Problemas de continuidad y límites resueltos

Transcripción

1 Problemas de continuidad y límites resueltos Razona de manera justificada el dominio de la siguientes funciones. a) f ()=ln( ) b) f ()= ( )( 3) c) f ()= cos( ) a) La raíz cuadrada solo admite discriminantes nulos o positivos. Mientras que el logaritmo solo admite argumentos positivos. Por lo tanto: Dom( )=R + {0} Dom(ln( ))=(,+ ) b) La raíz cuadrada solo admite discriminantes nulos o positivos. Y un cociente de polinomios no está definido en aquellos puntos que anulan el denominador. Por lo tanto: Dom( ( )( 3) )=R {,3} ( )( 3) 0 si y [,3] Dom( ) = [, ) U (3, + ) ( )( 3) c) La función coseno se anula periódicamente en =..., π, 3π, 5π Dom( cos() )=R (k+) π, k Z,.... Por lo tanto: Estudia la continuidad de la siguiente función en los puntos = y =5. f ()={ 4 +3 } si < 4 si 5 ln ( 5) si >5 Estudiemos la continuidad en =. f ()= 4= 4 +3 = = 0 ( 4)= + f ()= =L La función es continua en =. Estudiemos la continuidad en =5. f (5)= 5 4= ( 4)=6 ln( 5)= ( )( 3) = ( 3)= La función presenta una discontinuidad no evitable de salto infinito en =5.

2 Calcula los siguientes límites. a) b) a) = Indeterminación Multiplicamos y dividimos por conjugado del numerador = = ++ + = =0 b) = 0 = = 0 = = + 0 =+ + Estudiamos límites laterales Sea la función f ()=a+ b +c +, donde a,b y c son números reales. Calcula los valores de a, b y c sabiendo que + f ( )=3, la gráfica de f () corta al eje OY en el punto de ordenada y= y que la gráfica pasa por el punto (, 3 ). Epresamos la función como una única fracción. f ()= a +b +a+c + Interpretamos analíticamente cada una de las frases del enunciado. + f ( )=3 a +b +a+c = a =a a=3 + Corte eje OY en y= f (0)= a+c = 3+c = c= 3 f () pasa por (, 3 ) f ()= a+b+ a +c 3 = + b+5 = 3 b=

3 Relaciona de manera justificada las siguientes funciones con sus respectivas gráficas. Debes razonar con el máimo detalle posible. - f ()=ln( +) - g ( )= - h( )= 3 a) b) c) f ()=ln( +) se corresponde con la gráfica a) ya que la función está definida siempre que el argumento del logaritmo sea positivo, por lo que presenta una asíntota vertical para valores a la derecha de =. Además, la función logaritmo es una función estrictamente creciente y se dispara a infinito cuando. Por último si =0 f (0)=ln (0+)=0 La función corta a los ejes cartesianos en el origen de coordenadas (0,0). g ( )= se corresponde con la gráfica c), ya que posee una asíntota vertical en = (donde no está definida la función, por anularse el denominador) y una asíntota horizontal en y= que se corresponde con el límite f ( )=. Además, la gráfica corta a los ejes cartesianos en el origen de coordenadas se corresponde con el valor g (0)=0. (0,0), que h( )= 3 se corresponde con la gráfica b), ya que la función no está definida para discriminantes negativos, por lo que su dominio es 3. Además, la función raíz cuadrada es estrictamente creciente y se dispara a infinito cuando.

4 Sea f ()= a) Estudia la continuidad en = y en =5. b) Calcula f ( ) Estudiemos la continuidad de la función en =. f ( ) = 7 +0 (+)( 5) = 8 0 = = 7 +0 ( +)( 5) = =. Discontinuidad no evitable de primera especie de salto infinito en =. Estudiemos la continuidad de la función en =5. f (5) = = ( )( 5) (+)( 5) = 5 Discontinuidad evitable en =5. b) f ()= + = 3 6 = Ya que tenemos un cociente de polinomios de grado dos, donde los coeficientes que acompañan a en el numerador y en el denominador es. Calcula los siguientes límites. a) (3 5 ) b) ( ) a) (3 5 )= Indeterminación Multiplicamos y dividimos por el conjugado. (3 5 )(3 +5 ) 9 5 = = El límite en el infinito va a infinito por tener un cociente de polinomios, con el grado del numerador mayor que el grado del denominador. b) ( )= ( + ) ( + + )= =0 El límite de la diferencia es la diferencia de los límites. Y en cada término tenemos un cociente de polinomios del mismo grado en numerador y denominador.

