ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES. Matemáticas 3º eso

Transcripción

1 ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES Matemáticas 3º eso

2 Identidades y ecuaciones Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que aparecen números y letras llamadas incógnitas ligados por operaciones. Las soluciones de una ecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas, de forma que al sustituirlas en la ecuación hacen que la igualdad sea cierta. Resolver una ecuación es hallar sus soluciones

3 Identidades Una ecuación que es cierta para cualquier valor de la incógnita se llama identidad Por ejemplo las identidades notables. Son identidades porque se cumplen para cualquier valor que tomen sus incógnitas.

4 Identidades y ecuaciones Cuáles de las siguientes expresiones son identidades y cuáles ecuaciones? 3x + 3 = 9 x +1 x +1 =1 x 2 +1 = 0 Ecuación Ecuación Ecuación x = 2 Todos los reales menos x=1 x = R {1} No tiene solución x = 1 R x 2 1 = (x 1) (x +1) Identidad Identidad notable

5 2. Ecuaciones equivalentes Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Cuando resolvemos ecuaciones lo que hacemos es transformarlas en otras equivalentes hasta llegar a una donde la variable queda despejada, es decir sola en uno de los miembros de la ecuación.

6 Reglas de la suma y del producto. Formas de obtener ecuaciones equivalentes: Regla de la suma: sumando o restando a los dos miembros de una ecuación un mismo número o expresión algebraica. Regla del producto: multiplicando o dividiendo los dos miembros de una ecuación por un mismo número o expresión algebraica distinto de cero.

7 Ecuaciones equivalentes. Sumamos -4x en ambos términos de la ecuación 2x + 8 = 4 x 10-4x +2x + 8 = 4x 10-4x 2x + 8 = x + 8 = x = 18 Las ecuaciones que vamos obteniendo son equivalentes a la primera. Sumamos -8 en ambos términos de la ecuación x = 18 2 = 9 2x 2 = 18 2 Dividimos por -2 en ambos términos

8 Ecuaciones

9 Ecuaciones

10 Ecuaciones

11 Ejercicio 16 Ejercicio 17

12 Ecuaciones de 2º grado Las ecuaciones de 2º grado son aquellas que tienen la forma: COMPLETA ax 2 + bx + c = 0 a 0 Cuando tenemos los tres términos x 2, x y término independiente, decimos que la ecuación es completa Si b=0 ó c=0 decimos que la ecuación es incompleta INCOMPLETAS Ten en cuenta que si a=0 la ecuación no sería de segundo grado por no tener término en x 2, mientras que b y c sí pueden ser cero. TIPO 1 (b=0) TIPO 2 (c=0) TIPO 3 (b=c=0) ax 2 + c = 0 ax 2 + bx = 0 ax 2 = 0

13 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES INCOMPLETAS TIPO 1 (c=0) ax 2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x = 0 ax + b = 0 Estas ecuaciones siempre tienen x=0 como solución (aparte de otras) x = b a 1. Sacamos factor común x 2. Igualamos cada factor a cero obteniendo dos ecuaciones de primer grado. Ejemplo 2x 2 x = 0 x( 2x 1) = 0 x = 0 2x 1 = 0 x = 1 2

14 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES INCOMPLETAS TIPO 2 (b=0) ax 2 + c = 0 ax 2 = c x 2 = c a x 2 = ± c a x = ± c a 1. Despejamos x 2 2. Transformamos la ecuación aplicando la operación raíz cuadrada en ambos términos de la ecuación. Ejemplo 2x 2 8 = 0 x 2 = 8 2 x = ± 8 2 = ±2

15 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES INCOMPLETAS TIPO 3 (b=c=0) ax 2 = 0 Ejemplo 2x 2 = 0 x = 0 ax 2 = 0 x = 0 1. Las más sencillas, su única solución es x=0.

16 RESUMEN RESOLUCIÓN DE ECUACIONES INCOMPLETAS 1. Despejamos x 2 2. Transformamos la ecuación aplicando la operación raíz cuadrada en ambos términos de la ecuación. 1. Sacamos factor común x 2. gualamos cada factor a cero obteniendo dos ecuaciones de primer grado. x=0.

