TEMA 1 PROBABILIDAD 1/10. Ejemplos : E y E

Transcripción

1 wwwovauedes/webpages/ilde/web/dexhtm e-mal: TEMA PROAILIDAD SUCESOS Exste feómeos o expermetos que, repetdos e détcas codcoes, sempre proporcoa el msmo resultado, a los que llamaremos determstas, y otros que, aú repetdos e las msmas codcoes, puede proporcoar u resultado dstto, que llamaremos aleatoros Ejemplos: - Presetarse a u exame y ver qué calfcacó se obtee - Medr el espaco recorrdo por u móvl y el tempo empleado y calcular la velocdad meda - Evar ua carta por correo y ver el tempo que tarda e llegar a su desto - Lazar ua moeda o u dado al are y ver el resultado - E ua fábrca de pturas se mezcla, e las proporcoes adecuadas, los gredetes para fabrcar el color verde Repetdo el expermeto sempre se obtedrá el msmo color 6- Número de cletes que compra e ua teda cada lues Llamaremos suceso aleatoro a cualquer resultado de u expermeto aleatoro Por ejemplo, al lazar u dado, obteer u, obteer úmero par, obteer u úmero mayor que, so sucesos aleatoros Represetaremos, e geeral, los sucesos por letras mayúsculas A,, C, E lo que sgue, al hablar de sucesos, los supodremos todos perteecetes a u msmo expermeto aleatoro fjado prevamete Clases de sucesos- Suceso seguro: Es aquel que ocurre sempre que se realce el expermeto Lo represetaremos por la letra E Recbe també el ombre de espaco muestral Por ejemplo, al lazar ua moeda, el suceso seguro sería obteer cara o cruz Suceso mposble: Es aquel que o se verfca uca Lo represetaremos por el símbolo Por ejemplo, al lazar ua moeda o obteer cara cruz es mposble; al presetarse a u exame, obteer meos de y más de es mposble, etc Suceso cotraro A de u suceso A: Es aquel que se verfca cuado o se verfca A y sólo e ese caso Ejemplos : E y E Iclusó de sucesos- U suceso A está cotedo e u suceso, y escrbremos A o A, s, sempre que se verfque A, se verfca E el lazameto del dado, los sucesos A = obteer meos de y = obteer meos de, verfca obvamete que A S E es el suceso seguro y A es u suceso cualquera, sempre se cumple que A E Admtremos que A, cualquera que sea el suceso A Suceso elemetal- Es aquel suceso o vacío que o cotee a gú otro suceso dstto de él E el lazameto del dado obteer, obteer, obteer, etc so sucesos elemetales Los sucesos elemetales los represetaremos por letras músculas y s a, a,,a so los sucesos elemetales de u suceso A, escrbremos A = { a, a,,a } /0

2 wwwovauedes/webpages/ilde/web/dexhtm e-mal: Represetacó gráfca de los sucesos Dagramas de Ve- Suele utlzarse dagramas de Ve como el de la fgura para represetar sucesos A E Operacoes co sucesos- Uó A de dos sucesos A y : Es el suceso que se verfca cuado se verfca A o y sólo e ese caso A A Iterseccó A de dos sucesos A y : Es el suceso que se verfca cuado se verfca A y y sólo e ese caso A A Dfereca de A de dos sucesos A y : Es el suceso A A A Propedades : (fácles de comprobar recurredo a los gráfcos de Ve) Uó Iterseccó Asocatva: (A ) C = A ( C) (A ) C = A ( C) Comutatva: A = A A = A Dstrbutva: A(C) = (A) (AC) A(C) = (A) (AC) Elemeto eutro: A = A A E = A Idempotete: A A = A A A = A Leyes de De Morga: A A A A La propedad asocatva os permte hallar la uó o terseccó de sucesos A, A,, A Escrbremos A A A = y A A A = A Sucesos compatbles- A y so compatbles s o puede verfcarse smultáeamete E ese caso, es obvo que A = Al lazar u dado, los sucesos A = obteer meos de y = obteer u úmero mayor o gual a so compatbles /0 A

