1. INTRODUCCIÓN Formas diversas de expresión de Funciones. a) Funciones dadas en forma de tabla.

Transcripción

1 . INTRODUCCIÓN. Al bservar ls feómes que se prduce e la aturaleza pdems dars cueta que se puede elegir ds magitudes e y etre las cuales eiste ua depedecia fucial que epresa el aspect cuatitativ del feóme estudiad. Ccids algus pares de valres de la relació, el prblema que vams a tratar de reslver es hallar ua curva que ctega dichs puts y eprese de frma matemática la ley que rige dicha fució. La fució viee a epresar e térmis cuatitativs la depedecia de ua de las magitudes respect de la tra. Pr ejempl, la temperatura de ua lcalidad es fució del tiemp, el preci de u crédit hiptecari es fució de ls tips de iterés, etc. L ciert es que us cuats valres de la fució la determia, a ser que impgams algua cdició etra, cm pdría ser la de perteecer a ua determiada clase. Si igua restricció etra, pdems ectrar multitud de curvas que pase pr us puts determiads. Pr tat, para pder reslver el prblema de frma cmpleta, debems fijar de atema el tip de fució que ha de pasar pr ls puts dads, vied si s suficietes para su determiació. La iterplació csiste e la determiació de valres detr del rag de al variable, a partir de la fució calculadra. La etraplació csiste e evaluar la fució de iterplació bteida e puts que esté detr del rag de ls dats. Pdems así cmprbar si ls resultads bteids se aprima a ls esperads... Frmas diversas de epresió de Fucies. a) Fucies dadas e frma de tabla. E esta frma de epresar ua fució se dispe ls valres del argumet e ciert rde,,., y de la misma maera se escribe ls valres crrespdietes de la fució y, y,., y. De este tip s las tablas de las fucies trigmétricas, las de lgaritms, etc. Tablas que epresa la depedecia fucial que eiste etre magitudes medidas puede aparecer tambié cm resultad del estudi eperimetal de cierts feómes. b) Represetació gráfica. /7

2 Dad e el pla del sistema de crdeadas rectagulares cartesiaas u cjut de puts P, tal que igú par de puts caiga sbre ua recta paralela al eje y, pdems decir que el cjut meciad determia ua fució y = f(). Las abscisas de ls puts s ls valres del argumet e variable idepediete, y ls de la fució, las rdeadas crrespdietes. Se llama gráfica de ua fució al cjut de puts del pla cuyas abscisas s ls valres de la variable idepediete y las rdeadas, ls crrespdietes de la fució. c) Represetació Aalítica de las fucies. Se llama epresió aalítica a la tació simbólica del cjut de las peracies matemáticas ccidas que se ha de realizar e ciert rde c ls úmers y letras que desiga magitudes cstates variables. Si la depedecia fucial y = f() es tal que f es ua epresió aalítica, se dice que la fució y de está dada aalíticamete.. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA... Descripció del prblema de Iterplació. Gra catidad de peracies c fucies eige u pas al límite, cm derivació e itegració. Pr tat, sería cveiete cseguir l que pdríams llamar aprimació plimial, que es sustituir la fució pr u plimi. Las peracies aterires sbre plimis s peracies algebraicas. Además, dada ua fució ctiua e u iterval, es psible ectrar aprimacies plimiales ta bueas cm se quiera. El prblema csiste e, dads puts de ua fució de la cual desccems su epresió matemática, hallar tra fució real de variable real que tme ess valres. La fució bteida debe permitir calcular el valr crrespdiete e u put itermedi de ls que teems, de frma que el resultad bteid se ajuste c el mer errr psible al esperad. Y tambié hems de pder cmprbar si la fució se ajusta a ls resultads esperads para valres de fuera del iterval. Si represetams ls puts (, y ),., (, y ) e u sistema de crdeadas cartesiaas, la curva que ls ue resuelve el prblema de la iterplació. Si llamams y = g() a la fució que ue dichs puts, tedrems que el valr de g() c [, ] depederá de la curva elegida. A veces pdems demstrar que la elecció de la curva es la adecuada, per tras veces sól ctarems c el ccimiet del feóme estudiad que tega la persa que trata de reslver el prblema. Csiderems ua cierta fució f(), que puede ser ccida, per de la que teems ls puts (, y ),.., (, y ). Cualquier fució g() que pase pr ess puts recibe el mbre de fució iterplació. Cm l que tratams es de sustituir f() pr g(), ésta última ha de ser más secilla que f(). Es pr ell que se suele elegir las fucies pliómicas, que preseta cm vetajas la facilidad de realizar /7

