SOLUCIONES EJERCICIOS DE GRAVITACIÓN

Transcripción

1 SOUCIONES EJERCICIOS DE GRAVIACIÓN C C C El modelo de tolomeo ea un modelo eocéntico en el que la iea ocupaba el cento del Univeso y en el que se suponía que los planetas descibían ciclos y hemiciclos paa pode explica las tayectoias obsevables. En ealidad no solo influye la acción de la una sobe el movimiento de la iea, también tienen influencias los demás planetas y asteoides del Sistema Sola, lo que sucede es que su influencia es de muchos odenes de manitud más pequeña que la del Sol debido a su enome masa en compaación con la del esto de los otos astos. a acción de la atacción luna sobe la iea se manifiesta sobe todo en la fomación de las maeas. a fueza que actúa sobe los planetas es cental po lo tanto el momento que ejece especto del Sol es nula y en consecuencia el momento anula del planeta especto del Sol es constante. En efecto: d M = F = 0; como = M = 0 = Cte. dt Sin embao en el afelio y en el peihelio po se los puntos más alejados del Sol de la tayectoia elíptica del planeta, los vectoes de posición son pependiculaes a los vectoes velocidad. S a v a v a consevación de implica: a mv a = mv y de la iualdad de los módulos. a mva = mv a va = v m C4 a intensidad del campo avitatoio vale en módulo = G. En un punto situado a una distancia seá: m m = G = G = 4 4 ( ) Si la distancia es /: m m = G = 4G = 4 ( ) C5 a intensidad del campo avitatoio seá nula pues po el pincipio de supeposición es la suma de dos vectoes campo, iuales y de sentidos opuestos. M =M l M = M

2 C C7 Despeciando la influencia de la esistencia de la atmósfea al movimiento del cohete lanzado, entonces la acción sobe el movimiento solo es debida a la fueza avitatoia que es consevativa y el tabajo ealizado solo dependeá de la posición inicial y final siendo independiente del camino seuido. En consecuencia el tabajo seía el mismo. Un satélite en óbita se mueve en un campo avitatoio de modo que posee eneía potencial avitatoia (que es neativa) y eneía cinética (que es siempe es positiva). Si la eneía cinética fuea mayo que la potencial, el balance seía positivo y entonces el satélite tendía una velocidad supeio a la de escape y saldía del campo avitatoio. EJERCICIOS E omando unos ejes catesianos con oien en m esultan los siuientes vectoes de posición: m 0 m m Donde los vectoes unitaios son espectivamente: u = i ; u = ( i + j); u = j a fueza esultante sobe la masa en es la suma vectoial de las fuezas que ejecen sobe ella cada una de las otas masas de modo independiente. Aplicando la ecuación de la ley de Gavitación Univesal: s m m m F = F + F + F = Gm u + u + u F , ( ) ( ), 4.0, 4.0 i i j j i = = j E aa que se equiliben las fuezas sobe la masa m tiene que sucede que la suma de las fuezas sea nula. F F m m m x O

3 m ; m ( ) ( F = G i ) mm F = G i x 00 x F F Gm i m m + = 0= + ; ( ) x ( 00 x) 00 x m + m x = 0 ; x =,8 m E. a constante de la tecea ley de Keple vale paa los satélites de Júpite vale: G M,7.0,89.0 m C = = =,9.0 s 7 J 5 E4. o la tecea ley de Keple paa todos los planetas que ian alededo del Sol: a GM S C = = ; M S. a 9,5,87.0 = = G.,7.0,7.0 = 8, k E5. De la tecea ley de Keple teniendo en cuenta que la una ia alededo de la iea esulta: a G M = ; ( ) ( ), a 4 M = = =,0.0 k G,7.0,.0 E. De la tecea ley de Keple aplicada a todos los satélites que ian alededo de Mate esulta después de despeja: M M G =, El peiodo en seundos vale = 748 s, y con los otos datos del poblema, queda, M M = = E7. aa detemina la velocidad de Venus como la fueza avitatoia actúa de centípeta, la iualamos a la expesión mecánica de una fueza centípeta. k F GM m S V = = m despejando esulta: V v 0 G M S,7.0,0.0 m v = = = 5,08.0 s El peiodo es el tiempo que tada en da una vuelta completa alededo del Sol. π π,08.0 = = = 9599 s =,9 dias v 5