5 Determina a y b para que la función sea continua en =0 y en =3. f ()={ + si <0 } a + b si si >3 La función es continua en f (0)=a 0+b=b ( +)=0+= 0 (a +b)=b 0 + =0 si se cumplen los siguientes requisitos. Límites laterales iguales b= Eiste el límite y vale L= f (0)==L La función es continua en f (3)=a 3+b=3 a + (a +b)=3a = 3 + =3 si se cumplen los siguientes requisitos. ( +3)( 3) = ( +3)= Límites laterales iguales 3a+=6 a= 5 3 f (3)=6=L Calcula el dominio de las siguientes funciones. a) f ()=+ 3 5 b) f ()= ( )( +3) c) f ()={ si 0 + si >0} a) f ()=+ 3 5 El argumento de la raíz debe ser mayor o igual a cero. Además, el denominador de la fracción no puede anularse. 3 0 Raíz del numerador =3 ; Raíz del denominador =5 5

6 Evaluamos la inecuación en los siguientes intervalos. (,3) =0 (3,5) =4 (5, ) =0 3 >0 Intervalo perteneciente al dominio <0 Intervalo no perteneciente al dominio >0 Intervalo perteneciente al dominio 5 0 La solución será la unión de los intervalos permitidos, además de las raíces del numerador. Es decir: Dom( f ) = (-, 3] U (5, ) b) f ()= ( )( +3) Nuevamente imponemos la condición de que el argumento de la raíz no pueda anularse. Y tampoco puede ser cero, ya que la raíz está dividiendo en la fracción. (+)( +3)>0 Raíces =, = 3 Evaluamos el argumento en los siguientes intervalos. (, 3 ) = 0 ( 0+)(( 0)+3)>0 intervalo perteneciente al dominio ( 3, ) = 5 4 ( 5 4 +)(( 5 )+3)<0 intervalo no perteneciente al dominio 4 (, ) =0 (0+)((0)+3)> 0 intervalo perteneciente al dominio Solución final Dom( f )=(, 3 ) (, ) c) f ()={ si 0 + si >0} Debemos estudiar el dominio de la función en cada tramo, además de la continuidad en el punto frontera. Para <0 f ()= es una función continua salvo en =. Pero ese valor no pertenece al intervalo <0 La función es continua para todo valor <0. Para >0 f ( )= + es una función con discriminante positivo, ya que para >0 el argumento + siempre es positivo La función es continua para todo valor >0.

7 Debemos estudiar la continuidad en el punto frontera =0, aplicando las tres condiciones de continuidad de una función en un punto. f (0)= 0 0 =0 0 + =0, += Los límites laterales no coinciden 0 + La función no continua en =0 Dom( f )=R {0} 4. Realiza la composición ( f g)( ) y (g f )( ) de la siguiente pareja de funciones. a) f ()=, g ( )= b) f ()=, g( )= 4 +3 c) f ( )= 3, g( )= a) f ()=, g( )= ( f g )( )= f ( )= =, (g f )( )= g( )= = b) f ()=, g ( )= 4 ( f g )( )= f ( 4)=( 4) 4 = 4 4 = 4 6 (g f )( )= g ( )= ( ) 4= 8 c) f ()= +3 3, g ( )= ( f g)( )= f ( )= +3 3 = (g f )( )=g ( +3 ( 3 )= 3 ) (+3) ( 3) ( 3) = = ( 3)( +3) = 9 3 3

8 Rompe a trozos la función f ()= + + Obtenemos las raíces de los polinomios de cada argumento de los valores absolutos. +=0 solución R +>0 R Por lo tanto, podemos quitar las barras de valor absoluto de + para cualquier valor real. =0 = Estudiamos el signo de en los siguientes intervalos: (, ) <0 = ( ) (, ) > 0 = Por lo que la función a trozos queda: f ()={ + ( ) si ++ si > } f ()={ + si + si > } Calcula los siguientes límites en el infinito a) + 3 b) a) + 3= Indeterminación Cociente de polinomios de igual grado El límite coincide con el cociente de los coeficientes que acompañan a la máima potencia ( 3 ) = b) + +6 = Indeterminación

9 El numerador lo podemos ver, en el infinito, como un polinomio de grado ½. Y el denominador como un polinimio de grado. Como el grado del denominador es mayor que el del numerador, el cociente tiende a 0 cuando la variable tiende a infinito =0. Calcula las asíntotas de las siguientes funciones. a) f ()= 9 b) f ()= c) f ()= +5 3 a) Las asíntotas verticales aprecen en los valores que anulan al denominador. 3 9 = 5 =, = 5 0 =+ +, 9 = 5 =+ = = 5 = = 3 0 La asíntota horizontal se obtiene estudiando el comportamiento de la función en el infinito. 9 = Indeterminación Grado numerador < Grado denominador =0 y=0 9 Al eistir asíntota horizontal, no tendremos oblicua. b) Las asíntotas verticales aprecen en los valores que anulan al denominador = =, = 0 = = + 0 = =, = 3 =+ = 0 La asíntota horizontal se obtiene estudiando el comportamiento de la función en el infinito = Indeterminación