3 peracies c ellas, s epresies secillas, es fácil calcular el errr que se cmete al sustituir ua pr tra, etc. El errr de iterplació es la diferecia, e valr abslut, etre el valr de la fució dada, f(), y el que tma la fució de iterplació, g(): E = f () g() A partir de ahra vams a tratar de calcular fucies de iterplació que verifique ds cdicies: ) Que sea l más secillas psibles. ) Que el errr cmetid sea míim... Iterplació Lieal. La epresió de ua fució lieal es f() = a + b Debid a que teems ds parámetrs, a y b, es ecesari dar ds cdicies para determiar cmpletamete la fució. Las ds cdicies s ds puts, A(, y ) y B(, y ), que perteece a la gráfica de la fució. Si sustituims A y B e f() teems que y = a + b y = a + b Para reslver el sistema aplicams la regla de Cramer: y y a = y = y y b = y = y y y la slució eiste siempre que, sied úica. Si f() es ua fució cualquiera y [a, b] es u iterval del dmii de defiició de f(), pdems aprimar la fució de maera lieal c p() = f (b) f (a) bf (a) af (b) + b a b a dde ambas fucies cicide e ls etrems del iterval 3/7

4 A(a, f(a)) y B(b, f(b)) Sustituyed e p() la variable pr u valr itermedi etre a y b se btiee el valr aprimad..3. Iterplació Cuadrática. Ua fució cuadrática es de la frma p() = a + b + c Dada ua fució f(), si querems aprimarla mediate ua fució cuadrática, ecesitams ccer tres puts, ya que hems de calcular ls tres parámetrs. Igualmete, si de la fució f() sól ccems tres puts pr ls que pasa, pdrems aprimarla pr u plimi de grad ds. Sea A(, y ), B(, y ) y C( 3, y 3 ) ls puts pr ls que pasa f(). Vams a super que ls tres puts esté alieads, ya que e cas ctrari, el plimi más simple sería de primer grad (ua recta) y el de segud grad. Sustituyed ls puts e p() y aplicad la regla de Cramer para reslver el sistema que se btiee: a + b + c = y a + b + c = y a + b + c = y 3 3 y y a = y y y y 3 3 b = 3 3 y y 3 c = 3 y Y cm el demiadr es el determiate de Vadermde, teems que 3 3 = ( 3 )( 3 )( ) el cual es ul ya que ls tres puts s distits. Pr tat la slució del sistema eiste y es úica. Si < < 3 teems que pdems sustituir la fució f() e [, 3 ] pr p(), cicidied ambas e ls tres puts. 4/7

5 .4. Iterplació Geeral. Si la tabla de valres de la fució a iterplar tiee + puts, (, y ) ( y ) ( y ), el plimi resultate de la iterpblació será, cm máim, de grad. Sea p() = a i el plimi iterpladr. Ls ceficietes (a i ) 0 i s ls i= 0 valres que querems ectrar. Para ell bligams al plimi a pasar pr ls ( + ) puts, bteied u sistema de + ecuacies c + icógitas. a +a + a a = y = y a + a + a a... a + a + a a = y El determiate de la matriz de ceficietes es el determiate de Vadermde. = ( )( )( )( )...( ) 3 y sabems que es ul si i j para i j. Aplicad la regla de Cramer, calculams el valr de ls bteied así la epresió del plimi iterplar. + ceficietes, Veams ahra trs métds que s va a permitir calcular el plimi de iterplació del grad de ua frma más rápida y secilla..4.. Fórmula de Lagrage. Se trata de cseguir u plimi de grad que se aule e ls ( + ) puts (, y ), (, y ),.., (, y ). Para ell vams a cstruir + plimis, dde el plimi P K () tme el valr P K ( K ) = y K y se aule e ls restates puts, recrried K ls valres {0,., }. Defiirems P() = P K () dde K = 0 P () = ( )( )... ( ) = Π j =0 j 0 5/7