4 E8 Y (.5, ) m Q(.5,0) m B(,0) x Deteminamos los vectoes de posición y los unitaios coespondientes:,5 p= (,5 0) i + ( 0) j ; u p = i + j = 0,45i + 0,89 j,5,5 =,5 i + 0 j =,5i + j p ( ) ( ) m m = G u G u = p p p p p ; p u = 0,45i + 0,89 j N m 5 k ( ) ( ) 8k ( ) (,7.0 0,45i 0,89 j 0,45i 0,89 j ) = k,5.0 m,5.0 m 8 7 p 8,0.0 = i,9.0 j N / k Q =,5 i ; uq = i =,5i ; u = i Q Q m m = G u G u = Q Q Q Q Q N m 5 k ( ) ( ) 8k ( ) ( ) 7 =,7.0 i + i = 8,9.0 i N / k k,5.0 m,5.0 m E9. El campo esultante en, es po el pincipio de supeposición: = + Donde los módulos y valen: 4 m 8.0 = G = G =.0. G 4.0 y 4 m.0 = G = G =.0. G,5.0 omando unidades del S.I. = =.0.,7.0 - =, N/k

5 os vectoes unitaios: u 0,5 x = cosα i + senα j = i 0,0 + x u = cosα i + senα j = i 0,5 os vectoes campo: = (cosα i + senα j) = (cosα i + senα j) + h j 0,0 h j 0,5 A 0,5-x x m α h α 0,0 B m α α 0,5 enemos que halla el valo de x. En el tiánulo AB, que ectánulo po se sus tes lados númeos pitaóicos, el cateto B es media popocional ente la hipotenusa y x, 0,5 = 0,5.x; de donde x = 0,09 m. ambién la altua h es media popocional ente los dos sementos en que divide a la hipotenusa, h = 0, 0,09, de donde h = 0, m Así que los vectoes unitaios son: u 0,5 0,09 0, 0,09 0, = i + j = 0,8i 0, j ; y u = i + j = 0,i + 0,8 j 0,0 0,0 0,5 0,5 + El campo esultante en es = + = [(-0,8+0,) i + (0,8+0,) j ] =, [(- 0,) i +,4 j ] El vecto [(-0,) i +,4 j ] tiene de módulo 0,,4 = queda: +, que podemos saca como facto y o lo que es lo mismo, =, [(-0,/ ) i + (,4/ ) j ] N/k =, [-0,4 i + 0,99 j ] N/k que está en la foma módulo, =, N/k, y unitaio, [-0,4 i + 0,99 j ] En esta foma podemos enconta el ac sen( 0,4) = 98º, el ánulo que foma el campo esultante con la pate positiva del eje OX de abscisas. Sabemos que el campo esultante tiene po módulo =, N/k y foma un ánulo de 8º la pependicula po a la ecta AB donde se encuentan las masas m y m.

