Notas de Teórico. Sistemas de Numeración

Transcripción

1 Departameto de Arquitectura Istituto de Computació Uiversidad de la República Motevideo - Uruguay Sistemas de umeració Arquitectura de Computadoras (Versió 4.3b - 6)

2 SISTEMAS DE UMERACIÓ. Itroducció E este capítulo expodremos brevemete (a modo de repaso) coceptos básicos sobre los sistemas de umeració. o por secillo el tema deja de ser importate pues os permite comezar a acostumbraros a los sistemas de umeració utilizados e computació, especialmete el biario y el hexadecimal, tarea o trivial si teemos e cueta el "lastre" que sigifica años y años de práctica co el sistema decimal exclusivamete. Podemos eteder u sistema de umeració como u cojuto de símbolos y u cojuto de reglas de combiació de dichos símbolos que permite represetar los úmeros eteros y/o fraccioarios. Detro de los sistemas de umeració posibles u cojuto importate, y destacado, es el costituido por los sistemas de umeració posicioales.. Sistemas Posicioales E estos sistemas la represetació de u úmero se realiza mediate u cojuto de símbolos y su posició relativa detro de ua expresió (ua tira de símbolos). Como ejemplo de u sistema posicioal podemos citar al Romao, e el cual es claro que la posició relativa de los símbolos ifluye e la represetació. Ej.: VI correspode al 6 y IV al 4. Detro de los sistemas posicioales está icluidos los que será objeto de uestro estudio: los sistemas co base..3 Sistemas co Base E los sistemas co base u úmero cualquiera, se represeta mediate u poliomio de la forma: = a b +. + a b + a - b - +. dode a i es u símbolo del sistema, al que llamamos dígito, y b es la base. La base es igual a la catidad de símbolos del sistema. otado que los dígitos so la represetació e el sistema de los úmeros eteros meores que la base, teemos que se cumple la codició b a i. La base b la represetamos siempre, por coveció, e el sistema decimal (si la represetáramos e el sistema del cual es base su represetació sería, aturalmete, ). Habitualmete la represetació omite las potecias de la base y coloca u puto (o coma) para separar la parte de potecias positivas de la parte co potecias egativas, quedado: Istituto de Computació - Facultad de Igeiería - UDELAR

3 = a a -.. a, a - a -. a -p Sistema decimal: El sistema de umeració utilizado e la vida cotidiaa es el decimal, cuya base es, utilizado los coocidos diez símbolos,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Sistema biario: Es el sistema de base e el cual los dos símbolos utilizados so el y el, los que recibe el ombre de bit (biary digit). Sistema Octal: Es el sistema de base 8 e el cual se usa los símbolos,,, 3, 4, 5, 6, 7. Sistema Hexadecimal: Es el sistema de base 6 e el cual se usa los símbolos,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. La base del sistema e el que está represetado u úmero se suele idicar co u subídice al fial del úmero y e los casos particulares de base (biario), base 8 (octal), base 6 (hexadecimal) co u subfijo co las letras b, o (ó q) y h respectivamete. E el caso de base 6 tambié se utiliza el prefijo x. Si o se idica ada se asume base. Ejemplos: ( b 3 3 (decimal). (. b (decimal) A F (6 A Fh xaf = (decimal) Estudiaremos a cotiuació los algoritmos para que, dada la represetació de u úmero e ua cierta base, podamos hallar la correspodiete represetació e otra base dada..4 Coversió de Base de úmeros Eteros uestro deseo es dado u úmero etero e ua base B represetado por A B... A B se desea hallar su expresió e ua base b E defiitiva lo que buscamos es hallar los valores de a m, a m-,..., a Caso A: Coversió de ua base B a ua base b usado la aritmética de la base b (muy útil para pasar de cualquier base a la base ). La coversió se hace a través del poliomio característico, expresado los símbolos A... A y la base B e la base b y evaluado el poliomio, realizado las operacioes e la base b. Istituto de Computació - Facultad de Igeiería - UDELAR 3