6 P () = ( )( )... ( ) = Π( ) j= j j 0 y e geeral P K () = K Π j=0 j 0 ( j ) Para calcular ls ceficietes de ls plimis P K () K {0,., } apliquems las cdicies que ccems K {0,..., } P ( ) = y Π ( ) = y K K K K K j K j= 0 j K Lueg y K K = K {0,..., } Π ( K j ) j =0 j Si sustituims e P() teems ( ) = ( ) = Π ( ) = ( ) P P K = = K 0 K 0 j K ( )( )...( ) j Π = K j y K j=0 j=0 = ( ) K 0 j 0 K j = y + + ( )( )...( ) ( )( )...( ) y ( )( )...( ) ( )( )...( ) y ( )( )...( ) Es fácil ver que P( K ) = 0 K {0,., }, sied P() el úic plimi de grad que pasa pr ls ( + ) puts dads. DEF Ls ccietes ( ) j recibe el mbre de ceficietes de Lagrage. Π j =0 ( j ) j 0 OBS Si utilizams la fórmula de Lagrage para hallar el plimi de iterplació de grad que pasa pr ds puts, bteems el mism resultad que e. Aálgamete, al aplicar la fórmula de Lagrage para hallar el plimi de iterplació de grad que pasa pr tres puts, se btiee el resultad de.3. Ells es debid a que el plimi es úic. K 6/7

7 Este prcedimiet de bteció del plimi de grad que pasa pr ( + ) puts preseta ds icveietes: ) El plimi se preseta rdead segú ptecias de. ) Si después de bteer P(), añadims u uev put, para calcular el uev plimi s sirve ada del trabaj aterir, sied ecesari rehacer tdas las cuetas. DEF Se defie el rest de la iterplació cm la fució R () = f () P() sied P() el plimi de iterplació de f() de grad. Si sustituims P() pr su epresió mediate la fórmula de Lagrage teems: R () = f () y K ( ) j Π j =0 ( ) K j K = 0 j 0 DEF La magitud del errr cmetid viee defiid pr cer cuad = K K {0,., }. R () y que sabems que es Pdems fácilmete cmprbar, que tal y cm esta defiid el rest, depede de las prpiedades de al fució f() (la cual geeralmete desccerems) así cm de ls ds de iterplació K c K {,.., }. Es pr ell que se ha cstruid diferetes frmas de represetar el errr. Veams ahra la que pdems csiderar mas imprtate. Si f C (+) ([a, b]) etces ξ (a, b) tal que R () = w() f +) ( ) ( +)! sied w() = ( )( ) ( ) Dem. Si = K c K {0,., } el terema es ciert, ya que R ( K ) = 0 y f( K ) = P( K ) Supgams pues que K Defiims las fucies 7/7

8 g() = R () w() [a,b] { K } K =0 h(y) = R (y) g() w( y) y [a,b] Etces teems: Si y = K h = R g() w = 0 K {0,..., } K K K Si y = K h() = R () g () w() = 0 K {0,..., } Pr tat, la fució h(y) psee ( + ) cers e [a, b] (,,., ), y aplicad el terema de Rlle, h (y) psee, al mes, ( + ) cers e (a, b), h psee al mes cers e (a, b) y al fial llegams a que h +) psee al mes u cer e (a, b). Llamems a ese cer ξ. Se verifica h +) ( ) = 0 h +) ( ) = f +) ( ) g () ( +)! Y etces g() = ( +)! f +) ( ) Y cm g() = R () w() s queda R () = g ()w() = w() f +) ( ) ( +)! c.qd. La epresió que hems bteid para el errr de iterplació es pc práctica, ya que, si habitualmete de f() sól vams a ccer u cjut de puts, pdems estar e cdicies de saber si es de clase ( + ), y mes tdavía saber el valr de ξ. E cas de ccer, al mes, si la derivada del rde ( + ) está actada, pdríams dar ua cta superir para el errr, R ()..4.. Fórmula de Newt. El bjetiv que teems sigue sied el mism: cseguir u plimi de grad que pase pr ( + ) puts de la fució f(), la cual puede ser desccida. Sea ls ( + ) puts de f() (, y ), (, y ),.., (, y ) 8/7

9 El plimi de iterplació de Newt es P() = A + A ( ) + A ( )( ) A ( )( )...( ) y a partir de las cdicies P( K ) = y K K {0,, } Hems de hallar ls ceficietes A K. Para ell, sustituims e el plimi las cdicies: P( ) = y P( ) = A Lueg A = y P( ) = y P( ) = A + A ( + ) y + A( ) = y A = y y P( ) = y P( ) = A + A ( ) + A ( )( ) = = y + y y ( ) + A ( )( ) y y = y y ( ) + A ( )( ) A = (y y )( ) (y y )( ) ( )( ) ( ) y así sucesivamete btedríams el valr de tds ls ceficietes A K. Otra frma de hallar ls ceficietes sería la siguiete: Escribims el plimi de iterplació cm: P() = A + )[A + A ( ) A ( )...( )] = A + ( )P ( ) Etces P( ) = A y = A Y P () = P() P( ) 9/7

