(a) Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo PQR de la figura adjunta, verifica que la altura y del pistón en el instante t es :

Transcripción

1 Unidd Resolución de triángulos generles! 1 RESUELVE TÚ (!!") () Aplicndo el teorem de Pitágors en el triángulo rectángulo PQR de l figur djunt, verific que l ltur y del pistón en el instnte t es : y OQ QR 3 senπt πt () Poniendo t 1 5 en est fórmul, y usndo l clculdor, verigu qué ltur estrá el pistón 1 5 segundos después de que l rued comience girr. (c) Cuántos grdos h girdo l rued en ese tiempo.? () L primer iguldd es evidente, y ltur totl es l sum de OQ QR, y OQ y QR lo otenemos plicndo el teorem de Pitágors l triángulo PQR, en donde queremos hllr uno de los ctetos (QR). En el triángulo OP, inscrito en l circunferenci, es el cteto opuesto θ y el contiguo o dycente, luego como el rdio de l circunferenci es R 1 se cumple : ct. opuesto sen θ hipotenus R Rsenθ senθ ;cosθ Sustituyendo los vlores nteriores de y tenemos : cot. dycente hipotenus R Rcosθ cosθ y senθ θ Como θ represent el ángulo girdo y según el movimiento circulr uniforme ( mir ls fórmuls en físic ) Ángulo velocidd ngulr tiempo ω t, y demás l velocidd con que gir es ( vuelts por segundo ) ω ( 1vuelt) ( π) π rd/s, sustituyendo nos qued: y senθ θ senωt ωt senπt πt q.e.d. () Es un simple sustitución 1 : y senπ 1'5 π 1'5 sen5π 5π 0 9 ( 1) 8 '88m (c) Ahor nos pide el ángulo ( θ ) girdo en ese tiempo, luego θ ω t π 1 5 5π rdines 5π 180º/π º 900º. 1 Ten cuiddo de poner l clculdor en [MODE] [RAD] pues ángulo ( 5π) está en rdines.

2 Unidd Resolución de triángulos generles! RESUELVE TÚ (!!") Hll ls distncis AB y BD en l figur, tomndo como nuevos dtos AD 10 m y AC 1 m. # En el triángulo rectángulo ADC, como conocemos el cteto dycente ( AD 10m) y l hipotenus ( AC 1 m ) podemos hllr el coseno de : AD 10 cos AC 1 Si conocemos el coseno, plicndo l ecución fundmentl de l trigonometrí, podemos ser cuánto vle el seno : 5 7 sen cos 1 sen cos Ahor nos fijmos en triángulo grnde ( ABD) en donde pretendemos hllr l hipotenus ( BA x) y el cteto opuesto A ( BD), primero hllmos x, medinte el coseno ( y que semos que el cteto dycente AD 10 m : ct. dycente cos Â cos hipotenus AD AB 10 despejndo 10 x x cos Pero, como semos lo que vle cos.?, medinte l fórmul del ángulo dole [IT19]* que tienes en es mism págin ( y que prtir de hor dees tener en l memori, si no l tienes y ) : cos cos sen Y podemos ser AB sin más que sustituir el coseno hlldo en l fórmul nterior: x m cos 1 9 Un vez hlldo AB, clculr BD se puede hcer de vris forms ( teorem de Pitágors, por l tngente, por el seno ), optmos por el teorem ( pr no tener que hllr el seno o l tngente del ángulo dole ) : DESPEJANDO AB BD AD BD AB AD 90 RESUELVE TÚ (! $! ) '9m

3 Unidd Resolución de triángulos generles! 3 Ídem con A 5º, B 80º y c 70 cm En este ejercicio oservo un error, en el diujo que viene en el liro, y que el trozo diujdo no es un frgmento de triángulo, sino de cudrilátero, es decir el ángulo B n puede ser el que se diuj sino el que diujo yo ( si se quiere resolver como lo hce el liro ), es decir el diujo serí como el que tienes l ldo. Bueno vmos resolverlo, como semos dos ángulos hllmos el tercero por diferenci : A B C 180º, luego C 180º - ( A B) ) 180º ( 5º80º) 55º. Ahor podemos plicr el teorem del seno ( y te lo ses de memori?) pr hllr los ldos que quedn por conocer ( y ) : senâ senbˆ senĉ c senâ senbˆ senĉ despejmos senâ sen5º 0'707 c '3m c senĉ sen55º 0'819 senĉ despejmos senbˆ sen80º 0'985 c '16m c senĉ sen55º 0'819 RESUELVE TÚ (! $! ) º Ejercicio Repite el ejercicio con ángulos de 1º en C y de 58º en A, si l distnci AB es de 10 m. Es el típico prolem de plicción del teorem del seno pues conocemos los tres ángulos ( B se puede hllr por diferenci, ero quí no lo necesitmos ) y un ldo, desendo hllr uno o los dos ldos que nos fltn: senâ senĉ c despejmos x senâ c senĉ sen58º 10 sen1º 0' '08 89'5 m RESUELVE TÚ (! $$ )

