CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0500, 9 ENERO 2001, 19H

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0500, 9 ENERO 00, 9H ) Para la función f) +, determine a) Dominio, raíces, paridad b) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento c) Intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo; puntos de infleión d) Intervalos de continuidad y la clasificación de discontinuidades e) Ecuaciones de las asíntotas verticales y de las asíntotas horizontales f) Máimos y mínimos relativos y absolutos g) Esbozo gráfico y rango ) A las : 00 horas, el barco A se encuentra 0 km al sur del barco B y viaja hacia el norte a 5 km/h. El barco B navega hacia el oeste a 0 km/h. A qué hora se alcanza la mínima distancia entre las dos embarcaciones? ) Encontrar las intersecciones con los ejes de la recta tangente a la curva: y + y 4 4 en el punto, ). 4) Una partícula se mueve en línea recta, y su posición instantánea está dada por la función st) t t +8. a) Cuál es la posición de la partícula cuando s t) 8? b) Cuál es la velocidad de la partícula cuando su aceleración es cero? 5) Trace una posible gráfica para una función continua f) en su dominio:, 5] {, } que satisfaga a) f5) ; f) ; lím f) ; lím f) ; lím f) 4; b) f ) 0; f ) 0; f 4) 0; f ) > 0si, ); f ) > 0si, 4) { } ; f ) < 0si, ); f ) < 0si 4, 5). Especifique los intervalos de concavidad de su gráfica, los máimos y mínimos locales, y absolutos. canek.azc.uam.m: / / 006.

2 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0500 6) Una placa en forma de triángulo equilátero se epande con el tiempo. Cada lado aumenta a razón constante de cm/h. Cuál es la razón de crecimiento del área en el instante en que el valor de ésta es 75 cm?

3 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0500 Respuestas ) Para la función f) +, determine: a) Dominio, raíces, paridad Dominio: D f R {0 }. Raíces: f) 0 +0 ) ). Paridad: puesto que f) + &f ) +, entonces no se cumple ni f) f ) ni f ) f ). Con lo cual, la función no es ni par ni impar. b) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento Podemos escribir. derivamos esta última epresión f) + + ; f ) ) + + ; el discriminante de la cuadrática + + es: 4 < 0 la cuadrática no tiene raíces reales y se ve que siempre es positiva. Por ejemplo, en 0 vale > 0. Por lo tanto el signo de la derivada viene dado por el factor. Concluimos entonces que: f ) < 0si, ) {0 } f) es decreciente si, 0) y 0, ); f ) > 0si, + ) f) es creciente si, + ). c) Intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo; puntos de infleión Calculamos la segunda derivada a partir de f ) f ) ) + ). La cuadrática + tiene discriminante: 4 < 0 no tiene raíces reales y además siempre es positiva. Por ejemplo en, 0 vale > 0. Así, el signo de la segunda derivada viene dado por + &.

4 4 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0500 Usamos la tabla siguiente para ver el signo de la segunda derivada: Signo de Intervalo ) f ) < < 0) + <<0) + >0> ) Vemos entonces que: f ) > 0si, ) 0, + ) f) es cóncava hacia arriba ahí; f ) < 0si, 0 ) f) es cóncava hacia abajo ahí; En hay un punto de infleión. d) Intervalos de continuidad y la clasificación de discontinuidades La función es continua en todo su dominio y en 0 tiene una discontinuidad esencial. e) Ecuaciones de las asíntotas verticales y de las asíntotas horizontales Vemos que lím f) lím 0 0 lím f) lím lím f) ± lím ± + ) lím + lím 0 0 ; + ) 0+ lím ; + ) lím ± + lím ± + ; 0 es una asíntota vertical y no tiene asíntotas horizontales. f) Máimos y mínimos relativos y absolutos Analizando el cambio de signo de la primera derivada, vemos que esunmínimo local. No eisten máimos ni mínimos absolutos. g) Esbozo gráfico y rango La gráfica de la función f) es: f) El rango: R f R ) A las : 00 horas, el barco A se encuentra 0 km al sur del barco B y viaja hacia el norte a 5 km/h. El barco B navega hacia el oeste a 0 km/h. A qué hora se alcanza la mínima distancia entre las dos embarcaciones?