3 wwwovauedes/webpages/ilde/web/dexhtm e-mal: El cojuto de todos los sucesos que resulta de la uó, terseccó o complemetaredad de subcojutos de E se represeta por El par (E, ) se deoma espaco probablzable PROAILIDAD (Leer e el texto los epígrafes PROAILIDAD CLÁSICA y PROAILIDAD FRECUENTISTA ) Axomátca de Kolmogorov- Sea E el espaco muestral de u expermeto aleatoro Ua probabldad es ua fucó que a cada suceso A E le hace correspoder u úmero real P(A), cumplédose las sguetes codcoes (o axomas): º- P(A) 0 º- P(E) =, º) S A, A, A es ua sucesó de sucesos compatbles dos a dos, se cumple que P A P A Cosecuecas de los axomas- ª) P() = 0 Por que P() = = = 0 ª) Para u cojuto fto de sucesos A, A,, A compatbles dos a dos, se cumple que P A P A asta tomar la sucesó A, A,, A,,,, ª) S A P(A) < P() E efecto, A y A so compatbles y = A (A) P() = P(A) + P(A), luego P(A) < P() ª) P( A ) = P(A) E efecto, A y A so compatbles y E = A A = P(E) = P(A) + P( A ) P(A ) = P(A) ª) S A y so dos sucesos cualesquera, se cumple: P(A ) = P(A) + P() P(A ) E efecto, (ver fgura): A A ( A ) ( A ) ( A) P( A ) P( A) P( A) P( ) P( A ) P( A) Restado membro a membro: P(A ) P() = P(A) P(A ) P(A ) = P(A) + P() P(A ) A A A A E S A, y C so tres sucesos cualesquera, se cumple: P(A C) = P(A)+P()+P(C) P(A ) P(A C) P( C) + P(A C) /0

4 P E geeral para sucesos: A P A P A,j UNED ELCHE wwwovauedes/webpages/ilde/web/dexhtm e-mal: mozas@elxuedes,j,k jk A PA A A PA A A j j Caso partcular: sucesos elemetales equprobables- E muchos casos, es coherete co la expereca la hpótess de asgar la msma probabldad a los sucesos elemetales de u expermeto aleatoro Por ejemplo, al lazar ua moeda, asgar 0, a la probabldad de cada suceso elemetal o al lazar u dado, asgar /6 etc Dremos etoces que los sucesos elemetales so equprobables Pogámoos e tal caso y sea E = {a, a, a,, a } u espaco muestral formado por sucesos elemetales equprobables, sedo P(a ) = p Se tedrá etoces que E = {a a a {a } = P(E) = P(a )+P(a )+P(a )+ +P(a ) = p, pues los sucesos elemetales so compatbles p = Sea ahora A = {a, a, a,, a r } = {a a a {a r } u suceso formado por r sucesos elemetales Etoces: fórmula esta que suele expresarse : P(A) = P(a )+P(a )+P(a )+ +P(a r ) = rp = r P(A) = y que se cooce como fórmula de Laplace º de casos favorables º de casos posbles Ejemplo: E ua bolsa hay bolas blacas y rojas, todas de détco tamaño Extraemos smultáeamete dos de ellas Hallar las probabldades de los sucesos A = que las dos sea blacas ; = que las dos sea rojas y C = que ua sea blaca y la otra roja Los casos posbles so C 8, = Prmer caso, que las dos sea blacas: casos favorables = Segudo caso, que las dos sea rojas: casos favorables = j k 0 P(A) = 0 8 P() = 8 Tercer caso, que ua sea blaca y la otra roja: casos favorables = = P(C) = 8 0, 6 Probabldad codcoada Sucesos depedetes e depedetes- Sea E u espaco muestral cuyos sucesos elemetales supodremos equprobables Sea A u suceso Cosderemos a su vez A como u espaco E muestral de todos los sucesos que cotee Etoces, s es u suceso cualquera, el suceso A puede cosderarse tato A perteecete a E como a A E este segudo caso le llamaremos A suceso codcoado por A y lo escrbremos /A e lugar de A Es decr: 0, 0, /0

