TEMA 4: Integración múltiple

Transcripción

1 TEMA 4: ntegrión múltiple Cálulo ngeniero de Teleomuniión Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 1 / 32

2 1 L integrl de Riemnn en R n 2 ntegrl doble ntegrl doble sobre un retángulo ntegrl doble sobre un reinto otdo de R 2 ntegrl doble sobre onjuntos simples de R 2 nterpretión geométri de l integrl Ténis pr el álulo de integrles dobles 3 ntegrl triple ntegrl triple sobre un retángulo ntegrl triple sobre un reinto otdo de R 3 ntegrl tiple sobre onjuntos simples de R 3 nterpretión geométri de l integrl Ténis pr el álulo de integrles triples Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 2 / 32

3 Índie 1 L integrl de Riemnn en R n 2 ntegrl doble ntegrl doble sobre un retángulo ntegrl doble sobre un reinto otdo de R 2 ntegrl doble sobre onjuntos simples de R 2 nterpretión geométri de l integrl Ténis pr el álulo de integrles dobles 3 ntegrl triple ntegrl triple sobre un retángulo ntegrl triple sobre un reinto otdo de R 3 ntegrl tiple sobre onjuntos simples de R 3 nterpretión geométri de l integrl Ténis pr el álulo de integrles triples Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 3 / 32

4 ntervlo n-dimensionl ntervlo n-dimensionl Se denomin intervlo n-dimensionl de R n un onjunto de l form = [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] [ n, b n ] Volumen de un intervlo n-dimensionl n Ddo el intervlo R n, definimos el volumen de por µ( ) = (b i i ). i=1 Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 4 / 32

5 Prtiión de un intervlo n-dimensionl Prtiión de un intervlo n-dimensionl Se die que un onjunto finito de intervlos omptos de R n, P = {P 1, P 2,..., P p }, es un prtiión del intervlo ompto R n si: 1 = P 1... P 2 2 int(p i ) int(p j ) = Sums superior e inferior Se f : R un funión otd en el intervlo ompto R n. Se P = {P 1, P 2,..., P n } un prtiión de y m i : inf f (P i ) M i = sup f (P i ) (1 i p) Definimos ls sums inferior y superior (de Drboux) de f orrespondientes l prtiión P omo s(f, P) = p m i µ(p i ), S(f, P) = i=1 p M i µ(p i ) i=1 Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 5 / 32

6 ntegrl superior e inferior de Drboux Se P( ) el onjunto de prtiiones del intervlo ompto R n. Se puede demostrr que ls sums inferiores y superiores de un funión otd f orrespondientes un prtiión P, definen suesiones monótons reientes y dereientes, respetivmente, medid que vmos refinndo (es deir, subdividiendo los intervlos de P) P. ntegrl superior e inferior de Drboux Se f : R un funión otd en el intervlo ompto R n y se P( ) el onjunto de prtiiones de. Definimos l integrl inferior y superior (de Drboux) de f en omo f = sup{s(f, P) : P P( )} f = inf{s(f, P) : P P( )} respetivmente. Además, si m = inf f ( ) y M = sup f ( ), se verifi: mµ( ) f f Mµ( ). Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 6 / 32

7 ntegrl de Riemnn ntegrl de Riemnn Se f : R un funión otd en el intervlo ompto R n. Se die que f es integrble (en el sentido de Riemnn) en si f = f en uyo so este vlor omún se llm l integrl de Riemnn de f en y se represent indistintmente por f, fdµ,, f (x) dx. Si = [, b] R, se b suele utilizr l notión f (x) dx pr f. Definiión [,b] Definiión Si = b, definimos b f (x) dx = 0. Si b <, definimos b f (x) dx = f (x) dx. b Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 7 / 32

8 ntegrl de Riemnn Teorem Si f : R es un funión ontinu en el intervlo ompto R n, entones f es integrble en. Propieddes de l integrl Sen f, g : R funiones integrbles en el intervlo ompto R n y α, β R. Entones, se verifi: 1 Si f 0, entones f 0. 2 (αf + βg) = α f + β g. 3 Si f g, entones f g. En prtiulr, f f. 4 L funión produto fg es integrble en. Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 8 / 32

9 ntegrl de Riemnn Teorem Si f : R es un funión ontinu en el intervlo ompto R n, entones f es integrble en. Aditividd respeto l intervlo de integrión Se R n un intervlo ompto y supongmos que {P 1, P 2,..., P p } es un prtiión de en intervlos omptos. Se f : R un funión otd. Entones, f es integrble en si y sólo si f es integrble en P i, 1 i p y se verifi p f = i=1 P i f Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 8 / 32