10 Grado numerador > Grado denominador = Al no eistir asíntota horizontal, estudiamos la oblicua y=m +n. m= f ( ) = = Indeterminación Grado numerador = Grado denominador m= = 3 =3 n= ( f () m )= ( )= = 7 = 7 Asíntota oblicua y=3 7 c) Las asíntotas verticales aprecen en los valores que anulan al denominador. 3 9 = 5 0 =, = 5 =+ =0 + 0 La asíntota horizontal se obtiene estudiando el comportamiento de la función en el infinito = Indeterminación Grado numerador = Grado denominador +5 3 = 3 y= 3 Al eistir asíntota horizontal, no tendremos oblicua. 5. Calcula el valor de k para que la función f ()={ } si y 3 + sea k+ si = continua en =. Aplicamos las tres condiciones de continuidad de una función en un punto. f ()= k + = ( k+)= k+ + ( +)( ) Indeterminación ( )( ) = ( +) ( ) = 3 Igualamos los límites laterales L= = k + 4= k + k = Y con este valor también se cumple f ()=L=

11 Calcula el dominio de las siguientes funciones. a) f ()= + 3 b) f ()= c) f ()= 4 +3 a) f ()= + 3 Necesitamos un argumento de la raíz mayor o igual a cero. Por lo tanto Resolvemos la inecuación obteniendo la soluciones del polinomio de grado dos P ()= + 3 = 3, = Evaluamos el signo del polinomio en los siguientes intervalos. (, 3) ( 3,) P (0)<0 P ( 0)>0 (, ) P (0)>0 Nos quedamos con los intervalos donde el polinomio es positivo. El dominio de la función resulta: Dom(f) = (-, 3] U [, ) b) f ()= En un cociente de polinomios, el dominio son todos los reales menos los valores que anulan al denominador Dom( f )=R {6} c) f ()= 4 +3 El dominio son todos los reales, por ser una función polinómica. Calcula a,b,c en f ()=a+ b +c + sabiendo que + eje de ordenadas en y= y la función pasa por el punto (, 3 ). f ()=3, la gráfica corta al Aplicamos tres condiciones para obtener los tres parámetros. Primera condición: límite en el infinito (condición de asíntota horizontal) + f ()=3 + (a+ b +c )=3 a +0=3 a=3 +

12 Segunda condición: para =0 la ordenada vale y= f (0)= 3+ 0+c = c= 0+ Tercera condición: para = la ordenada vale y= 3 3 f ()= 3+ b 3 = + b = 3 b=. Por el alquiler de un coche cobran 00 diarios más 0.30 por kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de kilómetros y represéntala. Si en un día se ha hecho un total de 300 km, qué importe debemos abonar? En la recta a representar tenemos: Variable independiente número de kilómetros Variable dependiente coste C () Valor mínimo de un día 00 Ecuación de la recta C ()=0,3 +00 Si recorremos en un día un total de 300 kilómetros C (300)=0, =90 3. Se sabe que la función cuadrática de ecuación y=a +b +c pasa por los puntos (,), (0, 0) y (,). Calcula a, b y c. Imponemos las condiciones de los tres punts, y tendremos un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas. (,) =a+b +c =a+b (0,0) 0=c (,) =a b+c =a b Sumamos las dos ecuaciones finales = a a= b=0

13 0. Representa gráficamente f ()= 4 tomando como referencia la gráfica de g( )=. Mostramos en un mismo sistema de coordenadas las funciones: g ( )= parábola cóncava hacia arriba, con vértice en (0,0) h( )= reflejamos la parábola g ( ) respecto al eje horizontal i()= 4 abrimos las ramas de las parábolas h( ) al multiplicar por un número inferior a f ()= 4 subimos verticalmente una unidad la gráfica de i() 3. Una barra de hierro dulce de 30 cm de larga a 0ºC se calienta, y su dilatación viene dada por una función lineal L=a+ b t, donde L es la longitud en cm y t es la temperatura ºC. a) Halla la epresión analítica de L, sabiendo que L()=30,0005 cm y que L(3)=30,005 cm. b) Representa gráficamente la función obtenida. a) El crecimiento de la barra depende linealmente de la temperatura L=a+ b t Si representamos en el eje horizontal la variable tiempo y en el eje vertical la variable longitud, tendremos una recta. Y una recta queda definida si conocemos dos puntos. L()=30,0005 cm 30,0005=a+b L( 3)=30,005 cm 30,005=a+ b 3

14 Si restamos ambas ecuaciones 0,00= b b=0,0005 a=30 La epresión analítica queda L=30+0,0005 t b) Pintamos la gráfica con Geogebra, ajustando adecuadamente la división de los ejes para apreciar el crecimiento de la longitud en función de la temperatura. Dada la gráfica de f () obtener los valores de f (0) y f (). Dos funciones inversas f ( ) y f ( ) cumplen que la imagen de f () es el dominio de f ( ). Por lo tanto, si f ( 0 )= y 0 f ( y 0 )= 0 f (0) Qué valor 0 cumple f ( 0 )=0? f ()=0 0 = f (0)= f () Qué valor 0 cumple f ( 0 )=? f (4)= 0 =4 f ()=4 Halla la inversa de: a) f ()= 3 b) f ()= +3 a) Despejamos la variable 3 y= 3 y+ = Intercambiamos el nombre de las variables La función inversa resulta f ( )= = y b) Despejamos la variable y= +3 3 y= Intercambiamos el nombre de las variables 3 = y La función inversa resulta f ( )=3