5 wwwovauedes/webpages/ilde/web/dexhtm e-mal: A es el suceso A del espaco muestral E /A es el suceso A del espaco muestral A Pogamos: = º de sucesos elemetales de E A = º de sucesos elemetales de A = º de sucesos elemetales de A = º de sucesos elemetales de A Se tee: P(/A) = A A P( A ) A A P( A) E geeral, s A y so dos sucesos de u espaco muestral E (co sucesos elemetales o ecesaramete equprobables), tales que P(A) 0, se defe P(A ) P(/A) = P(A) Puede comprobarse que se cumple los axomas de Kolmogorov (ver el texto) es decr, que se trata de ua probabldad De la defcó ateror se tee que: P(A ) = P(A)P(/A) Dos sucesos A y se dce depedetes s P() = P(/A) E caso cotraro se llama depedetes S A y so depedetes, etoces P(A ) = P(A)P() Ejemplo : Se extrae sucesvamete y co reemplazameto dos cartas de ua baraja de 0 Hállese la probabldad de que las dos sea fguras (sota, caballo y rey) Solucó: Aquí, los sucesos elemetales so pares de cartas Llamemos A = la prmera carta del par es fgura y = la seguda carta del par es fgura A y so depedetes pues P() =P(/A) = Luego P(A ) = P(A)P() = 0 0 Ejemplo : El msmo ejemplo ateror pero ahora hacedo la extraccó s reemplazameto = 0 9 Solucó: Ahora A y so depedetes pues P() = Probabldad de la terseccó de sucesos- y P(/A) = 0 P(A C) = P(A)P(/A)P(C/A ) = 0,09 0, luego P(A ) = P(A)P(/A) = 9 E efecto P(A C) = P[(A ) C] = P(A )P(C/ A ) = P(A)P(/A) P(C/ A ) /0

6 wwwovauedes/webpages/ilde/web/dexhtm e-mal: Probabldad de la terseccó de sucesos- Geeralzado la fórmula ateror, se obtee: P(A A A ) = P(A )P(A /A )P(A /A A A ) Teorema de la probabldad total- Sea A, A, A,, A, sucesos compatbles dos a dos tales que A A A A = E Sea u suceso cualquera Etoces se cumple que: P() = P(A )P(/ A ) + P(A )P(/ A ) + + P(A )P(/ A ) E efecto (véase la fgura), = (A ) (A ) (A ) (A ) P() =P (A ) +P (A ) + P (A ) + +P(A ) = = P (A )P(/ A ) + P (A )P(/ A ) + P (A )P(/ A ) + + P (A )P(/ A ) Ejemplo : E ua ura U hay bolas blacas y egras y e ua ura V hay blacas y egras Saco ua bola de U y la paso a V Luego saco ua bola de V Cuál es la probabldad de que esta seguda bola sea blaca? A A A A A A E Solucó: Cosderemos los sucesos : A = la bola pasada de U a V es blaca y A = la bola pasada de U a V es egra y = la bola extraída de V es blaca Evdetemete A y A so compatbles y A A = E Se tedrá: P() = P (A )P(/ A ) + P (A )P(/ A ) = 6 0, que: Fórmula de ayes- Co las msmas hpótess del teorema de la probabldad total, se tee P( A / ) P( A ) P( / A ) P( A ) P( / A ) P( A ) P( / A ) P( A ) P( / A ) P( A ) P( A ) P( / A ) Demostracó: P( A / ) y de la fórmula de la probabldad total se obtee lo que queríamos P( ) P( ) demostrar P(A /) suele llamarse probabldad a posteror, P(A ) probabldad a pror y P(/A ) verosmltudes Ejemplo: E el ejemplo ateror, supógase que se ha extraído ua bola de V y ha resultado ser blaca Cuál sería la probabldad de haber pasado ua bola blaca de U a V? Solucó: Se trata de hallar P(A /) Se tee, por la fórmula de ayes: P(A /) = P ( A ) P ( / A ) P( ) 6/ , 6 0 Otro ejemplo: E u grupo de 0 persoas, 7 prefere el ce a la televsó y el resto al revés Se elge aleatoramete ua persoa A cotuacó se elge otra persoa la cual resulta preferr el ce Cuál es la probabldad de que la prmera persoa elegda també prefrese el ce? Solucó: Sea A = la prmera persoa elegda prefere el ce, A = la prmera persoa elegda prefere la TV y = la seguda persoa elegda prefere el ce Se pde P(A /) :

