Derivadas Selectividad CCSS MasMates.com Colecciones de ejercicios

Transcripción

1 Selectividad CCSS 009. [ANDA] [SEP-A] La derivada de una función viene dada por f'() = a) Obtén los intervalos de monotonía de la función f y los valores de en los que dicha función alcanza sus etremos locales. b) Determina los intervalos de concavidad y conveidad de la función f. c) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (,5), calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto.. [ANDA] [SEP-B] Sea la función f() = a 3 +b +. a) Determina el valor de los parámetros a y b sabiendo que la función f tiene un máimo en = y que f() =. b) Para a = b =, halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 0. + si < 0 3. [ANDA] [JUN-A] Sea la función f() = + si 0 a) Analiza la continuidad y derivabilidad de la función en su dominio. b) Deterina la asíntota horizontal, si la tiene. c) Deterina la asíntota vertical, si la tiene. 4. [ANDA] [JUN-B] Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función: C(t) = -0.t +4t+5, 0 5 (t = años transcurridos desde el año 000) a) En qué año se alcanzará un máimo en el nivel de contaminación? b) En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero? c) Calcula la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función C(t) en t = 8. Interpreta el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento. 5. [ARAG] [SEP] a) Derive las funciones f() = +4 -, g() = (-5) ln. + si (-,) b) Sea la función f() = + si [,4]. - b ) Razonar si f es continua en = y = 4. b ) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f() para los valores (-,).. [ARAG] [SEP] a) Derive las funciones f() = (-) 3 e, g() = +8 +, h() = b) Razone a qué es igual el dominio de la función g() del apartado anterior y calcule sus intervalos de convavidad y conveidad, así como sus puntos de infleión. 7. [ARAG] [JUN] a) Derive las funciones f() = 4 -ln, g() = (-)e, h() = 3-3. b) Razone a qué es igual el dominio y calcule los valores de, si eisten, para los que la función f() del apartado anterior alcanza un máimo o mínimo absoluto. 8. [ARAG] [JUN] a) Derive las funciones f() = ln, g() = 5-3, h() = p-p b) La demanda de un bien conocido su precio, p, viene dada por f() = si 0 p p si 30 < p 40. Represéntala. A la vista de su gráfica diga para qué valor del precio se alcanza la máima y la mínima demanda y para cuáles la demanda es mayor que 375 unidades. 9. [ASTU] [SEP] Entre 000 y 5000 revoluciones por minuto, la potencia de un motor viene dada aproimadamente por la siguiente función. P() es la potencia en caballos de vapor para miles de revoluciones por minuto: P() = ; 5 a) Crece siempre la potencia cuando las revoluciones del motor aumentan? b) Dibuja la gráfica de la función. A qué revoluciones se alcanza la máima potencia? c) Tiene la curva de potencia algún punto de infleión? 0. [ASTU] [JUN] La temperatura de una habitación entre las 7 horas y las 0 horas de cierto día queda descrita bastante bien a partir de la siguiente función (T() representa la temperatura a las horas): 5 de diciembre de 009 Página de 5

2 Selectividad CCSS 009 T() = ; 7 0 a) Indica los intervalos de tiempo en que la temperatura subió y aquellos en los que bajó. b) Dibuja la función. Cuándo se alcanza la temperatura más alta y la más baja? Cuánto valen? c) La función tiene algún máimo o mínimo relativo que no sea absoluto?. [C-LE] [SEP-A] a) El beneficio obtenido por una empresa depende del capital z invertido en la empresa a través de la epresión h(z) = -z +z+5. Para qué valor de z la empresa obtiene beneficios máimos? Para qué valores de z la empresa obtiene beneficios positivos? b) Los beneficios obtenidos por otras empresas A y B dependen de los capitales e y invertidos, respectivamente, en dichas empresas mediante las funciones f() = - en la empres A y g(y) = y-5 en la empresa B. Qué valores de e y permiten que la epresión f()g(y) tome el mayor valor posible si la inversión total está fijada en +y = 0? -, -8 < 4 +, 4 <. [C-LE] [SEP-B] Dada la función f() = 8, a) Representa gráficamente f(). b) Estudia su continuidad y su crecimiento. c) Representa gráficamente f(). 