Tipo A Tipo B Máximo Avellanas Nueces Almendras Beneficio x + 40y

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1 IES Fco Ayala de Graada Juio de 010 (Específico Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 010 (ESPECÍFICO MODELO 4) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 ( 5 putos) U comerciate quiere dar salida a 400 kg de avellaas, 300 kg de ueces y 400 kg de almedras. Para ello hace dos tipos de lotes: los de tipo A cotiee kg de avellaas, kg de ueces y 1 kg de almedras; y los de tipo B cotiee 3 kg de avellaas, 1 kg de ueces y 4 kg de almedras. El precio de veta de cada lote es de 0 euros para los del tipo A y de 40 euros para los del tipo B. Cuátos lotes de cada tipo debe veder para obteer el máximo igreso y a cuáto asciede éste? Solució Llamamos x al úmero de lotes del tipo A. Llamamos y al úmero de lotes del tipo B. Para determiar las iecuacioes y la fució Beeficio F(x,y), poemos u cuadro de doble etrada que os lo simplificará. Llamamos x al úmero de lotes del tipo A. Tipo A Tipo B Máximo Avellaas Nueces Almedras Beeficio x + 40y Teiedo e cueta lao aterior teemos las siguietes iecuacioes: x + 3y 400; x + y 300; x + 4y 400; y 0; x 0 La fució beeficio es F(x,y) ) = 0x + 40y Para dibujar la regió factible o recito, de cada iecuació despejamos la icógita y para dibujar la recta correspodiete, y después observado las iecuacioes tedremos la regió factible que idicaremos co la letra R. y = (-/3)x + 400/3; y = -x ; y = -x/ ; y = 0 (eje OX); x = 0 (eje OY) Dibujamos las rectas Si os fijamos e las desigualdades se ve cual es el recito (es ua regió cerrada e este caso), o regió factible. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x=0 e y=0, Teemos el puto de corte es A(0,0) De x=0 e y = -x/ , teemos y = 100, y el puto es B(0,100) De y=-x/4+100 e y=-x/ /3, teemos -x/4+100=-x/ /3, es decir (-3x+100)/1 =(-8x+1600)/1, por tato 5x=400, de dode x=80. Etrado co este valor e y=-x/4+100, teemos y = -80/ = 80, y el puto de corte es C(80, 80) De y=-x/3+400/3 e y=-x + 300, teemos -x+400=-6x + 900/3, es decir 4x=500, de dode x=15. Etrado co este valor e y=-x + 300, teemos y = -(15) +300=50, y el puto de corte es D(15,50) De y=0 e y=-x+300, Teemos 0 = -x+300, de dode x = 150, y el puto de corte es E(150,0) El recito co sus vértices A(0,0), B(0,100), C(80,80), D(15,50 y E(150,0) es: 1

2 IES Fco Ayala de Graada Juio de 010 (Específico Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Cosideremos la fució beeficio F(x,y) = 0x + 40y. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que la fució F alcaza su máximo (míimo) absoluto e la regió acotada, y que este extremo debe estar situado e algú vértice del recito ( o e u segmeto, si coicide e dos vértices cosecutivos), por lo que evaluamos F e los putos ateriores: F(0,0) = =0, F(0,100)= =4000, F(80,80)= 0.(80)+40.(80)=4800, F(100,0)= 0(100) + 40(0) =000. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 4800 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el puto (80,80), es decir para obteer el mayor beeficio hay que realizar 80 lotes del tipo A y otros 80 lotes del tipo B EJERCICIO x si x 0 Sea la fució defiida por f(x) = 3 x - 4x si 0 < x si x > 4 x a) (1 75 putos) Estudie su cotiuidad y derivabilidad. b) (0 75 putos) Determie la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució e el puto de abscisa x =. Solució La fució x / es ua fució poliómica luego es cotiua y derivable e todo R, e particular e x < 0. La fució x 3 -x / es ua fució poliómica luego es cotiua y derivable e todo R, e particular e 0<x<4. La fució 1-4/x es ua fució racioal luego es cotiua y derivable e todo R- {0} (úmeors que aula el deomiador), e particular es cotiua y derivable e x > 0. Falta estudiar la cotiuidad y derivabilidad e x = 0 y x = 4 f(x) es cotiua e x = 0 si f(0) = lim f(x) = lim f(x) x 0 x 0+ f(0) = (0) x / = 0; lim f(x) = lim = (0) 3 3 / = 0; lim f(x) = lim (x - 4x ) = (0) 3-4(0) = 0. Como los tres x 0 x 0 x 0+ x 0+ valores so iguales la fució f(x) es cotiua e x = 0. f(x) es cotiua e x = 4 si f(4) = lim f(x) = lim f(x) x 4 x 4 + f(4) = (4) 3-4(4) 3 3 = 0; lim f(x) = lim (x - 4x ) = (4) 3-4(4) = 0; lim f(x) = lim (1-4/x) = (1-4/4) = 0. Como los x 4 x 4 x 4+ x 4+ tres valores so iguales la fució f(x) es cotiua e x = 4. Luego f(x) es cotiua e R x si x 0 x si x < 0 3 f(x) = x - 4x si 0 < x 4 ; f (x) = 3x - 8x si 0 < x < si x > 4 si x > 4 x x f(x) es derivable e x = 0 si lim f'(x) = lim f'(x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. x 0 x 0+

