UNIDAD 8. ESTADÍSTICA
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- Cristián Venegas Ferreyra
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1 UNIDAD 8. ESTADÍSTICA
2 La Estadística es la rama de las Matemáticas que se ocupa de la recopilación y ordenación de datos para su posterior análisis. 1. Población y muestra. Población. Es el conjunto de elementos sobre los que hacemos un estudio estadístico. Cada elemento de dicho conjunto recibe el nombre de individuo (que no necesariamente han de ser personas, se pueden hacer estudios sobre coches, libros, tornillos, etc.). Muestra. Es la parte de la población sobre la que realmente se realiza el estudio. Para que la muestra sea útil, debe ser representativa de la población (si se realiza un estudio sobre adolescentes madrileños de 15 años, la muestra debe tener un número parecido de chicos y chicas de diferentes barrios y escogidos al azar). El Tamaño de la muestra es el número de individuos que la componen. Debe ser el adecuado para poder sacar conclusiones que se aproximen a la realidad. 2. Variables estadísticas. Una variable estadística es cada una de las propiedades o características que podemos estudiar de una población. Hay dos tipos: Las variables cualitativas son aquellas que no se pueden medir. Los valores que toma la variable no son números sino cualidades (color del pelo, profesión, intención de voto en unas elecciones, etc.). Las variables cuantitativas sí se pueden medir y los valores que toma son números. Estas, a su vez, pueden ser discretas o continuas. Si la variable cuantitativa es discreta, los valores que puede tomar solo pueden ser aislados o finitos (número de calzado, número de amigos, libros leídos en un año, etc.). Si la variable cuantitativa es continua, puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo (el peso y la altura de una persona, la temperatura en una ciudad, etc.).
3 3. Tablas estadísticas y frecuencias. Una vez recogidos los datos de un estudio estadístico, se ordenan en forma de tablas en las que aparecen diferentes columnas: Los valores o datos obtenidos de la variable estadística (x i ) La frecuencia absoluta (f i ) de un valor x i, es el número de veces que se repite dicho dato. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos. La frecuencia relativa (h i ) de un valor x i, es el cociente entre la frecuencia absoluta de ese valor y el número total de datos de la muestra. La suma de las frecuencias relativas es igual a la unidad. h i = f i N La frecuencia absoluta acumulada (F i ) de un valor x i, es la suma de las frecuencias absolutas de los valores que son menores o iguales que él. F i = f 1 + f 2 + f f i La frecuencia relativa acumulada (H i ) de un valor x i, es la suma de las frecuencias relativas de los valores que son menores o iguales que él, y coincide con el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada de ese valor y el número total de datos de la muestra. H i = h 1 + h 2 + h h i = F i N El porcentaje de un valor x i, que se obtienen multiplicando por 100 la frecuencia relativa de dicho dato. El porcentaje acumulado de un valor x i, que se obtienen multiplicando por 100 la frecuencia relativa acumulada de dicho dato.
4 Realizamos un estudio sobre el número de horas que un adolescente madrileño de 15 años utiliza al día un aparato electrónico (móvil, tablet, ordenador, televisor, etc.). Para ello se han seleccionado a los alumnos de una clase de 3ºESO del Colegio San Patricio, y se les ha preguntado dicha cuestión. Sus respuestas han sido: 6, 2, 1, 0, 5, 4, 3, 2, 3, 1, 5, 2, 1, 3, 4, 4, 3, 3, 2, 4, 0, 1, 2, 7 y 3. Con estos datos, elaboramos la siguiente tabla de frecuencias: x i f i F i h i h i (%) H i H i (%) ,08 8 0, , , ,2 20 0, , , , , ,08 8 0, ,04 4 0, , suma N= 1 100
5 Cuando la variable es continua o toma muchos valores diferentes, nos conviene agrupar los valores en intervalos o clases de la misma amplitud. En estos casos y para facilitar los cálculos, como valor representativo de cada intervalo, aparece la marca de clase, que es el valor intermedio de los extremos del intervalo.