7 wwwovauedes/webpages/ilde/web/dexhtm e-mal: 7 6 P( A ) P( / A ) 0 9 P(A /) = P( A ) P( / A ) P( A ) P( / A ) , 67 (Leer e el texto los epígrafes Probabldad lógca y Probabldad subjetva) EJERCICIOS DE EXÁMENES 8 Sol- Casos posbles: 70 Casos favorables: 6 = 6 Probabldad = 0, 70 Sol- Casos posbles: VR, = = 6 Casos favorables: {XY, YX, AA,, A, A} Sol- Supogamos el expermeto de lazar u dado equlbrado Sea A = obteer y = obteer ó Se tee que P(A/) = 0 y P(A) = 6 Sol- La probabldad de que los tres úmeros sea meor o gual que 0,6 es 0,6 Luego la probabldad de que, al meos uo, sea mayor que 0,6 es 0,6 = 0,78 Sol- c Sol- Por ejemplo, se extrae ua bola de ua ura que cotee sete bolas détcas umeradas del al 7 Sea A = {,,, } Etoces: 7/0

8 wwwovauedes/webpages/ilde/web/dexhtm e-mal: - s = {,, 6, 7} P(A/) = - S = {,,, 6} P(A/) = - S = {,,, } P(A/) = Sol- Por ejemplo, teemos ua bolsa co bolas umeradas del al Extraemos ua bola al azar y sea A = obteer º par y = obteer º mayor que Se tee que A y so depedetes y o se cumple a) b) c) Sol- Casos posbles = 7!; casos favorables = 0!, luego la solucó es la b) Sol- d) Sol- b) Sol- PA / P A P P A P P A P P(A) P() P A P() 7 Sol- Hay dígtos pares y mpares luego el úmero de casos posbles es VR, + VR, = = + 6 = y el úmero de casos favorables VR, = 6, luego la probabldad pedda es 8/0

9 wwwovauedes/webpages/ilde/web/dexhtm e-mal: 9/0 Sol- Casos posbles: C 7, = 76 = ; Casos favorables: Probabldad= 0,0089 Sol- Sea A,, C y D los sucesos gaar Alca, laca, Carlos y Davd, respectvamete E la ª roda puede gaar Alca co probabldad y el juego se terma Pero s o gaa guo, Alca puede gaar e la ª roda y etoces la probabldad sería, y así sucesvamete Luego: P(A) = Aálogamete: P() = P(C) = P(D) = Sol- Al lazar dos dados, el úmero de casos posbles es 6 El úmero de casos favorables de obteer 6 putos es, luego la probabldad de obteer 6 putos es 6 y la de o obteer 6 putos será 6 El úmero de casos favorables de obteer 7 putos es 6 luego la probabldad de obteer 7 putos es y la de o obteer 7 putos será 6 Por tato tedremos:

10 wwwovauedes/webpages/ilde/web/dexhtm e-mal: Probabldad de que A gae la ª vez que juega: 6 Probabldad de que A gae la ª vez que juega: Probabldad de que A gae la ª vez que juega: sucesvamete: Probabldad de que A gae la -sma vez que juega: Por tato la probabldad de que gae A será geométrca) = , , y así = (suma de la sere 0/0