10 El plimi P () sabems cual es, ya que ls ceficietes A,.., A ls ccems, per si sabems su valr e ls puts,., 0/7

11 P ( K ) = P( K ) P( ) = K y K y K k =,..., resulta De la epresió P() = A + ( )P () P () = A + ( )[A + A ( ) A ( )...( )] = A + ( )P () 3 y P ( ) = A quedad P () = P () P ( ) Reiterad el prces bteems que A = P() A = P ( ) A = P ( ) A = P ( ) que determia la epresió demiada Fórmula de Newt Iterplació Basada e diferecias. Recrdems el prblema que presetaba la fórmula de Lagrage: Al cstruir el plimi de grad que pasa pr ( + ) puts de y = f() si su aprimació es buea y añadims u uev put, hems de rehacer tds ls cálculs para bteer el plimi de grad ( + ), sirvied para ada el trabaj aterir. Pr ell es acsejable cseguir ua frma de bteció de P() tal que ls cálculs previs tega que repetirse si añadims uevs puts, si que úicamete haya de añadirse us sumads más. Después de ver la bteció de ls ceficietes e la fórmula de Newt, pdems afirmar que dich plimi verifica la cdició aterir. Vams ahra a cstruir dich plimi pr pass, dde cada u de ells añadirems u uev put a ls que tegams. Cstrucció de P(), que pasa pr (, f( )) y (, f( )) /7

12 P () = lieal. f ( ) + A r () sied A ua cstate y r () lieal, ya que P () es P ( ) = f ( ) + Ar ( ) ( ) ( ) r ( ) = 0 r ( ) = P = f Es clar que A 0 ya que e cas ctrari P () sería cstate, l que es ciert. P ( ) = f ( ) + A r ( ) f ( P ( ) = f ( ) ) = f ( ) + A i ( ) A = f ( ) f ( ) Llamarems a A = f ( ) Nada queda P () = f ( ) + Df ( ) ( ) Añadims el put (, f( )) f ( ) = D( f ( )) diferecia de f( ) Ahra, al teer tres puts, el plimi ha de ser de º grad. Etces P ( ) = P ( ) + A r ( P ( ) = f ( ) ) P ( ) = P ( ) + A r ( P ( ) = f ( ) ) f ( ) = f ( )À r ( ) r ( ) = 0 f ( ) = f ( ) + A r ( ) r ( ) = 0 r () = ( )( ) P ( ) = P ( ) + A r ( ) f ( ) P A ( ) P ( ) = f ( ) = )( ) = ( Llamarems a la epresió bteida para A cm D f( ). E geeral, al añadir el put ( K, f( K ) el uev plimi P K () cicidirá c P K- () para = j j {0,.., K } Dich plimi ha de satisfacer la relació de recurrecia /7

13 P K () = P K () + A K r K () dde A K 0 y r K () es de grad K. Se debe verificar que P ( ) = f ( ) = P K j j {0,..., K } ( ) K j j K Pr tat r () = Π K j =0 ( j ) Y P K ( K ) = P K ( K ) + A K P K ( K ) = f ( K ) K ( Π K j= 0 ) j A K = f ( K ) P K ( K ) K ( Π K j ) j=0 La epresió para A K recibe el mbre de D K f( ). Después de td el prces, bteems que la epresió para el plimi de iterplació P() de grad es: P() = f ( ) + ( )Df ( ) + ( )D f ( ) ( )... ( )D f ( ) El cálcul teóric realizad par la bteció de P() es bastate farrags. Se puede simplificar csiderablemete si elegims ls puts equidistates etre si, llamad h a esa distacia. Etces j j = h j :,..., Y j = j h j : 0,..., Defiims ua ueva tació cm sigue: Af ( ) = f ( ) f ( ); Af ( ) = f ( ) f ( ); y e geeral Af ( K ) = f ( K + ) f ( K ) A f ( ) = f ( ) f ( ) + f ( ) = f ( ) f ( ) ( f ( ) f ( )) = Af ( ) Af ( ) 3 A f ( ) = f ( 3 ) 3 f ( ) + 3 f ( ) f ( ) = A f ( ) A f ( ) Y e geeral K A f ( ) = A K f ( ) A K f ( ) 3/7

