EXÁMENES DE CURSOS ANTERIORES

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1 EXÁMENES DE CURSOS NTERIORES CURSO ª EVLUCIÓN EXMEN. Sistes de ecuciones lineles. EXMEN. Sistes de ecuciones lineles. Geoetrí fín Euclíde en el espcio tridiensionl. RECUPERCIÓN EXMEN. Sistes de ecuciones lineles. MTEMÁTICS II. º T. ª EVLUCIÓN, EXMEN. (.. ). ) Discute el siste según los vlores del práetro. (, puntos) b) Resuélvelo pr. (, puntos). ) Discute el siste según los vlores que toe el práetro. b) Resuélvelo pr todos los vlores de que lo hgn coptible. (, puntos) (, punto). Un coercinte copró plus estilográfics, lpiceros gos de borrr. Cd plu le costó, cd lpicero, por cd gos pgó. En totl copró rtículos pgó ) Plnte el correspondiente siste de ecuciones resuélvelo. (, puntos) b) Cuántos rtículos copró de cd clse? Ron l respuest (, puntos) INDICCIÓN: ten en cuent que ls soluciones únicente pueden ser núeros nturles, es decir, que no tiene sentido coprr edi plu, ni - lpiceros.. ) Deterin pr qué vlor o vlores del práetro, el siste: dite coo solución,,. ( punto) b) Resuélvelo en ese cso o csos, coprobndo que efectivente,, es solución del siste. (, puntos)

2 SOLUCIONES. ) Toeos ls trices del siste plid, estudieos sus rngos en función se. L tri, tiene rngo puesto que. Sin ebrgo, l tri puede tener rngo ó, dependiendo de que se nule o no su deterinnte. Por consiguiente: rng Rng El siste es coptible deterindo rng Rng El siste es incoptible b) Pr vios que es coptible deterindo porque ls dos trices tienen rngo. Toos un enor de orden tres distinto de cero, por ejeplo el fordo por ls tres priers fils coluns, resolveos utilindo el étodo que nos prec ás conveniente, el siste: cus soluciones son:,,. ) Estudios coo siepre los rngos de ls trices del siste, plid. ; ±. DISCUSIÓN: ± Rng Rng el siste es coptible deterindo. ho que puesto Rng ogéneo es siste el es coptible indeterindo. que puesto Rng que puesto Rng el siste es incoptible b) Vos resolverlo en los csos priero segundo. Si el siste es de Crer, tiene solución únic, es solución depende del vlor que toe.

3 ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( Si el siste es hoogéneo, coptible indeterindo. Tiene infinits soluciones dependiendo de un práetro, ls obteneos resolviendo ls ecuciones correspondientes l deterinnte de orden distinto de cero que indicos. ; ;. ) Lleos: l nº de plus, l nº de lpiceros, l nº de gos de borrr que copró. El siste que podeos plnter con los dtos del proble, tiene dos ecuciones tres incógnits. l resolverlo, nos encontros con que tiene infinits soluciones dependiendo de un práetro: ; 9 ; b) Coo ls soluciones únicente pueden ser núeros nturles, el práetro está obligdo vler o culquier últiplo de pr que ls plus estilográfics sen un núero entero. Pero si cogeos últiplos de ores que, los lpiceros slen negtivos, sí que no nos qued ás reedio que tor, en cuo cso l solución es: { } ; ; Copró plus estilográfics, lpiceros gos de borr.. (Ver probles PU, nº. Septiebre 99) ) Sin ás que sustituir en cd un de ls tres ecuciones,,, podeos concluir que si quereos que (,,) se solución del siste, debe cuplirse lo siguiente:. L segund epresión es un identidd que no nos infor de nd, por tnto sobr. Ls otrs dos son ecuciones que hn de verificrse siultáneente. L prier tiene coo soluciones -. L segund tiene un solución rel - dos soluciones coplejs que no nos interesn (utilir l regl de Ruffini pr coprobrlo). Por consiguiente, l únic solución coún ls dos ecuciones es - Si quereos que un solución se (,,), h de ser - b) hor bien, en ese cso hbrá ás soluciones? Epeceos por plnter el siste pr -:. Estudios el rngo de l tri del siste l tri plid, coprobos que bs tienen rngo por tnto, el

