Tema 9. La Integral de Riemann Construcción de la integral de Riemann.

Transcripción

1 Tem 9 L Integrl de Riemnn Construcción de l integrl de Riemnn. Definición Se I = [, b] R un intervlo cerrdo y cotdo (compcto). Se llm prtición de I todo conjunto de puntos P = {x 0, x 1,, x n } de form que = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b. Se llm norm de l prtición P, y se denotrá por P, l máximo de los números x k x k 1, con k = 1,..., n. Denotremos por P[, b] (o más brevemente P, si no hy confusión posible con el intervlo) l conjunto de tods ls prticiones de [, b]. Figur 9.1: Sum inferior y superior de Riemnn de l función f(x) = x 2 en el intervlo I = [0, 5] respecto de l prtición P = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 1

2 Curso 2015/2016 Cálculo Infinitesiml Definición Se f : [, b] R un función cotd y se P P[, b] con P = { = x 0 < x 1 < < x n = b}. Sen m k := ínf{f(x) : x k 1 x x k } = M k := sup{f(x) : x k 1 x x k } = ínf {f(x)} x [x k 1,x k ] sup {f(x)}. x [x k 1,x k ] Se llmn, respectivmente, Sum inferior y sum superior de Riemnn de l función f reltivs l prtición P ls siguientes sums: L(f, P ) := n m k (x k, x k 1 ) U(f, P ) := k=1 n M k (x k, x k 1 ). Not Pr cd P P y cd función f, es clro que L(f, P ) U(f, P ) Definición Sen P, Q P[, b]. Se dice que Q es más fin que P (o que P es menos fin que Q), y se denotrá P Q, cundo P Q. Teorem Sen P, Q P[, b] con P Q. Entonces k=1 L(f, P ) L(f, Q) y U(f, Q) U(f, P ). Teorem Dds P, Q P[, b], se cumple que L(f, P ) U(f, Q). Corolrio () El conjunto {L(f, P ) : P P[, b]} está cotdo superiormente. (b) El conjunto {U(f, P ) : P P[, b]} está cotdo inferiormente. Definición () Se llm integrl inferior de Riemnn, y se denotrá por conjunto de sums inferiores. f(x) dx, l supremo del (b) Se llm integrl superior de Riemnn, y se denotrá por conjunto de sums superiores. f(x) dx, l ínfimo del Not Se cumple que f(x) dx Definición Se f : [, b] R un función cotd. Se dice que f es integrble Riemnn en [, b], cundo f(x) dx = Al este vlor común se le llmrá integrl de Riemnn de f en el intervlo [, b] y se denotrá por 2

3 Grupo B Curso 2015/2016 Al conjunto de tods ls funciones integrbles Riemnn en un intervlo [, b] se le denotrá por R[, b]. Ejemplo Se f : [0, 1] R dd por 1 si x [0, 1] Q f(x) := χ [0,1] Q (x) = 0 si x / [0, 1] Q Entonces f / R[0, 1]. Definición Se f : [, b] R un función cotd, f R[, b] con f(x) 0 x [, b]. Consideremos el conjunto Se define el áre de S como A(S) = S := {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)}. Si fuese f(x) 0 x [, b], entonces, por simetrí, el áre de S (sustituyendo f(x) por f(x)) serí A(S) = Teorem (Condición de integrbilidd de Riemnn). Se f : [, b] R cotd. f R[, b] ε > 0, P P[, b] tl que U(f, P ) L(f, P ) < ε. Corolrio Si f R[, b], su integrl es el único número rel que cumple lo siguiente L(f, P ) f(x) dx U(f, Q) P, Q P[, b]. Teorem Se f : [, b] R cotd. Entonces, f R[, b] si y sólo si existe un sucesión {P n } n P[, b] tl que lím n [U(f, P n) L(f, P n )] = 0. Además, en ese cso, se cumple demás que Not f(x) dx = lím n U(f, P n) = lím n L(f, P n). () En l práctic, se suele tomr P n P[, b] l prtición del intervlo [, b] en n prtes igules, es decir, P n = { + k n (b ) : k = 0, 1,..., n}. (b) Además, si pr cd k = 1,, n seleccionmos t k 1 n lím f(t k ) = 1 n n b k=1 [x k 1, x k ], se cumple que 3