6 Realizamos un estudio sobre la altura de los adolescentes madrileños de 15 años, y hemos seleccionado y medido a los alumnos de una clase de 3ºESO del Colegio San Patricio. Los datos obtenidos en cm son: 158, 164, 160, 168, 163, 156, 172, 157, 161, 159, 169, 154, 155, 165, 160, 162, 169, 174, 166, 164, 152, 167, 179, 171 y 166. Con estos datos, elaboramos la siguiente tabla de frecuencias: Intervalo marca de clase x i f i F i h i h i (%) H i H i (%) [152, 156) , ,12 12 [156, 160) , ,28 28 [160, 164) ,2 20 0,48 48 [164, 168) , ,72 72 [168, 172) , ,88 88 [172, 176) ,08 8 0,96 96 [176, 180) , suma N= 1 100
7 4. Gráficos estadísticos. Generalmente, la información estadística se suele expresar en forma de gráficos, ya que es la mejor manera de hacernos una idea rápida del conjunto de datos. Los más frecuentes son: Diagrama de barras. Se utiliza para representar variables cualitativas o cuantitativas discretas. En el eje de abcisas representamos los datos, y en el de ordenadas, las frecuencias x i f i suma N= Número de alumnos Horas al día
8 Diagrama de sectores. Sirve para representar cualquier tipo de variable. Es un círculo dividido en sectores, uno para cada dato o intervalo. La amplitud de cada sector es proporcional a la frecuencia, y se calcula multiplicando 360º por la frecuencia relativa. x i f i h i (%) suma N= % 6 4% 7 4% 0 8% 1 16% 4 16% 3 24% 2 20%
9 Intervalo f i h i (%) [152, 156) 3 12 [156, 160) 4 16 [160, 164) 5 20 [164, 168) 6 24 [168, 172) 4 16 [172, 176) 2 8 [176, 180) 1 4 suma N= 100 [172, 176) 8% [176, 180) 4% [152, 156) 12% [168, 172) 16% [156, 160) 16% [164, 168) 24% [160, 164) 20%
10 Histograma. Se usa para representar variables cuando los datos se agrupan en intervalos. Se divide el eje de abcisas en intervalos y se levanta un rectángulo sobre cada uno de ellos, de altura igual a su frecuencia. Si unimos con segmentos las bases superiores de los rectángulos, obtenemos el polígono de frecuencia. Intervalo f i h i (%) [152, 156) 3 12 [156, 160) 4 16 [160, 164) 5 20 [164, 168) 6 24 [168, 172) 4 16 [172, 176) 2 8 [176, 180) 1 4 suma N= 100
11 5. Medidas de centralización. Indican alrededor de qué valor tienden a situarse la mayor parte de los datos. Media aritmética (x). Es el cociente ente la suma de todos los valores multiplicados por su frecuencia y el número total de datos. x = x i f i N Moda (m o ). Es el valor de la variable, o marca de clase para datos con intervalos, que tiene mayor frecuencia absoluta. Puede haber varias modas distintas. Mediana (m e ). Es el valor que ocupa la posición central de todos los datos después de ordenarlos. La mitad de los valores son menores que él y la otra mitad mayores que él. Si el número de datos es impar, se elige el valor central Si el número de datos es par, se calcula la media de los dos valores centrales. 6. Medidas de posición. Son valores de la variable que informan del lugar que ocupa un dato dentro del conjunto ordenado de todos los datos. Los cuartiles (Q 1, Q 2 y Q 3 ) son los valores que separan los datos en 4 partes iguales, es decir, que en cada tramo está el % de los datos recogidos. El primer cuartil es la primera frecuencia acumulada absoluta mayor que el número obtenido al dividir el número total de datos entre 4. El segundo cuartil coincide con la mediana. El tercer cuartil es la primera frecuencia acumulada absoluta mayor que el número obtenido al dividir el número total de datos entre 4 multiplicarlo por 3. Si en lugar de dividir el número de datos en 4 partes iguales, se dividen en 10, se obtienen los deciles. Y si se dividen en 100 partes iguales, se obtienen los centiles.