3. [C-MA] [SEP] Una multinacional ha estimado que anualmente sus beneficios en euros vienen dados por la función B() = , donde representa la cantidad de unidades vendidas. Determinar: a) Las unidades que han de venderse para obtener un beneficio de b) La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea máimo. c) El beneficio máimo. 4. [C-MA] [JUN] El coeficiente de elasticidad de un producto, en función de la temperatura (t) en grados centígrados, viene definido por la función E(t) = t 9 -t+0. a) A qué temperatura o temperaturas se obtiene una elasticidad de? b) Calcular el valor de la temperatura para la que la elasticidad es mínima. c) Calcular ese mínimo. 5. [CANA] [SEP-A] En un estudio realizado en un período de 0 años (0 t 0), el nivel de contaminación de CO que produce la circulación de vehículos viene dado por la epresión C(t) = - 5 t +4t+50. Calcular: a) El momento en el que el nivel de contaminación es máimo. b) Cuál es el nivel máimo? Cuál es el nivel mínimo y cuándo se alcanza? c) De los diez años, cuál ha sido el período de crecimiento?. [CANA] [SEP-B] El número de miles de afiliados a un partido político, A(), en función de los años,, transcurridos desde su creación en el año 000, viene dado por: A() = a) Cuántos afiliados había en el año 000? b) Calcular los máimos y mínimos de la función. c) En qué año decrece el número de afiliados? 7. [CANA] [JUN-A] La tasa de producción anual, en miles de toneladas, de una cantera de piedra, sigue la función: 50+3 si 0 0 f() =, siendo el número de años desde su apertura si > 0 a) Representar la función. b) En qué momento es máima la tasa de producción? c) Cuándo es la tasa de producción igual a sesenta y dos mil toneladas? d) Al cabo de cuántos años se etingue la cantera? 8. [CATA] [SEP] La tasa de inflación interanual de un determinado país durante el año 008 epresada en puntos porcentuales, i(t), 5 de diciembre de 009 Página de 5

3 Selectividad CCSS 009 se puede aproimar mediante la función i(t) = t -0t+9 +3, t, donde t es el tiempo en meses desde el comienzo del año y 40 t = es el mes de enero. a) Encuentre en qué meses la tasa de inflación interaunal es de 3 puntos porcentuales. b) Encuentre en qué meses la tasa de inflación es decreciente y en qué meses es creciente. c) Encuentre en qué mes la tasa alcanza el valor mínimo y calcule dicho valor. d) Haga un esbozo de la gráfica de esta función. e) Encuentre en qué mes la tasa alcanza el valor máimo y calcule dicho valor. 9. [CATA] [SEP] Calcule los parámetros a, b y c de la función f() = a +b+c, sabiendo que la recta 5-y- = 0 es tangente a la curva f() en el punto de abscisas = 0 y que el valor mínimo absoluto que toma la función es 9/. 0. [CATA] [JUN] El precio de coste de una unidad de cierto producto es de 0. Si se vende a 50 la unidad, lo compran 500 clientes. Por cada 0 de aumento en el precio las ventas disminuyen en 0 clientes. a) Encuentra una fórmula mediante la cual obtengamos los beneficios. b) Calcula a qué precio p por unidad tenemos que vender el producto para obtener un beneficio máimo. c) En el caso anterior, encuentra el número de unidades que se venden y calcula el beneficio máimo.. [CATA] [JUN] Según un estudio sobre la evolución de la población de una especie protegida determinada, podemos establecer el número de individuos de esta especie durante los próimos años mediante la función f(t) = 50t+500, donde t es el número deaños t+ transcurridos. a) Calcula la población actual y la prevista para dentro de nueve años. b) Determina los períodos en los que la población aumentará y los períodos en los que disminuirá. c) Averigua si, según esta previsión, la población tenderá a estabilizarse en algún valor y, en su caso, determínalo.. [ETR] [SEP-A] La valoración de un lider político (de 0 a 0 puntos) de acuerdo con las encuestas realizadas durante el último año ha variado de acuerdo con la función: V(t) = 0.0t t +.8t+5, t V(t) representa la raloración en el mes t del año. Determinar justificadamente la respuesta: a) Los períodos de crecimiento y de decrecimiento de la valoración a lo largo del año. b) Los valores máimo y mínimo de dicha valoración y los meses en los que se produjeron. 