La transformada de Laplace
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- Marcos Núñez Hernández
- hace 6 años
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1 CAPÍTULO 6 La ranformada de Laplace 6.6 Aplicacione Ejemplo 6.6. Conideremo un iema maa-reore con m g, c 4 Nm/ y 0 N/m. Supongamo que el iema eá inicialmene en repoo y en equilibrio por lo cual x.0/ x 0.0/ 0 y que la maa e impulada por una fuerza de exciación f./ cuya gráfica e muera en la figura iguiene. Enconrar la poición de la maa en cualquier inane. f./ 0 H La poición x./ de la maa m eá dada por la olución del PVI: x 00./ C 4x 0 0; i <./ C 0x./ f./ 0; i Œ; / ; con x.0/ x 0.0/ 0: La función f./ puede ecribire como f./ 0Œu. / u. / ; enonce por la linealidad de la TL enemo: 0e 0e F./ Lf f./g : Ahora, omamo TL en ambo miembro de la E para obener: Œ X./ x.0/ x 0.0/ C 4ŒX./ x.0/ C 0X./ F./:. cane.azc.uam.mx: 4/ 9/ 00
2 Ecuacione diferenciale ordinaria Al coniderar la condicione iniciale y la expreión de F./, enemo que: X./ C 4X./ C 0X./ ). C C 5/X./ ) X./ 5e. C C 5/ 0e 0e ) 0e ) 5e. C C 5/ : 0e Por lo ano, para enconrar x./, lo único que rea e obener la ranformada invera de Laplace. En primer lugar, por la primera propiedad de ralación, e iene que L L C C 5. C / C 4 L. C / C 4 e en : Luego, calculamo L. uilizando la propiedad de la ranformada de una inegral: C C 5/ [ L. C C 5/ e u en u du ] e u. co u C en u/ e Œ co C en : Finalmene, al uilizar la egunda propiedad de ralación y la periodicidad de la funcione eno y coeno, deerminamo que x./ 5L e 5L e. C C 5/. C C 5/ e. / Œ co. 4/ C en. 4/ u. / e. / Œ co. / C en. / u. e. / Œ co C en u. / / e. / Œ co C en 0 u. Podemo apreciar, en la gráfica de la función poición x./, que preenamo a coninuación, la exciación que obre el iema iene la función f./ en el inervalo Œ;. Adviera que, depué de que la fuerza cea, el iema iende al repoo por efeco de la fuerza de amoriguamieno. x./ /: Ejemplo 6.6. Calcular la corriene en un circuio en erie RLC cuyo componene on: un reior de, un inducor de H, un capacior de F y una fuene de volaje que uminira (en volio): ; i 0 < I V./ ; i I 0; i > :
3 6.6 Aplicacione 3 (Ée e el ejemplo?? de la inroducción.) H Aplicando lo valore L, R, y C en la E del circuio: L di d C RI C C Q V./; obenemo la ecuación inegro-diferencial, uponiendo corriene inicial nula: di d C I C I./d V./; con I.0/ 0: 0 Calculamo la TL de la función de volaje. Lo primero que obervamo e que V./ C. /u. / C. /u. /. /u. / C. /u. /: Por lo ano, por la egunda propiedad de ralación, LfV./g e C e e e C : Si aplicamo TL en ambo miembro de la ecuación inegro-diferencial, uilizando la propiedade requerida (ranformada de una derivada y de una inegral), enconramo: Q I./ I.0/ C I./ Q I./ C Q e e C, donde I./! Q I./: Ahora, uilizando I.0/ 0, y muliplicando ambo miembro de la ecuación anerior por, hallamo: Q I./ C Q I./ C Q I./ e e C ) Q I./ e e C. C / : Todo lo que rea e el cálculo de la ranformada invera. Procedemo de la iguiene manera. Primero, aplicamo fraccione parciale a la expreión. C / ; obenemo:. C / C. C / : Por lo ano: L C e e :. C / Aplicamo la egunda propiedad de ralación al reulado anerior: I./ L fi./g L e e C L e. C /. C / e C L. C /. C / L : e donde: I./ Œ e. /. /e. / u. / Œ e. /. /e. / u. / C Œ e e : La gráfica de la función de corriene e la iguiene:
4 4 Ecuacione diferenciale ordinaria I./ La corriene e prácicamene cero a parir del décimo egundo depué del cierre del inerrupor en el circuio. Ejemplo o maa iguale de g e encuenran vinculada mediane 3 reore de maa depreciable y conane de reiución, como e muera en la figura iguiene. El iema eá dipueo vericalmene y la maa eán deprovia de rozamieno aí como de fuerza de exciación. Añadimo ahora la información dede la cual e rompe el equilibrio x.0/, x.0/, x 0.0/ 3, x 0.0/ 3. eerminar la poición de cada maa en cualquier inane, i 3 N/m. (Ée e el ejemplo?? de la inroducción.) Poición de equilibrio m x Poición de equilibrio x m H Enumeramo lo reore de arriba hacia abajo con lo número, y 3. Cuando el iema eá en movimieno, el reore eá ujeo a elongación y compreión, por coniguiene u elongación nea e x x. Por lo ano, de la ley de Hooe, deducimo que lo reore y ejercen fuerza x y.x x / repecivamene obre la maa m. e ea manera, i no hay fuerza exerna ni fuerza de amoriguamieno, enonce la fuerza nea obre la maa m e x C.x x /. Ahora por la egunda ley de Newon, enemo: m x 00 x C.x x /: e manera imilar, la fuerza nea ejercida en la maa m e origina por la elongación y compreión de lo reore y 3. e manera má concrea, la fuerza ejercida obre la maa on, por el reore 3, x ; y por el reore,.x x /. Luego, por la egunda ley de Newon: m x 00 x.x x /: Si ahora uamo lo valore de la maa m m y el valor de 3, obenemo el iguiene iema de ecuacione que reolveremo uilizando TL. x 00 3x C 3.x x / x 00 3x 3.x x / ; con x.0/ ; x.0/ ; x 0.0/ 3 & x 0.0/ 3:
5 6.6 Aplicacione 5 Aplicamo TL en ambo miembro de cada ecuación y obenemo: F./ x.0/ x 0.0/ 3F./ C 3ŒG./ F./ I G./ x.0/ x 0.0/ 3G./ 3ŒG./ F./ ; donde x./! F./ & x./! G./. Si ahora aplicamo la condicione iniciale, el iema anerior e conviere en F./ 3 3F./ C 3ŒG./ F./ I G./ C 3 3G./ 3ŒG./ F./ : Tenemo un iema de do ecuacione con do incógnia, F./ y G./. Ordenamo el úlimo iema con el propóio de depejar nuera incógnia:. C 6/F./ 3G./ C 3 3F./. C 6/G./ C 3 o bien. C 6/F./ 3G./ C 3I 3F./ C. C 6/G./ 3: Si uilizamo la regla de Cramer para la olución del anerior iema, hallamo: F./ 3 C 3 C 9 C 9 4 C C 7 & G./ 3 3 C C C 7 : El denominador de cada una de la expreione e el mimo, y puede ecribire como e ea manera: 4 C C 7. C 6/ 9. C 9/. C 3/: F./ 3 C 3 C 9 C 9. C 9/. C 3/ e donde, al uilizar fraccione parciale, enconramo que & G./ 3 3 C 9 9. C 9/. C 3/ : F./ 3 C 3 C 9 C 9. C 9/. C 3/ C 3 C 3 C 9 & G./ 3 3 C 9 9. C 9/. C 3/ C 3 3 C 9 : Por lo ano, La iguiene gráfica muera amba funcione: x./ L C 3 C 3 co. p 3/ C en.3/i C 9 x./ L 3 co. p 3/ en.3/: C 3 C 9 x x./ x./
6 6 Ecuacione diferenciale ordinaria Ejercicio 6.6. Aplicacione. Solucione en la página 8 Uar la TL para reolver lo iguiene problema: d x d C 3dx d C x ; con x.0/ x 0.0/ 0. d x d C 4x en 3; con x.0/ x 0.0/ 0. d 4 x d 4 d x d C x en ; con x.0/ x 0.0/ x 00.0/ x 000.0/ 0. d y d C 4y f./; con y.0/ y 0.0/ 0, donde f./ d y d C y f./; con y.0/ 0 & y 0.0/, donde f./ 0; i 0 < 5I 5 ; i 5 < 0I 5 ; i 0: ; i 0 < 6I 3; i 6: 6. d y d C 4y u. / u. 3/; con y.0/ y 0.0/ 0. 3 dx dy C x C 7. d d dx d C 4dy d C 3y 0 ; con x.0/ y.0/ 0. dx 8. d 3x C 4y C en dy x C 3y C d ; con x.0/ 0 & y.0/. d x 9. d C y d y d C x 0 ; con x.0/ y.0/ x 0.0/ y 0.0/ 0. d x 0. d C dy d C x 0 dx dy d d co ; con x.0/ 0; x 0.0/ 0 & y.0/ 0. Z y 0 C y C 6. 0 y 0 C z 0 C z 0 ; con y.0/ 5 & z.0/ 6. Z. Calcular y./, i y 0 ; i I C 3y C y d f./, con y.0/ y f./ 0 0; i Œ; : 3. Un circuio elécrico conie de una reiencia de R ohm en erie con un condenador de capaciancia C farad, un generador de E vol y un inerrupor. Si en el iempo 0 e cierra el inerrupor y i la carga inicial en el capacior e cero, deermine la carga en el condenador en cualquier iempo. Suponga que R, C y E on conane.