12 x i f i F i x i f i suma N= 71 Media aritmética: x = x i f i N = 71 = 2,84 horas Moda: Mediana: m o = 3 horas m e = 3 horas
13 x i f i F i x i f i suma N= 71 4 = 6, horas Q 1 = 2 horas 4 2 = 12,5 horas Q 2 = 3 horas 4 3 = 18,75 horas Q 3 = 4 horas
14 Intervalo marca de clase x i f i F i x i f i [152, 156) [156, 160) [160, 164) [164, 168) [168, 172) [172, 176) [176, 180) suma N= 4106 Media aritmética: x = x i f i N = 4106 = 164,24 cm Moda: Mediana: m o = 166 cm m e = 166 cm
15 Intervalo marca de clase x i f i F i x i f i [152, 156) [156, 160) [160, 164) [164, 168) [168, 172) [172, 176) [176, 180) suma N= = 6, cm Q 1 = 158 cm 4 2 = 12,5 cm Q 2 = 166 cm 4 3 = 18,75 cm Q 3 = 170 cm
16 7. Medidas de dispersión. Nos permiten conocer el grado de agrupamiento o concentración de los datos en torno a las medidas de centralización. Rango (R). Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística. Si los datos están agrupados en intervalos, el rango es la diferencia entre el extremo superior del último intervalo y el extremo inferior del primero. Varianza (σ 2 ). Es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media. σ 2 = (x i x i) 2 f i N Cuanto mayor es la varianza, mayor es la dispersión de los datos. Desviación típica (σ). Es la raíz cuadrada positiva de la varianza. σ = σ 2 Se expresa en la misma unidad que los datos de la variable. Coeficiente de variación (CV). Es el cociente entre la desviación típica y la media aritmética. CV = σ x Es un número que no tiene unidades. Se suele utilizar para comparar la dispersión de dos o más conjuntos de datos que tienen diferentes medias y diferentes desviaciones típicas. El resultado se suele multiplicar por 100 para trabajar con porcentajes.
17 x i f i x i f i x i -x (x i -x) 2 (x i -x) 2 f i ,84 8,065 16, ,84 3,385 13, ,84 0,705 3, ,16 0,0 0, ,16 1,345 5, ,16 4,665 9, ,16 9,985 9, ,16 17,305 17,305 suma N= 71 75,36 Rango: Varianza: Desviación típica: R = 7 0 = 7 horas σ 2 = (x i x i) 2 f i N = 75,36 = 3,014 σ = σ 2 = 3,014 = 1,736 horas Coeficiente de variación: CV = σ x = 1,736 2,84 = 0,611
18 Intervalo marca de clase x i f i x i f i x i -x (x i -x) 2 (x i -x) 2 f i [152, 156) ,32 106, ,507 [156, 160) ,32 39, ,769 [160, 164) ,32 5,382 26,912 [164, 168) ,68 2,822 16,9344 [168, 172) ,68 32, ,049 [172, 176) ,68 93, ,404 [176, 180) ,68 245, ,862 suma N= ,44 Rango: Varianza: Desviación típica: R = = 28 cm σ 2 = (x i x i) 2 f i N = 1085,44 = 43,418 σ = σ 2 = 43,418 = 6,589 cm Coeficiente de variación: CV = σ x = 6, ,24 = 0,04
19 Intervalo marca de clase x i f i x i f i x i -x (x i -x) 2 (x i -x) 2 f i [152, 156) ,16 147, ,193 [156, 160) ,16 66,585 66,585 [160, 164) ,16 17,305 86,528 [164, 168) ,16 0,06 0,1024 [168, 172) ,84 14, ,745 [172, 176) ,84 61, ,931 [176, 180) ,84 191, ,273 suma N= ,36 Rango: Varianza: Desviación típica: R = = 28 cm σ 2 = (x i x i) 2 f i N = = 90,094 σ = σ 2 = 90,094 = 9,649 cm Coeficiente de variación: CV = σ x = 9, ,52 = 0,06
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