4 Curso 2015/2016 Cálculo Infinitesiml 9.2. Propieddes generles de l integrl de Riemnn. Teorem Sen f, g : [, b] R cotds con f, g R[, b] y λ R. Entonces () f + g R[, b] y (b) λf R[, b] y (f + g)(x) dx = λf(x) dx = λ f(x) dx + g(x) dx. Teorem Sen f, g : [, b] R cotds con f, g R[, b]. Entonces () Si f(x) 0 x [, b], entonces (b) Si f(x) g(x) x [, b], entonces f(x) dx 0. f(x) dx g(x) dx. Teorem Se f : [, b] R con f R[, b]. Se ϕ : [c, d] R continu tl que f([, b]) [c, d]. Entonces ϕ f R[, b]. Corolrio Se f : [, b] R con f R[, b]. () f R[, b] y, demás, f(x) dx f(x) dx. (b) Pr cd n N, f n R[, b]. Not En generl, l composición de funciones integrbles no tiene por qué ser integrble. Teorem Sen f, g : [, b] R cotds con f, g R[, b]. Entonces f g R[, b]. Lem Se g : [, b] R cotd con g(x) c > 0 x [, b]. Entonces 1 g R[, b]. Corolrio Sen f, g : [, b] R cotds con f, g R[, b] y g(x) c > 0 x [, b]. Entonces f/g R[, b]. Teorem (ditividd respecto del intervlo de integrción). Se f : [, b] R cotd y se c (, b). Entonces f R[, b] f R[, c] R[c, b]. En tl cso, se cumple que f(x) dx = c f(x) dx + c Not El teorem nterior d pie los siguientes convenios. f(x) dx = 0. 4

5 Grupo B Curso 2015/2016 Si < b, entonces c f(x) dx + c b f(x) = f(x) dx = f(x) dx, b, c R. Teorem (del vlor medio integrl). Se f : [, b] R cotd con f R[, b]. Si m f(x) M x [, b], entonces m 1 f(x) dx M. b Si, demás, f es continu en [, b], existe c [, b] tl que f(c) = 1 b Definición Al número f en el intervlo [, b]. 1 b f(x) dx se le llm medi integrl de l función 9.3. Teorems fundmentles del Cálculo Integrl. Teorem Se f R[, b]. Entonces l función F : [, b] R dd por F (x) := x f(t) dt es continu en [, b]. Teorem (Primer Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl). Se f R[, b] continu en c [, b]. Entonces l función F : [, b] R dd por F (x) := x f(t) dt es derivble en c y se cumple que F (c) = f(c) (si c =, b, se entiende derivd lterl). Teorem Se f : [, b] R continu en [, b]. Entonces l función F : [, b] R dd por F (x) := x (si c =, b, se entiende derivd lterl). f(t) dt es derivble en [, b] y se cumple que F (x) = f(x) x [, b] Corolrio (Regl de Brrow). Se f : [, b] R continu en [, b] y se G un primitiv de f en [, b]. Entonces f(x) dx = G(b) G(). Teorem (Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo integrl). Se f R[, b] y se G un primitiv de f en [, b]. Entonces f(x) dx = G(b) G() Integrción por sustitución y por prtes. Teorem (Cmbio de vrible). Se ϕ : [, b] R derivble en [, b] con ϕ R[, b] y se f : ϕ([, b]) R continu en ϕ([, b]). Entonces f(ϕ(x))ϕ (x) dx = g(b) g() 5