3. [ETR] [SEP-B] En una ciudad se ha comprobado que el nivel de contaminación entre las 8 y las horas cambia, en función de la hora t del día, de la siguiente forma: A las 8 el nivel de contaminación es de 5 partes por millón, a partir de ese momento aumenta de acuerdo con la función A+Bt hasta que a las 3 horas se alcanza el nivel máimo de 00 partes por millón, desde las 3 hasta las 5 horas el nivel se mantiene constante, y a partir de las 5 horas disminuye de acuerdo con la función C+Dt hasta que a las horas es de 30 partes por millón. a) Determinar los valores de A, B, C y D. Justificar las respuestas. b) Representar gráficamente la evolución del nivel de contaminación en esa ciudad desde las 8 hasta las horas. 4. [ETR] [JUN-A] La velocidad de cierto cohete, en función del tiempo t (en segundos) transcurrido desde su lanzamiento, tiene el siguiente comportamiento: Durante los primeros 0 segundos aumenta de acuerdo con la función At, a los 0 segundos alcanza la velocidad máima de 00 metros por segundo, a partir de dicho instante decrece de acuerdo con la función B+Ct hasta que a los 0 segundos cae al suelo y queda parado. a) Determinar los valores de A, B y C. b) Representar gráficamente el comportamiento de la velocidad de dicho cohete durante los 0 segundos transcurridos entre su lanzamiento y su parada. 5. [ETR] [JUN-B] El número de usuarios del transporte público en cierta ciudad varía a lo largo del primer semestre del año de acuerdo con la función: N(t) = 800t t t, t Determinar justificando la respuesta: a) Los meses de mayor y de menor número de usuarios en el primer semestre. b) Los valores máimo y mínimo de usuarios en dicho semestre. c) El número total de usuarios que han utilizado el transporte público en esa ciudad durante el primer semestre.. [MADR] [SEP-B] El beneficio semanal (en miles de euros) que obtiene una central lechera por la producción de leche desnatada está determinado por la función B() = , en la que representa los hectolitros de leche desnatada producidos en una 5 de diciembre de 009 Página 3 de 5

4 Selectividad CCSS 009 semana. a) Represéntese gráficamente la función B(), con 0. b) Calcúlense los hectolitros de lecha desnatada que debe producir cada semana la central lechera para maimizar su beneficio. Calcúlese dicho beneficio máimo. c) Calcúlense las cantidades mínima y máima de hectolitros de leche desnatada que debe producir la central lechera cadasemana para no incurrir en pérdidas (es decir, beneficio negativo). 7. [MURC] [SEP] Dada la curva de ecuación y = 3, determinar: + a) Dominio. b) Máimos y mínimos. d) Asíntotas. 8. [MURC] [SEP] Dada la parábola de ecuación y = -8+, hallar el punto en el que la recta tangente es paralela al eje de abscisas. 9. [MURC] [SEP] Hallar dos números cuya suma sea 0, sabiendo que su producto es máimo. Razonar el método utilizado. 30. [MURC] [JUN] La función f() = 3 +p +q tiene un valor mínimo relativo igual a 3 en el punto de abscisa =. Hallar los valores de los parámetros p y q. 3. [MURC] [JUN] Hallar las dimensiones de un campo rectangular de 300 metros cuadrados de superficie para poderlo cercar con una valla de longitud mínima. 3. [RIOJ] [SEP] Considera la función f() = - a) Calcula su derivada y simplifica el resultado. b) Calcula su dominio y sus asíntotas (horizontales y verticales) [RIOJ] [SEP] Hallar los valores de a, b, c para que la función f() = 3 +a +b+c pase por el origen de coordenadas, su derivadase anule en = - y la tangente en el punto = sea paralela al eje de abscisas (eje O). 