Problemas y preguntas de tipo test. Integrales indefinidas. 1. Calcula las siguientes integrales: b) dx = dx

Transcripción

1 Análisis Mmáio. Ingrls Prolms y prguns d ipo s Ingrls indfinids. Clul ls siguins ingrls: ) d ) d ) S sri l ingrndo omo s indi: d = d ) (sin ) d d os d) = d ln ) d = d 7 / 5 / / 7 / = d ) Ajusndo onsns: (sin ) d os = d sin d (sin ) os d) = d. Clul ls siguins ingrls indfinids: ) d ) d ) ) d ) Ajusndo onsns: d = d ln ) d pud hrs dirmn (s inmdi). d (sn d) d = / ( ( ) ) d / ( ) = ( ) / / ) sn d = sn sn d sn ( os ) d = = d os sn sn os d os d) S opr n l ingrndo: d 9 = d 6

2 Análisis Mmáio. Ingrls. ) Compru qu. ) Clul l ingrl indfinid: d. ). ) Por lo viso: d = d ln ln( ). Clul ls siguins ingrls: ) d ) ln d ) Dividindo l ingrndo (pud hrs por Ruffini), s in: d 8 = 9 d = 9 8ln( ) ) L ingrl ln d s h por prs. Tomndo: u ln y dv d du d ; v Lugo, ln d = ln d = ln 5. Clul ls siguins ingrls: ) os d ) d ) d d d) (mio: ln ) 5 ( ln ) ) os d = os d = sin ) Es un ingrl inmdi. Bs on jusr onsns. / d / = d = / 8 = ) d 5 = ( ) d 5 ( ) =

3 Análisis Mmáio. Ingrls d) Si ln d d. Por no, d = d = d ( ln ) ( ln ) = ln ln ln 6. Hll l primiiv d f ( ) ln qu ps por l puno (, ). Hy qu nonrr l funión F( ) ln d qu umpl qu F ( ). En primr lugr pud sriirs ln d = d ln d. En l sgund ingrl s h u ln du (ln ) d dv d v = Lugo, ln d = ln ( ln ) d = ln ln d d ln d = ln D dond, ln d = ln Por no: F( ) ln d = d ln d = ln = ln. 9 Si s ds qu F ( ) ln. 9 L primiiv usd s F ( ) ln 7. Clul l ingrls indfinids: 8 d ) d ). Ams pudn hrs por l méodo d dsomposiión n frions simpls. 8 ) d. Como ls rís dl dnomindor son = y = : ( )( ), s in l iguldd: 8 A B A( ) B( ) = ( )( ) Lugo: 8 A( ) B( ) si = : 9 = A A = si = : 6 = B B =

4 Análisis Mmáio. Ingrls Con so: 8 d d d = L( ) L( ) d ). Como: A B A( ) B( ) = A B A ( ) B( ) A y B A B Lugo, d d / / ln ln 8. Hll l ingrl indfinid d mdin l mio d vril. Si d d d d d. Por no, ( ) d d d d d = ln( ) = = (dshindo l mio) = ln

5 Análisis Mmáio. Ingrls 5 Ingrls dfinids 9. Hll l vlor d: 9 ) d 5 9 ) d 6 5 6( ) 6 5 ) d ) d ) d = d / 7 ) Ajusndo onsns: d = d Clul l ár d l rgión limid por y, l j OX y ls rs =, =. L funión y, qu s un hipérol quilár, pud rzrs dndo lgunos punos: (,5, 8); (, ); (, ); (, ); (8,,5). L rgión s l somrd n l gráfi djun. El ár vin dd por l ingrl dfinid: d ln ln. Clul l ár d l rgión limid por l funión y y l r qu ps por los punos (, ) y (, ). L r qu ps por los punos (, ) y (, ) d l urv in por uión : y y 5. El rino s l somrdo n l figur djun. El ár d s rgión vin dd por l ingrl dfinid: 5 d 5 ln 5 ln

6 Análisis Mmáio. Ingrls 6. Clul l ár omprndid nr ls práols y, y. El ár s l dl rino somrdo n l figur djun. (Como ls gráfis son práols pudn rzrs fáilmn). Ls urvs s orn n = y n = /, qu son ls soluions dl l uión: Lugo: / / S ( ( )) d ( ) d = = /. Hll l ár dl rino plno omprndido nr ls gráfis y y. El rino plno omprndido nr ls gráfis y y, qu pud rzrs dndo lgunos vlors, s l djuno. / S d. Hll l suprfii dl rino plno nrrdo nr l urv dd por l funión f ( ) y l j OX, n l inrvlo [, ]. En l inrvlo onsidrdo, l signo d l funión s ngivo, por no, l suprfii usd vin dd por: S d L ingrl d l hrmos por prs. Tomndo: u = y dv d du d ; v S in: d = d = Lugo: S d = (L gráfi no s imprsindil). 5. Clul l ár nrrd nr l urv d l funión f ( ) y l j OX, n l inrvlo [, ]. Como n l inrvlo d ingrión l funión s posiiv, l ár pdid s: A d d ln( ) ln ln ln