4 siste es coptible indeterindo; hbrá infinits soluciones dependiendo de un práetro. Pr resolverlo, buscos un enor de orden dos no nulo, por ejeplo:. Nos quedos pues con ls dos priers ecuciones, que l tercer es cobinción linel de ells, psos l l otro iebro coo incógnit no principl. Obteneos el siste de dos ecuciones con dos incógnits Cus soluciones son: λ ; λ ; λ Evidenteente, un de ls infinits soluciones (en concreto, si hceos λ ) será:,,.. MTEMÁTICS II. º C. ª EVLUCIÓN, EXMEN. (.. ). Discute resuelve, el siste 9 9 ( puntos). Ddo el siste ) Discútelo segun los vlores del práetro. b) Resuélvelo en los csos que se coptible. (, puntos) ( puntos). ) Hll pr que el siste hoogéneo teng soluciones distints de l trivil. ( punto) b) Resuelve el siste pr el vlor de que hllste el prtdo nterior. ( punto). Un cjero utoático contiene solo billetes de, euros. En totl h billetes por un iporte de. ) Es posible que en el cjero h el triple núero de billetes de que de? (, puntos) b) Suponiendo que el núero de billetes de es el doble que el de billetes de, clcul cuántos billetes h de cd tipo (de, de de ) (, puntos)

5 SOLUCIONES. Utilios ls operciones que nos periten trnsforr un siste en otro equivlente, tringulos nuestro siste: 9 () () () 9 () Operndo con l prier ecución, eliinos en ls otrs tres: E E, E E, E E () Operndo con l tercer ecución, eliinos en l segund l curt: E E, E E () L segund no es un ecución sino un identidd, sí que sobr. El relidd es un siste de tres ecuciones con tres incógnits, coptible deterindo. Un de ls ecuciones, er cobinción linel de ls deás.. Ver puntes: págin, nº, prtdo d) ) DISCUSIÓN: b) SOLUCIONES:, siste es coptible det er in do siste coptible indet er in do biprétrico. siste incoptible, ; ; β ; ; β { }. Ver puntes: págin 9, nº. 9 ) El siste tiene soluciones distints de l trivil, pr. b) Pr ese vlor de, el siste es coptible indeterindo uniprétrico. Soluciones: ; ; 9 9. Lleos: l nº de billetes de, l nº de billetes de l nº de billetes de. ) El siste que podeos plnter con los dtos del proble, es el siguiente: Discutiéndolo, bien por el étodo de Guss o por el Teore de Rouché, llegos l is conclusión: es incoptible. Por tnto, no es posible que el nº de billetes de se el triple que el nº de billetes de. b) Si plnteos hor el siste con el nuevo dto: ; ; Result que es coptible deterindo l solución es:. En este cso, h en el cjero billetes de, de de.

6 EXMEN. Sistes de ecuciones lineles. Geoetrí fín Euclíde en el espcio tridiensionl. º C T. MTEMÁTICS II. ª EVLUCIÓN, EXMEN. (.. ). Crlos Miguel Roán, slen un sábdo de rch. Dice Crlos: Si e dieris dos euros cd uno, tendrí el iso dinero que vosotros dos juntos. Contest Miguel: Pues si e dieris seis euros cd uno, o tendrí el doble de todo vuestro dinero. Y terin Roán: Si os dier o cd uno dos euros, solo tendrí l quint prte de todo lo vuestro junto. ) Plnte el siste de ecuciones que trduc el enuncido lenguje lgebrico. ( punto) b) Resuelve el siste, verigu con cuánto dinero slió cd uno de su cs, coprueb que efectivente ese resultdo se dpt ls condiciones del enuncido. ( punto) ( ). Ddos los plnos: ( ) ( ) ) Deterin su posición reltiv según los distintos vlores que toe el práetro. H un dibujo proido de l situción en cd cso. (, puntos) b) Pr el vlor de que hg que se corten en un rect, hll ls ecuciones prétrics de dich rect. ( punto). Hll el voluen del tetredro cus crs están situds en los plnos: (, puntos). Dds ls rects r s ) Deuestr que se crun. (, puntos) b) Hll l ecución del plno que contiene r es prlelo s. (, puntos) c) Hl l ecución de l rect t, perpendiculr coún r s. (, puntos) d) Hll l distnci de r s. (, puntos)