4 Unidd Resolución de triángulos generles! Comprue, pso pso, que el siguiente cálculo es correcto pr l posición V : θ 19º.Ahor γ 180º - ( 19º θ ) 1º sen19º senγ' senγ' Por el teorem del seno,, sí que x km x sen19º Comproemos el ángulo γ 180º - ( 19º θ ) 180º - ( 19 19º) 180º- 168º 1º Y hor el teorem del seno : senγ' sen1º '079 x km sen19º sen19º 0'35568 RESUELVE TÚ (! $% ) Repite el ejercicio con un ángulo de 78º y un tiempo de min. Primero tenemos que clculr lo que miden los ldos c y que son ls distncis que recorren sendos motorists en min : km 1hr c v1 t 90 min 6 km hr 60min km 1hr v t 10 min 8 km hr 60min Ahor vmos hllr el ldo ( que es l distnci que los sepr l co de min ), como conocemos un ángulo ( A 78º) y los ldos que lo formn ( y c ) es un típic plicción del teorem del coseno : c c cos Â c c cos Â cos 78º 80'0 8'95 km RESUELVE TÚ (! $% ) º Ejercicio Hll los ángulos B y C de l figur

5 Unidd Resolución de triángulos generles! 5 Como conocemos los rdios de ls tres circunferencis, podemos conocer los tres ldos del triángulo : r B r c 10 6 cm, 0 6 cm y c 6 cm ( está hecho en el liro ) Al conocer los ldos y ningún ángulo es otr de ls típics plicciones del teorem del coseno ( préndetels ) : Como y se h clculdo A en el liro, podemos usr tmién el teorem del seno, pero vmos hcerlo por el del coseno : c c cosbˆ cosbˆ c c 10'6 6 0'6 10'6 6 0'61 Bˆ 50º6'58' ' Pr hllr el ángulo C podemos usr de nuevo el teorem del coseno, el del seno o más rápido, por diferenci : C 180º - ( AB) 180º - ( 31º º 6 58 ) 180º - 81º 56 98º 3 35 PROBLEMAS PROPUESTOS (!'() & Hll el seno, el coseno y l tngente de un ángulo en posición norml siendo que su ldo terminl contiene el punto P ( -, - 5). -, - 5 r ( ) ( 5) sen sen ; cos ; tg r 9 9 r 9 9 cos 5! Puedes clculr cos siendo sólo que tg 0,6? Compr tu respuest con l del Prolem resuelto 1. Sí pero hy dos vlores en el primer cudrnte ( positivo) y en el tercer cudrnte ( negtivo), que es donde l tngente es positiv, luego hy que fijr el cudrnte: sen tg 0'6 sen 0'6cos cos

6 Unidd Resolución de triángulos generles! 6 y sustituyendo en l ecución fundmentl de l trigonometrí podemos despejr los vlores del coseno : sen cos 1 ( 0'6 cos) cos 1 0'36 cos cos 1 1'36 cos 1 1 cos 0'73591 cos ± 0'73591 ± 0'8575 1'36 ' Encuentr el vlor excto de cos (7 30'). Supongo que se refiere encontrrlo en función de ángulos conocidos, es decir : 15º co15º cos(7º30' ) cos { fórmul del ángulo mitd[it ]*} Necesitmos hllr, pues el cos15º, cómo?, medinte diferenci de ángulos, plicndo l fórmul [IT6is]* ( hy que prendérsels tods, como ves ) : cos15º cos(5º 30º ) cos 5º cos30º sen5º sen30º Ahor lo sustituimos en l fórmul nterior : cos( 7º30' ) ' $ Un fuente eólic de energí eléctric gener un corriente ltern de intensidd I 5 cos (100 - πt - 60π), donde t se mide en minutos, I en mperios y los ángulos en rdines. Hll el vlor de I en el instnte t 18 segundos. Lo único que hy que hcer es sustituir y hcer ls operciones ( teniendo l precución de poner l clculdor en rdines ntes de hllr el coseno del ángulo que se oteng y psr los 18 s min t 18/ min) : I 5cos( 100 π π ) 5 cos( ) 5 cos (-89 rd) mperios

