( ) " f $ ( x) integramos a ambos

Transcripción

1 Guia No Calculo Integral Grupo UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnologías e Ingeniería Métodos de Integración Integración por partes Funciones trigonometricas Sustitución trigonometricas Fracciones parciales Sustituciones especiales Cuando la antiderivada (integral) de ciertas funciones no son inmediatas o no se pueden hallar por el método de cambio de variable (sustitución) anterior, debemos usar otros métodos. Integración por partes Tomemos dos funciones derivables f (x), y, g(x), hallamos la derivada del producto de las dos. d dx [ f (x) g ( x )] = f x Despejemos f x ( ) g ( x) + g( x) f ( x) ( ) g ( x) tenemos. ( ) f x lados g ( x)= d dx [ f (x) g ( x )] g x ( ) f ( x) integramos a ambos

2 % f (x) g (x) dx = % d dx [ f (x) g(x) ] dx g(x) % f (x) dx Si el concepto de integral esta bien claro sabemos que la integral de la derivada son operaciones inversas, es decir la integral de la derivada de una función es la función tenemos que. d dx [ f (x) g(x) ] dx = f (x) g(x) Entonces % f (x) g (x) dx = f (x) g(x) g(x) f (x) dx % Esta es una formula para integrar ciertas funciones que generalmente son el producto de dos funciones, como por ejemplo un polinomio por una trigonometrica, un polinomio por una exponencial, trigonometrica por logarítmica Simplificando la formula anterior llegamos a la expresión que aparece en todos los libros de calculo. Sea u = f ( x), v = g x du = f x ( ) diferenciando tenemos ( ) dx dv = g( x) dx reemplazando Tenemos u dv = u v v du Ejemplo

3 xe x dx Si hacemos u = x du = dx dv = e x dx dv = e x dx,v = e x xe x dx = xe x e x dx = x e x e x. x sec x dx u = x, dv = sec x dx du = dx,v = sec x dx = tg x x sec x dx = x tg x tg x dx senx = x tg x cos x dx = x tg x lnsec x 3. e x cos x dx u = cos x,dv = e x dx du = senx dx,v = e x e x cos x dx = e x cos x + e x senx dx de nuevo por portes e x cos x x + u = senx, dv = e x dx e x cos x x + du = cos x,v = e x e x cos x + e x senx e x cos x dx [ ] La mueva integral es la inicial, entonces la posamos al lado izquierdo efectuamos la suma y despejamos así:

4 e x cos x dx = e x cos x + e x senx o sea e x cos x dx = ex cos x + e x senx Método Integración de Funciones Trigonometricas. Debemos repasar identidades trigonometricas que se usan en este método son: sen x os x = sen x = cos x cos x = sen x tg x += sec x tg x = sec x ot x = csc x ctg x = csc senx = csc x, cos x = sec x, tgx = ctgx cos(x) sen x = os(x), cos x = Veamos primero las funciones trigonometricas que tienen antiderivada (integral) inmediata. Ejercicios. cos x dx, cual es la función que al derivarla da cos x?. Es sen x entonces cos x dx = senx porque d ( dx senx ) = cos x + 0 = cos x

5 . senx dx = cos x d dx cos x ( ) = senx ( ) + 0 = senx 3. sec x dx = tgx 4. csc x dx = ctgx 5. sec x tgx dx = sec x 6. x + dx = tg x recuerde que tg se lee arcotangente x o inverso tangente x 7. dx x = sen x 8. x dx x = sec x Ahora veamos unas funciones trigonometricas que se pueden integrar por el método de cambio de variable Ejercicio:. senx cos x dx u = senx du = cos x dx u du = u 0. sen x cos x dx u = senx u du = u3 3 sen 3 x 3 du = cos x dx

6 . sen 3 x cos x dx u = senx u 3 du = u4 4 sen 4 x 4 du = cos x dx Podemos generalizar: sen n x cos x dx = sen n + x n +. También cuando el coseno elevado a cualquier exponente esta multiplicado por sen seria: cos 5 x senx dx ; u = cos x du = senx dx u 5 du = u6 6 % cos6 x 6 Podemos generalizar: cos n x senx dx = cosn + x n + Cuando la función seno esta elevada a cualquier potencia y la función coseno esta elevada a una potencia IMPAR procedemos así: sen 5 x cos 3 x dx = sen 5 x cos x cos x dx

7 Nota: Rebajamos una unidad al exponente del coseno. sen 5 x cos 3 x dx = sen 5 x cos x cos x dx ; reemplazamos cos x = sen x ( ) cos x dx ; suprimimos() sen 7 x cos x dx sen 5 x sen x sen 5 x cos x dx sen 6 x 6 sen 8 x 8 Cuando la función coseno esta elevado a cualquier potencia y la función seno esta elevada a una potencia IMPAR procedemos así: 4. cos 4 x sen 5 x dx Nota: Rebajamos una unidad al exponente del seno. cos 4 x sen 4 x senx dx reemplazamos sen x = cos x y elevamos al cuadrado porque tenemos sen 4 x ( ) senx dx efectuamos el cuadrado cos 4 x cos x cos 4 x( cos x os 4 x)senx dx sup rimimos() cos 4 x senx dx cos 6 x senx dx os 8 x senx dx cos 5 x 5 % cos7 x ( ' * cosc & 7 )

