete de dos fucioes es igul l derivd de l fució umerdor, multiplicd por l fució deomidor si derivr, meos l fució umerdor multiplicd por l derivd de l fució deomidor, y, todo ello, dividido de l fució deomidor l cudrdo: f f f g f g y y g g g 5. Regl de l Cde, PARA DERIVAR UNA FUNCIÓN E GENERAL: y f g y f g f g g ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN (MÉTODO ). Se estudi l cotiuidd de l fució, e los putos e dode f o se cotiu y o será derivble.. E los putos e dode f es cotiu:. Obtedremos l fució derivd e los putos e dode teg setido. b. Estudiremos l derivbilidd e cd uo de los putos froter que hubiese y e los putos dode l fució derivd terior f () o estuviese bie defiid, utilizdo l defiició de derivd de u fució e u puto pr sber si e dichos putos es o o l fució derivble. 6

7 Ejemplo : Estudir l derivbilidd de l fució: f ( ). E primer lugr estudimos l cotiuidd de l fució, pues e los putos e dode f o es cotiu y o serí derivble: ) l fució es cotiu por trtrse de fucioes poliómics. ) Vemos l cotiuidd e = : f () 5 lim 6 5 lim f ( ) y f () lim f ( ) lim 4 5 Luego l fució es cotiu e =.. E segudo lugr estudimos l derivbilidd de l fució:. l fució es derivble por trtrse de fucioes poliómics y l fució derivd es:. Vemos si e = es o o derivble, pr ello clculemos ls derivds lterles izquierd y derech e =: f ( ) f () f ( ) lim lim lim 0 lim lim f( ) f ( ) f () f () lim f ( ) f () f ( ) lim lim lim si si si f ( ) 4 si lim lim ( ) f Como ls derivds lterles so fiits pero distits, se deduce que f o es derivble e =, esto es, o eiste f (), como ls derivds lterles so fiits pero distits, se dice que, e = l fució f PRESENTA UN PUNTO ANGULOSO. 7

8 Ejemplo : Estudi l derivbilidd de l fució f defiid por: f. L fució elemetl f está defiid e todo R y es cotiu.. L fució derivd es:. f f vlid si 0 Estudimos prte l derivbilidd e = 0: Al ser ls derivds lterles ifiits de distito sigo, diremos que e = 0 l fució preset u puto de retroceso. Ejemplo : Estudi l derivbilidd de l fució f defiid por: f. L fució elemetl f está defiid e todo R y es cotiu.. L fució derivd es:. f f vlid si 0 Estudimos prte l derivbilidd e = 0: Al ser ls derivds lterles ifiits de igul sigo, diremos que e = 0 l fució preset u puto de tgete verticl. REGLA DE L HOPITAL PARA EL CÁLCULO DE LIMITES f f f0 lim lim lim lim lim 0 lim f 0 0 lim f 0 0 f f f 0 lim lim lim lim lim 0 lim f 0 0 lim f 0 0 f 0 f f f Si teemos que lim y si eiste el lim lim lim g 0 g g g INDET 0 Not: Es tmbié plicble l idetermició. Pr poderl plicr e los INDET resttes csos de idetermició, ANTES, l epresió HAY QUE CONVERTIRLA EN COCIENTE. 8

9 ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN (MÉTODO ). Igul que tes, se estudi l cotiuidd de l fució, e los putos e dode f o se cotiu y o será derivble.. E los putos e dode f es cotiu: TEOREMA:. Obtedremos l fució derivd e los putos e dode teg setido. b. Estudiremos l derivbilidd e cd uo de los putos froter que hubiese y e los putos dode l fució derivd terior f () o estuviese bie defiid, pr ello hor lo hremos utilizdo el teorem siguiete, que es u cosecueci direct de l REGLA DE L HOPITAL: E el cso de que eist el lim f y el lim f etoces, cd uo de ellos respectivmete f ( ) lim f f ( ) lim f coicide co ls derivds lterles de l fució f, esto es: Y f será derivble e = cudo ls derivds lterles eist y coicid: f ( ) lim f f ( ) lim f y coicid: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim f Ejemplo : Estudir l derivbilidd de l fució: f ( ) 6 4 si si. E primer lugr estudimos l cotiuidd de l fució, pues e los putos e dode f o es cotiu y o serí derivble: ) l fució es cotiu por trtrse de fucioes poliómics. ) Vemos l cotiuidd e = : f () 5 lim 6 5 lim f ( ) y f () lim f ( ) lim 4 5 Luego l fució es cotiu e =.. E segudo lugr estudimos l derivbilidd de l fució:. l fució es derivble por trtrse de fucioes poliómics y l fució derivd es: si f ( ) 4 si 9