7 Análisis Mmáio. Ingrls 7 6. Clul l ár nrrd nr ls urvs dds por ls funions f ( ) y g( ). Pr drminr l ár inrs onor los punos d or d ls urvs y sr qué urv v por nim d l or nr sos punos d or. Tmién s onvnin hr un squm gráfio d l siuión. Punos d or: f ( ) g( ) ( ) ( )( ) Ls urvs s orn undo =, = y =. Posiión d ls urvs n los inrvlos (, ) y (, ). S h l difrni g( ) f ( ), qu s g ( ) f ( ) ( ) ). Lugo: Si < <, g ( ) f ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) g () v por nim d f () Si < <, g ( ) f ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) g() v por djo d f () Por no, l ár pdid vin dd por g ) f ( ) d f ( ) g( ) S ( d d S d = = El squm gráfio, qu pud onrs lulndo y rprsnndo lgunos punos d ls urvs, s l djuno. 7. El ár d l rgión pln limid por l urv y sin os y l j OX n l inrvlo [, /] vl: ) / ) / ) Ningun d ls nriors Como l funión s posiiv n l inrvlo d sudio, l suprfii usd s: / S sin os d sin L rspus s ). / sin sin 8. El ár dl rino limido por ls urvs d uión y y, vl: ) ) ) Ningun d ls nriors. 6 Ls urvs pudn rprsnrs dndo vlors. Son ls djuns. Por no:

8 Análisis Mmáio. Ingrls 8 S ( ) d L rspus s ). 9. El ár d l rgión pln limid por l urv y sin y l j OX n l inrvlo [, ] vl: ) ) ) Ningun d ls nriors L funión or n los punos =, = / y =. Lugo: / / S sin d os. El ár nrrd nr l urv y y l j OX, nr = y =, vl: ) ) ) Ningun d ls nriors. El rino s l somrdo d l figur djun. (No s nsrio diujrlo, pus l funión s posiiv n l inrvlo d ingrión). El ár s: d L rspus s ). ln ln ln

9 Análisis Mmáio. Ingrls 9 Ingrls impropis. Hll: ) d ) 8 d ) ( ) d ) Es impropi (no s oninu n = ). d lím d lím lím d) = ) Es impropi (no s oninu n = ). 8 8 d = / / d lím 8 lím = lím 8 6 ( ) d ) ( ) d = lím d lím lím ( ) d) ( ) d = lím d lím lím ( ). L ingrl impropi / n d s: ) Convrgn. ) Divrgn. ) Ningun d ls nriors. L disoninuidd s produ n /. Por no: / sin n d = lím n d lím ( / ) ( / ) os d = lím ( ln(os )) lím ( lnos ln os) ln ln / L rspus s ). 8 /. L ingrl ) Convrg. ) Convrg /. ) Es divrgn. d : d = lím d L rspus s ). lím lím

10 Análisis Mmáio. Ingrls. L ingrl impropi d ) Convrg /. ) Es divrgn. ) Ningun d ls nriors. L funión f ( ) s disoninu n =, lugo: d = d L primr s: L rspus s ). d d ; ls dos ingrls dl sgundo mimro son divrgns. = lím d lím lím 5. L ingrl impropi ) Convrg simpr. ) Divrg simpr. ) Ningun d ls nriors. d = lím L rspus s ). d d, dond > : lím lím 6. L ingrl impropi d : ) Convrg. ) Convrg ) Es divrgn d lím d lím lím ) L rspus s ). = 7. El ár dl rino limido por los js d oordnds y l urv y vin dd por d. Su vlor s: ) ) ) No s onvrgn: vl. d lím L rspus s ). d lím ( ) lím ( )

11 Análisis Mmáio. Ingrls 8. El vlor d d s: ) + ) ) Ningun d ls nriors. d = lím d lím ( ) lím ( ) L ingrl dfinid s h omo sigu. Tomndo: u = y dv d du d ; v Lugo: d = d = L rspus s ). 9. L ingrl d : ) Convrg. ) Convrg. ) Es divrgn d = lím d lím lím ( ) L rspus s ).. L ingrl impropi p d, onvrg si: ) p > ) < p < ) Ningun d ls nriors. p d = p p p lím d lím lím p p p p Es lími is undo < p <. (Si p >, ). L rspus s ).