10 Teorem fundmentl del álulo integrl ntegrl indefinid Se = [, b] R y f : R un funión integrble. L funión F : R definid omo F = x f ( x b) se llm l integrl indefinid de f en. F es un funión ontinu en. Definiión Un funión F se llm primitiv de un funión f : [, b] R si F (x) = f (x) x ], b[. Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 9 / 32

11 Teorem fundmentl del álulo integrl Teorem fundmentl del álulo integrl Sen = [, b] R y f : R ontinu en. Entones, existe F : R tl que F (x) F () = x f x si y sólo si F (x) = f (x) x. Regl de Brrow Si f : [, b] R es integrble y F es un primitiv de f, entones b f = F (b) F () Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 10 / 32

12 Índie 1 L integrl de Riemnn en R n 2 ntegrl doble ntegrl doble sobre un retángulo ntegrl doble sobre un reinto otdo de R 2 ntegrl doble sobre onjuntos simples de R 2 nterpretión geométri de l integrl Ténis pr el álulo de integrles dobles 3 ntegrl triple ntegrl triple sobre un retángulo ntegrl triple sobre un reinto otdo de R 3 ntegrl tiple sobre onjuntos simples de R 3 nterpretión geométri de l integrl Ténis pr el álulo de integrles triples Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 11 / 32

13 ntegrl doble ntegrles iterds Se = [, b] [, d] un intervlo de R 2 y se f : R integrble. Supongmos que pr d x [, b], l funión f x : [, d] R dd por f x (y) = f (x, y) es integrble en [, d]. Entones, tiene sentido l funión g : [, b] R on g(x) = d f x (y)dy = d Si l funión g es integrble en [, b], l expresión b ( b ) d g(x)dx = f (x, y) dy dx f (x, y)dy se denomin integrl iterd de l funión f. De mner nálog se define l otr integrl iterd ( d ) b f (x, y) dx dy Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 12 / 32

14 Teorem de Fubini Teorem de Fubini Se f : R un funión ontinu en = [, b] [, d]. Entones: ( b ) d ( d ) b f (x, y) dxdy = f (x, y) dy dx = f (x, y) dx dy Ejemplo L funión f (x, y) = e x+y es integrble en = [0, 1] [ 1, 0]. Aplindo entones el teorem de Fubini, tenemos: 0 ( 1 ) 0 e x+y dxdy = e x+y dx dy = (e 1+y e y )dy = e 2 + e Es, más, si hemos l otr integrl iterd, obtenemos el mismo resultdo, ( 0 ) e x+y dy dx = e 2 + e 1. 1 Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 13 / 32

15 ntegrl doble sobre reintos más generles ntegrl doble sobre un reinto otdo de R 2 Se D R 2 un onjunto otdo y se un intervlo que ontiene D. Un funión otd f : D R es integrble en D si l funión ˆf definid omo { f (x, y) si (x, y) D ˆf (x, y) = f χ D = 0 si (x, y) D es integrble en, definiéndose entones Nots D f (x, y)dxdy = ˆf (x, y)dxdy. L definiión dd trsld l integrión sobre un reinto ulquier D un retángulo, por lo tnto tods ls propieddes: linelidd, monotoní, otión, son válids quí. Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 14 / 32

16 ntegrl doble sobre onjuntos simples de R 2 Conjuntos simples en R 2 Conjunto simple de tipo (integrión por frnjs vertiles) D = {(x, y) R 2 : x b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x)} on ϕ 1, ϕ 2 funiones ontinus en [, b], tles que ϕ 1 (x) ϕ 2 (x) x [, b]. Se pueden esoger, d tles que ϕ 1 (x) ϕ 2 (x) d x [, b]. Se = [, b] [, d] D. Entones: D f (x, y)dxdy = ˆf (x, y)dxdy = b ( d ) ˆf (x, y)dy dx = ( b ) ϕ2 (x) f (x, y)dy dx ϕ 1 (x) Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 15 / 32

17 ntegrl doble sobre onjuntos simples de R 2 Conjuntos simples en R 2 Conjunto simple de tipo (integrión por frnjs horizontles) D = {(x, y) R 2 : y d, ψ 1 (y) x ψ 2 (y)} on ψ 1, ψ 2 funiones ontinus en [, d], tles que ψ 1 (y) ψ 2 (y) y [, d]. Se pueden esoger, b tles que ψ 1 (y) ψ 2 (y) b y [, d]. Se = [, b] [, d] D. Entones: D f (x, y)dxdy = ˆf (x, y)dxdy = d ( b ) ˆf (x, y)dx dy = ( d ) ψ2 (y) f (x, y)dx dy ψ 1 (y) Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 15 / 32