10 . Vemos si e = es o o derivble, pr ello clculemos ls derivds lterles izquierd y derech e =: f f f f f f f f () lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim 4 ( ) Como ls derivds lterles so fiits pero distits, se deduce que f o es derivble e =, esto es, o eiste f (), como ls derivds lterles so fiits pero distits, se dice que, e = l fució f PRESENTA UN PUNTO ANGULOSO. Ejemplo : Estudi l derivbilidd de l fució f defiid por: f. L fució elemetl f está defiid e todo R y es cotiu.. L fució derivd es:. f f vlid si 0 Estudimos prte l derivbilidd e = 0: lim f 0 0 f 0 0 f 0 f 0 lim ( ) lim lim 0 Al ser ls derivds lterles ifiits de distito sigo, diremos que e = 0 l fució preset u puto de retroceso. Ejemplo : Estudi l derivbilidd de l fució f defiid por: f. L fució elemetl f está defiid e todo R y es cotiu.. L fució derivd es:. f f vlid si 0 Estudimos prte l derivbilidd e = 0: lim f 0 0 f 0 0 f 0 f 0 lim ( ) lim lim 0 Al ser ls derivds lterles ifiits de igul sigo, diremos que e = 0 l fució preset u puto de tgete verticl. 0

11 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO El problem que se plte es el de trzr l rect tgete l curv f e u puto P (, f()). Recordemos que l pediete de u rect se defií como el vlor de l tgete del águlo que form l rect co l direcció positiv del eje OX. f Vmos ver que l pediete de dich rect tgete es precismete el vlor de l derivd de l fució e el puto =, esto es: pediete de l rect tgete e P t f ( ) E efecto: Se f u fució cotiu e u itervlo I, f ( ) C( I), pr llegr trzr l rect tgete l curv e el puto P, f ( ) cosideremos ls siguietes rects sectes:. Rect s : es l rect secte l curv que ue los putos b, f ( b) y, f ( ), l pediete de dich rect secte es: f ( b) f ( ) pediete ( s ) t b. Rect s : es l rect secte l curv que ue los putos c, f ( c) y, f ( ), l pediete de dich rect secte es: f ( c) f ( ) pediete ( s) t c. Rect s : es l rect secte l curv que ue los putos d, f ( d) y, f ( ), l pediete de dich rect secte es: el vlor de l TVM f ( ),, d f ( d) f ( ) pediete ( s) t d 4. E geerl l Rect s : es l rect secte l curv que ue los putos, f( ) y, f ( ), l pediete de dich rect secte es: f( ) f( ) pediete ( s) t Y, tomdo límite cudo (b se proim l, por tto el puto U se proim l puto P) y se lleg que l pediete de l rect tgete l curv e f( ) f( ) el puto P, f ( ) será el lim f( )

12 f( ) f( ) f ( ) pediete de l rect t gete e el puto P(, f( )) t lim

13 ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO Ecució de l rect tgete l curv e el puto P(, f()) e l form puto-pediete es: t : y f( ) f( )( ) L rect orml u curv e el puto P(, f()) es l perpediculr l tgete e dicho puto, y es: : y f( ) ( ) f() Ejemplo : Clculr l ecució de l rect tgete y de l orml l curv f ( ) e el puto de bcis =. L ecució de l rect tgete y de l orml e el puto de bcis =, cuyo puto e l gráfic es P(, f()) será: t : y f ( ) f ( )( ) y f () f () ( ) : y f ( ) f ( )( ) y f () ( ) f () f como f f f qued: y ( ) es l ecució de l rect tgete f e el puto P(, f()) y ( ) es l ecució de l rect orml f e el puto P(, f()) Ejemplo : Clculr l ecució de l rect tgete y de l orml l curv f ( ) e el puto de bcis =. L ecució de l rect tgete y de l orml e el puto de bcis =, cuyo puto e l gráfic es P(, f()) será: t : y f ( ) f ( )( ) y f () f () ( ) : y f ( ) f ( )( ) y f () ( ) f () como f f f f qued: y ( ) es l ecució de l rect tgete f e el puto P(, f()) y ( ) ( ) es l ecució de l rect orml f e el puto P(, f()) y

14 DERIVADAS LATERALES: INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Se f( ) u fució cotiu e u cojuto D, se defie: f( ) f ( ) l derivd lterl por l izquierd: f ( ) lim pediete ( T ) f( ) f( ) l derivd lterl por l derech: f ( ) lim pediete ( T ) Sbemos que, si ls derivds lterles o coicide o so ifiits, etoces l fució o es derivble. Los putos e dode l fució o es derivble se clsific e:. Puto guloso: derivds lterles fiits pero distits. f ( ) f ( ). Puto de retroceso: derivds lterles ifiits de distito sigo. f ( ) ( ) f. Puto de tgete verticl derivds lterles ifiits del mismo sigo. f f ( ) ( ) DERIVADAS SUCESIVAS L derivd de l ª derivd se llm derivd ª y l otremos por f. L derivd de l ª derivd se llm derivd ª y se deot por f y sí sucesivmete. 4

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