3 IES Fco Ayala de Graada Juio de 010 (Específico Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua lim f(x) = lim x 0 x 0 (x) = (0) = 0; lim f(x) = lim (3x -8x) = 3(0) -8(0) = 0, como ambos valores coicide la x 0+ x 0+ fució es derivable e x = 0 f(x) es derivable e x = 4 si lim f'(x) = lim f'(x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. x 4 x 4 + lim f'(x) = lim (3x -8x) = 3(4) -8(4) = 16; lim f'(x) = lim (4/x ) = (4/(4) ) = 0, como ambos valores o x 4 x 4+ x 4 + x 4 + coicide la fució o es derivable e x = 4 Luego f(x) es derivable e R-{4} Sabemos que la ecuació de la recta tagete e x = es y f() = f ()(x ) Para x =, f(x) = x 3-4x y f (x) = 3x - 8x, por tato f() = () 3-4() = -8 y f () = 3() - 8() = -4. La recta tagete e x = es y f() = f ()(x ), es decir y (-8)=-4(x-), luego queda y = -4x. EJERCICIO 3 El 41% de quiees se preseta a u exame so varoes. Aprueba dicho exame el 70% de los varoes presetados y el 60% de las mujeres presetadas. a) (1 puto) Calcule la probabilidad de que si ua persoa escogida al azar ha aprobado, sea mujer. b) (1 puto) Calcule la probabilidad de que si ua persoa escogida al azar ha suspedido, sea mujer. c) (0 5 putos) Aa dice que si alguie ha aprobado, es más probable que sea mujer que varó; Beito dice que si alguie ha suspedido es más probable que sea mujer que varó. Quié tiee razó? Solució Llamemos H, H C = M, A y S = S C a los sucesos, varó que se examia, " mujer que se examia ", "aprobar el exame " y "suspeder el exame", respectivamete. El 41% de quiees se preseta a u exame so varoes, luego p(h) = 0 ' 41, y etoces p(m) = 0 ' 59 ya que so sucesos cotrarios, y sabemos que la suma de las ramas de u odo tiee que ser 1. Aprueba dicho exame el 70% de los varoes presetados, es decir p(a/h) = 0 ' 7, y p(a C /H) = 0 ' 3, ya que so sucesos cotrarios, y sabemos que la suma de las ramas de u odo tiee que ser 1. Aprueba dicho exame el 60% de las mujeres presetadas, es decir p(a/m) = 0 ' 6, y p(a C /M) = 0 ' 4, ya que so sucesos cotrarios, y sabemos que la suma de las ramas de u odo tiee que ser 1. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol. a) Calcule la probabilidad de que si ua persoa escogida al azar ha aprobado, sea mujer. Me pide p(m/a) Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de aprobar (A) es: p(a) = p(h).p(a/h) + p(m).p(a/m) = = 0 ' 641. Por la fórmula de la probabilidad del suceso cotrario, la probabilidad de suspeder es P(S) = p(a C ) = 1- p(a) = = Por la defiició de probabilidad codicioada y la Fórmula de Bayes p( M A ) p( M).p(A/M ) 0'59.0'6 p(m/a) = = = = 0 354/ p(a) p(a) 0'641 b) Calcule la probabilidad de que si ua persoa escogida al azar ha suspedido, sea mujer. Me pide p(m/s) Teiedo e cueta el aparatado y de uevo la defiició de probabilidad codicioada teemos p( M S ) p( M).p(S/M ) 0'59.0'4 p(m/s) = = = = 0 36/ p(s) p(s) 0'359 c) (0 5 putos) Aa dice que si alguie ha aprobado, es más probable que sea mujer que varó; Beito dice 3