8 Cuando la función seno o coseno esta elevado a una PAR usamos la IDENTIDAD DE ANGULOS DOBLES. % sen x = cos ( x ) ( ) os x o cos x = & ( ' 5 sen x dx usamos la identidad cos( x) dx sacamos dx de int egral y sup rimimos () cos( x)dx,laint egral de dx es inmediata dx cos( x)dx, laint egral de dx es inmediata y la de cos( x) es sen ( x ) x senx( x) 4 Vamos a la integrales de funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. 6. senx tgx dx,usamos la identidad tgx cos x senx dx, hacemos cambio de var iable cos x u = cos x du u = ln u lncos x tambien se puede escribir como du senx dx du u = lncos ln cos x lnsec x

9 Usando una de las propiedades de los logaritmos ln x n = n ln x 7. tg x dx usamos la identidad tg x = sec x sec x dx = sec x dx dx = tgx x 8. ( ) tgx sec x dx u du = u tg x u = tgx du = sec x dx. tg 5 x sec x dx u = tgx du = sec x dx u 5 du = u6 6 tg tg 3 x sec x dx u = tgx du = sec x dx u 3 du = u5 = tg5 x

10 Cuando tangente esta elevada a cualquier potencia multiplicada por secante elevada a una potencia PAR.. tg 3 x sec 4 x dx, rebajamos dos unidades al exponente de la secante. tg 3 x sec 4 x dx Tangente y secante con exponentes IMPARES. ( sec x ) tg 3 x sec 3 x dx rebajamos una unidad a ambos exponentes tg x sec x tgx sec x dx usamos tg x = sec x sec x tgx sec x dx sec 4 x tgx sec x sec x tgx sec x dx u = sec x u 4 du u du = u5 5 u3 3 sec 5 x 5 sec3 x 3 du = sec x tgx dx

11 Secante elevada e una potencia PAR 3. sec 4 x dx rebajamos dos unidades al exponente sec x sec x dx usamos la identidad sec x = tg x + ( tg x +) sec x dx tg x sec x dx + sec x dx tg 3 x 3 + tgx Secante elevado e una potencia IMPAR 4 sec 3 x dx = sec x tgx tg x sec x dx = sec x tgx ( sec x )sec x dx = sec x tgx sec 3 x dx + sec x dx = sec x tgx sec 3 x dx + lnsec x + tgx sec 3 x dx = sec x tgx + lnsec x + tgx sec xtgx lnsec x + tgx sec 3 x dx = + Artificio matemático para sec x dx = = sec x( sec x + tgx)dx sec xtgx % sec x + sec xtgx sec x + tgx & ( dx ' sec x dx = = sec x( sec x + tgx)dx sec xtgx % sec x + sec xtgx sec x + tgx & ( dx '

12 u = sec x + tgx du = ( sec x + tgx + sec x)dx du u = ln u = lnsec x + tgx METODO POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA Este es un método basado en cambios de variables especiales con funciones trigonometricas, se presentan tres casos: CASO I Cuando se presentan integrandos con radicales a b, se hace x = a sen dx = a cos d 5. 4 x dx, se hace x = sen 4 4sen cos d = 4sen ( ) cos d 4 sen = sen dx = cos d sen cos d cos cos d = = sen sen cos d sen = ctg d = ( csc )d = cot

13 Debemos escribir la respuesta en función de x para la cual usamos un triangulo rectángulo cuyos elementos se obtienen así: En este triangulo hallamos cog = cateto adyacente cateto opuesto ctg = 4 x x tambien hallamos el angulo de sen = x % x ( = sen ' * & ) La respueta queda asi : 4 x x % x ( sen ' * & ) CASO II Cuando se tienen integrales con un radical de la forma a + x el cambio de variable es x = a tg, dx = a sec d

14 6. x dx x + x = 3tg dx = 3sec d reemplazamos en la int egral 3tg 3sec tg + = tg sec d ( ) tg + tg sec d = tg sec d sec 3 sec 3 tg sec d = 3sec Despejamos tg en x = 3tg tg = x 3 = cateto opuesto cateto adyacente En este triangulo rectángulo tg en x = 3tg sec = + x 3 = 3sec = 3 + x 3 hipotenusa cateto adyacente = + x CASO III Cuando se tienen integrales con radicales de la forma x a el cambio de var iable x = asec dx = asec tg d

15 7. dx como la constante a es 3 a = 3 x 4 x 3 3sec% tg% d% ( 3) 4 sec 4 % 3sec % sec% tg% d% ( ) sec 4 % 3 sec % sec% tg% d% sec 4 % 3 tg % x = 3 sec% dx = 3 sec% tg% d% sec% tg% d% sec 4 % tg% d% sec 3 % = cos 3 % d% = cos % cos% d% ( sen %)cos% d% = cos% d% sen % cos% d% sen% sen 3 % 3 sen% 7 sen 3 % como x = 3 sec% sec% = x 3 sen% = x 3 x x 3 x x 3 x hipotenusa adyacente la respuesta queda x 3 & 3 ) ( ' x + * ( x 3) x 3 x 3