34. [RIOJ] [JUN] Calcula un punto en el que la tangente a la función f() = +0 sea paralela a la recta y = 4. 0-(t-3),0 t [RIOJ] [JUN] La velocidad de un artefacto viene dada por la siguiente función: v(t) = 9, donde la velocidad, t > 4 t-3 v(t) viene dada en metros por segundo y el tiempo t en horas. a) Estudia la continuidad de la función. b) Calcula los intervalos en los que la función crece y decrece. Usa lo anterior para calcular la máima velocidad alcanzada por el artefacto y el momento en que se alcanza. c) Si dejamos que el tiempo crezca ilimitadamente, a qué velocidad tiende a moverse el artefacto? Interpreta el resultado que has obtenido. 3. [VALE] [SEP] Dada la función f() = se pide: +, a) Su dominio y punto de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales. d) Máimos y mínimos locales. e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. 37. [VALE] [SEP] La especialidad de una pastelería es la fabricación de cajas de bombones upladits. Los costes de fabricación, C() en euros, están relacionados con el número de cajas producidas,, mediante la función C() = 0, Si el precio de venta de una caja de bombones es de 80 euros y se venden todas las cajas producidas, se pide: a) La función de ingresos que obtiene la pastelería con la venta de las cajas. b) La función de beneficios, entendida como diferencia entre ingresos y costes de fabricación. 5 de diciembre de 009 Página 4 de 5

5 Selectividad CCSS 009 c) El número de cajas de bombones que se deben producir para maimizar el beneficio y el beneficio máimo. 38. [VALE] [JUN] Dada la función f() = 3 -, se pide: a) Su dominio y punto de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales. d) Máimos y mínimos locales. e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. 39. [VALE] [JUN] El rendimiento de cierto producto en función del tiempo de uso (medido en años) viene dado por la epresión: f() = 8, , a) Eisten intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece? en los que decrece? Cuáles son? b) En qué punto se alcanza el rendimiento máimo? Cuánto vale éste? c) Por mucho que pase el tiempo, puede llegar a ser el rendimiento inferior al rendimiento que el producto tenía inicialmente? Por qué? 40. [VALE] [JUN] Dada la función f() = 3 -+7, se pide: a) Hallar sus máimos y mínimos relativos. b) Hallar sus máimos y mínimos absolutos en el intervalo [-3,3]. c) Hallar sus máimos y mínimos absolutos en el intervalo [,4]. d) Hallar sus máimos y mínimos absolutos en el intervalo [-5,5]. Soluciones. a) cre: (-,) (3,+ ); ma: ; min: 3 b) conv: (,+ ) c) y = -3+. a), - b) y = 3. a) con: ; der: b) y = c) no 4. a) 00 b) 05 c) a) (-), (-5)ln+ (-5) b) cont: 4; crec: (0,). a) (-) (--)e ; ; +8-8 b) dom: - {0}; conv: -, - (-) (0,+ ); p.i: - 7. a) - ; -+ e ; b) Dom: (0,+ ); min: 8. a) 3-3 ; 0-54 ; ln3 b) ma: 0; min: 40; [0,5) 9. a) crec: (,4) b) 4000 c) a) crec: (8,9) b) ma.abs: (7,8'8); min.abs: (0,7'3) c) ma: (9,8'7); min: (8,8). a) 3; (,5) b) 3, 7. a) b) cont: - {}; crec: (,) c) a) 500 o 000 b) 750 c) a), b) 9 c) 5. a) 5 b) ma: (5,0); min: (0,50), (0,50) c) (0,5). a) 94 b) ma: ; min: 3 3 c) del 00 al a) b) 0 c) 4, 9 d) a) enero y sept b) crec: junio a dic. c) ' en mayo d) - 48 e) 3'85 en dic. 9. 3, 5, - 0. a) b) c) 80, a) 500, 95 b) decrec c) 50. a) crec: (,3) (0,) b) ma: (3,7'43); min: (0,4) 3. a) -95, 5, 50, 0 b) a) 5, 50, -5 b) a) ma: ; min: 5 b) 4800, 500 c) a) b) 3'5; 50 c) '5, 5 7. a) b) min: = 0 b) crec: (0,+ ) d) y = 3 8. (4,) 9. 0, , a) (-) 3 (3,0) c) se detiene 3. a) ; (0,0) b) y = 0 c) crec: (-,) d) min: -; ma: e) - - b) = ; y = , -3, a) b) crec: (0,3); ma: 37. a) 80 b) -0, c) 300; a) ; (0,0), -,0,,0 b) no c) crec: -,-,+ d) ma: - ; min: e) c) ma:4, -; min:, d) ma: 5; min: a) crec: (0,) b), 0 c) no 40. a) ma: -; min: b) ma: -; min: 5 de diciembre de 009 Página 5 de 5