7 Figur SOLUCIONES. Leos:, l cntidd de euros con que sle de cs Crlos, l de Miguel l de Roán. ) ( ) (. ) Discutos el siste deterindo por ls ecuciones de los tres plnos. Pr ello nlireos los rngos de ls trices: ; ;,, Rng Rng El siste es coptible deterindo Los tres plnos se cortn en un punto P (ver figur ) Rng Rng El siste es incoptible. Los tres plnos no tienen ningún punto en coún. Coo no h dos plnos prlelos, se cortn dos dos forndo un pris coo puede verse en l figur. Rng Rng El siste es coptible indeterindo. H infinits soluciones dependiendo de un práetro. Los tres plnos se cortn lo lrgo de un rect (ver figur ) Rng Rng El siste es incoptible. Los tres plnos no tienen ningún punto en coún. hor bien, en este cso, son prlelos los cort (ver figur ) b) Pr, los tres plnos se cortn en l rect r, cus ecuciones prétrics se hlln resolviendo el siste deterindo por ls ecuciones de los dos últios plnos, puesto que el priero es cobinción linel de los otros dos. r. Pr hllr el voluen del tetredro, necesitos ls coordends de sus vértices,, C D. En cd vértice confluen tres plnos, sí que toos los plnos de tres en tres, resolveos los cutro sistes cus soluciones serán ls coordends de los cutro vértices del tetredro. ), (, : Vértice P Figur Figur Figur

8 ), (, : Vértice ), (, : C C Vértice ), (, : D D Vértice Y hor que sbeos ls coordends de los cutro vértices, hlleos el voluen del tetredro: [ ],,, u D C Voluen. L rect r viene deterind por el punto (,, -) el vector u(,, ). Y l rect s viene deterind por (,, ) v (,, ). ) (,, ). r s se crun. b) El plno que contiene r es prlelo s, viene deterindo por los vectores u, v por el punto. por tnto: c) El vector perpendiculr u v, es k j i k j i w L rect t que nos piden, vendrá dd coo el corte de dos plnos: : Plno que contiene l rect r l vector w. : Plno que contiene l rect s l vector w. 9 t

9 [ ] (), u, v d) d( r, s), u. () En el prtdo ) clculos u v [, u, v] Y coo vios en el prtdo c) u v (,, ) u v u. RECUPERCIÓN º C T. MTEMÁTICS II. RECUPERCIÓN DE L ª EVLUCIÓN, (.. ). En un cjero utoático se introducen billetes de, euros. El núero totl de billetes es de el totl de dinero,. Se sbe que el núero de billetes de es veces los billetes de. ) Clcul el núero de billetes de cd tipo, suponiendo que. ( punto) b) Pr qué ocurre con l situción del cjero plnted?. ( punto) c) Siguiendo con, si se tuviern billetes en el cjero, cuánto dinero deberí hber pr que se posible un coposición del cjero?. ( punto). ) Encuentr, de for rond, el vlor de pr el que los plnos, se cortn en el punto P (,, ). ( punto) b) Pr - deuestr que los tres plnos se cortn en un rect, hll sus ecuciones prétrics. (, puntos). Ddos los puntos (,, ) (,, ) l rect r λ Hll: λ ) Un punto C r de for que el triángulo C se rectángulo con el ángulo recto en C. (, puntos) b) El plno que ps por es prlelo r. ( punto). Ddo el punto P (,, ) hll: ) El siétrico de P respecto del punto (,, -) (, puntos) b) El siétrico de P respecto del plno ( punto) c) El siétrico de P respecto de l rect r ( punto)