7 6.6 Aplicacione 7 4. Un paracaidia cae pariendo del repoo. El peo combinado de él y u paracaída e W. El paracaída ejerce una fuerza en ambo (por reiencia del aire) que e direcamene proporcional a la velocidad durane la caída, eo e F R / v. El paracaidia cae vericalmene, y e requiere hallar u poición en cualquier momeno. a. Si e upone que el paracaída eá abiero dede el momeno inicial. b. Si e upone que el paracaída e abre 0 depué de iniciada la caída. 5. Una droga enra y ale de un órgano de volumen V 0 cm 3 a una aa de ˇ cm 3 /, donde V 0 ; y ˇ on conane. Supongamo que, en el iempo 0, la concenración de la droga e 0 y que, al adminirar la droga, dicha concenración aumena linealmene haa un máximo de en el iempo 0, en el cual el proceo e deiene. eerminar la concenración de la droga en el órgano en odo inane y u máximo valor. 6. Una maa que pea 3 lb e encuenra ujea al exremo de un reore ligero que e eira pie cuando e le aplica una fuerza de 4 lb. Si la maa e encuenra en repoo en u poición de equilibrio cuando 0 y i, en ee inane, e aplica una fuerza de exciación f./ co que cea abrupamene en, deerminar la función de poición de la maa en cualquier inane, i e permie a la maa coninuar u movimieno in impedimeno. 7. Un circuio RLC, con R 0, L H y C 0:00 F iene conecada una baería que proporciona 90 V. Suponga que en 0 no hay corriene en el circuio ni carga en el condenador y que, en el mimo inane, e cierra el inerrupor por. Si al iempo e abre el inerrupor, y aí e conerva, encuenre la corriene reulane en el circuio.
8 8 Ecuacione diferenciale ordinaria Ejercicio 6.6. Aplicacione. Página 6. x./ 3 4 C C e 4 e.. x./ 3 0 en en x./ 8 Œ. /e C. C /e C en. 4. y./ Œ. 5/ en.. 5// u. 5/ 5. y./ Œ C en. 6 en. 6//u. 6/. 6. y./ en Œu. / u. 3/. 7. x./ 3 0 e 6 5 e ; y./ 5 e 6 C 5 e. Œ. 40 0/ en.. 0// u. 0/. 8. x./ 4 C 7 e C e co C 3 en, y./ 3 C 7 e C e C en. 9. x./ 4 e C 4 e co, y./ 4 e 4 e co. 0. x./ 5 co Œ e C 5 en Œ 3e, y./ 5 co Œ e. y./ 3e 4 4e, z./ 4e 4 C e. 5 en Œ C 6e.. y./ e C e C Œe. / e. / u. /.e. / e. / /u. /. «3. Q./ e RC EC. 4. a. y./ Wˇ C W e ˇg W ˇg ; 8 >< g ; i < 0I b. y./!» 0W W >: 50g C. 0/ C Wˇ e ˇg W ˇ ˇg. 0/ ; i 0: 8 V 0.e >< ˇ 0 5. x./ >: V 0 e ˇ 0 x máx x. 0 / ˇ V 0 0 ˇ V 0 C V 0 ˇ 0 / C 0 ; «V 0 e ˇ 0 e ˇ V 0 0 «. i 0 0 I ˇ. 0 / V 0 ; i > 0 I 8 en./; >< 4 i 0 < I 6. x./ ««>: 4 3 en C co ; 8 i : 7. I./ ( e 0 e 00 ; i 0 < I. e 0 /e 0. e 00 /e 00 ; i :
6.6 Aplicaciones 403 } { 10 si t < 2 0 si t Œ; 2/ ; con x.0/ D x 0.0/ D 0: 10e. 5e 2s s.s 2 C 2s C 5/ 5e s s.s 2 C 2s C 5/ : D 12.s C 1/ 2 C 4.
6.6 Aplicacione 403 6.6 Aplicacione Ejemplo 6.6. Conideremo un iema maa-reore con m kg, c 4 Nm/ y k 0 N/m. Supongamo que el iema eá inicialmene en repoo y en equilibrio por lo cual x.0/ x 0.0/ 0 y que
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