18 ntegrl doble sobre onjuntos simples de R 2 Ejemplo Clulr (x + y)dxdy, siendo D = {(x, y) R 2 : 0 x y 1} D Soluión: Como f (x, y) = x + y es ontinu en D, es integrble en D. Además, plindo el teorem de Fubini, tenemos: D (x + y)dxdy = = ( 1 (x + y)dy x ) 1 dx = ( (1 + x) 2 4x 2) 1 dx = 2 0 = 1 x=1 2 ( x 3 + x 2 + x) = 1 x=0 2 1 ( y Se puede omprobr que (x + y)dy 0 0 ) dx = 1 2 (x + y)2 1 2 y=1 y=x = ( 3x 2 + 2x + 1 ) dx = Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 16 / 32

19 nterpretión geométri de l integrl Se D un onjunto otdo y f : D R ontinu on f (x, y) 0 (x, y) D. Se A = {(z, y, z) R 3 : (x, y) D, 0 z f (x, y)} Entones, se tiene que el volumen de A, denotdo por vol(a), viene ddo por vol(a) = f (x, y)dxdy En prtiulr, si f (x, y) = 1, se tiene que áre(d) = 1dxdy D D Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 17 / 32

20 Teorem del mbio de vrible Teorem del mbio de vrible Sen D, D R 2 y T : D D l pliión biyetiv dd por T (u, v) = (x, y). Supongmos que x e y dmiten derivds priles ontinus respeto u y v en D. Entones, si f : D R es integrble, se tiene que f (x, y)dxdy = f (x(u, v), y(u, v)) J dudv D D donde J es el jobino del mbio de vrible, es deir x x J = u v y y u v Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 18 / 32

21 Teorem del mbio de vrible Cmbio de vrible oordends polres Consideremos el mbio oordends polres, x = ρ os θ, y = ρ sin θ, siendo 0 ρ < +, 0 θ < 2π. El jobino de est trnsformión será x x J = ρ θ = ρ sin θ y ρ y θ os θ sin θ ρ os θ = ρ Luego plindo el teorem del mbio de vrible, tendremos: f (x, y)dxdy = f (ρ os θ, ρ sin θ)ρ dρdθ D D Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 19 / 32

22 Teorem del mbio de vrible Ejemplo El áre de un irunfereni de rdio r viene dd por áre(d) = 1dxdy siendo D = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 r 2 }. Hiendo el mbio de vrible oordends polres, el reinto D se trnsform en Así, tendremos áre(d) = D = {(ρ, θ) : 0 ρ r, 0 θ < 2π} D 1dxdy = D 2π 0 ( r 0 ) ρ dρ dθ = πr 2 Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 20 / 32

23 Índie 1 L integrl de Riemnn en R n 2 ntegrl doble ntegrl doble sobre un retángulo ntegrl doble sobre un reinto otdo de R 2 ntegrl doble sobre onjuntos simples de R 2 nterpretión geométri de l integrl Ténis pr el álulo de integrles dobles 3 ntegrl triple ntegrl triple sobre un retángulo ntegrl triple sobre un reinto otdo de R 3 ntegrl tiple sobre onjuntos simples de R 3 nterpretión geométri de l integrl Ténis pr el álulo de integrles triples Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 21 / 32

24 ntegrl triple ntegrles iterds Se = [, b] [, d] [m, n] un intervlo de R 3 y se f : R integrble. Supongmos que pr d x [, b], l funión f x : [, d] [m, n] R dd por f x (y, z) = f (x, y, z) es integrble en [, d] [m, n]. Entones, tiene sentido l funión d ( n ) g : [, b] R on g(x) = f x (y, z)dydz = f (x, y, z)dz dy [,d] [m,n] Si l funión g es integrble en [, b], l expresión b ( b d ( n ) ) g(x)dx = f (x, y, z)dz dy dx se denomin integrl iterd de l funión f. m m Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 22 / 32

25 ntegrl triple ntegrles iterds De mner nálog se definen ls otrs integrles iterds ( b ( n ) ) d f (x, y, z)dy dz dx d d n m n m m ( b ( n m ) ) f (x, y, z)dz dx dy ( ( n ) ) b f (x, y, z)dx dz dy m ( ( b ) ) d f (x, y, z)dy dx dz ( ( d ) ) b f (x, y, z)dx dy dz Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 23 / 32

26 Teorem de Fubini Teorem de Fubini Se f : R un funión ontinu en = [, b] [, d] [m, n]. Entones: b ( d ( n ) ) f (x, y, z) dxdydz = f (x, y, z)dz dy dx = = = = = = b d d n m n m m ( n ( d m ( b ( n m ( n ( b m ( b ( d ( d ( b ) ) f (x, y, z)dy dz dx ) ) f (x, y, z)dz dx dy ) ) f (x, y, z)dx dz dy ) ) f (x, y, z)dy dx dz ) ) f (x, y, z)dx dy dz Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 24 / 32