4 IES Fco Ayala de Graada Juio de 010 (Específico Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua que si alguie ha suspedido es más probable que sea mujer que varó. Quié tiee razó?. Me está pidiedo que compare p(m/a) co p(v(/a), y tambié p(m/s) co p(h/s) Teiedo e cueta los apartados, y la probabilidad del suceso cotrario teemos: p(m/a) 0 53 y p(v/a) = 1 - p(m/a) , luego Aa lleva razó. Teiedo e cueta los apartados, y la probabilidad del suceso cotrario teemos: p(m/s) y p(v/s) = 1 - p(m/s) , luego Beito lleva razó. EJERCICIO 4 Se desea estimar la proporció de votates a u determiado partido político mediate ua muestra aleatoria. a) (1 5 putos) Si de ua muestra de 500 persoas 00 dice que lo vota, calcule co u ivel de cofiaza del 97% u itervalo para la proporció de votates a ese partido e la població. b) (1 5 putos) Si la proporció de votates e otra muestra ha sido 0 y el error cometido e la estimació ha sido iferior a 0 05, co u ivel de cofiaza del 99%, calcule el tamaño míimo de dicha muestra. Solució a) Si de ua muestra de 500 persoas 00 dice que lo vota, calcule co u ivel de cofiaza del 97% u itervalo para la proporció de votates a ese partido e la població. Sabemos que si 30 para la proporció muestral p el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL p ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q = 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) o p N( p q p, ). Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ I.C= p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )=1-α/ sigue E uestro caso p = 00 =, q = = 3, = 500, ivel de cofiaza 1 α = 97% = 0 97, de dode α = = 7% como ivel de sigificació. De α = 0 03 teemos α/ = De la igualdad p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 985, que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/. Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor viee e la tabla y que correspode a z 1-α/ = 17. Por tato el itervalo de cofiaza pedido es: 3 3 p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ.. I.C.=I 100(1-α)% (p)= p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. = - ' , + ' ( ; ) = (0 3546; ) Gráficamete tedríamos 4

5 IES Fco Ayala de Graada Juio de 010 (Específico Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua b) Si la proporció de votates e otra muestra ha sido 0 y el error cometido e la estimació ha sido iferior a 0 05, co u ivel de cofiaza del 99%, calcule el tamaño míimo de dicha muestra. Sabemos que el error máximo es E = z 1 α /. p(1 ˆ p) ˆ. Despejado teemos = ˆˆ. (z 1-α/ ).p.q E uestro caso p = 0, q = 1-0 = 0 8, E < 0 05; 1 α = 99% = 0 99, de dode α = 0 01 = 1% como ivel de sigificació. De α = 0 01 teemos α/ = De la igualdad p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 995, que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/. Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor o viee e la tabla, los más próximos so y Elegimos que correspode a z 1-α/ = 58. Por tato (z 1-α/ ).p.q ˆˆ ('58).0'.0'8 > = = , de dode = 47 E (0'05) OPCIÓN B EJERCICIO 1 Se cosidera el recito del plao determiado por los siguietes semiplaos: 4x y 4; x + y 15; 3y x 10; y 0. a) (1 5 putos) Represete el recito y calcule sus vértices. b) (0 5 putos) Calcule los putos del recito dode la fució F(x,y) = 4x - 7y alcaza el máximo y el míimo. c) (0 5 putos) Etre qué valores varía la fució F(x,y) = 4x - 7y e el recito? Solució Represete el recito y calcule sus vértices. Primero quitamos las desigualdades y os queda rectas 4x-y = 4; x +y = 15 ; 3y-x = 10; y = 0, Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete) despejamos las y y teemos y = 4x +4; y = -x + 15; y = x/3+10/3; y = 0; x = 0, Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. (Recordamos que la recta y=0, es el eje OX). E Si os fijamos e las desigualdades y 4x+4; y -x+15; y x/3+10/3 Vemos que el recito o regió factible es el recito cerrado covexo idicado co la letra R siguiete: 5