6 aa calcula el potencial esultante en se suman los potenciales que cean en cada una de las dos masas, V = V + V, sabiendo que: m V = G =,7.0 =,7.0 J / k 0, m 00 7 V = G =,7.0 =,7.0 J / k 0,5 esulta el potencial en V = -5,4.0-7 J/k E0. Aplicando la definición de intensidad del campo avitatoio, la intensidad de la avedad en la supeficie de la una es la fueza con que la una atae a la masa de k su valo se obtiene de la ecuación: G M,7.0 N m k 7,.0 k N m = = = = R k s,, ( 78.0 m) M = G E. El campo ceado po la tiea en un punto exteio a ella vale M M Aplicando al caso que nos ocupa, = G 0. R. u = 0 ( G R. u u ) = 00 Es deci que el campo en la óbita de la una vale 00 veces menos que en la supeficie de la iea donde seún sabemos vale = 9,8u N/k. a aceleación de la avedad vale, po tanto, la una. 9,8 = u =,7.0 u m.s 00 en la óbita de E. a distancia del satélite hay que efeila a unos ejes en el cento de la iea. lamando con a la posición en la óbita seá: = 7km + 00 km = 97 km y desinando con Q a la posición sobe la supeficie teeste, Q = 7 km. Resulta de aplica [.]. 4 9 W Q = GMm =,7.0 N m k 5,98.0 k 400 k =,.0 J Q 7.0 m 97.0 m Oto modo más inteesante de esolvelo es elacionando el tabajo con la vaiación de eneía potencial, po se el campo avitatoio un campo consevativo. Entonces mediante la ecuación [.] que dice: El tabajo ealizado po la fueza avitatoia sobe una masa, es iual a menos el incemento de su eneía potencial, esulta: GMm GMm W Q = U = (UQ U ) = = GMm =,.0 Q Q 9 J Recuede que la vaiación de la eneía potencial ente dos puntos, se acostumba a expesa como difeencia ente la del punto final Q menos la del punto inicial. E. Sustituyendo en la ecuación de la eneía potencial avitatoia esulta: 0 7 GM S mj,7.0 N m k,98.0 k,89.0 k 5 U = = =,.0 J 9 aj 777,4.0 m

7 E4. A a) Una unidad astonómica equivale a la lonitud del adio de la óbita teeste, U.A. =.49.0 m. enemos paa el incemento de la eneía potencial avitatoia. A E A, = GM S. mc = GM S mc A A. que puestos los datos del ejecicio, donde m C es la masa del cometa, da, 0 7, 0, 8 EA, =,7.0.,99.0 mc =,84.0 m C J 7,.0, Esto es, que po cada k de masa del cometa se poduce una vaiación de eneía de -, J b) enemos que el tabajo de la fueza avitatoia es iual al incemento de eneía potencial cambiado de sino, 8 = = W E,84.0 m J A, A, C Es deci, que po cada kiloamo de masa del cometa, se efectúa un tabajo de, J E5. El satélite se encuenta sobe la supeficie de la una a la distancia R de su cento y hay que popocionale una eneía cinética paa que pueda escapa de la misma, es deci a una distancia en la que su eneía potencial avitatoia sea nula. Además, basta con que alcance tal posición con velocidad nula, po lo que allí se veificaá que su eneía mecánica, suma de la cinética más la potencial seá nula. aa efectua las opeaciones, demos una masa de m = 000 k al satélite Además como el campo avitatoio es consevativo, también debe vale ceo la eneía mecánica en la una antes de ealiza el lanzamiento. En consecuencia: GM m,7.0 N m k 7,.0 k 000k 9 EC + U = EC = 0 EC = =,8.0 J R 78.0 m 9 EC,8.0 J v = = = 77 m / s =,8 km / s m 000 k Se puede obseva que es muy infeio a la velocidad de escape en la iea que es de, km/s. E. a velocidad de escape, M v e = G

8 Necesitamos la masa M del asteoide, peo conocemos su densidad ρ = cm - = 000 k m - y su adio, =,5.0 m. Calculamos su masa, 4 π a) con esto su velocidad de escape es, 9 4 M =,5.0.0 =,.0 k 4.,.0 v e =.7.0 =,4m / s,5.0 b) Esta velocidad no depende de la masa del astonauta, po tanto tiene el mismo valo si ecoe 50 k de ocas. E7. a distancia se detemina especto del cento de la iea = 7 km + 00 km = 97 km a fueza avitatoia actúa de centípeta así que iualándolas esulta paa la velocidad: 4 G M,7.0 5,98.0 m v = = = 754, 97.0 s En cuanto al peiodo: π π 97.0 = = = 5790,4 s = h min s v 754, E8. El peiodo del satélite vale = 4.00 / = 5400 s De la tecea ley de Keple:,7.0.5,98.0 G. m 4 o = =.5,4. o =, Sustituyendo los datos: m ; el adio o =,5.0 m, a altua sobe la supeficie de la iea la obtenemos estando de este adio el adio teeste, h = o R =,5.0,7.0 = 0,8.0 m, que equivale a 80 km h =80 km E9. a distancia hay que efeila al cento de la iea: = R km = 7 km km = 47 km GM o. R 9,8 m. s.7 km m ' = = = = 0, 47 km s