5 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E Observamos, al bosquejar una figura con estos datos que: B 0 t d t A la posición inicial del barco A es 0, 0). En el instante t, se encuentra en la posición 0, 0 + 5t). La posición inicial del barco B es 0, 0), según la figura. En el instante t, se encuentra en la posición 0t, 0). La distancia entre los dos barcos es: d 0t) t) 00t t + 5t 5t 900t Ésta es la función de la que deseamos calcular el mínimo. Sin embargo vamos a trabajar con la función D d que tiene el mismo comportamiento. Derivamos calculamos el punto crítico D d 5t 900t D 650t 900 y después 650t t Sabemos que es un mínimo, puesto que al calcular la segunda derivada: D 650 > 0 es decir, los barcos están más cercanos a las 4 : 85 horas. ) Encontrar las intersecciones con los ejes de la recta tangente a la curva: y + y 4 4 en el punto, ). Primero vamos a comprobar que el punto, ) satisface la ecuación, es decir, que se encuentra sobre la gráfica de la función y f) definida implícitamente

6 6 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0500 Ahora vamos a derivar implícitamente la ecuación dada: ) y + y +4y y 0 + ) y +4y ) y + ) y y +. +4y Evaluamos esta derivada en el punto, ), es decir, al sustituir yy en la derivada, obtenemos: y + ) 4 + ) 4 4 4, ) +4 5 ) La ecuación solicitada de la recta tangente es y 5 6 ) y y La ordenada en el origen es y 6. La abscisa en el origen es cuando: ) Una partícula se mueve en línea recta, y su posición instantánea está dada por la función st) t t +8. a) Cuál es la posición de la partícula cuando s t) 8? Se tiene vt)s t) t 6t por lo tanto vt) 8 t 6t 8 t 6t 80. Los ceros de esta cuadrática son: 6 ± 6) 4) 8) 6 Tomando el valor positivo: 6 ± ± s.95).95).95) , la partícula se encuentra a la derecha del origen 7.7 unidades. {

7 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E b) Cuál es la velocidad de la partícula cuando su aceleración es cero? Tenemos que at) v t) s t) 6t 6. Así at) 0 6t 60 t. Tenemos entonces: v) 6, es decir, la partícula se está moviendo en el sentido negativo del eje. 5) Trace una posible gráfica para una función continua f) en su dominio:, 5] {, } que satisfaga a) b) f5), f) ; lím f), lím f) ; lím Una gráfica de la función f) sería: f) 4; f ) 0, f ) 0, f 4) 0; f ) > 0si, ); f ) > 0si, 4) { } ; f ) < 0si, ); f ) < 0si 4, 5). f) Especifique los intervalos de concavidad de su gráfica, los máimos y mínimos locales, y absolutos. La función es cóncava hacia arriba si, ), ), ). ) La función es cóncava hacia abajo si,, 5). En hay un mínimo local. Es también un mínimo absoluto. En 4 hay un máimo local. La función no tiene máimos absolutos.

8 8 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0500 6) Una placa en forma de triángulo equilátero se epande con el tiempo. Cada lado aumenta a razón constante de cm/h. Cuál es la razón de crecimiento del área en el instante en que el valor de ésta es 75 cm? LLevemos estos datos a la siguiente figura: h El área del triángulo es un medio de la base por la altura: / A h. Deseamos que la función anterior dependa sólo de. Para esto, vemos en la figura, usando el teórema de Pitágoras: h + ) h 4 4 h ; sustituimos este valor en A) A 4, puesto que se tiene que es una función de t. At) 4 t); B) derivamos con respecto a t A t) 4 t) t) t) t). C) Sabemos lo siguiente: a) t) siempre es igual a cm/h. b) En un cierto momento, digamos t 0, el valor del área es Usamos B) para encontrar el valor del lado del triángulo en ese momento: At 0 )5 4 t 0 ) t 0 )0 t 0 ) 5. Sustituyendo estos valores en C), obtenemos la variación del área deseada: A t 0 ) 5 5. A)