7 Unidd Resolución de triángulos generles! 7 % Clcul el áre de un decágono regulr inscrito en un circulo de rdio 10 cm, con yud del Prolem resuelto. En l figur se represent uno de los diez triángulos igules que formn el decágono. El áre de culquier polígono es (perímetroxpotem)/, el perímetro es el producto de l longitud de un ldo ( l x ) por diez ldos que tiene el decágono y l potem es l ltur del triángulo del diujo, luego, hemos de clculr el ldo (AB l x ) pr hllr el perímetro y l potem. Hy vris forms : El ldo se puede hllr por el teorem del coseno, por el del seno o simplemente plicndo l definición de seno l triángulo rectángulo que se form con l ltur ( potem del polígono ), uso el del seno ( hy que operr menos), pero hemos de ser primero los ángulos A B β/ 1º/ 7º ( hlldo en el liro) : senô l senbˆ r despejmos el ldo l senô sen36º l x AB r 310 senbˆ sen7º 0' '95 6' cm Si el ldo L 6 x entonces x l/ 6 / 3 1 cm y plicndo el teorem de Pitágors : p Y podemos hllr el áre : r x 10 3'1 pxp 10 l p 10 6' 9'51 Are tg ( Verific l identidd cos tg 90'39 9'51cm 9'73 cm Hy tres forms de demostrr l vercidd o flsedd de un identidd: ) Prtir del primer miemro y relizr trnsformciones hst otener el segundo miemro. ) Por el contrrio, podemos prtir del segundo miemro y relizr trnsformciones hst otener el primero.

8 Unidd Resolución de triángulos generles! 8 ) Relizr trnsformciones en mos miemros hst llegr un identidd evidente. En este cso prtimos del primer miemro e intentremos otener el segundo ( l regl ásic es prtir del más complicdo, el que dmit trnsformciones, y llegr l que no se pued trnsformr o se más sencillo ) : sen cos sen tg cos cos cos sen cos sen cos tg sen cos sen cos sen cos cos * Primer pso : sustituir l tngente por su definición ( sen/cos). * Segundo pso: hcer l sum y rest de frcciones. * Tercer pso : Dividir ls frcciones y simplificr los denomindores ( cos ). * Curto pso: sustituir l ecución fundmentl de l trigonometrí ( cos sen ) por 1 * Quinto pso : sustituir el coseno del ángulo dole por su fórmul. Son válids ests identiddes trigonométrics? () (1 sen )tg sen. () sec ( - ) - sec. (c) tg cotg sec cosec. () Prtimos del primer miemro e intentremos otener el º miemro : ( sen )tg (cos sen ) cos sen válid, Como sen cos 1 (1- sen ) cos y l tngente en función del seno y el coseno., Simplificr cos pr llegr l º miemro. () Prtimos del primer miemro : 1 sec( ) cos( ) 1 cos sec sec No válid % Definición de l secnte. % Expresr el coseno de un ángulo negtivo en función del positivo [IT3]*. % Definición de l secnte. (c) Prtimos del primer miemro :

9 Unidd Resolución de triángulos generles! 9 tg cot g sen cos cos sen sen. cos sen cos ( sen cos )( sen cos ) sen cos ( sen cos ) sen cos 1 1 sec cosec válid sen cos sen cos sen cos cos sen Psos : ) Sustituimos l tngente y l cotngente en función del seno y el coseno. ) Hcemos l rest. ) Usmos un de ls igulddes notles : ( ) ( ) ( ). ) El primer préntesis es l ecución fundmentl de l trigonometrí 1. ) Seprmos sumndos y dividimos. ) Aplicmos l definición de secnte y cosecnte. " Comprue que son cierts ls siguientes identiddes: () sen cotg sec 1 () sec (cos - 1) tg 0 (c) tg cotg ( - ) 1 0 cos 1 sencos () sen cot g sec sen 1 sen cos sencos 1 sen sen sen () sec (cos 1) tg ( sen ) 0 cos cos cos cos 1 tg tg (c) tg cot g( ) 1 tg tg( ) tg( ) tg - Un gviot vuel en dirección noroeste un velocidd de 30 km/h. A1 co de 15 minutos, cuánto h vnzdo hci el norte? Y hci el oeste? km 1hr km velocidd 30 0'5. hr 60min min km Espcio recorrido en 15 min v t 0 '5 15min 7'5 km min Se nos pide los ldos c( distnci Norte) y ( distnci oeste), ls hllmos medinte ls definiciones del seno y el coseno del ángulo conocido de 5º : sen 5º sen5º 7'5 5'3 km c ( Pues es isósceles)

10 Unidd Resolución de triángulos generles! 10. Siendo que un ángulo gudo tiene sen 0,7 hll: () tg () sen ( - ) (c) tg (180 - ) (d) cos(90º - ) (e) sen ( - 90 ) Hllmos con l ecución fundmentl de l trigonometrí lo que vle el coseno : sen cos 1 cos ± sen 0'7 0'71 sen 0'7 () tg 0' 98 cos 0'71 () sen ( - ) - sen ( ) (c) tg (180 - ) - tg [IT17]* (d) cos(90º - ) sen 0 7 [IT13]* (e) sen ( - 90 ) sen - (90º - ) - sen (90º - ) - cos [IT]* y [IT1]* && Averigu el seno, el coseno y l tngente de 67 30', usndo ls identiddes del ángulo mitd. () 135º [IT1 ]* sen67º30' sen cos135º cos(180º 5º ) cos 5º () 135º [IT]* cos 67º30' cos cos135º cos(180º 5º ) cos 5º (c) tg67º30' sen67º30' cos 67º30' ( ( ) 3 ) ( )