6 IES Fco Ayala de Graada Juio de 010 (Específico Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Vamos a calcular los vértices De y=0 e y=4x+4, teemos 0 = 4x+4, de dode x = -1, y el puto de corte es A(-1,0) De y=4x+4 e y=x/3+10/3, teemos 4x+4 = x/3+10/3, de dode 1x+1 = x+10 luego 11x = -, es decir x = -/11, por tato y = 4(-/11) +4 = 36/11 obteemos el puto B(-/11,36/11) De y=-x+15 e y=x/3+10/3, teemos -x+15 = x/3+10/3, de dode -6x+30 = x+10 luego 7x = 0, es decir x = 0/7, por tato y = -(0/7) + 15 = 65/7 obteemos el puto C(0/7,65/7) De y=0 e y=-x+15, teemos 0 = -x+15, de dode x = 15/, y el puto de corte es D(15/, 0) Los vértices de la regió so A(-1, 0), B(-/11, 36/11), C(0/7, 65/7) y D(15/, 0). Calcule los putos del recito dode la fució F(x,y) = 4x - 7y alcaza el máximo y el míimo. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que la fució F alcaza su máximo y míimo absoluto e la regió acotada, y que este extremo debe estar situado e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores: F(-1,0) = 4(-1) 7(0) = - 4, F(-/11, 36/11) = 4(-/11) 7(36/11) = -60/ , F(0/7, 65/7) = 4(0/7) 7(65/7) = -375/ , F(15/, 0)= 4(15/) 7(0) =30. El máximo absoluto es 30 y lo alcaza e el puto D(15/, 0). El míimo absoluto es -375/7 y lo alcaza e el puto C(0/7, 65/7). (c) Etre qué valores varía la fució F(x,y) = 4x - 7y e el recito? Teiedo e cueta el apartado la fució F(x,y) varía etre -375/7 y 30. EJERCICIO U depósito lleo de agua se vacía por u sumidero que tiee e la parte baja. El volume de agua, e m 3, que hay e cada mometo e el depósito, desde que empieza a vaciarse, viee dado por la fució V(t) = 8 - t + t /3, dode t es el tiempo e miutos. a) (0 5 putos) Cuál es la capacidad del depósito? b) (0 5 putos) Cuáto tiempo tarda e vaciarse? c) (0 8 putos) Represete gráficamete la fució V. d) (0 7 putos) Calcule la derivada de esa fució e t = 8 e iterprete su sigificado. Solució El volume de agua, e m 3, que hay e cada mometo e el depósito, desde que empieza a vaciarse, viee dado por la fució V(t) = 8 - t + t /3, dode t es el tiempo e miutos. Cuál es la capacidad del depósito? Como os está pidiedo el volume máximo esto os quiere decir que el depósito todavía o ha empezado a vaciarse, por tato t = 0, y teemos V(0) = 8 m 3. Cuáto tiempo tarda e vaciarse? Nos está pidiedo el valor que resolvamos la ecuació V(t) = 0, es decir 8 - t + t /3 = 0, o lo que es lo mismo t -3t + 56 = 0 6

7 IES Fco Ayala de Graada Juio de 010 (Específico Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua t = -(-3)± (-3) -4(1)(56) 3± 0 = = 16 (doble), es decir el depósito se vacía e 16 miutos. (3) (c) Represete gráficamete la fució V. Nos pide dibujar la fució V(t) = 8 - t + t /3 (a = 1/3, b = -1, c = 8) etre 0 y 16. Sabemos que la gráfica es ua parábola, y como a = 1/3 > 0, las parábola tiee las ramas hacia arriba ( ). Su vértice tiee la abscisa e t = -b/a = -(-1)/(/3) = 16, que sabemos es u míimo. El vértice es V(16,V(16)) = V(16,0). V(16) = (16) /3 = 0 Para t = 0, V(0) = 8. La gráfica de la parábola etre 0 y 16 es: (d) Calcule la derivada de esa fució e t = 8 e iterprete su sigificado. La derivada de V(t) = 8 - t + t /3 es V (t) = t/16. Como os pide V (8) teemos V (8)=-1+8/16=-1/. Sabemos que la derivada e u puto es la pediete de la recta tagete a la fució e dicho puto, luego V (8)=-1/ es la pediete de la recta tagete a V(t) e t = 8 EJERCICIO 3 Ua persoa laza dos veces cosecutivas u dado equilibrado, co las caras umeradas del 1 al 6. a) (0 5 putos) Determie el úmero de resultados del espacio muestral de este experimeto aleatorio. b) (1 5 putos) Sea A el suceso "la mayor de las putuacioes obteidas es meor que 4" y B el suceso "la primera putuació es impar". Halle la probabilidad de A y la de B. c) (0 5 putos) So idepedietes A y B? Solució Determie el úmero de resultados del espacio muestral de este experimeto aleatorio. El úmero de resultados del espacio muestral es 6x6 =36 (6 de cada dado) Sea A el suceso "la mayor de las putuacioes obteidas es meor que 4" y B el suceso "la primera putuació es impar". Halle la probabilidad de A y la de B. A = "la mayor de las putuacioes obteidas es meor que 4" = { 1-1,1-, -1, 1-3, 3-1, -, -3, 3-, 3-3}, dode el primer úmero es el resultado del primer dado y el segudo el resultado del segudo dado. Vemos que hay 9 resultados posibles Para calcular la probabilidad utilizaremos la fórmula de Laplace. p(a) = (º de casos favorables)/(º de casos posibles) = 9/36 = 1/4 = 0 5. B = "la primera putuació es impar" = 7