6 Curso 2015/2016 Cálculo Infinitesiml Teorem (Integrción por prtes). Sen f, g : [, b] R derivbles en [, b] con f, g R[, b]. Entonces f(x)g (x) dx = f(x)g(x) 9.5. Funciones integrbles. b g(x)f (x) dx. En est sección se verán lgunos ejemplos de tipos de funciones integrbles Riemnn. Pero pr ello, es conveniente repsr lgunos conceptos y resultdos topológicos Topologí de l rect rel (opcionl). En est sección recordremos lgunos conceptos sobre topologí de l rect rel. Definición Se A R y se R. () Se llm bol biert de centro y rdio r l intervlo ( r, + r) y se denotrá por B(, r). (b) Se dice que es un punto dherente de A cundo r > 0 es A B(, r). (c) Se dice que A es un punto de cumulción de A cundo A B(, r) \ {}. (d) Se dice que A es un punto isldo de A cundo A pero no es un punto de cumulción de A. (e) Se dice que es un punto interior de A o, equivlentemente, que A es un entorno de, cundo r > 0 tl que B(, r) A. (f) Se dice que es un punto fronter de A cundo r > 0 se cumple que A B(, r) y (R \ A) B(, r). (g) Se llm clusur o dherenci de A, y se denotrá por A, l conjunto de todos los puntos de dherenci de A. (h) Se llm conjunto derivdo de A, y se denotrá por A, l conjunto de todos los puntos de cumulción de A. (i) Se llm interior de A, y se denotrá por A, l conjunto de todos los puntos interiores de A. 6

7 Grupo B Curso 2015/2016 (j) Se llm fronter de A, y se denotrá por A, l conjunto de todos los puntos fronter de A. Not Se puede demostrr que A A A, A A A, A = A A y A = A A. 7

8 Curso 2015/2016 Cálculo Infinitesiml Definición Se A R. () Se dice que A es bierto cundo A = A. (b) Se dice que A es cerrdo cundo A = A. Teorem A R es cerrdo si y sólo si R \ A es bierto. Teorem () L unión rbitrri de biertos es bierto. (b) L intersección finit de biertos es bierto. (c) L intersección rbitrri de cerrdos es cerrdo. (d) L unión finit de cerrdos es cerrdo. Definición L fmili T = {A R A es bierto} con l distnci euclíde d(x, y) = x y x, y R es un topologí sobre R llmd topologí métric o topologí euclíde de R Conjuntos compctos. En est sección nos ocupremos de los conjuntos compctos y lguns de sus propieddes y crcterizciones topológics. Definición Se A R y U i R con i I. Se dice que l fmili U = {U i } i I es un recubrimiento de A cundo A U i. Si, demás, U i es bierto i I, se dirá que i I U es un recubrimiento bierto de A. Definición Se dice que A R es un conjunto compcto cundo de todo recubrimiento bierto de A se puede extrer un subrecubrimiento finito. Es decir, si A U i i I p con U i bierto i I, entonces existen i 1,, i p I tles que A U ik. Teorem Se A R compcto y B A cerrdo. Entonces B tmbién es compcto. Teorem (de Heine-Borel). Se A R. Entonces A es compcto si y sólo si A es cerrdo y cotdo. Teorem A R es compcto si y sólo si culquier subconjunto infinito de A posee, l menos, un punto de cumulción en A. k=1 8

9 Grupo B Curso 2015/ Continuidd uniforme. En est sección introduciremos un concepto esencil en cálculo y que será de utilidd pr demostrr que cierts funciones son integrbles Riemnn. Definición Se f : I R R. Se dice que f es uniformemente continu en I cundo ε > 0, δ = δ(ε) > 0 tl que x, y I con x y < δ, es f(x) f(y) < ε. Not Tod función uniformemente continu en I es continu en I. El recíproco no es cierto en generl y un contrejemplo es f(x) = x 2 en I = (0, + ) o g(x) = 1/x en I = (0, 1). Sin embrgo, f(x) sí es uniformemente continu en I = (0, 1). Teorem Sen f, g : I R R uniformemente continus en I. Entonces f + g es uniformemente continu en I. Si, demás, f y g son cotds, entonces f g tmbién es uniformemente continu en I. Teorem Se f : I R R uniformemente continu en I y g : J R R uniformemente continu en J con f(i) J. Entonces g f es uniformemente continu en I. Teorem (de Heine). Se f : I R R continu con I compcto. Entonces f es uniformemente continu en I Alguns funciones integrbles Riemnn. Teorem Tod función continu en [, b] es integrble Riemnn en [, b]. Teorem Se f : [, b] R cotd y continu slvo un número finito de puntos de [, b]. Entonces f R[, b]. Teorem Se f : [, b] R cotd y monóton. Entonces f R[, b]. 9