17 Ejercicio 26 Ejercicio 27

18 Ejercicio 30

19 Ecuaciones de 2º grado Supongamos que m y n son dos soluciones de una ecuación de segundo grado Entonces podremos escribir la ecuación de la siguiente forma: (x m) (x n) = 0 x 2 xn mx + mn = 0 x 2 (m + n)x + mn = 0

20 Ecuaciones de 2º grado Nos queda por resolver la ecuación de 2º grado completa. Para ello vamos a trabajar sobre la forma general de la ecuación para construir una fórmula de resolución que nos sirva para todas las ecuaciones de 2º grado. Vamos a deducirlas para después memorizarla y no tener que hacer el proceso de deducción cada vez.

21 1 2 Vamos a partir de la forma general de una ecuación de segundo grado Forma general de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 Primero multiplicamos ambos miembros por 4a. 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0 (multiplicar por 4a) 3 Restamos b 2 de ambos miembros 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 b 2 + 4ac = 0 (2ax + b) 2 b 2 + 4ac = 0 (completamos el cuadrado) 4 Despejamos la x (2ax + b) 2 = b 2 4ac 2ax + b = ± b 2 4ac # Despejar x x = b ± x 1 = b + b2 4ac b2 4ac % 2a $ 2a % x 2 = b b2 4ac &% 2a En realidad son dos soluciones (una para + otra para -)

22 Ejercicio 32

23 Ejercicio 33

24 Estudio del discriminante x = b ± b2 4ac 2a El discriminante es la expresión que aparece en el interior de la raíz cuadrada al emplear la fórmula de resolución Δ = b 2 4ac El signo que toma nos permite saber el número de soluciones de la ecuación Ejemplo Cálculo del discriminante Cálculo de las soluciones Signo del discriminante x 2 3x + 2 = 0 x 2 3x + 4 = 0 Δ = ( 3) = 9 8 =1 Δ = ( 3) (+4) = 9 16 = 7 x = +3 ± = 3 ±1 2 x = +3 ± 7 R 2 1 Δ = ( 4) (+4) = x 2 4x + 4 = 0 x = +4 ± = = 4 2 = 2 Δ > 0 Dos sol. reales Δ < 0 No tiene solución real Δ = 0 Una solución real (raíz doble)

25 Estudio del discriminante Ejercicio 34

26 7. Sistemas de ecuaciones lineales Una ecuación lineal con dos incógnitas es de la forma ax+by=p Donde x e y son las incógnitas Tiene infinitas soluciones. Ejemplo x + y = 2 Busca las soluciones de la ecuación siguiente: (1,1) (2,0) (4, 2) (100, 98) (...) Infinitas soluciones

27 7. Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales donde las incógnitas representan los mismos valores. Se escribe: ax + by = p cx + dy = q a,b,c y d se llaman coeficientes, y p y q son los términos independientes.

28 Soluciones de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas Una solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de números que verifican las dos ecuaciones. Un sistema que tiene solución se llama compatible. Un sistema que no tiene solución se llama incompatible. x + y = 30 x y = 4 Asegurándonos de que la segunda ecuación se cumple (x-y=4) generamos pares de valores. x =17 y =13 x y x+y x-y

29 Ejercicio 37 Plantea el sistema de ecuaciones lineales para este enunciado: Una clase tiene 36 alumnos y el número de chicas es el triple que el de chicos x=chicos y=chicas

30 8. Sistemas equivalentes Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Las reglas de equivalencia permiten pasar de un sistema a otro equivalente (como ya ocurría con la ecuaciones equivalentes) son las siguientes: Si sustituimos una ecuación del sistema por otra equivalente a esta, el sistema resultante es equivalente. Si a una ecuación del sistema se le suma o resta otra equivalente, el sistema obtenido es equivalente.

31 9. Resolución de sistemas Vamos a ver dos métodos para la resolución de sistemas: 1. Sustitución 2. Reducción Los dos se pueden aplicar en todos los casos. Los dos deben dar la misma solución. No importa el método que usemos. Como buena práctica debemos comprobar las soluciones obtenidas.