8 IES Fco Ayala de Graada Juio de 010 (Específico Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua = { 1-1,1-, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 3-1,3-, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6, 5-1,5-, 5-3, 5-4, 5-5, 5-6}. Vemos que hay 18 resultados posibles Para calcular la probabilidad utilizaremos la fórmula de Laplace. p(b) = (º de casos favorables)/(º de casos posibles) = 18/36 = 1/ = 0 5 (c) So idepedietes A y B? A y B so idepedietes si p(a B) = p(a).p(b) A B es el suceso la mayor de las putuacioes obteidas es meor que 4 y a la vez la primera putuació es impar A = { 1-1,1-, -1, 1-3, 3-1, -, -3, 3-, 3-3}, B = { 1-1,1-, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 3-1,3-, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6, 5-1,5-, 5-3, 5-4, 5-5, 5-6}. Luego A B = {1-1, 1-, 1-3, 3-1, 3-, 3-3}, es decir hay 6 sucesos y p(a B) = 6/36 = 1/6 Como p(a).p(b) = (1/4)(1/) = 1/8 que es distito de 1/6 = p(a B), los sucesos A y B o so idepedietes. EJERCICIO 4 Se sabe que el tiempo de reacció a u determiado estímulo se distribuye segú ua ley Normal de media descoocida y desviació típica 0 segudos. a) (1 5 putos) Observada ua muestra aleatoria de tamaño 5 se ha obteido ua medía muestral de 0 3 segudos. Obtega u itervalo de cofiaza para la media de la població co u ivel de cofiaza del 94%. b) (1 5 putos) A u ivel de cofiaza del 90%, cuál será el tamaño muestral míimo si el error cometido es iferior a 0 05? Solució Sabemos que si teemos ua població co distribució ormal N(µ,σ) y extraemos de ella muestras de σ tamaño, la distribució muestral de medias X sigue tambié ua distribució ormal: N(µ, ). Tambié sabemos que cuado la població o sigue ua distribució ormal, podemos aplicar el teorema cetral del límite que dice: Si se toma muestras de tamaño > 30 de ua població, co ua distribució cualquiera, media µ y ua σ desviació típica σ, la distribució muestral de medias X se aproxima a ua distribució ormal N(µ, ). Sabemos que u parámetro es u valor umérico que describe ua característica de la població (μ, p, σ, etc. Es decir la media, la proporció, la variaza,.). σ Sabemos que para la media poblacioal μ el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(μ, σ ) o X N(μ, σ ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C= σ σ x z 1 α/,x+ z1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )=1-α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media. z 1-α/ σ. De esta fórmula despejado (tamaño de la muestra) teemos = E. Observada ua muestra aleatoria de tamaño 5 se ha obteido ua medía muestral de 0 3 segudos. Obtega u itervalo de cofiaza para la media de la població co u ivel de cofiaza del 94%. 8

9 IES Fco Ayala de Graada Juio de 010 (Específico Modelo 4) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua E uestro caso de los datos del problema teemos que X N(µ,0 ); = 5; X = 0 3, ivel de cofiaza 1 α = 94% = Como α = = 0 06, teemos α/ = 0 06/ = 0 03 De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 97 o viee e la tabla y que el valor más próximo es que correspode a z 1-α/ = z = 1 88, por tato el itervalo de cofiaza pedido para µ es σ σ 0' 0' I.C= x z 1 α/,x + z1 α/ = 0'3 1'88,0'3 + 1'88 = (0 48, 0 375) 5 5 A u ivel de cofiaza del 90%, cuál será el tamaño muestral míimo si el error cometido es iferior a 0 05? Teemos E < Como el ivel de cofiaza es 1 α = 90% = 0 90, teemos α = = 0 1, de dode α/ = 0 1/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 95 o viee e la tabla y que los valores más próximos so y Tomo que correspode a z 1-α/ = z = 1 65, por tato z 1-α/ σ. E uestro caso > E = 1'65.0' 0'05 = 43 56, por tato el tamaño míimo de la muestra es = 44. 9