4 Ejemplo: Covertir AFh a decimal. A Fh Caso B: Coversió de ua base B a ua base b usado la aritmética de la base B (muy útil para pasar de base a cualquier base) Previamete otemos que cualquier úmero se puede expresar como: b a... b a - b a dode se repite la divisió etera etre b hasta llegar a u meor que b (la próxima divisió daría cociete ). Por lo que los valores a... a so los restos de las divisioes de etre b realizadas e la aritmética de la base B. b a a b a b Istituto de Computació - Facultad de Igeiería - UDELAR 4

5 Ejemplo: Covertir 653 a biario = b Ejemplo: Covertir 653 a base = 3( Los ejemplos vistos so siempre de decimal a otra base; si quisiéramos pasar desde ua base b (b <> ) a la base b existe la posibilidad de hacer las operacioes co la base b o, por simplicidad, cambiar primero a base y luego de esta a la base b..5 Coversió de úmeros co parte Fraccioaria Sea u úmero = e + f = a b a b + a + a - b dode e y f so la parte etera y la parte fraccioaria respectivamete. La parte fraccioaria sigue siempre a la parte etera e cualquier base. Por lo tato e puede covertirse igual que ates y f se covierte por separado Estudiaremos etoces como covertir partes fraccioarias. Sea: f = A - B - + A - B e base B f = a - b - + a - b e base b Istituto de Computació - Facultad de Igeiería - UDELAR 5

6 Caso A: Coversió de base B a ua base b usado la aritmética de la base b (muy útil para pasar de cualquier base a base ) Sea f = A - B - + A - B A -m B -m lo que hago es desarrollar el poliomio equivalete. Sea P(x) = A - x + A - x A -m x m Si se calcula el valor umérico de P(x) para x = B - usado aritmética b obtedremos el valor buscado. Ejemplo : pasar.3 (8 a base decimal = P(x) = 3 x 3 + x + x El valor umérico para x será: 8 P(x) = 3 (.5) 3 + (.5) + (.5) = Caso B: Coversió de ua base B a ua base b operado co la aritmética de la B (lo que la hace muy útil para pasar de base a cualquier base) Para determiar los coeficietes a -, a -, etc. para la base b se observa que cada uo de tales coeficietes es, e si mismo u etero. Primero se multiplica por b (co aritmética B): b f = a - + a - b a -3 b - E dode, la parte etera de b f es a -. A cotiuació se resta a - y se multiplica de uevo por b: b (b f - a - ) = a - + a -3 b determiado así a -. Se sigue este proceso hasta que se obtega tatos coeficietes como se desee. E el siguiete procedimieto puede ocurrir que el proceso o termie. Ejemplo: Covertir a base (.6) =. a - = (.) =.44 a - = (.44) =.88 a -3 = (.88) =.76 a -4 = Istituto de Computació - Facultad de Igeiería - UDELAR 6

7 (.76) =.5 a -5 = 653 = b =...b.6 Caso Particular bases 8 y 6 La base 8 (octal) y la base 6 (hexadecimal) tiee ua ítima relació co la base. Puesto que 8 = 3 cada dígito octal correspode a 3 dígitos biarios. El procedimieto etoces para covertir u úmero biario e úmero octal es dividir e grupos de 3 bits a partir del puto biario y asigado el dígito octal correspodiete a cada grupo. Ejemplo: covertir. ( a base (8 La coversió de base 8 a base se hace a la iversa, covirtiedo e biario cada dígito octal, así: 73 8 es 7 8 = b 3 8 = b => 73 8 = b 8 = b El equivalete hexadecimal de u úmero biario se obtiee, simplemete, dividiedo al primero e grupos de 4 bits, relleado co ceros (a la izquierda e la parte etera y a la derecha e la parte fraccioaria). Ejemplo :. DB86.A3h D B 8 6 A 3 Aálogamete se realiza para pasar de hexadecimal a biario. La Tabla preseta la combiació biaria equivalete a cada uo de los símbolos del sistema hexadecimal. 8 9 A 3 B 4 C 5 D 6 E 7 F Tabla - Coversió biario hexadecimal. Istituto de Computació - Facultad de Igeiería - UDELAR 7