32 Método de sustitución x + y = 30 x y = 4 y = 30 x Paso 1: Despejamos de una de las ecuaciones una variable. x (30 x) = 4 x 30 + x = 4 2x = 34 x = 34 2 =17 x =17 Paso 2: Sustituimos la variable despejada en la otra ecuación Paso 3: Despejamos en la ecuación Paso 4: sustituimos en la ecuación del paso 1 y = y =13

33 Método de sustitución 2x + 3y = 24 5x 4 y =14 y = 24 2x 3 Paso 1: Despejamos de una de las ecuaciones una variable. 5x 4 $ & % 24 2x 3 5x x 3 =14 23x = 46 x = = 2 x = 2 ' ) =14 ( Paso 2: Sustituimos la variable despejada en la otra ecuación Paso 3: Despejamos en la ecuación Paso 4: sustituimos en la ecuación del paso 1 y = y = 20 3 = 20 3

34 Método de reducción 2x + 2y = 60 x y = 4 2x + 2y = 60 2x 2y = 8 2x + 2y = 60 4x = 68 E 2 = 2 E 2 E 2 = E 1 + E 2 x = 68 4 =17 17 y = 4 y =17 4 =13 x = 68 4 =17

35 Método gráfico El conjunto de las soluciones de una ecuación lineal se pueden representar de forma gráfica como una recta formada por los puntos que son pares de valores solución de la ecuación. x y = 4 x y x-y Conjunto de puntos solución del sistema

36 Si colocamos los puntos en un sistema de coordenadas vemos que se disponen en una recta.

37 x + y = 30 x y = 4 M(17,13)

38 Ecuaciones bicuadradas Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones con la forma: ax 4 + bx 2 # + c = 0$ a 0 % b 0 Observa como son ecuaciones de grado 4 que no tienen término en x 3 ni término en x. Para resolverlas emplearemos un cambio de variable y la fórmula de resolución de ecuaciones de 2º grado que hemos visto en este tema.

39 Ecuaciones bicuadradas Ejemplo x 4 52x = 0 z 2 52z = 0 PASO 1: Cambio de variable x 2 = z z = 52 ± (52) = PASO 2: Resolvemos la ecuación resultante = = 52 ± ± 20 2 " $ # $ % = z 1 = 72 2 = 36 z 2 = 32 2 =16

40 Ecuaciones bicuadradas PASO 3: Deshacemos el cambio de variable x 2 = z " z 1 = 36 # $ z 2 =16 # x 36 = x 2 1 = +6 x = ± 36 $ % x 2 = 6 16 = x 2 # x 1 = +4 x = ± 16 $ % x 2 = 4

41 Ecuaciones bicuadradas Ejemplo 2 x 4 61x = 0 z 2 61z = 0 PASO 1: Cambio de variable x 2 = z z = 61± (61) = PASO 2: Resolvemos la ecuación resultante = 61± = 61±11 2 " $ # $ % = z 1 = 72 2 = 36 z 2 = 50 2 = 25

42 Ecuaciones bicuadradas PASO 3: Deshacemos el cambio de variable x 2 = z " z 1 = 36 # $ z 2 = 25 # x 36 = x 2 1 = +6 x = ± 36 $ % x 2 = 6 25 = x 2 # x 3 = +5 x = ± 25 $ % x 4 = 5

43 Ecuaciones bicuadradas x 4 x 2 6 = 0 Ejemplo 3 z 2 z 6 = 0 PASO 1: Cambio de variable x 2 = z z = 1 ± ( 1) = PASO 2: Resolvemos la ecuación resultante = 1 ± 25 2 = 1± 5 2 = # % z 1 = 6 2 = 3 $ % z 2 = 4 & 2 = 2

44 Ecuaciones bicuadradas PASO 3: Deshacemos el cambio de variable x 2 = z # z 1 = 3 $ % z 2 = 2 #% x 3 = x 2 1 = 3 x = ± 3 $ &% x 2 = 3 2 = x 2 x = ± 2 R

45 Ecuaciones bicuadradas Ejercicio 92 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas

46 Resolución gráfica

47 MATEMÁTICAS PARA EDUCACIÓN SECUNDARIA ECUACIONES