27 Teorem de Fubini Ejemplo L funión f (x, y) = e x+y z es ontinu en = [0, 1] [ 1, 0] [ 2, 0]. Aplindo entones el teorem de Fubini, tenemos: (e x+y z)dxdydz = = = ( 0 ( 1 ) ) (e x+y z)dx dy dz 1 ( 0 0 ) (e 1+y e y )zdy dz = 1 (e 2 + e 1 )zdz = 2(e 2 + e 1 ). Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 25 / 32

28 ntegrl triple sobre reintos más generles ntegrl triple sobre un reinto otdo de R 3 Se D R 3 un onjunto otdo y se un intervlo que ontiene D. Un funión otd f : D R es integrble en D si l funión ˆf definid omo { f (x, y, z) si (x, y, z) D ˆf (x, y, z) = f χ D = 0 si (x, y, z) D es integrble en, definiéndose entones f (x, y, z)dxdydz = ˆf (x, y, z)dxdydz. D Nots L definiión dd trsld l integrión sobre un reinto ulquier D un retángulo, por lo tnto tods ls propieddes: linelidd, monotoní, otión, son válids tmbién quí. Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 26 / 32

29 ntegrl triple sobre onjuntos simples de R 3 Conjuntos simples en R 3 Diremos que un onjunto otdo D R 3 es un reinto simple si se puede desribir de lgun de ls forms siguientes: D 1 = {(x, y, z) R 3 D 2 = {(x, y, z) R 3 D 3 = {(x, y, z) R 3 D 4 = {(x, y, z) R 3 D 5 = {(x, y, z) R 3 D 6 = {(x, y, z) R 3 : x b, f 1(x) y f 2(x), g 1(x, y) z g 2(x, y)} : x b, f 1(x) z f 2(x), g 1(x, z) y g 2(x, z)} : y b, f 1(y) x f 2(y), g 1(x, y) z g 2(x, y)} : y b, f 1(y) z f 2(y), g 1(y, z) x g 2(y, z)} : z b, f 1(z) x f 2(z), g 1(x, z) y g 2(x, z)} : z b, f 1(z) y f 2(z), g 1(y, z) x g 2(y, z)} donde f 1, f 2, g 1 y g 2 son funiones ontinus en l región orrespondiente. Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 27 / 32

30 ntegrl triple sobre onjuntos simples de R 3 Teorem de Fubini pr el álulo de integrles triples en onjuntos simples de R 3 Si f es ontinu en D 1, entones: D 1 f (x, y, z)dxdydz = b ( ( f2(x) ) ) g2(x,y) f (x, y, z)dz dy dx f 1(x) g 1(x,y) Ls integrles sobre los otros reintos simples se luln de modo nálogo. Por ejemplo: ( b ( f2(z) ) ) g2(x,z) f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dy dx dz D 5 f 1(z) g 1(x,z) Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 28 / 32

31 nterpretión geométri de l integrl Volumen de un reinto Se D R 3 un onjunto otdo. Se tiene que el volumen de D, denotdo por vol(d), viene ddo por vol(d) = 1dxdydz D Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 29 / 32

32 Teorem del mbio de vrible Teorem del mbio de vrible Sen D, D R 3 reintos otdos de R 3 y T : D D l pliión biyetiv dd por T (u, v, w) = (x, y, z). Supongmos que x, y z dmiten derivds priles ontinus respeto u, v y w en D. Entones, si f : D R es integrble, se tiene que f (x, y.z)dxdydz = f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J dudvdw D D donde J es el jobino del mbio de vrible, es deir x x x u v w J = y y y u v w z z z u v w Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 30 / 32

33 Teorem del mbio de vrible Cmbio de vrible oordends iĺındris Se f : D R un funión integrble en D R 3 y T : D D l pliión biyetiv dd por ls euiones x = ρ os θ, y = ρ sin θ, z = z, siendo 0 ρ < +, 0 θ < 2π. El jobino de est trnsformión será x x x ρ θ z y y y J = = ρ ρ z ρ θ z θ z z z Luego plindo el teorem del mbio de vrible, tendremos: f (x, y, z)dxdydz = f (ρ os θ, ρ sin θ, z)ρ dρdθdz D D Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 31 / 32

34 Teorem del mbio de vrible Cmbio de vrible oordends esféris Se f : D R un funión integrble en D R 3 y T : D D l pliión biyetiv dd por (x, y, z) = T (ρ, θ, ϕ) = (ρ os θ os ϕ, ρ sin θ os ϕ, ρ sin ϕ). El jobino de est trnsformión será x x x ρ θ ϕ y y y J = = ρ 2 sin ϕ ρ z ρ θ z θ ϕ z ϕ Luego plindo el teorem del mbio de vrible, tendremos: f (x, y, z)dxdydz = f (ρ os θ os ϕ, ρ sin θ os ϕ, ρ os ϕ)ρ 2 sin ϕ dρdθdϕ D D Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 32 / 32