12 Análisis Mmáio. Ingrls Mmáis Emprsrils I Ls ingrls qu sigun s hn propuso n ámns d liniur (Hoj 6.). (E) Dds ls funions f ( ) ln( ) y g( ), hll l ár dl rino plno limido por ls rs =, = y ls gráfis d f() y g(). El rino drmindo por ls funions dds s l somrdo n l figur djun. (Tno l funión logrími omo l r son d rprsnión inmdi.) El ár vin dd por l ingrl: ln ( ) d = = ln d ( ) d = = ln = ln L primiiv f ( ) ln( ) s nunr por prs, hindo: u ln du d dv d v = D dond: L primiiv ln d ln d ln g( ) s inmdi: ( ) d. 8. (E) El vlor d d : ) Si = ) Si = ) Pr mos vlors d ; so s, si = ± Un primiiv dl ingrndo s inmdi. Bs on sriir: 8 d 8 d = 8 Por no; 8 d =. L rspus s ). Or soluión pud sr =, unqu hy qu dsrrl, y qu l funión s oninu n l inrvlo [, ]. (Rsulrí un ingrl impropi.) 8 f ( ) no. (S9) El ár dl rino limido por f ( ) y l j OX n l inrvlo [, p], vl 8 si:

13 Análisis Mmáio. Ingrls ) p = ) p = ) Ningun d ls nriors L funión s posiiv qu n l inrvlo d ingrión. Por no, l ár usd vl: p p p d p p L rspus s ). p 8 p p p =. (F9) El ár omprndid nr ls dos práols y y, vl: 7 ) ) ) Ningun d ls nriors, su vlor s: L rgión s l somrd n l siguin figur. Ls urvs s orn n los punos (, ) y (, ), qu son ls soluions dl sism y y Como y v por djo d y n l inrvlo (, ), l ár vin dd por: A ( ) d L rspus s ). ( ) d ( ) 5. (S8) L suprfii fini omprndid n l gráfi d f ( ) y los js d oordnds vl: ) / u ) 8/ u ) 6/ u Hy qu rzr l urv pr ompror qu l funión no or l j n l inrvlo d ingrión. (Tmién podrí indirs qu f ( ) nun s ngiv). Por no: 8 S ( ) d u L rspus s ). 6. F8. Hz un sozo d l funión f ( ) 6 9 y lul l ár nrrd nr l urv d f () y l j OX. f ( ) 6 9 f ( ) 9 = ; =. Si <, f () > f () r. Si < <, f () < f () dr En = hy máimo. Si >, f () > f () r En = hy mínimo. Algunos vlors: (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) El sozo s l siguin. L funión or l j n los punos = y = ; por no, l ár

14 Análisis Mmáio. Ingrls pdid vl ) 9 6 ( d S = (F7) L urv y y l r d uión y limin un rino finio n l plno uy ár s: ) / ) 7/ ) Ningun d ls nriors, su vlor s Como no l práol omo l r pudn diujrs dndo vlors, l squm gráfio no prsn difiulds. S oin l figur djun; l rino s l olordo. El ár vin dd por: ) ( )) ( ( d d = = L rspus s ). 8. (S7) L urv y y l r qu ps por los punos A(, ) y B(, ) limin un rino finio n l plno, uy ár vl: ) unidds udrds (u ) ) 5/ u ) / u. L r qu ps por los punos A(, ) y B(, ) s: y y Como no l práol omo l r pud diujrs dndo vlors, l squm gráfio no prsn difiulds. S oin l figur siguin; l rino s l olordo. El ár vin dd por: ) ( )) ( ( d d = L rspus s ).

15 Análisis Mmáio. Ingrls 5. (F6) El ár dl rino plno nrrdo nr l urv d uión y, y l j OX, vl: ) /5 ) 8/ ) Ningun d ls nriors, l ár vl El ár nrrd urvs s l somrd. 6 8 A 8 d u L rspus s ).. (F5) El ár nrrd nr ls gráfis d l r y y l práol y, vl: ) 7 u ) u ) Ningun d ls nriors, su vlor s: El ár nrrd nr ms urvs s l somrd n l siguin figur. L práol y l r s orn n los punos ls soluions dl sism y, qu son (, ) y (, ); punos d siss = y =. y Por no, l ár pdid vin dd por l ingrl 8 9 d u L rspus s ).