10 SOLUCIONES. ) Llndo l nº de billetes que h de, l nº de billetes de l de, el enuncido puede trducirse en el siguiente siste: b) Pr, el siste es sí: Estudieos los rngos de l tri del siste de l plid respectivente: Rng rng El siste es incoptible. En ess condiciones, no se puede coponer el cjero. c) En este cso, llndo k l dinero (en Euros) que h en el cjero, el siste que se plnte es el siguiente: k. Ls trices del siste plid, son hor ests: k Y sbeos por el prtdo nterior, que rng. Si quereos que se posible un coposición del cjero es decir, si quereos que ese siste teng solución (o pr ser ectos, soluciones), heos de obligr l tri tener rngo dos, pr lo cul h de ser cero el siguiente deterinnte: k k k Pr que en ess condiciones se posible un coposición del cjero, tiene que hber.. ) El punto P, h de estr en los tres plnos por tnto, sus coordends deben ser solución de siste. Sin ás que sustituir en cd un de ls tres ecuciones,,, podeos concluir que pr que (,,) se solución del siste, h de ocurrir que: L segund epresión es un identidd que no nos infor de nd por tnto, sobr. Ls otrs dos, son ecuciones que hn de verificrse l ve. L prier tiene coo soluciones : -. L segund tiene un solución rel: - dos soluciones coplejs que no nos interesn (utilir l regl de Ruffini pr coprobrlo). Por consiguiente, l únic solución coún ls dos ecuciones es: -. sí pues, si quereos que un solución se (,,), h de ser -. b) Pr - el siste qued sí:.. Estudios el rngo de l tri del siste l tri plid coprobos que bs tienen rngo, por tnto, el siste es coptible indeterindo; hbrá infinits soluciones dependiendo de un práetro por tnto, los plnos se cortn en un rect, cus ecuciones prétrics son ls soluciones del siste.

11 Pr resolverlo, buscos un enor de orden dos no nulo, por ejeplo:. Nos quedos pues con ls dos priers ecuciones, que l tercer es cobinción linel de ells, psos l l otro iebro coo incógnit no principl. λ Obteneos el siste de dos ecuciones con dos incógnits: cus soluciones son:. λ λ Uno de los puntos de es rect, en concreto si hceos λ, será P(,, ).. El punto C que buscos, coo está en l rect r, tendrá ests coordends:, λ, λ (*) C ( ) Se trt de encontrr el vlor (o vlores) de λ, pr que los vectores C C ortogonles. C, λ, λ C, λ, λ ( ) ( ) λ C C C C λ λ λ λ λ C λ Por tnto, h dos puntos C C en l rect r, pr los que el triángulo C es rectángulo con el ángulo recto en C. Esos dos puntos, se obtienen sustituendo en (*) los dos vlores que cbos de hllr pr λ : C(,,) C',,. ) Pr deterinr el plno, necesitos conocer dos vectores un punto. En este cso, el punto es (,, ) (unque podrí ser si quisiéros) los dos vectores, son ecución del plno, será l siguiente: es decir, que sen (-, -, ) el vector director de l rect r: u (,, ). Ver puntes, págin nº 9. ) El siétrico de P respecto de es P (,, -) b) L rect perpendiculr psndo por es t que cort en el punto Q(,, ) que debe ser el punto edio del segento PP (P es el siétrico que buscos) luego P (,, ) c) El plno que es perpendiculr r ps por P es ' es el punto edio de PP (P es el siétrico que buscos) luego P (-,, ). L. Ese plno cort r en el punto M(-,, ) que r C