Tema 8: Teorema de Rouché-Frobenius

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1 Te : Teore de Rouché-Froenius Se lln ecuciones lineles ls ecuciones en ls que ls incógnits precen tods con grdo ; no están elevds ningun potenci ni jo ningún rdicl ni ultiplicds uns por otrs. coo por ejeplo: ; ; Un siste de ecuciones lineles es un conjunto de ecuciones de l for:... n n... n n n n Donde es el nº de ecuciones lineles n el nº de incógnits los ij son los coeficientes del siste (núeros reles los j son ls incógnits los i son los térinos independientes (tién núeros reles. Resolver un siste de ecuciones es encontrr los vlores de los tods ls ecuciones o concluir que el siste no tiene solución. pr los que se cuplen j Un siste de ecuciones puede tener solución (coptile o no tenerl (incoptile. Los sistes coptiles pueden tener un solución (deterindos o infinits soluciones (indeterindos. En resuen podeos clsificr los sistes de ecuciones lineles del siguiente odo: Sistes de ecuciones lineles Deterindo ( SCD... Solución únic Coptile Indeterindo : ( SC.. I. Muchs Soluciones Incoptile : ( SI.. Sin solución Llos l tri de coeficientes l tri plid con los térinos independientes:... n n n... n n n. Teore de Rouché-Froenius Perite conocer si un siste de ecuciones tiene solución prtir del estudio del rngo de l tri socid l siste (tri de coeficientes del rngo de l tri plid de éste (tri. Mteátics Curso intensivo Julio-Septiere de Rúl G.M.

2 Sistes Deterindo :Rng( Rng( nº de incógnits Coptile: Rng( Rng( Indeterindo: Rng( Rng( < nº de incógnits Incoptile : Rng( Rng( Este Teore es u útil pr el estudio de sistes con práetros...- Resolución de sistes de ecuciones lineles Estudindo un siste de ecuciones por el Teore de Rouché-Froenius si result coptile podeos hllr su solución edinte l regl de Crer:...- Regl de Crer: Un siste de ecuciones lineles es un siste de Crer si l tri de coeficientes es regulr. Por tnto este tipo de sistes son siepre S.C.D. Pr clculr ls soluciones de un siste utilios dos deterinntes: Deterinnte de l tri de coeficientes. Deterinnte i que se otiene l sustituir en l tri del siste l colun de l incógnit i ( ó por l colun de los térinos independientes. El vlor de cd incógnit se otiene de l siguiente for: Ejeplo.: Resolver el siste es regulr El siste es de Crer Sus soluciones son: ; ; S( Utilindo un pequeño truco podeos utilir este étodo de resolución sistes coptiles indeterindos. Si un siste es coptile indeterindo es porque Rng( Rng( < nº de incógnits si llos grdo de liertd (g l diferenci entre el nº de incógnits el rngo de ls trices. Llreos enor principl de l tri l enor que nos d el rngo de ls trices este enor nos d un nuevo siste de ecuciones con tnts ecuciones coo Mteátics Curso intensivo Julio-Septiere de Rúl G.M.

3 incógnits lldo siste principl. Este siste es equivlente l principl se puede resolver con l regl de Crer teniendo en cuent que ls soluciones quedrán en función de tntos práetros coo indique g. Ejeplo.: Resolver el siguiente siste: Escriios ls trices. ; ( ( Rng( < Rng( Pr l tri ocurre ectente igul Rng(Rng( < nº de incógnits. Teneos que el siste es S.C.I. coo no es regulr no podeos utilir l regl de Crer. Coo pr otener Rng( heos utilido ls dos priers ecuciones entonces l tercer l podeos eliinr el siste qued: Si llos teneos: si psos los térinos con l derech de ls igulddes nos qued: Si quí volveos escriir ls trices : Coo podeos oservr hor si es un tri regulr porque es cudrd su deterinnte es distinto de cero. Podeos utilir l regl de Crer pr resolver el siste. Por tnto ls soluciones del siste son S { }..- Sistes con práetros: Se ll discutir un siste de ecuciones en función de uno o vrios práetros l hecho de clsificrlo según los vlores que puedn tor dichos práetros. Coo nor generl de discusión podeos seguir el siguiente proceso: Clculos el deterinnte de l tri de coeficientes ( en función del práetro o práetros lo igulos cero resolveos l ecución. Clculos los rngos de ls trices utilios el teore de Rouché- Froenius pr clsificrlo. Si es coptile (deterindo o indeterindo lo resolveos por lguno de los étodos nteriores. Mteátics Curso intensivo Julio-Septiere de Rúl G.M.