14 Esta tació recibe el mbre de diferecias de primer, segud, tercer y K-ésim rde, respectivamete. C esta ueva tació pdems epresar D K f ( ) = A K f ( ) K K!h La cmprbació se haría pr iducció. Así, el plimi de iterplació, bteid mediate la fórmula de Newt usad esta tació, se escribe cm ( ) ( ) ( ) Af ( ) ( )( ) A f ( ) P = f + h + ( ) ( ) A f ( )!h !h Pdems simplificar la epresió de P() mediate el siguiete cambi de variable: = hz Etces K = ( ) ( K ) = hz hz K = h(z z K ) Y sustituyed P (z) = f ( ) + (z z )Af ( ) + (z z )(z z ) A f ( ) (z z )(z z )...(z z ) A f ( ) Que se suele escribir cm: P (z) = f ( ) + Af ( ) + z z z z z (z z )(z z )...(z z K ) sied = K K! z! A f ( ) A f ( ).4.4. Errr del plimi de Iterplació de Newt.! El plimi de iterplació es úic, se calcule de la frma que se calcule, pr tat, el errr cmetid es R() = f () P() = W () f +) ( ) = ( )( )...( ) f +) ( ) ( +)! ( + )! Si l epresams e térmis de la variable z = h 4/7

15 ( ) ( ) ( ) h + (z z )(z z )...(z z ) ) ( ) = z ) ( ) R = f P z = ( + )! f + f h Lueg el errr puede epresarse cm el primer térmi despreciad del plimi Plimis de Berstei. Dada ua fució ctiua f() e el iterval [a, b]. Puede ser aprimada mediate u plimi P() c u grad de precisió previa fijad?. O l que es l mism sería psible ectrar u plimi P() tal que la diferecia e valr abslut etre f() y P() sea iferir, e td l puts del iterval [a, b], a cualquier úmer psitiv ε previamete dad?. El terema que vams a euciar s da ua respuesta afirmativa a la preguta. OBS El plimi de iterplació de Lagrage permite respder a la preguta. E ls puts,,,, ls valres del plimi cicide c ls de la fució, per e el rest de puts, ls valres puede diferir tablemete. TEOREMA. Terema de Weierstrass. Si la fució f() es ctiua e el iterval [a, b], etces para td ε > 0 eiste u plimi P() tal que e cada put de este iterval se verifica: f () P() < Ε El matemátic sviétic S. N. Berstei a prprciad el siguiete métd para la frmulació directa de plimis aprimadamete iguales a la fució ctiua f() e el iterval dad. Supgams que f() es ctiua e [0, ]. Sea la epresió B () = f m m m m m=0 C ( ) m dde f es el valr de la fució dada e = m Y C m s ls ceficietes del bimi de Newt C m = m Llamams a B () plimi de Berstei de grad. 5/7

16 Para td úmer arbitrariamete pequeñ ε > 0, se puede buscar u plimi de Berstei (elegir su grad) de maera que para tds ls valres [0, ] se cumple: B () f () < Ε Si e lugar de teer el iterval [0, ] basta realizar el cambi de = a + t (b a) variable.5. Iterplació Iversa. El prblema de iterplació iversa csiste e bteer, a partir del plimi de iterplació, bteer el valr de la variable idepediete a partir de u valr dad de la variable depediete. Aplicad el terema de la fució iversa, sabems que = f (y ) eiste y es úica si dy eiste y se aula e u etr del put e el que deseams bteer la d iterplació iversa. Baj estas hipótesis, eiste u mecaism de iterplació llamad métd de Aitke que se puede aplicar para bteer la slució, simplemete itercambiad e y. 3. EXTRAPOLACIÓN DE DATOS. Supgams ccida la fució f() para u cjut fiit y rdead de puts,,,..,. Si querems estimar la fució e u put tal que se verifica que [, ] estams ate u prblema de etraplació de dats. La diferecia c la iterplació es que e esta última el valr para el cual se quiere determiar el valr de la fució f está icluid e el iterval [, ] mietras que e la etraplació el valr está fuera. La prblemática e cuat al riesg e la aprimació del valr y, pr tat, e su validez, es idétic a la iterplació. Iclus e algus cass se puede ver acetuad dich riesg. Igualmete, tds ls métds vists para bteer el plimi de iterplació tiee su aplicació e la etraplació de dats. 6/7

17 Bibligrafía Recmedada. Aálisis Matemátic I. Aut. J.A. Ferádez Viña. Ed. Tecs Leccies de Cálcul Ifiitesimal I. Aut. R. Mlia Legaz, M. Frac. Ed. Uiversidad de Murcia. Pricipis de Aálisis Matemátic. Aut. W. Rudi. Ed. McGraw-Hill 7/7