9 oblemas. El año local es el tiempo que emplea un planeta en completa una vuelta alededo del Sol. Este tiempo lo desinamos como un peiodo y paa el caso de la iea se toma como unidad, = año. o la tecea ley de Keple, como Mate y la iea ian alededo del Sol se cumple: a a = M M a M,5 UA M = año maciano = = año teeste =,87 año teeste a UA. El módulo de la fueza de atacción, es, M m F G poblema, en los que consideamos que SV =,08.0 m S V SV = en la cual aplicando los datos del 0 4,98.0.4,87.0 F =,7.0 = 5,5.0 N,08.0 M 8. a elación ente las masas de la iea y de la una es = M = 8 M M x d-x a fueza sobe una masa m se puede expesa como el poducto de m po la intensidad del campo avitatoio en el lua donde se encuenta. El ejecicio señala que la fueza sobe m es nula. F = m = 0 = 0 G o el pincipio de supeposición de campos, es la suma de los campo avitatoios teeste y luna en el punto consideado, = + = 0. De donde se deduce, ve fiua, que los dos campo son vectoes iuales y de sentidos contaios. Del enunciado se deduce que d = 0 R = 0 7 km = 8 80 km. De la iualdad de los vectoes se deduce la iualdad de sus módulos, de modo que: G M G M = x d x ( ) Sustituyendo la elación ente las masas, la distancia d, opeando y simplificando, se obtiene la ecuación de seundo ado: 80 x,9.0 +,8.0 = 0 a ecuación popociona dos soluciones x = km y x = km. a pimea x es absuda pues solo puede habe puntos en los que el campo avitatoio esultante sea nulo, ente d

10 los dos astos, obsévese la fiua, y tal solución estaía situada más allá de la una. En consecuencia esta solución debe se echazada. a solución que se busca es x = km. De modo que como cabía espea, el citado punto está más ceca de la una que de la iea po se meno su campo avitatoio. 4. Sea el campo avitatoio en la supeficie teeste, y a una altua h, h.a elación ente ambas expesiones queda: h M G ( R + h) = M G R R = R + h El adio de la iea vale R = m, y, R + h = m, con lo que el cociente: y de aquí sale el eo elativo h R = R + h 7 = 8 = 0,997 h h 00 = = 0,997 = 0,00= 0,00 = 0,% a masa la expesamos en función de la densidad y del volumen M = ρ V. a intensidad del campo avitatoio es: ρ G ρ π R π = = = = G R = =, R R R s 4 GM G V 4 4,7.0 Nm k 00 k m 5.0 m m π ρ. El tabajo ealizado po la fueza avitatoia es iual al incemento de la eneía potencial cambiado de sino, peo el tabajo de una fueza exteio que se iual al incemento de la eneía potencial sin cambia de sino, es deci, W, = E E. Donde el subíndice denota a la una y el a la supeficie teeste. No valoamos el campo avitatoio de la una consideándolo independiente del de la iea. En nuesto caso tenemos que E = -GM / R, ya que está sobe la supeficie de la iea. El destino está en un punto de la óbita de la una alededo de la iea y vale: E = -GM / El tabajo ealizado es: M M W, = E E = G ( G ) = GM R R aa el cálculo aplicamos los datos: ( 84,7 ) 0 R 4 W, = GM =,7.0 5,97.0 =,5.0 J R. 84,7.0 eo la una cea también su popio campo avitatoio y en él la fueza avitatoia ayuda a la ealización del viaje. o anto el tabajo de su fueza avitatoia seá: W ' = ( E' E' ) = [ G M ( G M )] = GM, R R R R