4 Ejeplo.: Discutir el siste: Si - Rng( porque. Si sustituios - en clculos el rngo de hor Si Rngo(Rng( Si Rng(Rng( el siste es S.I. Si - es regulr el siste es de Crer S.C.D. entonces el siste es S.C.I...- Resolución de sistes hoogéneos. Seos que un siste es hoogéneo si todos los térinos independientes son cero que deás estos sistes son siepre coptiles. plicndo el Teore de Rouché Froenius: Si Rng( nº de incógnits S.C.D. Solución trivil. (. Si Rng(< nº de incógnits S.C.I. Infinits soluciones entre ells l (...- Ejercicios:.- Copror que los sistes de ecuciones siguientes uno es deterindo otro indeterindo otro incoptile: c Discutir el siguiente siste según los vlores de. (.- Resolver el siguiente siste: (.- Se consider el siste de ecuciones lineles: ( Encontrr un vlor de pr que el siste se incoptile. Discutir si eiste lgún vlor de pr el cul el siste se coptile deterindo. c Resolver el siste pr. Mteátics Curso intensivo Julio-Septiere de Rúl G.M.

5 Mteátics Curso intensivo Julio-Septiere de Rúl G.M..- Se considern ls trices C C X Deterin el vlor de pr que el siste X C se incoptile. Deterin los vlores de pr los cules el siste X C es coptile pr uno de estos vlores resuelve dicho siste. c Pr estudi el siste X C C.- Clculr los vlores de pr los que el siguiente siste tiene infinits soluciones resolverlo pr estos vlores.- Discutir resolver los siguientes sistes: ( (..- Soluciones.- Copror que los sistes de ecuciones siguientes uno es deterindo otro indeterindo otro incoptile: c Se el siste lo priero que hceos es escriir su tri (tri de coeficientes su tri plid (Coeficientes térinos independientes hor clculos el rngo de cd un de ells.

6 Mteátics Curso intensivo Julio-Septiere de Rúl G.M. (ªFil - ªFil Clculos hor un enor de orden Por tnto Rng( Cojo de ell un enor de orden tendríos que clculr todos los enores de orden que se puedn otener de est tri. Pero no es necesrio porque si: Si l segund fil le quito l prier otengo ( que es igul que l ª fil ultiplicd por. Por tnto todos los enores de orden de est tri son nulos porque l ª fil es coinción linel de ª l ª sí que clculo un enor de orden :. Por tnto Rng( Y coo Rng(Rng(<(Nº de incógnits entonces el siste es S.C.I. unque el ejercicio no lo pide vos clculr sus soluciones. Coo l ª fil es coinción linel de l ª l ª l eliinos. Hceos reescriios el siste: Por tnto hor teneos: Clculos el rngo de s: Rng(Rng((Nº de incógnits por tnto convertios el siste en un siste de Crer ( es regulr. Y lo resolveos por l regl de Crer: X Y Z Por tnto ultiplicndo tods ls soluciones por teneos:

7 Mteátics Curso intensivo Julio-Septiere de Rúl G.M. S.C.I. { } Lo priero es escriir ; ;. Clculos el rngo de s: ; Por tnto Rng( ( Por tnto Rng(. Coo Rng(Rng( entonces el siste es Incoptile (No tiene solución c Coo siepre escriios ls trices : Y clculos sus rngos: Rng( Si pr clculr el rngo de cogeos est is tri entonces Rng( Y coo Rng(Rng((Nº de incógnits entonces el siste es S.C.D. En este cso tpoco nos lo piden pero vos clculr ls soluciones del siste. Coo l tri es cudrd su deterinnte es no nulo entonces podeos plicr l Regl de Crer; por tnto:

8 Mteátics Curso intensivo Julio-Septiere de Rúl G.M. X ; Y ; Z Resuiendo: S.C.D. S.- Discutir el siguiente siste según los vlores de. Lo priero coo siepre es escriir ls trices. Y después ver el rngo de ells. Igulos cero clculos los vlores de. Si ± el rngo de es si ± el rngo de es. Pr l tri teneos que este deterinnte es nulo si. Por tnto si K Rng( si K Rng(. Resuiendo: Si : Rng(Rng(< S.C.I. Si -: Rng(Rng( S.I. Si ± Rng(Rng(Nº incógnits S.C.D..- Resolver el siguiente siste: ( ( Escriios ls trices : Veos sus rngos:

9 Mteátics Curso intensivo Julio-Septiere de Rúl G.M. Rng( Rng( Coo Rng(Rng( entonces el siste es S.C.D. X ( Y Z El siste es S.C.D. pr todo núero Rel..- Estudir según los vlores del práetro el siste: ( Escriios ls trices Este siste es un siste hoogéneo por tnto es un siste coptile. Vos ver si es deterindo o indeterindo. ( ( ( ( Si Rng( S.C.D. L solución es l solución trivil { } S Si Rng( < nº de incógnits S.C.I..- Se consider el siste de ecuciones lineles: ( d Encontrr un vlor de pr que el siste se incoptile.

10 Mteátics Curso intensivo Julio-Septiere de Rúl G.M. e Discutir si eiste lgún vlor de pr el cul el siste se coptile deterindo. f Resolver el siste pr. Escriios ls trices de coeficientes Pr que se incoptile h de ocurrir que Rng(Rng( Veos cunto vle Rng(. ( Por tnto Rng(< Veos pr orden. Por tnto si Rng( si Rng( Vos hor estudir l tri. ' ; Por tnto todos los enores de orden otenidos de l tri son nulos. Psos enores de orden. Por tnto Rng( Entonces pr que el siste se incoptile coo heos dicho ntes h de ocurrir que Rng(Rng( esto ocurre si. Si Rng(Rng( S.I. Pr que el siste se S.C.D. tiene que ocurrir que Rng(Rng( esto no ocurre nunc por tnto no eiste ningún vlor de pr que el siste se coptile deterindo.

11 Mteátics Curso intensivo Julio-Septiere de Rúl G.M. c Si el siste qued de l siguiente for: hor son: d Coo vios en el cso si el Rng(. Pues coo entonces Rng(. Veos el rngo de. Coo oservos prier vist teneos que l º fil º fil º fil por tnto el Rng(. sí que si Rng(Rng(< nº incógnits el siste es coptile indeterindo. (S.C.I. Pr resolverlo hceos coo siepre por tnto el siste qued de l for: resolveos por el étodo ás rápido posile en este cso sustituendo oteneos el vlor de Por tnto: Teneos un S.C.I. con { } S.- Se considern ls trices C C X Deterin el vlor de pr que el siste C X se incoptile. Deterin los vlores de pr los cules el siste C X es coptile pr uno de estos vlores resuelve dicho siste. c Pr estudi el siste C C X Se l tri de coeficientes l tri plid. Pr que el siste XC se incoptile tiene que ocurrir que los rngos de sen diferentes: Rng(Rng(. Veos el rngo de. por tnto Rng(.

12 Mteátics Curso intensivo Julio-Septiere de Rúl G.M. Vos l ver el de. ' Por tnto si Rng( Rng(Rng( el siste serí incoptile. Pr que el siste se Incoptile tiene que ocurrir que e Pr este cso ls trices son de l for:. Del prtdo teneos que Rng(. Veos Rng(. ' Igulos oteneos Por tnto si S.C.I. porque Rng(Rng(<. Pr resolverlo hceos de est for convertios l siste en un siste de Crer teniendo: ( ( Y X Por tnto S.I. con { } S f En este cso teneos: quí. Coo heos visto Rng( flt ver el rngo de l tri. ' Rng(. Coo Rng(Rng( S.I.

13 Mteátics Curso intensivo Julio-Septiere de Rúl G.M..- Discutir el siguiente siste: Escriios ls trices. Estudios el rngo de l tri. Por tnto: Si Rng( Si Rng( Vos estudir hor el rngo de l tri Y si igulos cero oteneos Por tnto: Si Rng( Si Rng( Resuiendo: Si El Siste es de Crer Siste Coptile Deterindo. (S.C.D. Si Rng( Si Rng( Rng(Rng( S. Coptile Indeterindo Si Rng( Rng(Rng( Siste Incoptile.

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