11 aa su cálculo aplicamos los datos, (,74,7 ) 0 R R W ' = ( E' E' ) = GM =,7.0 7,5.0 =,57.0 J 8, ( R )( R ) Como se apecia la influencia del campo avitatoio luna en el cálculo del tabajo es muy pequeño en ódenes de manitud, fente al necesaio paa saca al satélite de la avedad teeste. 7. o esta muy lejano especto de unos ejes liados a la iea tiene eneía potencial U = 0. ya que se considea en el infinito. o caece de velocidad inicial especto de los mismos ejes también es la E C = 0. En consecuencia la eneía mecánica. E = U + E C = 0 Como el campo avitatoio es consevativo, cuando lleue a iea la eneía mecánica seuiá siendo ceo, peo estaá situado a una distancia R del cento de la iea, y en este lua es donde está situado el oien de efeencia, po lo que poseeá eneía potencial avitatoia. Además como alcanza la supeficie teeste con una deteminada velocidad tendá además eneía cinética. 4 G M t m G M,7.0 5,98.0 km mv 0; v,9 R R 7.0 s + = = = = m EC = mv = k 90 =,.0 J s 8. El adio de la óbita es: = R = 7 km = 74 km. a fueza avitatoia actúa como centípeta así que se puede escibi paa los módulos: 4 G M m v G M,7.0 5,98.0 m = m ; v = = = s El peiodo: π π 74.0 = = = 4 09 s =,97 h v 5595 a eneía cinética: a eneía potencial: a eneía mecánica: m 0 EC = mv = 000 k 5595 =,57.0 J s G M m,7.0 5, U = = =,.0 J E = EC + U =,57.0 J + (,.0 J ) =,5.0 J Esta eneía se mantiene constante po se el campo avitatoio consevativo, de modo que valdía lo mismo en el momento de hace el lanzamiento sobe la supeficie teeste. G M m,7.0 N m k 5,98.0 k 000 k,5.0 J = E = E ; E = 4,70.0 J 4 0 C C C R 7.0 m 0 Velocidad de lanzamiento: 0 EC 4,70.0 J km v = = = 99 m / s 9,70 m 000 k s

12 9. aa el satélite que está en óbita la vaiación de su eneía potencial ente la óbita y tiea seá: GM m GM m UO U = = GM m O R R O 4 0 UO U =,7.0 N m k 5,98.0 k 900 k 4,78.0 J = 7.0 m m El tabajo ealizado paa llevalo a la citada óbita eoestacionaia, en la que no tiene velocidad ni eneía cinética, especto de unos ejes que ian con la iea, debe se iual al incemento de la eneía potencial avitatoia po se el campo avitatoio consevativo. En efecto, paa tasladalo a la óbita hay que aplica una fueza F que actúe conta la fueza avitatoia F G duante todo el desplazamiento. Como especto de los ejes en iea, el satélite antes del lanzamiento y después, cuando está en la óbita eoestacionaia, caece de eneía cinética. a ecuación de la eneía pemite escibi: W FG + W F = E C = 0 ; W F = - W FG El tabajo de la fueza aplicada W F es iual peo de sino contaio, al que efectúa la fueza avitatoia W FG en el mismo desplazamiento. eo el tabajo de la fueza avitatoia ente la supeficie de la iea y la óbita eoestacionaia O, está elacionado con la vaiación de eneía potencial po: W FG = - (U O U ); que sustituida en la anteio popociona paa el tabajo de la fueza aplicada al satélite: W F = - [ -(U O U ) ] = U O - U Expesión análoa a la de la difeencia de eneía potencial antes calculada. En consecuencia la fueza F que es necesaio aplica paa lleva al satélite hasta su óbita eoestacionaia, debe hace un tabajo positivo de valo 4, J. 0. De iuala la fueza avitatoia a la centípeta se obtiene paa la velocidad obital v = GM GM 4 v = = = a podemos escibi en la foma 0 b) v = 9,8 (, +,4 ).0 =,47.0 m / s m 9 Ec = 00k,47.0 = 4,8.0 J s c) a eneía cinética del satélite en su óbita es ( ) d) a eneía potencial avitatoia vale: M m 5, , U = G =,7.0 = 8,.0 J